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1、.第 二 十 六 章 二次函数 本章知识重点1.探索具体问题中的数量关系和变化规律.2.结合具体情境体会二次函数作为一种数学模型的意义，并了解二次函数的有关概念.3.会用描点法画出二次函数的图象，能通过图象和关系式认识二次函数的性质.4.会运用配方法确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴.5.会利用二次函数的图象求一元二次方程(组)的近似解.6.会通过对现实情境的分析，确定二次函数的表达式，并能运用二次函数及其性质解决简单的实际问题.26.1 二次函数 本课知识重点通过具体问题引入二次函数的概念，在解决问题的过程中体会二次函数的意义.M.M 及创新思维(1)正方形边长为a(cm),它的面积s
2、(cm2)是多少？(2)矩形的长是4 厘米，宽是3 厘米，如果将其长与宽都增加x 厘米，则面积增加y 平方厘米，试写出y 与 x 的关系式.请观察上面列出的两个式子，它们是不是函数？为什么？如果是函数，请你结合学习一次函数概念的经验，给它下个定义.实践与探索例 1.m 取哪些值时，函数=(用2 一 机)/+加+(机+)是以*为自变量的二次函数？分析 若 函 数 y =(一 一?)/+?x+(帆+1)是 二 次 函 数，须 满 足 的 条 件 是：m-m 0 .解 若函数y =(-机)/+比+(m+1)是二次函数，则m2 一m力0.解得？力0,且？w l.因此，当？力0,且加工1 时，函数y =
3、(户一用)/+m x +(?+1)是二次函数.回顾与反思 形如y =a x 2 +x +c的函数只有在a=0的条件下才是二次函数.探索 若函数y =(m2 一?)/+?X+(M+1)是 以 x为自变量的一次函数，则 m取哪些值？例 2.写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数.(1)写出正方体的表面积S (c m )与正方体棱长a (c m)之间的函数关系；(2)写出圆的面积y (c m2)与它的周长x (c m)之间的函数关系；(3)某种储蓄的年利率是1.9 8%,存 入 1 0 0 0 0 元本金，若不计利息，求本息和y (元)与所存年数x 之间的函数关系；(4)菱形的两条对角线的和
4、为2 6 c m,求菱形的面积S (c m2)与一对角线长x (c m)之间的函数关系.解(1)由题意，得 S =6 4 2(a 0),其中S是 a的二次函数;x(2)由题意，得 y =d(x0),其中y是x的二次函数；4%(3)由题意，得 y =1 0 0 0 0+1.9 8%x-1 0 0 0 0 (x N O 且是正整数)，其中y是x的一次函数；(4)由题意，得 S=-X(2 6-X)=-X2+13X(0 X 2 6),其中 S 是x 的二次函数.2 2例3.正方形铁片边长为1 5 c m,在四个角上各剪去一个边长为x (c m)的小正方形，用余下的部分做成一个无盖的盒子.(1)求盒子的
5、表面积S (c m2)与小正方形边长x (c m)之间的函数关系式；(2)当小正方形边长为3c m时，求盒子的表面积.解(1)S=152-4x2=225-4x2(0%0(2)二次函数为y =4/,则顶点坐标为(0,0),对称轴为y轴.例3.已知正方形周长为C e m,面积为S cm2.(1)求S和C之间的函数关系式，并画出图象；(2)根据图象，求出S=1 cm?时，正方形的周长；(3)根据图象，求出C取何值时，Se 4 cm2.分析 此题是二次函数实际应用问题，解这类问题时要注意自变量的取值范围；画图象时,自变量C的取值应在取值范围内.1 ,解(1)由题意，得5=。2(。0).列表:C2468
6、S C216 _41944描点、连线，图象如图26.2.2.(2)根据图象得S=1卡时,正方形的周长是4cm.(3)根据图象得,当C N 8 cm时,S 4 cm2.回顾与反思(1)此图象原点处为空心点.(2)横轴、纵轴字母应为题中的字母C、S,不要习惯地写成x、y.(3)在自变量取值范围内，图象为抛物线的一部分.当堂课内练习1.在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象，并分别写出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标.(1)y =3x?(2)y=-3x2(3)y =22.(1)函数)，=1/的开口,对称轴是,顶点坐标是；(2)函数y =a尤2的开口,对称轴是,顶点坐标是.3.已知等边三角形的边长为2
