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1、正弦和 余 弦（一）一、素质教育目标（一）知识教学点使学生知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边、邻边与斜边的比值也都固定这一事实.（二）能力训练点逐步培养学生会观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力.（三）德育渗透点引导学生探索、发现，以培养学生独立思考、勇于创新的精神和良好的学习习惯.二、教学重点、难点1.重点：使学生知道当锐角固定时，它的对边、邻边与斜边的比值也是固定的这一事实.2.难点：学生很难想到对任意锐角，它的对边、邻边与斜边的比值也是固定的事实，关键在于教师引导学生比较、分析，得出结论.三、教学步骤（一）明确目标1.如 图6-1,长5米的梯子架在高为3米的墙上，则A、B间距离为多少
2、米？2.长5米的梯子以倾斜角NCAB为3 0 靠在墙上，则A、B间的距离为多少？3.若 长5米的梯子以倾斜角4 0 架在墙上，则A、B间距离为多少？4.若 长5米的梯子靠在墙上，使A、B间距为2米，则倾斜角NCAB为多少度？前两个问题学生很容易回答.这两个问题的设计主要是引起学生的回忆，并使学生意识到，本章要用到这些知识.但后两个问题的设计却使学生感到疑惑，这对初三年级这些好奇、好胜的学生来说，起到激起学生的学习兴趣的作用.同时使学生对本章所要学习的内容的特点有一个初步的了解，有些问题单靠勾股定理或含3 0 角的直角三角形和等腰直角三角形的知识是不能解决的，解决这类问题，关键在于找到一种新方法
3、，求出一条边或一个未知锐角，只要做到这一点,有关直角三角形的其他未知边角就可用学过的知识全部求出来.通过四个例子引出课题.()整体感知1.请每一位同学拿出自己的三角板，分别测量并计算3 0、45。、60角的对边、邻边与斜边的比值.学生很快便会回答结果：无论三角尺大小如何，其比值是一个固定的值.程度较好的学生还会想到，以后在这些特殊直角三角形中，只要知道其中一边长，就可求出其他未知边的长.2.请同学画一个含4 0 角的直角三角形，并测量、计 算4 0 角的对边、邻边与斜边的比值，学生又高兴地发现，不论三角形大小如何，所求的比值是固定的.大部分学生可能会想到，当锐角取其他固定值时，其对边、邻边与斜
4、边的比值也是固定的吗？这样做，在培养学生动手能力的同时，也使学生对本节课要研究的知识有了整体感知，唤起学生的求知欲，大胆地探索新知.(三)重 点、难点的学习与目标完成过程1.通过动手实验，学生会猜想到“无论直角三角形的锐角为何值，它的对边、邻边与斜边的比值总是固定不变的”.但是怎样证明这个命题呢？学生这时的思维很活跃.对于这个问题，部分学生可能能解决它.因此教师此时应让学生展开讨论，独立完成.2.学生经过研究，也许能解决这个问题.若不能解决，教师可适当引导:图6-2若一组直角三角形有一个锐角相等，可以把其顶点Ai,A”A3重合在一起,记作A,并使直角边AC,AC2,AC3落在同一条直线上，则斜
5、边AB”AB2,AB3落在另一条直线上.这样同学们能解决这个问题吗？引导学生独立证明:易知,BlCB2c2B3c3,/.ABlClSaAB2c2s zAB3c3s.,形中，N A的对边、邻边与斜边的比值，是一个固定值.通过引导，使学生自己独立掌握了重点，达到知识教学目标，同时培养学生能力，进行了德育渗透.而前面导课中动手实验的设计，实际上为突破难点而设计.这一设计同时起到培养学生思维能力的作用.sin 60=练习题为 2作了孕伏同时使学生知道任意锐角的对边与斜边的比值都能求出来.（四）总结与扩展1.引导学生作知识总结：本节课在复习勾股定理及含3 0 角直角三角形的性质基础上，通过动手实验、证明
6、，我们发现，只要直角三角形的锐角固定，它的对边、邻边与斜边的比值也是固定的.教师可适当补充：本节课经过同学们自己动手实验，大胆猜测和积极思考，我们发现了 一个新的结论，相信大家的逻辑思维能力又有所提高，希望大家发扬这种创新精神，变被动学知识为主动发现问题，培养自己的创新意识.2.扩展：当锐角为3 0 时，它的对边与斜边比值我们知道.今天我们又发现，锐角任意时，它的对边与斜边的比值也是固定的.如果知道这个比值，已知边求其他未知边的问题就迎刃而解了.看来这个比值很重要，下节课我们就着重研究这个“比值”，有兴趣的同学可以提前预习一下.通过这种扩展，不仅对正、余弦概念有了初步印象，同时又激发了学生的兴
