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1、第12章 库存优化问题（Inventory Problem）库存论就是在经济合理或者某些特定的前提下，根据大量可靠的历史统计数据对具体存储问题加以概括和抽象，然后建立相应的数学模型并进行优化处理，从而做出正确的存储决策。库存优化是物流系统管理决策中的一大主要问题。本章从数学优化的角度着重讨论基本的库存模型及其扩展。第12章 库存优化问题（Inventory Problem）12.1 库存问题概述（Introduction of Inventory Problem）12.2 确定性库存模型（Models for Determinate Inventory Problems）12.2.1 确定性库
2、存基本模型（Basic Model for Determinate Inventory Problems）12.2.2 缺货事后补足的模型（Model for Inventory Problems with Replenishment after Stock-out）12.2.3 允许缺货且供货能力有限的模型（Model for Capacitated Inventory Problems with Stock-out）12.2.4 有常数损耗率的库存模型（Inventory model with Wastage）12.2.5 考虑通货膨胀的情形（Inventory Model with Mo
3、netary Inflation）12.2.6 批量折扣库存模型（Model with Discount Price）12.3 随机库存模型（Stochastic Inventory Model）12.3.1 单周期模型（Model for Single Period）12.3.2 多周期模型（Model for Multiple Period）12.3.3 基于稳态分析的随机库存模型（Stabilization Analysis for Continuous Inventory）12.3.4 基于安全库存量的随机库存模型（Model with Consideration on Safe-St
4、ock）12.4 一些进展（Some Progress of Research on Inventory Problem）12.4.1 多品种多级库存系统的控制（The Inventory Control for Multi-commodities and Multi-echelon Inventory System）12.4.2 易腐物品库存管理（Inventory Management of Rotting Commodities）12.1 库存问题概述 库存系统通过供、存、销三个环节。通过订货或安排生产，以及到货后的库存，最后由销售来满足顾客的需求。在这样一个系统中，决策者通过控制订货时
5、间的间隔、订货数量以及库存系统的结构来调节系统的运行，使得在某种准则下系统的性能达到最优。12.1 库存问题概述 2.供应特性 根据实际问题的具体情况，应考虑供应的以下几个方面的特性：供应能力、供应方式、提前期、缺货处理。供应能力是否可以处理为无限，供应是离散的还是连续的，供应能力是稳定的还是变化的。供应方式采用推式还是拉式，是否存在优先分配机制和紧急调拨机制。提前期是确定性的还是随机的。缺货情况下，顾客是损失掉还是等待补货，这些都对会库存系统决策带来重大影响。库存要素12.1 库存问题概述 3.存储特性 根据实际问题的具体情况，应考虑存储的以下几个方面的特性：存储网络、存储能力、损耗特性等。
6、存储网络包括库存系统的层级数和存储点密度。存储能力指是否存在存储空间的限制。损耗特性则取决于物品的物理化学属性，以及可能降价等商品价值上的风险。库存要素12.1 库存问题概述 4.存储策略 给出何时补充库存，以及补充多少的一个方案。包括盘点方式和订货量。盘点方式分两种，一类是连续盘点，此时对任意t,（I(t)表示时刻t0时的库存水平）都已知；另一类是周期盘点，此时只知道I(kt)，（k=1,2）这里t是一个常数，通常称作周期。不同的盘点方式自然会影响库存决策。库存要素12.1 库存问题概述 5.目标 常见的目标有成本最小化或服务水平最大化。就成本而言，库存系统中的费用通常包括进货(订货)费、保
7、管费、缺货损失费，以及为控制系统运行所需的费用。就服务水平而言，通常采用缺货概率或供应比率来衡量。前者反映每一周期发生供不应求的可能性；后者衡量可供应量与需求量的比值。根据实际情况不同，服务水平可能是约束条件，也可能是决策目标。库存要素12.2 确定性库存模型 存储系统可能有各种各样的决策与控制模型，其中确定型模型是指进货速率与需求速度一定，定货点和提前期一定，订货周期一定，每次订购费、保管费及缺货损失单价一定的情况下建立的存储策略模型。确定型模型虽然是高度简化的理想模型，但是具有广泛的用途，能为库存管理提供需多有用信息，也是建立随机存储模型和仿真模型的基础。2.存储状态图 12.2.1 确定
8、性库存基本模型 12.2 确定性库存模型 3.建立模型可得订货量而最小平均费用为若记，用表示偏离订货量Q的大小。再记偏离最优订货量时费用的相对误差为()，称作惩罚系数，则有容易得到惩罚系数反映偏离最佳订货量时造成的平均费用增加的百分比，它反映了平均费用对最佳订货量的敏感性。12.2.1 确定性库存基本模型 12.2 确定性库存模型 例：设生产线需要某种零部件，需求量D=400个年，单价c=0.2元个，订货费K=4元，存贮费用率r=0.4年。故最佳订货量因此，每年需订货40006326（次）。此时最佳费用 若每次订货量为800个，0.27，此时，()0.029。可知，相应的费用为最佳费用的1.0
9、29倍。12.2.1 确定性库存基本模型 12.2 确定性库存模型 12.2.2 缺货事后补足的模型 12.2 确定性库存模型 注意到库存水平I(t)仍有这种形式 因此，一个运行周期中的平均库存量及平均缺货量分别为再注意到一个周期中的订货费为K+cQ，即可得单位时间中的平均总费用为12.2.2 缺货事后补足的模型 12.2 确定性库存模型 利用条件 及Q=DT，得到以为变量的目标函数容易验证其Hessian矩阵是一个正定矩阵 12.2.2 缺货事后补足的模型 12.2 确定性库存模型 因此F(Q,S)是(Q,S)0上的严格凸函数，故有唯一的最小值。此最小值可由 解出。即解 解之可得：12.2.