7、x,请将此三角形的面积S表示成x的函数，并画出图象的草图 本课课外作业A组1.在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象.(1)y =-4x2(2)y=-x2-42.填空：(1)抛物线)，=一5/,当x=时，y有最_值，是.(2)当m=时，抛物线y =(加一 开口向下.(3)已知函数 是二次函数，它 的 图 象 开 口,当x 时，y随x的增大而增大.3.已知抛物线y =中，当0时，y随x的增大而增大.(1)求k的值；(2)作出函数的图象(草图).4.已知抛物线y =经 过 点(1,3),求当y=9时，x的值.B组5.底面是边长为x的正方形，高为0.5cm的长方体的体积为y cm l (1)求y与x
8、之间的函数关系式；(2)画出函数的图象；(3)根据图象，求出y=8 cm?时底面边长x的值;(4)根据图象，求出x取何值时,y 2 4.5 cm3.6 .二次函数y 与直线丁 =21一3交于点P (1,b).(1)求a、b的值；(2)写出二次函数的关系式，并指出x取何值时，该函数的y随x的增大而减小.7.一个函数的图象是以原点为顶点，y轴为对称轴的抛物线，且过M (-2,2).(1)求出这个函数的关系式并画出函数图象；(2)写出抛物线上与点M关于y轴对称的点N的坐标，并求出/M O N的面积.本课学习体会26.2二次函数的图象与性质(2)本课知识重点会画出y =这类函数的图象，通过比较，了解这
9、类函数的性质.M M及创新思维同学们还记得一次函数y =2x与y =2 x+1的图象的关系吗？,你能由此推测二次函数y =Y与y =x?+l的图象之间的关系吗？，那么y =/与y =/一 2的图象之间又有何关系？_ 实践与探索例1.在同一直角坐标系中，画出函数y =2/与y =2x 2+2的图象.解 列 表.X-3-2-10123y=2x2188202818 y=2x2+2 20104241020 描点、连线，画出这两个函数的图象，如图26.2.3所示.回顾与反思 当自变量x取同一数值时，这两个函数的函数值之间有什么关系？反映在图象上，相应的两个点之间的位置又有什么关系？探索 观察这两个函数，
10、它们的开口方向、对称轴和顶点坐标有那些是相同的？又有哪些不同？你能由此说出函数），=2/与y =2x2-2的图象之间的关系吗？例2.在同一直角坐标系中，画出函数y=x?+l与y =的图象，并说明，通过怎样的平移，可以由抛物线y=-x2+得到抛物线y =-x2-l.解 列 表.可以看出，抛物线y=-1是由抛物线，=-r +1向下平移两个单位得到的.回顾与反思 抛物线 =一 一+1和抛物线y=f 2 1分别是由抛物线y=向上、向下平移一个单位得到的.探索 如果要得到抛物线 =-X2+4,应将抛物线y=1作怎样的平移？1 .例3.一条抛物线的开口方向、对称轴与 相同，顶点纵坐标是-2,且抛物线经过点
11、（1,1）,求这条抛物线的函数关系式.解 由题意可得，所求函数开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标为（0,-2）,因此所求函数关系式可看作y =a x2-2（。0）,又抛物线经过点（1,1）,所以，1 =。42-2,解得a=3.故所求函数关系式为y =3 x2-2.回 顾 与 反 思y=a x2+k（a、k是常数，a#0）的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标归纳如下：y-a x2+k开口方向对称轴顶点坐标a 0a 0a +2的图象呢？实践与探索例L在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象.y =1 x2,y =l(x-l)2,y =l(x-l)2-2,并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标.描点、连线
12、，画出这三个函数的图象，如图26.2.6 所示.它 们 的 开 口 方 向 都 向，对称轴分别为、，顶点坐标分别为、.请同学们完成填空，并观察三个图象之间的关系.回顾与反思 二次函数的图象的上下平移，只影响二次函数？=。（-/1尸+1 中女的值；左右平移，只影响h 的值，抛物线的形状不变，所以平移时，可根据顶点坐标的改变，确定平移前、后的函数关系式及平移的路径.此外，图象的平移与平移的顺序无关.探索 你能说出函数y =o（x-力+k （a、h、k是常数，a WO）的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？试填写下表.y-a(x-/i)2+k开口方向对称轴顶点坐标a 0a 0,k 0,因此抛物线y