7、趣.四、布置作业本节课内容较少，而且是为正、余弦概念打基础的，因此课后应要求学生预习正余弦概念.五、板书设计正弦和余弦（二）并能根据这些值说出对应的锐角度数.一、素质教育目标（一）知识教学点使学生初步了解正弦、余弦概念;能够较正确地用sinA、cosA 表示直角三角形中两边的比；熟记特殊角3 0、4 5、60角的正、余弦值，（二）能力训练点逐步培养学生观察、比较、分析、概括的思维能力.（三）德育渗透点渗透教学内容中普遍存在的运动变化、相互联系、相互转化等观点.二、教学重点、难点1.教学重点：使学生了解正弦、余弦概念.2.教学难点：用含有几个字母的符号组sinA、cosA表示正弦、余弦；正弦、余
8、弦概念.三、教学步骤（一）明确目标1.引导学生回忆“直角三角形锐角固定时，它的对边与斜边的比值、邻边与斜边的比值也是固定的.2.明确目标：这节课我们将研究直角三角形一锐角的对边、邻边与斜边的比值正弦和余弦.（二）整体感知当 直 角 三 角 形 有 为 3 T 时，位的对诙与斜边的比值为：，只要知道三角形任一边长，其他两边就可知.而上节课我们发现：只要直角三角形的锐角固定，它的对边与斜边、邻边与斜边的比值也固定.这样只要能求出这个比值，那么求直角三角形未知边的问题也就迎刃而解了.通 过 与“3 0 角所对的直角边等于斜边的一半”相类比，学生自然产生想学习的欲望，产生浓厚的学习兴趣，同时对以下要研
9、究的内容有了大体印象.（三）重点、难点的学习与目标完成过程正弦、余弦的概念是全章知识的基础，对学生今后的学习与工作都十分重要,因此确定它为本课重点，同时正、余弦概念隐含角度与数之间具有一一对应的函数思想，又用含几个字母的符号组来表示，因此概念也是难点.在上节课研究的基础上，引入正、余弦，“把对边、邻边与斜边的比值称做正弦、余弦”.如 图6 3：请学生结合图形叙述正弦、余弦定义，以培养学生概括能力及语言表达能力.教师板书：在AABC中，N C 为直角，我们把锐角A 的对边与斜边的比叫做N A 的正弦，记作sinA,锐角A 的邻边与斜边的比叫做/A 的余弦，记作cosA.=-j-.cosk=M边若
10、把N A 的对边BC记作a,邻边AC记作b,斜边AB记作c,则nA=s-,cask=.引导学生思考：当N A 为锐角时，sinA、cosA的值会在什么范围内？得结论 OVsinAVl,0VcosAnA=-*cotB=.,AC=JAB2_B0a=12,.i 旨 T.学生练习1中1、2、3.让每个学生画含3 0、4 5 的直角三角形，分别求sin30、sin45、sin60和cos30、cos45、cos600.这一练习既用到以前的知识，又巩固正弦、余弦的概念，经过学习亲自动笔计算后，对特殊角三角函数值印象很深刻.sin3(r HinW=Sin60*=g.8 s 3(T =-.C O S 45-=
11、-.COB6 0-=-.例2求下列各式的值:幅(I).而30*+30*J+吟4.(2)-2045*-co*60*=-/2X X,2 2 2 2 4为了使学生熟练掌握特殊角三角函数值，这里还应安排六个小题:(1)sin45+cos45；(2)sin30 cos60；0)0.5-ainqr j一.由（5）si nA.=f 1 B I N A=*.（0CMAU=,）U Z A =.在确定每个学生都牢记特殊角的三角函数值后，引导学生思考，”请大家观察特殊角的正弦和余弦值，猜测一下，sin20大概在什么范围内，cos50呢？这样的引导不仅培养学生的观察力、注意力，而且培养学生勇于思考、大胆创新的精神.还
12、可以进一步请成绩较好的同学用语言来叙述“锐角的正弦值随角度增大而增大，余弦值随角度增大而减小.为查正余弦表作准备.（四）总结、扩展首先请学生作小结，教师适当补充，“主要研究了锐角的正弦、余弦概念，已知直角三角形的两边可求其锐角的正、余弦值.知道任意锐角A的正、余弦值都在0 1之间，即0sinAcosO*=1,cc30*=co45*corfO*4 4 8所=0.4.在 0 90。之间，锐角的正弦值、余弦值怎样随角度的变化而变化?答：在 0。9 0 之间，锐角的正弦值随角度的增加（或减小）而增加（或减小）；锐角的余弦值随角度的增加（或减小）而减小（或增加）.本节课我们将运用以上知识解决有关问题.（
13、二）重点、难点的学习与目标完成过程1.本章引言中提到这样一个问题:修建某扬水站时，要沿着斜坡铺设水管.假设水管AB长 为105.2米，NA=30 6,求坡高BC（保留四位有效数字）.现在，这个问题我们能否解决呢？这里出示引言中的问题，不仅调动学生的积极性，激发学习动机，同时体现了教学的完整性，首尾照应.对学生来说，此题比较容易解答.教师可以请成绩较好的学生口答，期顿节在B 4B C中，$=群，/.BC=AB si nA=105.2 sin30 6=105.2X0.5015心 52.76（米）.这一 例题不仅起到巩固锐角三角函数概念的作用，同时为下一节“解直角三角形”做了铺垫.同时向学生渗透了数