10、2 缺货事后补足的模型 12.2 确定性库存模型 若，表明不允许缺货，此时化归为EOQ公式。在实际的库存问题中,缺货损失的费用率很难估计。为此可从另一角度来考虑，假定决策者要求库存不能满足需求的时间比例要小于。由于本模型中缺货的时间比例为，故可令。因此，于是可以反解出，这对应用是方便的。12.2.2 缺货事后补足的模型 12.2 确定性库存模型 在一个运行周期(0,T)中，初始时刻库存水平S，在(0,t1)中以需求率D的速率减少；在中(t1,T)进货(或生产)与需求同时存在，因此库存量以R-D速率增加。在一个周期中，保管费与 的面积之和成正比，缺货损失与 的面积成正比。连SE交OT于G由相似三
11、角形对应边成比例得 12.2.3 允许缺货且供货能力有限的模型 12.2 确定性库存模型 因此，AG=BT，于是有面积关系12.2.3 允许缺货且供货能力有限的模型 12.2 确定性库存模型 相应的需求率D1是SE的斜率的绝对值。仍记Q=S-s，在本模型中与基本模型不同，Q不是一个运行周期的订货量。我们有。而SC,CF的斜率的绝对值分别为。因此得 故。把上一个模型中的D换成D1，即得本模型的最佳方案。12.2.3 允许缺货且供货能力有限的模型 12.2 确定性库存模型 其中，进一步可得订货周期长度 许多库存物品会有损耗，这里讨论最简单的有常数损耗率的模型。除基本模型的假定外还设：存货有常数损耗
12、率。用I(t)记订货后时刻t的未损耗的库存水平，。从t到t+dt，其库存水平的变化为:12.2.4 有常数损耗率的库存模型 12.2 确定性库存模型 由于I(t)=s，故由上式得 12.2.4 有常数损耗率的库存模型 12.2 确定性库存模型 目标函数为单位时间中的平均费用其最小值显然在 及 由解出的 上达到。当不考虑货币的时间价值及通货膨胀的影响时，库存控制问题在各个运行周期中的情形相同，因而仅考虑一个运行周期中的优化即可。如果引入利率与通货膨胀率，则目标函数不再是长期运行的平均费用，而应代之以折扣费用。因此，本模型把基本模型中的目标函数变为折扣总费用，并设连续时间的利率为,通货膨胀率为i。
13、并且这里仅讨论通货膨胀对固定采购费K及单价c的影响。因而费用只考虑采购费，其余假定不变。12.2.5 考虑通货膨胀的情形 12.2 确定性库存模型 由于相邻订货间隔为T=Q/D，其中Q为订货量，D为需求率。考虑到货币的时间价值及通货膨胀，可得总订货费的现值为：12.2 确定性库存模型 12.2.5 考虑通货膨胀的情形 为求F(Q)的最小值，只须解，化简可得 12.2 确定性库存模型 12.2.5 考虑通货膨胀的情形 若记，则上式变为 因一般情况下有，故x可由下式近似解出即 故 通常可设货物的单价是采购量的递减阶梯函数。其余假定同前述基本模型。为简单起见，这里只考虑二段的情形，即单价为12.2.