13、=2x2-3 x-5有最低点，即函数有最小值.3 4 9因为 y =2 x?-3 x-5 =2（x-）2-,3 4 9所以当x=2时，函数y =2/一3 x-5有最小值是一一4 8（2）二次函数y =-，-3 x+4中的二次项系数T V O,因此抛物线y=-x2-3x+4有最高点，即函数有最大值.3、2 5因为 y =-x2-3x+4=-（x+）2+,所以当=一己时，函数y =3 x+4有最大值是三.2 4回顾与反思 最大值或最小值的求法，第一步确定a的符号，a 0有最小值，a V O有最大值；第二步配方求顶点，顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值.探索 试一试，当2.5 W xW 3.5时，
14、求二次函数y =Y-2x 3的最大值或最小值.例2.某产品每件成本是1 2 0元，试销阶段每件产品的销售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间关系如下表：X（元）130150165y（件）705035若日销售量y是销售价x的一次函数，要获得最大销售利润，每件产品的销售价定为多少元？此时每日销售利润是多少？分析日销售利润=日销售量X每件产品的利润，因此主要是正确表示出这两个量.解 由 表 可 知x+y=2 0 0,因此，所求的一次函数的关系式为y =-x+2 0 0.设每日销售利润为s元，则有s =y(x-1 2 0)=-(1 6 0)2 +1 6 0 0.因为 x+2 0 0 N 0,x 1
15、2020,所以 1 2 0 4 x 4 2 0 0.所以，当每件产品的销售价定为1 6 0 元时，销售利润最大，最大销售利润为1 6 0 0 元.回顾与反思解决实际问题时，应先分析问题中的数量关系，列出函数关系式，再研究所得的函数，得出结果.例 3.如图 2 6.2.8,在 R t/A B C 中，Z C=9 0 ,B C=4,A C=8,点 D 在斜边 A B 上，分别作 D EJ_ A C,D F 1 B C,垂足分别为E、F,得四边形D EC F,设 D E=x,D F=y.（1）用含y的代数式表示A E；（2）求 y与 x 之间的函数关系式，并求出x 的取值范围；（3）设四边形D EC
16、 F的面积为S,求 S与 x 之间的函数关系，并求出S的最大值.解（1）由题意可知，四边形D EC F为矩形，因此图 26.2.8A E =AC-DF=8-y .(2)由 得 匹=4,即2=殳 2,B C AC 4 8所以，y=S-2x,x 的取值范围是0 x 4.(3)S =xy =x(8-2 x)=-2 x2+8 x=-2(x-2)2+8,所以，当 x=2 时，S 有最大值8.当堂课内练习1.对于二次函数y =x?-2 x +机，当 x=时，y 有最小值.2.已知二次函数y =a(x l)2+b有 最 小 值-1,则a与b之间的大小关系是()A.a b D.不能确定3 .某商场销售一批衬衫
17、，平均每天可售出2 0件，每件盈利4 0件，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经过市场调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件.(1)若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？(2)每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？本课课外作业A组1.求下列函数的最大值或最小值.(1)y=-x2-2x；(2)y=2x2-2x +1 .2.已知二次函数y =x?-6x +m的最小值为1,求m的值.，3.心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x (单位：分)之间满足函数关系：y =-0.1x 2+2.6x +4 3(04 x
18、 4 30).y值越大，表示接受能力越强.(l)x在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？x在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？(2)第10分时，学生的接受能力是多少？(3)第几分时，学生的接受能力最强?B组4 .不论自变量x取什么数，二次函数？=2，-6%+?的函数值总是正值，求 m的取值范围.5 .如图，有长为24 m 的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度a为 10m),围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃.设花圃的宽A B为 xm,面积为S m 2.(1)求 S 与 x 的函数关系式；A D(2)如果要围成面积为4 5 n t 2的花圃，A B 的长是多少米？J-L(3)能围成面积比4 5