14、学知识来源于实践又反过来作用于实践的辩证唯物主义观点，培养学生用数学的意识.2.为了过渡到第二大节“解直角三角形”，教材还安排了例1,它既是对概念的巩固、应用，又为解直角三角形作了铺垫.出示投影片图6-7例1 1如图6-7,在RtZXABC中，已知AC=35,A B=4 5,求NA(精确到1).分析：本题已知直角三角形的斜边长，直角边长，所以根据直角三角形中锐角的余弦定义，先求出cosA,进而查表求得NA.教师可请一名中等学生板书，其他学生在本上完成.解4=黑=竟卬0.7778,At查表得NA4 39,3.教材为例题配置了两个练习题，因此在完成例题后，请学生做巩固练习在AABC中，NA、NB、
15、N C所对的边分别为a、b、c.(1)已知a=32,ZB=50,求c(保留两位有效数字).(2)已知 c=20,b=1 4,求NA(精确到 1).学生在做这两个小题时，可能有几种不同解法，如(1),应选择c=coB C当的三角函数关系式解题，培养学生的计算能力.4.本课安排在第一大节最后一课，因此本课还有对整个第一大节进行归纳、总结的任务.由于在课前复习中已经将几个知识点一一复习，因此这里主要配备小题对概念加以巩固和应用.(1)判断题:i对于任意锐角a,都有OVsin a V 1和OVcos a V1()i i对于任意锐角a”a 2,如果a C t 2,那 么cosa i锐 角a 2()这道题
16、是为巩固正弦、余弦的概念而配备的，可引导学生用图形来判断，也可 用“正弦和余弦表”来判断.对于假命题，应请学生举出反例.(2)回答下列问题i sin20+sin40 是否等于 sin60；ii cos10+cos20 是否等于 cos30.可引导学生查表得答案.这两个小题对学生来说极易出错，因为学生对函数sinA、cosA理解得并不深，而且由于数与式的四则运算造成的负迁移，使学生易混淆.(3)在RtZABC中，下列式子中不一定成立的是A.sinA=sinBB.cosA=sinBC.sinA=cosBD.sin(A+B)=sinC这一小题是为复习任意锐角的正弦值与余弦值的关系而设计的.通过比较儿
17、个等式，加深学生对余角余函数概念理解.教师可请学生口答答案并说明原因.如 果/兄 例 角，且那么A.0 ZA30B.30 VNAW45C.45ZA60D.60 ZAAC 5.5 力二=对寸6.0（米）.cosA 0 9135答：斜坡上相邻两树间的坡面距离约是6.0米.教师引导学生评价黑板上的解题过程，做到全体学生都掌握.例 2如图6-3 0,沿 AC方向开山修渠，为了加快施工速度，要从小山的另边同时施工，从 A C 上的一点B 取NABD=140。，BD=52cm,ND=50。，那么开挖点E 离 D 多远（精确到0.1m）,正好能使A、C、E 成一条直线？图 6-30这是实际施工中经常遇到的问
18、题.应首先引导学生将实际问题转化为数学问题.由题目的已知条件，ZD=50,ZABD=140,BD=520米，求 D E为多少时，A、C、E 在一条直线上。学生观察图形，不难发现，Z E=90,这样此题就转化为解直角三角形的问题了，全班学生应该能独立准确地完成.解：要使A、C、E 在同一直线上，则NABD是4B D E 的一个外角.，ZBED=ZABD-ZD=90.DE=BDcosD=520 x0.6428=334.256、334.3(m).答：开挖点E 离 D334.3米，正好能使A、C、E 成一直线,提到角度问题，初一教材曾提到过方向角，但应用较少.因此本节课很有必要补充一道涉及方向角的实际
19、应用问题，出示投影片.补充题：正 午 10点整，一渔轮在小岛O 的北偏东30。方向，距离等于10海里的A 处，正以每小时10海里的速度向南偏东60。方向航行.那么渔轮到达小岛O 的正东方向是什么时间？(精确到1 分).学生虽然在初一接触过方向角，但应用很少，所以学生在解决这个问题时，可能出现不会画图，无法将实际问题转化为几何问题的情况.因此教师在学生独自尝试之后应加以引导：(1)确定小岛O 点；(2)画 出 10时船的位置A；(3)小船在A 点向南偏东60。航行，到达O 的正东方向位置在哪？设为B；(4)结合图形引导学生加以分析，可以解决这一问题.解：由图 6-31 可知，ZAOB=60,ZO