14、6 批量折扣库存模型12.2 确定性库存模型 与基本模型中的推导相仿，由于不允许缺货，故单位时间中的平均总费用为 观察F(Q)的图形，使其达到最小值的点，即最佳订货量，与 的位置只有图中所示的三种可能情形。由此可得求最佳订货量 的步骤。12.2 确定性库存模型 12.2.6 批量折扣库存模型计算有批量折扣时的EOQ，12.2 确定性库存模型 12.2.6 批量折扣库存模型若(图(c)，则；否则算出 计算 及。若(图(a)，则。否则(图(b)。例：某商场有三种货物的基本数据如表所示。12.2 确定性库存模型 12.2.6 批量折扣库存模型序号 D（件/年）（元/件）K（元）r（/年）1 4160
15、 14.2 15 0.242 1040 3.1 15 0.243 41600 2.4 15 0.24供应商答应订货量超过1000件时单价优惠2，即c2=0.98c1。试分别求其最佳订货量。对货物1：对货物2：对货物3：前面讨论的库存模型中，需求、供给及供货滞后等有关的量都假定为确定性的。然而，实际问题中常有许多不确定的因素起作用（如进货速率、消耗速率、提前订货期、每次订货费、存储费、缺货损失费等），特别是需求量，在很多情况下是事先无法确定的，因此假定为随机变量才更符合实际情况。在理论模型中，需求为随机变量而其它量为确定性时结果比较完整。本节主要介绍单品种货物，一个存货场所的随机需求模型。12.
16、3 随机库存模型 随机需求模型可以分为周期观测(盘点)与连续观测两大类。周期观测模型中又分为单周期模型、多周期模型、无穷周期模型等。研究库存控制的优化希望解决如下两个问题：最优策略具有何种形式；最优策略的求法。在相当广泛的范围内，(s,S)被证明为最优策略。但在随机模型中，一般不易求出s,S的值。在实用中常常通过多种方式来简化求解(s,S)的手续，例如假定S-s为已知，从而减少未知数个数，以及采用安全库存量等方法。12.3 随机库存模型 模型假定如下：（1）在周期开始时做一次订货决策。（2）瞬时供货。（3）一个周期中的需求量D是非负随机变量，假定其分布及密度函数分别为。（4）费用包括订货费、存
17、货(保管)费及缺货费。（5）决策的准则是期望总费用最小。12.3 随机库存模型 12.3.1 单周期模型 设初始库存水平为x，做出决策之后的库存量为y(即订货量为y-x)，则订货费为 12.3 随机库存模型 12.3.1 单周期模型 期望存货费为 期望存货费为 记则总期望费用为可解出 12.3 随机库存模型 12.3.1 单周期模型 令令S为使函数G(y)达极小值的点，即 令定理：单周期随机库存模型的最优订货策略为(s,S)型。即当初始库存量xx都有G(y)G(x)，即。于是有上式意味着不订货(总期望费用为L(x)比订货(此时总期望费用由左端给出)要好。当 时，对一切yx都有。上页公式仍成立，
18、表明不必订货。12.3 随机库存模型 12.3.1 单周期模型 当xS时，因而当时的最优策略是订货，并且订货量的大小使库存水平达到S。由上述定理，确定最优的s,S的手续为:求S，由于S是使G(y)达极小值的点，故可由G(y)=0出。S应满足12.3 随机库存模型 12.3.1 单周期模型 求s，设S已求出，则s满足若记Q=S-s，则由上式求得Q，进而求出s。设需求量D服从参数为的指数分布，即D有密度及分布函数分别为12.3 随机库存模型 12.3.1 单周期模型 简化后为它可由数值方法或图解法求解。由上式亦可求得Q的近似解。在离散随机需求下，求最优策略中参数s,S，步骤如下：12.3 随机库存
19、模型 12.3.1 单周期模型 先求S，S满足 经运算得S由下式确定 s是满足下式的最小整数 12.3 随机库存模型 12.3.1 单周期模型 最小的s满足 假设需求D服从几何分布 显然此时有 S应满足 即 Q为满足下面方程的最大整数 取，则S应满足 12.3 随机库存模型 12.3.1 单周期模型 故S=10，而Q为满足下式的最大整数 不难求得Q=4，因而s=6。故最优订货策略为（6，10）。又若取，此时有S=1，Q=2。于是s=-1。最优订货策略为（1，10）。这个结论初看起来似乎不合理。事实上，仔细分析其需求量时可发现。一个周期中的平均需求量仅为。而固定的订货费及保管费很大，因此如果没有