19、m?更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由.Ap-(口6.如图，矩形A BC D中，A B=3,BC=4,线段E F 在对角线A C 上，E fE G 1A D,F H 1 B C,垂足分别是 G、H,且 E G+F H=E F.I、B H C(1)求线段E F 的长；(2)设 E G=x,/A G E 与/C F H 的面积和为S,写出S关于x的函数关系式及自变量x的取值范围，并求出S的最小值.本课学习体会26.2 二次函数的图象与性质(7)本课知识重点会根据不同的条件，利用待定系数法求二次函数的函数关系式.M M及创新思维一般地，函数关系式中有几个独立的系数
20、，那么就需要有相同个数的独立条件才能求出函数关系式.例如：我们在确定一次函数y =H+伙R 0)的关系式时，通常需要两个独立的条件：确定反比例函数y =V(k *0)的关系式忖，通常只需要-个条件：如果要确X定二次函数y +b x +c(a x 0)的关系式，又需要几个条件呢？实践与探索例1.某涵洞是抛物线形，它的截面如图2 6.2.9所示，现测得水/面 宽1.6 m,涵洞顶点0到水面的距离为2.4 m,在图中直角坐标/系内，涵洞所在的抛物线的函数关系式是什么？图a!2 9 分析 如图，以AB的垂直平分线为y轴，以过点。的y轴的垂线为x轴，建立了直角坐标系.这时，涵洞所在的抛物线的顶点在原点，
21、对称轴是y轴，开口向下，所以可设它的函数关系式是y =a x 2(a 0).此时只需抛物线上的一个点就能求出抛物线的函数关系式.解 由题意，得点B的坐标为(0.8,-2.4),又因为点B在抛物线上，将它的坐标代入y =a x 2(a-2,同时可知抛物线的对称轴为x=3,再由与x轴两交点间的距离为4,可得抛物线与x轴的两个交点为(1,0)和(5,0),任选一个代入y=a(x 3)2-2,即可求出a的值.解(1)设二次函数关系式为y=ax2+云+c,由已知，这个函数的图象过(0,-1),可以得到。=-1.又由于其图象过点(1,0)、(-1,2)两点，可以得到a+b=1a-b=3解这个方程组，得a=
22、2,b=-1.所以，所求二次函数的关系式是y=2/2x 1.(2)因为抛物线的顶点为(1,-3),所以设二此函数的关系式为y=a(x 1)2-3,又由于抛物线与y轴交于点(0,1),可以得到l =a(O-l)2-3解 得a =4.所以，所求二次函数的关系式是y =4(x-l)2-3=4x2-8x +l.(3)因为抛物线与x轴交于点M (-3,0)、(5,0),所以设二此函数的关系式为y=a(x+3)(x-5).又由于抛物线与y轴交于点(0,3),可以得到-3 =a(O +3)(O-5).解 得a=-.5I 1 2所以，所求二次函数的关系式是y =(x +3)(x 5)=x 2 g x 3.(4
23、)根据前面的分析，本题已转化为与(2)相同的题型，请同学们自己完成.回顾与反思确定二此函数的关系式的一般方法是待定系数法，在选择把二次函数的关系式设成什么形式时，可根据题目中的条件灵活选择，以简单为原则.二次函数的关系式可设如下三种形式：(1)一般式：y=a x2+b x+c(a 0),给出三点坐标可利用此式来求.(2)顶点式：y =a(x-/i)2+%3 =0),给出两点，且其中一点为顶点时可利用此式来求.(3)交点式：y=a(x-x,)(x-x2)(0),给出三点，其中两点为与x轴的两个交点(x),0)、(x2,0)时可利用此式来求.当堂课内练习1 .根据下列条件，分别求出对应的二次函数的
24、关系式.(1)已知二次函数的图象经过点(0,2)、(1,1)、(3,5)；(2)已知抛物线的顶点为(-1,2)，且 过 点(2,1)；(3)已知抛物线与x轴交于点M (-1,0)、(2,0),且经过点(1,2).2 .二次函数图象的对称轴是x=-1,与y轴交点的纵坐标是-6,且经过点(2,1 0),求此二次函数的关系式.本课课外作业A组1 .已知二次函数y =/+云+。的图象经过点A(-1,1 2)、B(2,-3),(1)求该二次函数的关系式；(2)用配方法把(1)所得的函数关系式化成y =a(x-)2 +k的形式，并求出该抛物线的顶点坐标和对称轴.2 .已知二次函数的图象与一次函数y =4
25、x 8的图象有两个公共点P (2,m)、Q(n,-8)，如果抛物线的对称轴是*=-1,求该二次函数的关系式.3 .某工厂大门是一抛物线型水泥建筑物，如图所示，大门地面宽AB=4 m,顶部C离地面高度为4.4 m.现有一辆满载货物的汽车欲通过大门，货物顶部距地面2.8m,装货宽度为2.4 m.请判断这辆汽车能否顺利通过大门.4.已知二次函数y=a/+8 x +c,当 x=3时，函数取得最大值1 0,且它的图象在x 轴上截得的弦长为4,试求二次函数的关系式.B组5.已知二次函数y=/+/?x+c 的图象经过（1,0）与（2,5）两点.（1）求这个二次函数的解析式；（2）请你换掉题中的部分已知条件，