20、AB=90.AB=OA tan 6017.32从点A 行到B 点所需时间为一H F 17.32（海里）.答：船到达点B 的时间为1 小时4 4分.此题的解答过程非常简单，对于程度较好的班级可以口答，以节省时间补充一道有关方向角的应用问题，达到熟练程度.对于程度一般的班级可以不必再补充，只需理解前三例即可.补充题：如图6-3 2,海 岛 A 的周围8 海里内有暗礁，鱼船跟踪鱼群由西向东航行，在 点 B处测得海岛A 位于北偏东6 0 ,航 行 12海里到达点C处,又测得海岛A 位于北偏东30。，如果鱼船不改变航向继续向东航行.有没有触礁的危险？如果时间允许，教师可组织学生探讨此题，以加深对方向角的
21、运用.同时，学生对这种问题也非常感兴趣，教师可通过此题创设良好的课堂气氛，激发学生的学习兴趣.若时间不够，此题可作为思考题请学生课后思考.（三）小结与扩展教师请学生总结：在这类实际应用题中，都是直接或间接地把问题放在直角三角形中，虽然有一些专业术语，但要明确各术语指的什么元素，要善于发现直角三角形，用三角函数等知识解决问题.四、布置作业课本习题14.5B组第十题应用举例（五）一、素质教育目标（）知识教学点巩固用三角函数有关知识解决问题，学会解决坡度问题.（二）能力训练点逐步培养学生分析问题、解决问题的能力；渗透数形结合的数学思想和方法.（三）德育渗透点培养学生用数学的意识，渗透理论联系实际的观
22、点.二、教学重点、难点和疑点1 .重 点：解决有关坡度的实际问题.2.难点：理解坡度的有关术语.3.疑点：对于坡度i 表 示 成 1 :m 的形式学生易疏忽，教学中应着重强调，引起学生的重视.三、教学步骤（一）明确目标1.讲评作业：将作业中学生普遍出现问题之处作一讲评.2.创设情境，导入新课.例 同 学 们，如果你是修建三峡大坝的工程师，现在有这样一个问题请你解决：如图6-33水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6 m,坝高2 3 m,斜坡A B的坡度i=l：3,斜坡C D 的坡度 i=l:2.5,求斜坡A B的坡面角a,坝底宽A D 和斜坡A B的长（精确到0.1m）.同学们因为你称他们为工程师而
23、骄傲，满腔热情，但一见问题又手足失措，因为连题中的术语坡度、坡角等他们都不清楚.这时，教师应根据学生想学的心情，及时点拨.（二）整体感知通过前面例题的教学，学生已基本了解解实际应用题的方法，会将实际问题抽象为几何问题加以解决.但此题中提到的坡度与坡角的概念对学生来说比较生疏，同时这两个概念在实际生产、生活中又有十分重要的应用，因此本节课关键是使学生理解坡度与坡角的意义.（三）重点、难点的学习与目标完成过程1.坡度与坡角图 6-34a结合图6-3 4,教师讲述坡度概念，并板书：坡面的铅直高度h 和水写成l：m 的形式，如1 =1：5(或1=).h平宽度/的比叫做坡度(或叫做坡比)，一般用i 表示
24、。即 i=7,把坡面与水平面的夹角a 叫做坡角.引导学生结合图形思考，坡度i 与坡角a 之间具有什么关系？h答:i=/=ta ncr这一关系在实际问题中经常用到，教师不妨设置练习，加以巩固.练习一段坡面的坡角为6 0 ,则坡度i=；己知一段坡面上，铅直高度为、氏坡面长为2 后,则坡度1=,坡角a _ 度.为了加深对坡度与坡角的理解，培养学生空间想象力，教师还可以提问：(1)坡面铅直高度-定，其坡角、坡度和坡面水平宽度有什么关系？举例说明.(2)坡面水平宽度一定，铅直高度与坡度有何关系，举例说明.答：如图，铅直高度AB-定，水平宽度BC增加，a 将变小，坡度减小,AB因 为 tanM=8 C,A
25、 B不变，ta n a 随 BC增大而减小与(1)相反，水平宽度BC不变，a 将随铅直高度增大而增大，tanaAB也随之增大，因为tan。=8。不变时，tan a 随 A B 的增大而增大2.讲授新课引导学生分析例题，图中ABCD是梯形，若 BEAD,C FA D,梯形就被分割成RtaABE,矩形BEFC和 RtZCFD,AD=AE+EF+FD,AE、DF可在AABE和4C D F 中通过坡度求出，EF=BC=6m,从而求出AD.以上分析最好在学生充分思考后由学生完成，以培养学生逻辑思维能力及良好的学习习惯.坡度问题计算过程很繁琐，因此教师一定要做好示范，并严格要求学生，选择最简练、准确的方法
