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1、6.1 平方根、立方根第6章 实 数导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结七年级数学下（HK）教学课件1.平方根1.了解平方根及算术平方根的概念，会用根号表示 一个数的算术平方根;(重点)2.会求非负数的平方根与算术平方根(重点、难 点)3.会用计算器求一个数的平方根；学习目标 某家庭在装修儿童房时需铺地垫10.8m2，刚好用去正方形的地垫30块.你能算出每块地垫的边长是多少吗？导入新课观察与思考每块正方形地垫的面积是 10.830=0.36(m2).即 边长边长=0.36.由于 0.62=0.36，因此面积为0.36m2的正方形地垫的边长是0.6m.请你说一说解决问题的思路学校要举行美术作品
2、比赛，小鸥想裁出一块面积为25 dm2的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少？讲授新课平方根的概念及其性质 一问题引导（1）若正方形画布的面积如下，请填表：（2）你能指出它们的共同特点吗？正方形的面积/dm2 1 9 16 36 100正方形的边长/dm 都是已知一个数的平方，求这个数的问题.1 3 4 6 10填一填:根据上述问题的共同点：已知一个数的平方，求这个数.由此我们抽象出下述概念：一般地，如果有一个数的平方等于a，那么这个数叫作a的平方根，也叫作二次方根.例如：由于22=4，(-2)2=4,所以4的平方根是2和-2（可以合写为2）.换句话说，如果,那
3、么x叫作a的平方根.x2=a一、平方根的概念问题1 如果一个数的平方等于16，这个数是多少？想一想：4和-4有什么特征？4和-4互为相反数,会不会是巧合呢？由于，所以这个数是4或-4.(4)2=16二、平方根的性质 4 9.一个正数的平方根有两个，并且这两个数是相反数合作与交流观察所填的数据,填一填：1的平方根是；16的平方根是，.;的平方根是.你发现了什么？a2aa22 3a1.144的平方根是什么？2.0的平方根是什么？3.的平方根是什么？4.-4有没有平方根？为什么？0没有，因为一个数的平方不可能是负数试一试通过这些题目的解答，你能发现什么?问题：（1）正数有几个平方根？（2）0有几个平
4、方根？（3）负数呢？有没有一个数的平方是负数？想一想因为任何实数的平方都为非负数，所以负数没有平方根，也没有算术平方根.平方根的性质：1.正数有两个平方根，两个平方根互为相反数.2.0的平方根还是0.3.负数没有平方根.要点归纳典例精析例1 已知一个正数的两个平方根分别是2a2和a4，则a的值是_解析：一个正数的两个平方根分别是2a2和a4，2a2a40，解得a2.故答案为2.一个正数有两个平方根，它们互为相反数.归纳这样，正数a的平方根可以用“”来表示.例如，4的平方根是2与-2，即为书写方便，对正数a的平方根，我们有以下规定：a的负平方根记作读作“负根号a”a的正平方根读作“根号a”记作三
5、、平方根的数学符号表示+1-1+2-2+3-3149平方运算我们知道已知一个数，求它的平方的运算叫作平方运算.练一练：四、开平方的概念xx2+1-1+2-2+3-3149？运算那么已知一个数的平方，求这个数的运算叫作什么呢?xx2开平方与平方互为逆运算，根据这种关系，可以求一个数的平方根.求一个非负数的平方根的运算，叫作开平方.特别规定：典例精析例2 求下列各数的平方根:(1)64；(2)(4)(5)11.(3)0.0004；解：（1），64的平方根为8;（2），的平方根为;（3），0.0004的平方根为0.02;（4），的平方根为 25;（5）11的平方根是.方法总结 运用平方运算求一个非负
6、数的平方根是常用的方法，如被开方数是小数，要注意小数点的位置，也可先将小数化为分数，再求它的平方根，如被开方数是带分数，先要把它化为假分数.算术平方根的概念及性质二 我们把正数a的正平方根 叫作a的算术平方根.换句话说,如果正数x满足:x2=a,那么x叫作a的算术平方根.a的算术平方根记作 判断下列说法是否正确.25的算术平方根是5（）；25的平方根是5（）；5是25的平方根（）.注意区分“平方根”与“算术平方根”意义.练一练:例如：16的平方根是4和-4，其中4是16的算术平方根.思考：正数、负数、0的算术平方根各有几个？正数的算术平方根是一个正数，0的算术平方根还是0，负数没有算术平方根.