26、重新设计一个求二次函数y=/+4；+c 解析式的题目，使所求得的二次函数与（1）的相同.6.抛物线y=/+2 机x+过点（2,4）,且其顶点在直线y=2x+1上，求此二次函数的关系式.本课学习体会26.3实践与探索（1）本课知识重点会结合二次函数的图象分析问题、解决问题，在运用中体会二次函数的实际意义.MM及创新思维生活中，我们常会遇到与二次函数及其图象有关的问题，比如在2004雅典奥运会的赛场上，很多项目，如跳水、铅球、篮球、足球、排球等都与二次函数及其图象息息相关.你知道二次函数在生活中的其它方面的运用吗？实践与探索例1.如图2 6.3.1,一位运动员推铅球，铅球行进高度y （m）与水平距
27、离x（m）之间的I 2 5关系是y =_二/+苫+彳，问此运动员把 _r.*1 2 3 3 图 26.3.1铅球推出多远？解 如图，铅球落在x轴上，则y=0,1 2 5因此，x2+-x +-=0.1 2 3 3解方程，得 苞=1 0,=一2 （不合题意，舍去）.所以，此运动员把铅球推出了 1 0米.探索 此题根据已知条件求出了运动员把铅球推出的实际距离，如果创设另外一个问题情境：一个运动员推铅球，铅球刚出手时离地面*m,铅球落地点距铅球刚出手时相应的地3面上的点1 0 m,铅球运行中最高点离地面3 m,已知铅球走过的路线是抛物线，求它的函数关系式.你能解决吗？试一试.例2.如图2 6.3.2,
28、公园要建造圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子O A,水流在各个方向沿形状相同的抛物线路线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在离0 A距离为1 m处达到距水面最大高度2.2 5 m.（1）若不计其他因素，那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不致落到池外？!_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _O（2）若水流喷出的抛物线形状与（1）相同，水池的半径为 图2 6.3.23.5 m,要使水流不落到池外，此时水流最大高度应达多少米？（精确到0.1 m）分析这是一个运用抛物线的有关知识解决实际问题的应用|y B题，首先必须将水流抛物线放在直角坐标系中，如图
29、2 6.3.3,我们可以求出抛物线的函数关系式，再利用抛物线的性质即可 _ J _ _ _ _ _ _ _ _一C x解决问题.图2 6.3.3解(1)以0为原点，0 A为y轴建立坐标系.设抛物线顶点为B,水流落水与x轴交点为 C (如图 26.3.3).由题意得，A (0,1.25),B (1,2.25),因此，设抛物线为y =a(x 1)2+2.25.将 A (0,1.25)代入上式，得 1.25=a(O +2.25,解得a=-l所以，抛物线的函数关系式为y =(x-1)2+2.25.当y=0时，解 得x=-0.5(不合题意，舍 去)，x=2.5,所以C (2.5,0),即水池的半径至少要
30、2.5m.(2)由于喷出的抛物线形状与(1)相同，可设此抛物线为y =-(X-力+女.由抛物线过点(0,1.25)和(3.5,0),可求得h=-1.6,k=3.7.所以，水流最大高度应达3.7 m.当堂课内练习1.在排球赛中，一队员站在边线发球，发球方向与边线垂直，球开始飞行时距地面1.9米，当球飞行距离为9米时达最大高度5.5米，己知球场长1 8米，问这样发球是否会直接把球打出边线？2.在一场篮球赛中，队员甲跳起投篮，当球出手时离地高2.5米，与球圈中心的水平距离为7米，当球出手水平距离为4米时到达最大高度4米.设篮球运行轨迹为抛物线，球圈距地面3米，问此球是否投中？本课课外作业A组1 .在
31、一场足球赛中，一球员从球门正前方1 0米处将球踢起射向球门，当球飞行的水平距离是6米时，球到达最高点，此时球高3米，已知球门高2.44米，问能否射中球门？2.某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到赢利的过程.下面的二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累枳利润s （万元）与销售时间t （月）之间的关系（即前t个月的利润总和s与t之间的关系）.根据图象提供的信息，解答下列问题:（1）由已知图象上的三点坐标，求累积利润S （万元）与时间t （月）之间的函数关系式;（2）求截止到几月末公司累积利润可达到3 0万元;（3）求第8个月公司所获利润是多少万元？3 .如图，一位