26、计算，以培养学生运算能力.解：作 BE_LAD,C F 1 A D,在 Rt/XABE 和 Rt/XCDF 中，BE 1 CF 1-=_ _=-AE 3*FD 25AE=3BE=3x23=69(m).FD=2.5CF=2.5x23=57.5(m).AD=AE+EF+FD=69+6+57.5=132.5(m).因为斜坡A B的坡度i=tan a=-0.3 3 3 3,查表得a 七1826.BE-AB=a n-BE 23=-72.7(m).sina 0.3162答：斜坡A B 的坡角a 约 为 18。2 6,坝底宽AD为 132.5米，斜坡A B的长约为72.7米.R 1在求A B时，也 可 由
27、及 勾 股 定 理 得 出BE：A B =1：7 1 0,所AE 3I A B =2 3 7 1 0 7 2.7（）.3.巩固练习（I）教材 P124.2由于坡度问题计算较为复杂，因此要求全体学生要熟练掌握，可能基础较好的学生会很快做完，教师可再给布置一题.（2）利用土城修筑一条渠道，在城中间挖去深为0.6米的块（图6-35阴影部分是挖去部分），己知渠道内坡度为1 ：1.5,渠道底面宽BC为0.5米，求：横断面（等腰梯形）ABCD的面积；修 条 长 为100米的渠道要挖去的土方数.分析：1.引导学生将实际问题转化为数学问题.2.要求S等腰梯形A B C D,首先要求出A D,如何利用条件求AD
28、?3.土方数=S-1Tp 1解：=1 =言=不，B E =0.6（米），AE 15AE=1.5x0.6=0.9（米）.等腰梯形ABCD,，FD=AE=O.9（米）.，AD=2xO.9+O.5=2.3（米）.S梯 超ABCD=：Q 5 +2.3）x 0.6 =0.8 4 =0.8（米 2）.总土方数=截面积x渠长=0.8x100=80（米 3）.答：横断面ABCD面积为0.8平方米，修一条长为100米的渠道要挖出的土方数为80立方米.（四）总结与扩展引导学生回忆前述例题，进行总结，以培养学生的概括能力.1.弄清俯角、仰角、株距、坡度、坡角、水平距离、垂直距离、水位等概念的意义，明确各术语与示意图
29、中的什么元素对应，只有明确这些概念，才能恰当地把实际问题转化为数学问题.2.认真分析题意、画图并找出要求的直角三角形，或通过添加辅助线构造直角三角形来解决问题.3.选择合适的边角关系式，使计算尽可能简单，且不易出错.4.按照题中的精确度进行计算，并按照题目中要求的精确度确定答案以及注明单位.四、布置作业1.看教材，培养看书习惯，作本章小结.2.预习实习作业.3.课 本 习 题 14.5第 4 题实习作业一、素质教育目标（一）知识教学点巩固所学的三角函数，学会制作和应用测倾器，能正确测量底部可以到达的物体高度.（二）能力训练点培养学生动手实践能力，在实际操作中培养学生分析问题、解决问题的能力.（
30、三）德育渗透点渗透数学来源于实践，又反过来作用于实际的辩证唯物主义观点，培养学生用数学的意义：培养学生独立思考、大胆创新的精神.二、教学重点、难点和疑点1 .重 点：培养学生解决实际问题的能力和用数学知识的意识.2.难点：能根据实际需要进行测量.3.疑点：在本实习中，学生们测出的答案可能悬殊较大，学生会产生疑惑.三、教学步骤(一)明确目标1.检查预习效果(1)这节课我们将制作什么工具？(2)测倾器有哪几个结构？并对照实物，请学生加以解释。(3)测倾器测倾斜角的原理是什么？通过对以上三个问题的解答，全体学生基本掌握测倾器测量倾斜角的原理，了解测倾器的结构：这样教师可把学生分组，制作测倾器.(1)
31、用木板做一个半圆刻度盘，用量角器在上面画刻度，注意半圆盘上的刻度与量角器不同，它是90。0。90.(2)用手钻在圆心处打孔，并按上图用螺钉、螺母把它和一根长为130cm的木杆联在起，这时，半圆盘就能绕着固定螺钉旋转(螺母不能固定得太紧或太松).(3)在圆心螺钉处悬挂一铅垂线，以标出铅直向下.(4)在半圆盘的直径的两端钉两个标针，当木杆与地面垂直时，通过两标针及中心的视线是水平的，因为它与铅垂线互相垂直.让学生把自制的测倾器与教师制好的测倾器对照，以帮学生加以改进.(二)重点、难点的学习与目标完成过程.1 .测倾器的使用方法学生亲自动手制作测倾器之后，有了成功的喜悦，很想亲自使用它进行测量.这时
32、教师不妨请每组派代表在同一地点测出倾斜角.边测量边讲解：(1)把测倾器插在远离被测目标处，使测倾器的木杆的中心线与铅垂线垂合，这时标针连线在水平位置.注意：一定要注意铅垂线与木杆重合，否则说明木杆不竖直，不能测量.(2)转动半圆盘，使视线通过两标针，并且刚好落在目标物顶部B处.图 6-36注：“使目标物顶部B点落在视线上”指眼睛、两个标针与目标物顶点B点位于同一直线上,即四点共线.(3)由图6-36知，/BO E+/AO E=90。，/A O C+/A O氐90。，由同角的余角相等知，倾 角/EOB等于铅垂线与零度线间的夹角/A O C,刻度盘上读出NAO C的度数，就是倾角NEOB的度数.在