20、事先肯定的一定量的拖欠时(反映为初始库存量为负数)，经营这类商品是无利可图的。因而当初始库存量为0时不定货。12.3 随机库存模型 12.3.1 单周期模型 本节把模型的周期数增至n。假定各周期的需求量是与D独立同分布的随机变量，密度及分布面数分别记为。各周期中的费用结构与如前述中相同。当某个周期的需求超过供给时，库存水平记作负值，其不足部分在下一次进货时立即补足(只有最后一个周期除外)。每个周期结束时都对库存水平进行一次观测，并对下个周期做出订货量的决策。目标是使n个周期的期望折扣费用达最小。12.3 随机库存模型 12.3.2 多周期模型 n周期库存模型的优化问题可用动态规划中的最优化原理
21、来分析。按最优化原理，我们把周期的序号倒数，即把最后一个周期称作周期1、倒数第二个周期称作周期2，倒数第n个周期称作周期n。取目标函数为n个周期的折扣总费用。记 为折扣因子。Vj(x)=周期j的初始库存水平为x时，周期1到j的折扣总期望费用，约定V0(x)=0。12.3 随机库存模型 12.3.2 多周期模型 根据最优化原理，可得如下递推关系 12.3 随机库存模型 12.3.2 多周期模型 其中 Vj(x)表达式中，右端大括号里的头三项之和表示在第j周期之初把库存水平增加到y时(即订货量为y-x)所需的期望费用。若第j周期的需求量为，则第j-1周期的初始库存为y-，那么在头j-1个周期中的期
22、望折扣总费用为。故大括号中最后一项为第j周期有初始库存y时，头j-1个周期的期望折扣总费用。12.3 随机库存模型 12.3.2 多周期模型 可以证明：对于n周期的动态模型，其最优策略由一列临界数对给出。即当周期j的初始库存水平为x，若xsj时订货至S，否则不订货，j=1,2,令 12.3 随机库存模型 12.3.2 多周期模型 若采用(s,S)型策略，则有 若Gj(y)具有凸性，问题就容易解决；然而数值计算表明Gj(y)未必具有凸性。为此引入K凸函数概念。定义 设K0为常数，称分段可微函数G(x)为K凸的，若，有 12.3 随机库存模型 12.3.2 多周期模型 采用(s,S)策略时，Gj(
23、y)为K凸。通过分析该函数的性质，可以证明最优策略具有(s,S)形式。对于n周期动态模型，已得到了最优策略的形式。要求最优参数的值，可以利用前述递推公式，一般计算量很大，目前尚无实用上简便的方法。当n较大时，可以用下一节的稳态模型来求近似解。前面讨论的多阶段随机库存模型中利用了动态规划的最优化原理，把问题的求解化为一个多阶段决策过程。一般来讲，其求解是很困难的。本节从另外的角度来考虑。假定讨论是无限时段，通过库存水平(随机过程)的稳态分析，根据所采用的订货策略对系统加上费用结构。然后对稳态下单位时间系统运行的期望平均费用(或折扣费用)求极小，用这种方法来求出最优策略中的参数。12.3 随机库存
24、模型 12.3.3 基于稳态分析的随机库存模型 模型I假定：相邻单个需求之间的时间间隔X1,X2独立同分布X，有分布函数F(x)，密度函数f(x),x0。为处理方便，不妨假定t=0时恰有一个需求发生。订货后瞬时交货。采用(s,S)策略。由于每次需求量是单个，故当库存量为s时立即订货，订货量为Q=S-s,是一个常量。费用仅包括订货费与保管费。其形式同前述的模型。由于瞬时交货，故无缺货费。12.3 随机库存模型 12.3.3 基于稳态分析的随机库存模型 1.单个需求连续盘点的随机库存模型12.3 随机库存模型 12.3.3 基于稳态分析的随机库存模型 1.单个需求连续盘点的随机库存模型记 H(t)