32、运动员在距篮下4m处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5 m时，达到最大高度3.5m,然后准确落入篮圈，已知篮圈中心到地面的距离为3.05m.(1)建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的函数关系式;(2)该运动员身高1.8m,在这次跳投中，球在头顶上方0.25m处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？B组4.某公司草坪的护栏是由50段形状相同的抛物线组成的，为牢固起见，每段护栏需按间距0.4m加设不锈钢管(如图a)做成的立柱，为了计算所需不锈钢管立柱的总长度，设计人员利用图b所示的坐标系进行计算.(1)求该抛物线的函数关系式;(2)计算所需不锈钢管立柱的总长度.5.某
33、跳水运动员在进行10m跳台跳水训练时，身体(看成一点)在空中的运动路线是如图所示的一条抛物线.在俨 3m-/-X1三:一一一一跳台支柱二一2跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水面1 0 m,入水处距池边3的距离为4 m,同时运动员在距水面高度5 m 以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势时，否则就会出现失误.（1）求这条抛物线的函数关系式；（2）在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是（1）中的抛物线，且运动员在空中3调整好入水姿势时，距池边的水平距离为3 m,问此次跳水会不会失误？并通过计算说明理由.本课学习体会2 6 .3 实践与探索（2）本课知识重点让学生进
34、一步体验把实际问题转化为有关二次函数知识的过程.M M 及创新思维二次函数的有关知识在经济生活中的应用更为广阔，我们来看这样一个生活中常见的问题：某广告公司设计一幅周长为1 2 米的矩形广告牌，广告设计费为每平方米1 0 0 0 元，设矩形一边长为x 米，面积为S 平方米.请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并求出这个费用.你能解决它吗？类似的问题，我们都可以通过建立二次函数的数学模型来解决.实践与探索例 1.某化工材料经销公司购进了一种化工原料共7 0 0 0 千克，购进价格为每千克3 0 元。物价部门规定其销售单价不得高于每千克7 0 元，也不得低于30 元。市场调查发现：单价定为7 0
35、 元时，日均销售6 0 千克；单价每降低1 元，日均多售出2千克。在销售过程中，每天还要支出其他费用5 0 0 元(天数不足一天时，按整天计算)。设销售单价为x 元，日均获利为y元。(1)求 y 关于x的二次函数关系式，并注明x的取值范围；(2)将(1)中所求出的二次函数配方成y =a(x +2)2+的 形 式，写出顶点2a 4a坐标；在直角坐标系画出草图；观察图象，指出单价定为多少元时日均获利最多，是多少？分析 若销售单价为x元，则每千克降低(7 0-x)元，日均多售出2 (7 0-x)千克，日均销售量为 6 0+2 (7 0-x)千克，每千克获利为(x-30)元,从而可列出函数关系式。解(
36、1)根据题意，得y =(x -30)6 0 +2(7 0 -x)-5 0 0=-2x2+2 6 0 x-6 5 0 0 (30 Wx W7 0)。(2)y =2/+2 6 0 x 6 5 0 0 =2(x 6 5/+1 9 5 0。顶点坐标为(6 5,1 9 5 0)二次函数草图略。经观察可知，当单价定为6 5 元时，日均获利最多，是 1 9 5 0 元。例 2。某公司生产的某种产品，它的成本是2元，售价是3 元，年销售量为1 0 0 万件.为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告.根据经验，每年投入的广告费是X（十万元）时，产品的年销售量将是原销售量的y倍，月.y是X的二次函数，它们
37、的关系如下表：X （十万元）012 y11.51.8（1）求y与x的函数关系式；（2）如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费，试写出年利润S（十万元）与广告费x（十万元）的函数关系式；（3）如果投入的年广告费为10 30万元，问广告费在什么范围内，公司获得的年利润随广告费的增大而增大？解（1）设二次函数关系式为y=a/+b x +c。c-1由表中数据，得 a+/?+c=L5 o4a+2b+c=1.81a=-103解 得 上=二 O5c=11 ,3所以所求二次函数关系式为y=-x2+-x+U10 5（2）根据题意，得S=10y-（3-2）x=/+5 x +10。（3）5=-x2+5x+10=