33、各组同学的重复测量后，比较结果会发现，结果可能差别较大，启发学生：哪组数据正确？怎样使结果更精确？解释忖强调，不同的数值都不一定与真实值相同，有的偏大，有的偏小，为了准确度高，可以采用求平均值法，降低误差.由于学生在做物理实验时常采用平均值法，因此对这一点不难理解.2.测量底部可以到达的物体的高度(1)创设情境，激发兴趣.每天清晨，国旗班的战士们都要将庄严的五星红旗在天安门广场升起.在国歌声中，旗手以什么速度升旗才能使国旗在国歌奏完时刚好升起呢？下面我们就研究一下.已知国歌演奏时间一定，只要测出旗杆的高度，问题就不难解决了.怎样测旗杆高呢？这样的启发使学生非常感兴趣，而且在预习的基础上，完全可
34、以用己制作好的测倾器加以测量.(2)测量方法如图6-37,以测量旗杆A B的高度为例.请学生用自己制作的测倾器演示测旗杆高度的过程,并叙述方法：图 6-37在测点D 处安装测倾器，测出旗杆顶的倾角NACE=a.注意，测点D 与旗杆底B 在同一水平面，否则，加大测量难度.量出仪器的高CD=EB=b.量出测点D 到旗杆底B 的水平距离BD=EC=a.由 AE=a-tan a,得 AB=AE+b=a-tan a+b.测量时，不同同学的结果也各不相同，为了准确测量，需多次测量，求平均值.本实验共测三个元素DC、a、B D,每测一次，应把数据填入表中.(3)解决引例问题.sV 测出旗杆高度后，再测出国歌
35、播完所用的时间，用 t,就可以算出升旗的速度了.(三)总结与扩展在本实习中，同学们测出答案肯定有出入，教师可从以下几方面提问学生，并加以强调.1.自制测倾器时，怎样才能更准确？学生在实习后，可以回答：“应刻度均匀、准确，最好用量角器代替2.在测倾器上打标针时，应注意什么？答：这两个标针应该在固定螺钉的同一直线上，并正好在测倾器两个90。刻度所在的直线上,这样可使视线通过两标针，并且刚好落在目标物顶部B 处时减小误差，提高精确度.3.把测倾器插在地上时，应注意什么？答：所插地面与旗杆底在同一平面上.使木杆沿铅垂线插在地上.4.为了减少误差，采用什么办法？答：多次测量，求平均值.实习报告如下，要求
36、学生认真填写.实习报告 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 年 _ _ 月 _ _ E题目测量底部可以到达的旗杆高测量目标见上图6-37测量数据测量项目第一次第二次平均值BD 的长20.15m19.93m20.04m测 倾 器 的高CD=I.23mCD=1.19mCD=1.21m倾斜角。=28。15a =27。45a =28。旗杆高AB(精确到0 1 米)AB=AE+EBAE=CE tan cc,BE=CD,CE=BDoAB=BD-tan a +CD=20.04 x tan 28。+1.21。查表知 tan 28。=0
37、.5317./.AB=20.04x0.5317+1.21 11.9(/n).题目测量底部可以到达的旗杆高负责人及参加人员计算者及复核者指导教师审核意见备注四、布置作业认真记录数据，填好实习报告.平均数（一）一、素质教育目标（一）知识教学点1 .使学生初步了解统计知识是应用广泛的数学内容.2.了解平均数的意义，会计算一组数据的平均数.3.当一组数据的数值较大时，会用简算公式计算一组数据的平均数（-）能力训练点：培养学生的观察能力、计算能力.（三）德育渗透点1.培养学生认真、耐心、细致的学习态度和学习习惯.2.渗透数学来源于实践，反过来又作用于实践的观点.二、教学重点、难点和疑点1.教学重点：平均
38、数的概念及其计算.2.教学难点：平均数的简化计算.三、教学步骤（一）明确目标在日常生活中，我们常与数据打交道，例如，电视台每天晚上都要预报第二天当地的最低气温与最高气温，商店每天都要结算一下当天的营业额，每个班次的飞机都要统计一下乘客的人数等.这些都涉及数据的计算问题.请同学们思考下 面 问 题.（教师出示幻灯片）为了从甲乙两名学生中选拔一人参加射击比赛，对他们的射击水平进行了测验.两人在相同条件下各射靶10次，命中的环数如下：甲 78686s 91074Z93787tfS771.怎样比较两个人的成绩？2.应选哪一个人参加射击比赛？教师要引导学生观察，给学生充分的时间去思考，并可以分成小组讨论