25、=时刻t系统的库存量，t0。不妨设初始库存量为。显然，是一个有限状态 上取值的时间连续的随机过程。记 下面利用更新过程理论来证明P(j)存在，并求出其值。若把H(t)相继进入状态的时刻s+i记成W1,W2,由库存量的初始条件，t=0时亦有H(0+)=s+i，故W1,W2-W1,W3-W2,独立同分布。由于需求是单个的，因此这个公共的分布函数为FQ(x)。它是F的Q重卷积。由更新报酬定理知，在稳态下(t时)，H(t)处在状态外s+i的概率有极限Pj，且 12.3 随机库存模型 12.3.3 基于稳态分析的随机库存模型 1.单个需求连续盘点的随机库存模型12.3 随机库存模型 12.3.3 基于稳
26、态分析的随机库存模型 1.单个需求连续盘点的随机库存模型 若用H记稳态下的库存量，则表明即H是 上的一个离散均匀分布。下面求目标函数。它是稳态下单位时间系统运行的期望费用，记作G(s,Q)，这里决策变量(s,Q)。记y为相邻订货之间的时间间隔，D为单位时间中的平均需求量，则有 12.3 随机库存模型 12.3.3 基于稳态分析的随机库存模型 1.单个需求连续盘点的随机库存模型单位时间中的平均订货次数为，稳态下的期望库存量EH为 因此稳态下，单位时间中的期望费用为12.3 随机库存模型 12.3.3 基于稳态分析的随机库存模型 1.单个需求连续盘点的随机库存模型要使G(s,Q)达极小，只要取s=
27、0，而对Q只得使 达到极小。由于问题中变量只取整数值，故最优解Q要满足，。经化简即要求Q满足 模型I 多个卫星发射问题。卫星通讯网的建立要求必须至少有s个正常的卫星在轨道上。卫星在轨道上的寿命遵从参数的指数分布。失效的卫星可以由单个发射上去的卫星代替。也可以同时发射几颗。因此，一个可供选择的方案是最多维持S=s+Q卫星在轨道上，而当正常卫星数目变为s时，用一枚火箭一次发射Q个。为了使问题简单起见，假定发现只有s个在轨道上到发射之间的时间间隔可以忽略。12.3 随机库存模型 12.3.3 基于稳态分析的随机库存模型 1.单个需求连续盘点的随机库存模型 费用结构如下：一次发射z个卫星的费用C1(z
28、)由前述给出。一个卫星在轨道上有单位时间中h元投资机会损失，即保管费为每单位时间h元。问题是要确定一次发射中最佳的卫星数Q，使长期运行下单位时间的期望总费用最小。我们把它化为单个需求(指卫星失效，但注意，相邻需求的时间间隔不同分布)，供货滞后时间为0的一个随机库存问题。Q就相应于其中的最佳定货量。12.3 随机库存模型 12.3.3 基于稳态分析的随机库存模型 1.单个需求连续盘点的随机库存模型12.3 随机库存模型 12.3.3 基于稳态分析的随机库存模型 1.单个需求连续盘点的随机库存模型下面先求出长期运行下单位时间的期望总费用。记：时刻t轨道上正常工作的卫星数，表示时刻t的库存数。由于卫
29、星寿命分布为指数，以及发现只有s个在轨道上正常到发射之间的时间间隔假定为0，因此 是状态空间 上的时间连续的一个Markov链。易见状态间的转移图为 12.3 随机库存模型 12.3.3 基于稳态分析的随机库存模型 1.单个需求连续盘点的随机库存模型记稳态下的状态概率为及H为稳态下轨道上正常工作的卫星数。于是 利用状态的转移图，由关系“流入率”“流出率”，就不难写出稳态概率Pn满足的线性方程解之得12.3 随机库存模型 12.3.3 基于稳态分析的随机库存模型 1.单个需求连续盘点的随机库存模型加上正则性条件，即得 其中 因此，稳态下正常工作的卫星期望数为 12.3 随机库存模型 12.3.3
30、 基于稳态分析的随机库存模型 1.单个需求连续盘点的随机库存模型下面讨论相邻发射之间的时间间隔Z。不妨设t=0时有s+Q个正常工作的卫星。显然Z可表示为。其中，Zi为正常工作的卫星数为i的时间长度。由于每个卫星的寿命都是参数的指数分布，因此Z为这i个卫星中寿命最小的时间长度。即Z有参数i 的指数分布。于是 12.3 随机库存模型 12.3.3 基于稳态分析的随机库存模型 1.单个需求连续盘点的随机库存模型因此，稳态下单位时间的总期望费用为故最优解Q应满足。经过化简，即 12.3 随机库存模型 12.3.3 基于稳态分析的随机库存模型 1.单个需求连续盘点的随机库存模型最佳的Q可由下表求得。1.