7、类似平方根的讨论，算术平方根具有双重非负性a的算术平方根非负数非负数 算术平方根的性质例3 分别求下列各数的算术平方根：（1）100；（2）；（3）0.49.解（1）由于102=100，因此.典例精析（3）由于0.72=0.49，因此.（2）由于42=，因此=4.a()的算术平方根就是正平方根,且仅有一个归纳例4 若|m-1|+=0,求m+n的值.解 因为|m-1|0，0,又|m-1|+=0,所以|m-1|=0，=0，所以m=1,n=-3,所以m+n=1+(-3)=-2.几个非负数的和为0，则每个数均为0，现阶段学过 的非负数有绝对值、一个数的平方及算术平方根.归纳3.若，则a=；2.若，则m
8、=；4.若a-3|+，则代数式=_.1.若|a+3|=0，则a=；-375-1练一练到目前为止，表示非负数的式子有：a0,|a|0,a2 0,0,用计算器求平方根三用计算器求下列各式的值：(1)；(2)（精确到0.001）解(2)依次按键 2 显示：1.414213562(1)依次按键 3136 显示：56 例5 随着“神舟”十号的升空，中国人又走出了探索宇宙 的一大步，但是你知道吗，要想围绕着地球旋转，飞 船的速度必须达到“第一宇宙速度”，其计算公式是（单位：km/s，其中g=0.0098km/s2，为重力加 速度，R为6370km，为地球半径），请你求出第一宇宙速度的值（结果精确到0.01
9、）.解答：第一宇宙速度的值约为7.90km/s.典例精析 将数据代入公式中,在用计算器直接求结果.归纳1.判断下列说法是否正确.正确.（4）(-4)2的平方根是-4.（1）是 的一个平方根；（2）是6的算术平方根；（3）的值是4；正确.不正确，是 4.不正确，是 4.当堂练习 2.已知一个自然数的算术平方根是a，则该自然数的下一个自然数的算术平方根是（）A.a+1 B.C.a2+1 D.D解析：一个自然数的算术平方根是a，那么这个自然数就是a2，下一个自然数就是a2+1，它的算术平方根是.3.分别求 64，6.25的平方根.并用式子表示4.分别求 81，0.16的算术平方根.64的平方根是8与
10、-8，.6.25的平方根是2.5与-2.5,.解解 81的算术平方根是9，.0.16的算术平方根是0.4,.平方根的概念正数的平方根负数的平方根0的平方根课堂小结正平方根（没有）（就是0本身）负平方根算术平方根6.1 平方根、立方根第6章 实 数导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结七年级数学下（HK）教学课件2.立方根情境引入学习目标1.了解立方根的概念，会用根号表示一个数的立方根.（重点）2.能用开立方运算求某些数的立方根，了解开立方和 立方互为逆运算.（重点，难点）导入新课 某化工厂使用半径为1米的一种球形储气罐储藏气体，现在要造一个新的球形储气罐，如果要求它的体积必须是原来体积的8倍，
11、那么它的半径应是原来储气罐半径的多少倍？情境引入讲授新课立方根的概念及性质一问题：要做一个体积为27cm3的正方体模型（如图），它的棱长要取多少？你是怎么知道的？解：设正方体的棱长为x,则这就是要求一个数,使它的立方等于27.因为 所以 x=3.正方体的棱长为3.想一想(1)什么数的立方等于-8？(2)如果问题中正方体的体积为5cm3，正方体的边长又该是多少？-2u 立方根的概念 一般地，一个数的立方等于a，这个数就叫做a的立方根，也叫做a的三次方根记作.u 立方根的表示 一个数a的立方根可以表示为:根指数被开方数其中a是被开方数，3是根指数，3不能省略.读作:三次根号 a，填一填：根据立方根
12、的意义填空：因为=8，所以8的立方根是（）；因为()3=0.125,所以0.125的立方是（）；因为()3 0，所以0的立方根是（）；因为()3 8，所以8的立方根是（）；因为()3，所以 的立方（）.02-20-2u 立方根的性质 一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根，零的立方根是零.立方根是它本身的数有1,-1,0；平方根是它本身的数只有0.知识要点u 平方根与立方根的异同 被开方数 平方根 立方根有两个互为相反数 有一个,是正数无平方根零有一个,是负数零正数负数零开立方及相关运算二a叫做被开方数3叫做根指数 每个数a都有一个立方根，记作，读作“三次根号a”.如：x3=7时，
13、x是7的立方根求一个数a的立方根的运算叫做开立方，a叫做被开方数注意:这个根指数3绝对不可省略.求一个数的立方根的运算叫作“开立方”.“开立方”与“立方”互为逆运算逆向思维 与学习开平方运算的过程一样，体现着一种重要的数学思想方法，你有体会了么？典例精析例1 求下列各数的立方根:（1）（2）（3）（4）（5）(5)-5的立方根是（3）（4）0.216;（5）5.求下列各式的值:体会：对于任何数a,a 240-2-3探究1332 _=334 _=温馨提示：开立方与立方运算互为逆运算.体会：对于任何数a,a 8 270-8-27探究2 求下列各式的值:体会:(1)求一个负数的立方根,可以先求出这个