39、解决办法.对于这个问题，部分学生可能感到无从下手，部分学生可能想到去比较两组数据的平均数，让学生动手具体算一下两组数据的平均数.结果它们相等.在学生无法解决此问题的情况下，教师说明，这正是本章要解决的问题之 一.（写出课题）.这样做的目的是教师有意创设问题情境、制造悬念，这不仅能激发学生学习的积极性和自觉性，引起学生对所学课程的注意，还能诱发学生探求新知识的浓厚兴趣.（二）整体感知解决类似上述的问题要用到统计学的知识，统计学是一门研究如何收集、整理、分析数据并据之作出推断的科学，它以概率论为基础，着重研究如何根据样本的性质去推测总体的性质.在当今的信息时代，统计学的应用非常广泛，以至于它已渗透
40、到整个社会生活的各个方面.本章我们将学习统计学的一些初步知识.（三）教学重点、难点的学习与目标完成过程这节课我们首先来学习平均数。1.（出示幻灯片）请同学看下面问题：某班第一小组一次数学测验的成绩如下：86 91 100 72 93 8990857595这个小组的平均成绩是多少？教师引导学生动笔计算，并找一名学生到黑板板演，讲完引例后，引导学生归纳出求平均数方法，这样做使学生对平均数的计算公式能有深刻的认识.2 .平均数的概念及计算公式一 般 地,如 果 有 n 个 数 X”X2,.,Xn.那么K=g 叫像誓个数的平姆数，吊 罪“金”.这是在初中数学课本中第一次出现带有省略号的用字母表示的n
41、个数相加的一般写法.学生对此可能会感到比较抽象，不太习惯，要向学生强调，采用这种写法是简化表示，是为了使问题的讨论具有一般性.教师应通过对公式的剖析,使学生正确理解公式，并掌握公式中各元素的意义.3.平均数计算公式的应用例 1 一个地区某年1 月上旬各天的最低气温依次是（单位：。C）：-6,-5,-7,-7,-6,-4,5,-7,-8,-7求它们的平均气温.让学生动手计算，以巩固平均数计算公式（一名学生板演）教师应强调：解题格式.在统计学里处理的数据包括负数.在本章中，如无特别说明，平均数计算结果保留的位数与原数据相同.例2从一批机器零件毛坯中取出20件，称得它们的质量如下（单位：千克）：21
42、0 n m IB 218 JM 214 115 20J 195 XI218 192 2 2M 183 227 187 2D计 算 它 们 的 平 均 质 量.（用投影仪打出）引导学生两人一组完成计算，然 后 起 对 答 案.由于数据较大，计算较繁，可能会出现不同的答案.正好为下面提出简化计算公式作好铺垫.教师提出问题：像 例2这样，数据较大，计算较繁，因而容易出错，有没有较为简便的算法呢？引导学生观察数据有什么特点？都接近于哪一个数？启发学生讨论，寻找简便算法.学生回答：数据都在200左右波动，可将各数据同时减去200,转而计算一组数值较小的新数据的平均数.至此让学生再一次两人一组用简便方法计
43、算例2,并与前面计算的结果相比较是否一样.讲完例2后，教师指出儿点：常数。的取法不是唯一的；干读作 撇拔”；简化计算的结果与前面笔算的结果相同.通过学生的动手计算，若产生困难或错误，教师及时点拨，引导学生寻找解决问题的方法，这不仅可以激发学生学习的兴趣，更培养了学生的发散思维能力,同时也使学生对公式的推导更容易接受.3.推导公式一般地，当一组数据Xl,X2,，Xn的各个数值较大时，可将各数据同时减去一个适当的常数a,得到那么 K|=K|4-a,=*=因此+1）=/（7 +G；+a）+G；+a）=三（X；+M；+）+na=-Cxj+*；+工）+nan n=s1 +a.即（=x4-a）为了加保学生
44、对公式的认汉，再 让 学 生 指 峥 的F.及a#是什么？（学生回答）课堂练习：教材习题中1、2、3.（四）总结、扩展知识小结：1.统计学是一门与数据打交道的学问，应用十分广泛.本章将要学习的是统计学的初步知识.2.求 n 个数据的平均数的公式.3.平均数的简化计算公式.这个公式很重要，要学会运用.方法小结：通过本节课我们学到了求一组数据平均数的方法.当数据比较小时，可用公式直接计算.当数据比较大，而且都在某一个数左右波动时，可选用公式进行计算.四、布置作业教材习题A组中1、2、3、4；B组 1、2 （对学有余力的学生做B组 1、2）.五、板书设计第十 五 章 统计初步.也.将/、推导简化公1
45、 4.1 平均数（一）例 1式平均数的概念及计算公式 公式（1）如果有n个数X i,X 2,X n.例 2 1那 石 （1Kl+*An公 式（2）-K*a六、参考资料 教师教学参考书平均数（二）一、素质教育目标（-）知识教学点：1.使学生了解加权平均数的求法及其应用范围.2.使学生了解总体、个体、样本、样本的容量的意义.（二）能力训练点：1.培养学生观察问题、分析问题、解决问题的能力.2.培养学生的抽象概括能力.（三）德育渗透点：1 .培养学生认真、耐心、细致的学习态度和学习习惯.2.渗透数学理论来源于实践反过来又作用于实践的思想.-：教学重点、难点和疑点1.教学重点；（1）加权平均数的计算.