31、076 0.567 0.2 上页公式右0.567 0.2 0 上页公式左3 2 1 Q由于0.5670.8571.076，故Q=3。可取，表明每次发射3颗卫星的期望费用最小。两次相邻发射之间的平均时间为 仍采用对库存水平先进行稳态分析，对给定的费用结构及目标函数求最优策略中归纳参数的方法来讨论模型。称相邻盘点之间的时间为一个周期。周期长度已知，不妨取成单位时间。假定：第n个周期的需求Dn,Dn为独立同分布D,n=1,2,分布及密度函数分别记作F(x),f(x),x0。12.3 随机库存模型 12.3.3 基于稳态分析的随机库存模型 2.周期盘点随机库存模型 在每个周期开始时作一个决策，采用(s
32、,S)策略。供货滞后时间为0，缺货事后补足。费用结构同单周期模型。目标函数为稳态下单位时间平均期望费用最小。12.3 随机库存模型 12.3.3 基于稳态分析的随机库存模型 2.周期盘点随机库存模型 记第n个周期开始时已做出决策后的库存水平为Xn(n=1,2。Tn为第n次订货的时刻，约定X0=S,T0=0。由于在各个周期中的需求独立同分布，因此序列具有Markov性（即为时间离散状态连续的Markov链)；而T1,T2,则为一个离散分布的更新过程，Ti-Ti-1(i=1,2)独立同分布。且在每个更新时刻(即订货时刻)都有 12.3 随机库存模型 12.3.3 基于稳态分析的随机库存模型 2.周
33、期盘点随机库存模型 假定系统已经运行了很长时间，即已达稳态。仍用Xn记稳态下第n个周期初做出决策后的库存水平。我们来讨论Xn的分布：12.3 随机库存模型 12.3.3 基于稳态分析的随机库存模型 2.周期盘点随机库存模型 首先，Xn以一个正概率取值S，这是由于12.3 随机库存模型 12.3.3 基于稳态分析的随机库存模型 2.周期盘点随机库存模型 由于Ti-Ti-1独立同分布，i=1,2,故 这里约定D0=0,F0(x)=1,x0.Fk-1为F对其自身的k-1次卷积，于是平均订货间隔为 12.3 随机库存模型 12.3.3 基于稳态分析的随机库存模型 2.周期盘点随机库存模型 记 为Xn在
34、(s,S)上的密度函数。利用上页公式及系统处在稳态，则有12.3 随机库存模型 12.3.3 基于稳态分析的随机库存模型 2.周期盘点随机库存模型 因此有做变换，令 则前式变为这是一个更新方程，其解为这里 12.3 随机库存模型 12.3.3 基于稳态分析的随机库存模型 2.周期盘点随机库存模型 代回v,g(v)即有因而Xn的平稳分布(x)如图所示。12.3 随机库存模型 12.3.3 基于稳态分析的随机库存模型 2.周期盘点随机库存模型 下面利用平稳分布来分析费用。（1）订货费。由于出现缺货事后都予补足，因此一个周期的平均订货量就等于平均需求量，故，平均可变进货费为cED，而对一个周期存在着
35、订货与否的两种可能性。订货的概率由上页公式给出，因而固定的订货费为。因此一个周期(单位时间)中的订货费为 12.3 随机库存模型 12.3.3 基于稳态分析的随机库存模型 2.周期盘点随机库存模型（2）保管费与缺货费。当周期开始时的库存水平x已知时，一个周期中的期望保管费与缺货费分别为记 在稳态下周期初的库存水平X0为有分布密度(x)。因而期望保管费与缺货费为12.3 随机库存模型 12.3.3 基于稳态分析的随机库存模型 2.周期盘点随机库存模型 即得一个周期中的期望总费用使F(Q,S)达极小值的(Q,S)便是最优的。假定每周期的需求量D服从参数为的指数分布，即有密度函数12.3 随机库存模
36、型 12.3.3 基于稳态分析的随机库存模型 2.周期盘点随机库存模型 此时有可得12.3 随机库存模型 12.3.3 基于稳态分析的随机库存模型 2.周期盘点随机库存模型 因而期望总费用具体表示为若写成s=S-Q与Q的函数，则总费用为上式对x求导并令其为012.3 随机库存模型 12.3.3 基于稳态分析的随机库存模型 2.周期盘点随机库存模型 得到对Q求导并令其为0，得 于是得最佳值 本节讨论随机需求及有常数供货滞后时间的库存模型。由于需求的随机性，缺货总是可能的。直观上容易想到，我们在订货时应该既要考虑到滞后时间中的平均需求量，又要顾及需求可能出现的波动性。这种随机的波动性通过下面将要引
37、入的安全库存量加以控制。通过安全库存量的选择，在一定的费用结构下可以使系统的运行状况最佳。下面分别讨论几种典型的情形。12.3 随机库存模型 12.3.4 基于安全库存量的随机库存模型 12.3 随机库存模型 12.3.4 基于安全库存量的随机库存模型 1.（s,Q)订货策略Q已知 模型假定：（1）连续盘点，系统在稳态下运行。（2）供货滞后时间是常数L；缺货事后补足。（3）需求是平稳的，在一个长度为L的时间间隔中的需求量为X，遵从 分布。今后为书写简单起见，省去 所带的下标。（4）采用策略，已知。费用包括订货费、保管费及缺货损失费。订货及保管费同前确定性库存基本模型，缺货费可由不同的量来刻画。