38、-（x-）2+2 4由于1WXW3,所以当1WXW2。5时，S随 x的增大而增大。.当堂课内练习1 .将进货单价为7 0 元的某种商品按零售价1 0 0 元一个售出时，每天能卖出2 0 个，若这种商品的零售价在一定范围内每降价1 元，其日销售量就增加1 个，为了获得最大利润，则 应 降 价（）A、5 元 B、1 0 元 C 1 5 元 D、2 0 元2 .某公司生产某种产品，每件产品成本是3 元，售价是4 元，年销售量为1 0 万件，为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告.根据经验，每年投入的广告费是x（万r2 7 7元）时;产品的年销售量将是原销售量的y倍，且），=-一 +x +,
39、如果把利润看10 10 10作是销售总额减去成本费和广告费，试写出年利润S （万元）与广告费X（万元）的函数关系式，并计算广告费是多少万元忖，公司获得的年利润最大，最大年利润是是多少万元？本课课外作业A 组1.某商场以每件42元的价钱购进一种服装,根据试销得知:这种服装每天的销售量t（件）,与每件的销售价x （元/件）可看成是一次函数关系：t=-3x+2 0 4。（1）写出商场卖这种服装每天的销售利润y与每件的销售价x之间的函数关系式（每天的销售利润是指所卖出服装的销售价与购进价的差)；(2)通过对所得函数关系式进行配方，指出：商场要想每天获得最大的销售利润，每件的销售价定为多少最为合适；最大
40、销售利润为多少？2 .某旅社有客房1 2 0 间，当每间房的日租金为5 0 元时，每天都客满，旅社装修后，要提高租金，经市场调查，如果一间客房日租金增加5 元，则客房每天出租数会减少6间，不考虑其他因素，旅社将每间客房日租金提高到多少元时，客房的总收入最大？比装修前客房日租金总收入增加多少元？3 .某商店经销一种销售成本为每千克4 0 元的水产品.据市场分析，若按每千克5 0 元销售，一个月能售出5 0 0 k g；销售单价每涨1 元，月销售量就减少1 0 k g.针对这种水产品的销售情况，请解答以下问题：(1)当销售单价定为每千克5 5 元时，计算月销售量和月销售利润；(2)设销售单价为每千
41、克x元，月销售利润为y元，求 y与 x的函数关系式；(3)商店想在月销售成本不超过1 0 0 0 0 元的情况下，使得月销售利润达到80 0 0 元，销售单价应定为多少？B组4 .行驶中的汽车在刹车后由于惯性的作用，还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”，为了测定某种型号汽车的刹车性能(车速不超过1 4 0 千米/时),对这种汽车进行测试，数据如下表:刹车时车速（千米/时）01 02 03 04 05 06 0刹车距离00.3 1.0 2.1 3.6 5.5 7.8（1）以车速为X轴，以刹车距离为y轴，在坐标系中描出这些数据所表示的点，并用平滑的曲线连结这些点，得到函数的大
42、致图象;（2）观察图象，估计函数的类型，并确定个满足这些数据的函数关系式;（3）该型号汽车在国道上发生一次交通事故，现场测得刹车距离为4 6.5米，请推测刹车时的车速是多少？请问在事故发生时，汽车是超速行驶还是正常行驶?本课学习体会2 6 .3实践与探索（3）本课知识重点（1）会求出二次函数=a/+A x+c与坐标轴的交点坐标；（2）了解二次函数y =+%x +c与一元二次方程、一元二次不等式之间的关系.M M及创新思维给出三个二次函数：（1）y =x23 x+2；（2）y-x2-x+l；（3）y=x2-2x+i.它们的图象分别为观察图象与X轴的交点个数，分别是一个、一个、一个.你知道图象与X
43、轴的交点个数与什么有关吗？另外，能否利用二次函数y =a x 2+Z?x +c的图象寻找方程。x?+法+c =o(a =o),不等式a x?+b x+c 0（。丰 0）或+b x+c 3 时，y 0；当 T x 3 时，y 0.(2)二次函数y =(a l)/+2 a x +3 a-2的图象的最低点在x轴上，也就是说，方程(a 1)/+2 a x +3 a 2 =0的两个实数根相等，即/=0.(3)已知抛物线y =2 一仅一1 3 4一2与x轴交于两点A (a,0),B (P,0),即a、B是方程/一(氏一 I)X-3&-2 =0的 两 个 根，又 由 于4+#2=17,以及a?+2 =(。+