46、（2）总体、个体、样本、样本的容量的概念.2.教学难点：能正确说明所考察问题中的总体、个体、样本、样本的容量.3.教学疑点：（1）学生会误认为计算加权平均数的公式 与计算平均数的公式是两个不同的公式，应通过对公式 的剖析说明公式 是公式的另一种表现形式.（2）学生容易将总体的概念与在初中数学中渗透的“集合”的概念混淆，作为总体中的个体的数值是可以重复出现的，而作为某种数的集合里的元素的数值，是没有重复的.三、教学步骤（一）明确目标上节课我们学习了求n个数的平均数的方法.当数据比较小时，可用哪个公式计算呢？当一组数据较大时如何计算其平均数？学生回答后，教师再提出问题：当一组数据中的某些数据重复出
47、现时，又如何计算其平均数？这节课我们就来 解 决 这 个 问 题.（写出课题）教师通过设置悬念引入课题，能使学生产生好奇心，唤起他们的学习热情.（二）教学重点、难点的学习与目标完成过程（用幻灯出示例3）例3某工人在30天中加工一种零件的日产量，有2天 是51件，3天 是52件，6天 是53件，8天 是54件，7天 是55件，3天 是56件，1天 是57件，计算这个工人30天中的平均日产量.给学生充分的时间观察，分析例3后，教师引导学生解决下面问题：1.本题是要求多少个数据的平均数？（学生回答30个数据）.2.这些数据有何特点？如何计算.学生容易观察到，这些数据较大，且都比50稍大一点，因此可用
48、公式计算它们的平均数.3.公式中的常数a除取作50夕卜.还有没有其他较好的取法？4.因各数据多次重复出现，则怎样计算会简便呢？学生会根据乘方的意义得出，不必将30个数据逐一相加，只要将各数据减去50后，乘上它们出现的次数再相加就可以.解：将数据5 1,5 2,5 3,5 4,5 5,5 6,5 7 同时减去5 0,得到3 4 5 6 7那么，这组新数据的平均数是Ix2+2x3+7x1 118“-=-4V=30 30i =4-a4+50=54（件）.即这个工人3 0 天中的平均日产量为5 4 件.在讲解完例3的基础上得出公式.一般来说，如果在n个数中，入出现3次，X 2 出现f 2 次，X k
49、出现f k 次（这里 f 1+f 2+f k=n）那么根据公式，这 n个数的平均数可以表示为X/+2 7 2 +4力x=n，对于公式，教师要强调两点：1.公式 与公式是一致的，公式是公式的另一种表示形式.在公式 中，相同数据X的个数f 叫做权.2.公式 的适用范围：当一组数据中有不少数据多次重复出现时，用公式 比较简便.练习题中4.学生作完练习后，接着讲授四个概念.请同学们思考下面问题：（用幻灯片出示）1.在一次考试中，考生有2万多名.怎样才能了解到这些考生的数学平均成绩呢？2.灯泡厂生产了一批灯泡，共100只，怎样才能了解这批灯泡的使用寿命呢？教师引导学生分析这两个问题：对于问题1.因考生很
50、多，若将他们的成绩全部相加再除以考生总数，将是十分麻烦的，在这种情况下，可以从中抽取部分考生（比如说500名）的成绩,用他们的平均成绩去估计所有考生的平均成绩，对于问题2,因检验灯泡的使用寿命具有破坏性，不能对所有灯泡进行检验，可以从中抽取10只灯泡进行检验,用它们的平均寿命去估计这批灯泡的使用寿命.解决上述两个问题后，再给出总体、个体、样本、样本的容量的概念，学生就能理解，不会感到太抽象.在统计学里，我们把所要考察对象的全体叫做总体，其中的每一个考察对象叫做个体，从总体中所抽取的一部分个体叫做总体的一个样本，样本中个体的数目叫做样本的容量.在讲这四个概念时，教师要指出以下两点：1.这里所说的