38、例如：每一次缺货带来损失B1(元)，它与缺货数量及缺货时间无关。这种情形发生在临时采取某种行动(如紧急空运)所需的额外费用，目的是防止即将出现的短缺。每缺货一个单位，其缺货费用为cB2，其中c为单价，B2为比例因子。这里cB2可以解释为由于缺货导致加班生产而引起每单位货物额外增加的费用。可以根据问题的不同情况选挥一种缺货费用。12.3 随机库存模型 12.3.4 基于安全库存量的随机库存模型 1.（s,Q)订货策略Q已知 目标函数为单位时间中的平均期望费用。模型中的决策变量为s，问题为确定s使其平均期望费用最小。引进记号：OH=现有库存量，指能马上满足需求的库存量；OQ=订货量；BO=延期交货
39、的货物量，指由于缺货而未能立即满足的那部分需求量；净库存量NS=OH-BO，当净库存量大于0时表示现有库存量，小于0时表示缺货量；12.3 随机库存模型 12.3.4 基于安全库存量的随机库存模型 1.（s,Q)订货策略Q已知 库存水平I=NS+OQ=OH-BO+OQ，表示可望用于满足需求的库存量(包括订货但尚未到货的量)。上述量都是随机的，一般都依赖于时间t但在我们的模型中假定系统在稳态下运行，因此这些量不依赖t。记Y为相邻订货之间的时间间隔。称这个间隔为一个周期。不妨设t=0时，恰好一个周期开始。12.3 随机库存模型 12.3.4 基于安全库存量的随机库存模型 1.（s,Q)订货策略Q已
40、知 12.3 随机库存模型 12.3.4 基于安全库存量的随机库存模型 1.（s,Q)订货策略Q已知 再记一个周期中的平均缺货量为SC，安全库存量为SS。安全库存量定义为补充的订货量到达前一时刻的期望净库存量。若用si记订货前一时刻的库存水平，则SS表为SS=E(s1-X)在应用上可以接受的一种近似为s-si与供货滞后时段中的需求量X比较而言小得多，因此近似地有ssi，因而SS=E(s-X)=s-12.3 随机库存模型 12.3.4 基于安全库存量的随机库存模型 1.（s,Q)订货策略Q已知 由于需求X的随机性，为了尽量避免需求随机波动带来的缺货问题与需求的标准差成正比。即令SS=s-k。这里
41、k称作安全因子，是一待定的常数。显然。k越大。滞后时间中的需求得到满足的可能性越大。另外，从管理的角度出发，有一个至少应满足的最小安全因子k*(0)。因此，要求的k必须满足k k*。于是最终订货点的库存量 s为 s=+k12.3 随机库存模型 12.3.4 基于安全库存量的随机库存模型 1.（s,Q)订货策略Q已知 12.3 随机库存模型 12.3.4 基于安全库存量的随机库存模型 1.（s,Q)订货策略Q已知 费用函数不同，k值求取方法不同。对于缺货费基于服务水平的情形，安全因子k的选取还可建立在库存系统满足需求程度(服务水平)的考虑上。一种自然的想法是k的选择基于每个订货周期中无缺货的概率
42、P1上。此时，由，故可取安全因子k，使 订货点的库存量s=+k。但是，仔细分析起来上述关于s（或k）的决策有很大的缺点。原因是我们只考虑用每周期中不缺货的概率来做服务水平的度量，而忽视了订货周期的长度。如现有两种货物。甲一年订货10次，而乙只有1次。若都要求每个订货周期中缺货的概率为0.1，则对货物甲。平均每年有一次缺货，而对货物乙，平均10年才发生一次缺货。按照服务的含义，就不能认为这两种货物提供的服务水平是相同的。因此，在多种货物的订货周期相差悬殊时，可以采用服务水平的其它度量方式。12.3 随机库存模型 12.3.4 基于安全库存量的随机库存模型 1.（s,Q)订货策略Q已知 12.3
43、随机库存模型 12.3.4 基于安全库存量的随机库存模型 1.（S,Q)订货策略Q已知 若k的决策是基于需求立即得到满足的比例P2上。显然，滞后供货的比例为于是，确定s的步骤为：（1）求k，使；（2）若，则转（4）；（3）取。（4）取 结束。调查表明，当缺货损失费不易估计时，由服务水平的某个要求亦可求出相应的安全库存量或订货点的库存量。已有大量的模拟试验表明，在上述模型中，若供货滞后时间中的需求量X遵从正态分布这一结论是由实际数据的统计分析得出的，并且其参数,2也是估计出来的，此时用估计值,2来代替其值计算s的做法，不会引起s值的多大变化。严格讲，稳态下的需求量X应由一个非负随机变量来描述，而