44、4)2 一 2的，利用根与系数的关系即可得到结果.请同学们完成填空.回顾与反思 二次函数的图象与x轴有无交点的问题，可以转化为一元二次方程有无实数根的问题，这可从计算根的判别式入手.例3.已知二次函数y =+(?-2)x +?+1,(1)试说明：不论m取任何实数，这个二次函数的图象必与x轴有两个交点；(2)m为何值时，这两个交点都在原点的左侧？(3)m为何值时，这个二次函数的图象的对称轴是y轴？分析(1)要说明不论m取任何实数，二次函数y =+(M-2)x +加+1的图象必与x轴有两个交点，只要说明方程-2+(机-2)犬+机+1 =0有两个不相等的实数根，即/0.(2)两个交点都在原点的左侧，
45、也就是方程-X?+(?_ 2)x+m+1 =0有两个负实数根,因而必须符合条件/0,玉+0.综合以上条件，可解得所求m的值的范围.(3)二次函数的图象的对称轴是y轴，说明方程 x 2+(?-2)x +机+1=0有一正一负两个实数根，且两根互为相反数，因而必须符合条件/0,X I+X 2=0.解(1)/=(加-2)2 _ 4X(_ 1)X(2 +1)=?2+8,由机2 2 0,得 2 2+8o,所以4 0,即不论m取任何实数，这个二次函数的图象必与x轴有两个交点.(2)由尤+%2=加-2 0，得 m 0,得 M 0,因此，当机=一尤2+（根一2）%+6+1是由函数卜=一一上下平移所得，那么，对一
46、次项系数有何要求呢？请你根据它入手解本题.当堂课内练习1 .已知二次函数旷=2一3*4的图象如图，则方程x2-3 x-4 =0的解是,不等式X2-3X-40的解集是,不等式-3 x-4 0.5 .你能否画出适当的函数图象，求方程x 2 =-x +2的解？B组6 .函数）?=机/+苫-2机（m是常数）的图象与x轴的交点有（）A.0个 B.1个 C.2个 D.1个或2个7 .已知二次函数y =+ax +a-2 .（1）说明抛物线y =*2 +ax +。-2与x轴有两个不同交点；（2）求这两个交点间的距离（关于a的表达式）；（3）a取何值时，两点间的距离最小？本课学习体会2 6 .3实践与探索(4)
47、本课知识重点掌握元二次方程及二元二次方程组的图象解法.M M及创新思维上节课的作业第5题：画图求方程X?=-x +2的解，你是如何解决的呢？我们来看一看两位同学不同的方法.甲：将方程/=一+2化为炉+苫一2 =0,画出y =x 2+x 2的图象，观察它与x轴的交点，得出方程的解.乙：分别画出函数y =/和y =x+2的图象，观察它们的交点，把交点的横坐标作为方程的解.你对这两种解法有什么看法？请与你的同学交流.实践与探索例1.利用函数的图象，求下列方程的解：(1)x+2,x 3 =0；(2)2 x-5 x +2 =0.分析 上面甲乙两位同学的解法都是可行的，但乙的方法要来得的便，因为画抛物线远
48、比画直线困难，所以只要事先画好一条抛物线y =2的图象，个y /N 8g卜1 /再根据待解的方程，画出相应的直线，交点的横坐标即为方 4 6卜 /程的解.解（1）在同一直角坐标系中画出函数y =/和y =2 x +3的图象，如图 2 6.3.5,得到它们的交点（-3,9）、（1,1）,则方程一+2一3 =0的 解 为-3,1.（2）先把方程2 5 x+2 =0化为,5x2一一x +l =0,然后在同一直角2坐标系中画出函数y =X?和y =1的图象，如图2 6.3.6,得到它们的交点（！，！）、（2,4）,2 4,1则方程2-5 x +2 =0的解为2.2回顾与反思 一般地，求一元二次方程ax
49、?+历1 +。=0（。/0）的近似解时，可先将方程。2+6；+。=0化为1+2犬+=0,然后分别画出函数y =x 2和y =2 x 的图a a a a象，得出交点，交点的横坐标即为方程的解.例2.利用函数的图象，求下列方程组的解:y=x2y =3 x +61 0y=x2+2xi 3分析（1）可以通过直接画出函数y =和y =/的图象，得到它们的交点，从而得到方程组的解；（2）也可以同样解决.解（1）在同一直角坐标系中画出函数y =/和 丁 =的图象，如图2 6.3.7,3 9得到它们的交点（一一，二）、（1,1）,2 4（3y =_ -1 X H 3 xl=0（=_ 1.则方程组4 2 2的解
50、为4 2.（2）在同一直角坐标系中画出函数y图象，如图2 6.3.8,得到它们的交点(-2,0)、(3,1 5),解为x.=2 x2=区0%=1 5探索（2）中的抛物线画出来比较麻烦，你能想出更好的解决此题的方法吗？比如利用抛物线y =/的图象，请尝试一下.当堂课内练习1.利用函数的图象，求下列方程的解：(1)x+x +1 =0(精确到 0.1)；(2)3x 5 x +2=0.f y x+22.利用函数的图象，求方程组(2 的解:本课课外作业1.利用函数的图象，求下列方程的解:93(1)x H x 1 =023 32.利用函数的图象，求下列方程组的解：y=-x f y =x-(1)2；(2).