44、模型假定3中用一个正态随机变量来描述需求。12.3 随机库存模型 12.3.4 基于安全库存量的随机库存模型 1.（s,Q)订货策略Q已知 12.3 随机库存模型 12.3.4 基于安全库存量的随机库存模型 1.（s,Q)订货策略Q已知 对于应用而言，当 比较大，例如，3时，这是完全可以接受的假定。因为此时X取负值的概率很小。若本段模型假定中的3换成：在一个长度为L的时间间隔中的需求量X有一般分布，此时仍可用相仿的手法讨论上述模型，但是表达式就比较麻烦了。许多企业在进行多种货物的库存管理时对各种货物一律看待，即订货点均取为相同时间中的需求量。下面用一个简单的例来说明，若是采用上述介绍的其他库存
45、控制的方法，则库存系统的性能会得到很大改善。12.3 随机库存模型 12.3.4 基于安全库存量的随机库存模型 2.多种货物安全库存决策的比较有三种货物，其订货点的库存量均是基于2个月的供应量来计算的。数据如下表所示。12.3 随机库存模型 12.3.4 基于安全库存量的随机库存模型 2.多种货物安全库存决策的比较货物 需求量D（件/年）单价c(元/件)滞后时间L（月）l(件)目前订货量Q(件)目前订货点(件)1 6000 20 1.5 125 6000 10002 3000 10 1.5 187.5 1000 5003 2400 12 1.5 62.5 1200 400 基于等时间中的需求量
46、订货及基于每个周期有相同缺货概率的订货方式之间的比较分别由下面两个表格给出。在两种订货方式的安全库存所占用的费用相同的条件下，比较每年平均缺货总次数及缺货的总价值。12.3 随机库存模型 12.3.4 基于安全库存量的随机库存模型 2.多种货物安全库存决策的比较按等时间需求定货的情形 12.3 随机库存模型 12.3.4 基于安全库存量的随机库存模型 2.多种货物安全库存决策的比较货物 安全因子k(1)安全库存（元）（2）每年平均缺货次数（次/年）（3）每年平均缺货总价值（元/年）（4）1 2 5000 0.023 212 0.67 1250 0.754 8453 1.6 1200 0.110
47、 35总计/7450 0.887 901每个周期有相同缺货概率的情形12.3 随机库存模型 12.3.4 基于安全库存量的随机库存模型 2.多种货物安全库存决策的比较货物 安全因子k（1）安全库存（元）（2）每年平均缺货次数（次/年）（3）每年平均缺货总价值（元/年）（4）新的订货点 s(5)1 1.456 3640 0.074 81 9322 1.456 2730 0.221 183 6483 1.456 1092 0.147 49 391总计/7460 0.442 313/12.3 随机库存模型 12.3.4 基于安全库存量的随机库存模型 2.多种货物安全库存决策的比较表中各栏的计算公式如
48、下，下面的公式中省去下标。（1）。（2）ck，这里计算的是安全库存量的价值。（3），为每年订货次数。（4。12.3 随机库存模型 12.3.4 基于安全库存量的随机库存模型 2.多种货物安全库存决策的比较 基于每个周期有相同缺货概率的管理方式，要求每个周期中各类货物缺货的概率相等，故应有相同的安全因子k，因而，另一要求是与相同间隔订货策略所需之安全库存的费用相同。即 上述两方程联立解之可得 表栏的各量仍用前述等间隔订货中用过的公式计算。比较两种管理方式，显然后者好。12.3 随机库存模型 12.3.4 基于安全库存量的随机库存模型 3.(s,Q)订货策略，s,Q都未知 本段中除Q未知外，其余假
49、定与上相同。我们按不同的缺货损失分别讨论s,Q的求法，基于每次缺货的损失费为B1的情形。此时，长期运行下单位时间的期望总费用即：为求k,Q，两边乘以 得12.3 随机库存模型 12.3.4 基于安全库存量的随机库存模型 3.(s,Q)订货策略，s,Q都未知 注意到经济订货量公式因此变为由极值的必要条件 得到12.3 随机库存模型 12.3.4 基于安全库存量的随机库存模型 3.(s,Q)订货策略，s,Q都未知 于是可得(k,Q)的一个迭代格式：若上页公式右端0或kEOQ，而k比由前得到的要小。12.3 随机库存模型 12.3.4 基于安全库存量的随机库存模型 3.(s,Q)订货策略，s,Q都未
50、知 从库存管理的经验与实际情况看，对那些最重要的物品，因其单价昂贵，订货费、保管费及缺货损失费都很大，此时可用同时优化(k,Q)的方法来计算：否则可用EOQ公式先定Q，然后再求k。基于每缺货一件其损失为cB2的情形。此时单位时间的期望总费用为12.3 随机库存模型 12.3.4 基于安全库存量的随机库存模型 3.(s,Q)订货策略，s,Q都未知 与前面的处理相仿,两边乘以 得由极值的必要条件 得到若取初值Q0=EOQ，求出k，再代入上式求出Q。这样便得一个迭代求解的方法。迭代中注意的一点是，当k0或kk*，则取k=k*。12.4 一些进展 12.4.1 多品种多级库存系统的控制 多品种多级库存