14、负数绝对值的立方根,然后再取它的相反数.(2)负号可从“根号内”直接移到“根号外”.求下列各式的值:(1)；(2)探究3-0.2-0.2求下列各数的值:（1）0.5，（2）4，（3）4，（4）5，（5）16.练一练例2 求下列各式的值:例3 已知 x2 的平方根是2，2xy7的立方根是3，求x2y2的算术平方根方法总结：本题先根据平方根和立方根的定义，运用方程思想求出x，y值，再根据算术平方根的定义求解解:x2的平方根是2，x24，x6.2xy7的立方根是3，2xy727.把x6代入，解得 y8.x2y26882100，x2y2 的算术平方根为10.例3 用计算器求下列各数的立方根：343，-
15、1.331.解：依次按键：显示：7所以，2ndF4 3 3=依次按键：显示：-1.1所以，2ndF1(-).31 3=用计算器求立方根三例4 用计算器求 的近似值（精确到0.001）.解：依次按键：显示：1.259 921 05所以，2ndF=2()当堂练习1.判断下列说法是否正确.(2)任何数的立方根都只有一个;()(3)如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是零;()(5)0的平方根和立方根都是0.()(1)25的立方根是5;()(4)一个数的立方根不是正数就是负数;2.求下列各式的值 解:（1）（2）（3）3.求下列各式的值：24.将体积分别为600 cm3和129 cm3的长方
16、体铁块，熔成一个正方体铁块，那么这个正方体的棱长是多少？解:因为600+129=729，729的立方根是9，所以正方体的棱长为9 cm.解:一个数的立方根等于它本身的数有0，1，1.当1a20时，a21，则a1；当1a21时，a20，则a0；当1a21时，a22，则a.5.已知，求a的值立方根立方根的概念及性质课堂小结开立方及相关运算6.2 实 数第6章 实 数导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结七年级数学下（HK）教学课件第1课时 实数的概念及分类1.理解无理数的概念，能正确地判断一个数是不是无 理数;2.了解实数的意义，并能将实数按要求进行准确的分 类.（重点、难点）学习目标导入新课 小
17、红是刚升入八年级的新生，一个周末的上午，当工程师的爸爸给小红出了一道数学题：一个边长为6cm的正方形木板，按如图的痕迹锯掉四个一样的直角三角形.请计算剩下的正方形木板的面积是多少？剩下的正方形木板的边长又是多少厘米呢？见过这个数吗？你能帮小红解决这个问题吗？情境引入2活动：把两个边长为1的小正方形通过剪、拼，设法得到一个大正方形，你会吗？111无理数的认识一讲授新课活动探究1212121211 1111 1111 11 11 11 11 11还有好多方法哦！课余时间再动手试一试，比比谁找的多！问题1：设大正方形的边长为a，则a满足什么条件？追问1：a是一个什么样的数？a可能是整数吗？因为S大正
18、方形=2，所以a2=2.从“数”的角度：因为 a2=2,而12=1,22=4 所以 12a222,所以 1 a 2，a不是整数追问2：a可能是分数吗？a是分母为2的分数吗？a是分母为3的分数吗？a是分母为4的分数吗？a是分母为多少的分数？归纳：a既不是整数，也不是分数，所以a不是有理数.（1）如图，三个正方形的边长之间有怎样的大小关系？（2）a的整数部分是几？十分位是几？百分位呢？千分位呢？完成下列表格1a2面积为2问题2：a究竟是多少？请同学们借助计算器进行探索边长a 面积S1a21.4a1.51.41a1.421.414a1.4151.414 2a1.414 31S41.96S2.251.
19、988 1S2.016 41.999 396S2.002 2251.999 961 64S2.000 244 49（1）边长a会不会算到某一位时，它的平方恰好等于2呢？为什么？（2）a可能是有限小数吗？它会是一个怎样的数呢？a=1.414 213 56,它是一个无限不循环小数想一想估计面积为5的正方形的边长b的值，结果精确到百分位.b=2.236067978，它也是一个无限不循环小数做一做 事实上，任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数.反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数.问题3：使用计算器计算，把下列有理数写成小数的形式，你有什么发现？事实上，我们已说明这个边长不是分数，
20、从而它既不是有限小数，也不是无限循环小数，这种小数叫作无限不循环小数.我们把无限不循环小数叫作无理数.要点归纳把下列各数分别填入相应的集合内：0.101，有理数集合 无理数集合练一练我们常见的无理数的有以下三种形式：（1）含 的一些数；（2）开不尽方的数；（3）有规律但不循环的数，如1.010 010 001 000 01总结归纳例1 设n为正整数，且n n1，则n的值为()A5 B6 C7 D8方法总结：开不尽的平方根形式的无理数的估算一般步骤是首先将原数平方，看其在哪两个相邻的平方数之间，运用这种方法可以估计一个带根号的数的整数部分，估计其大致范围典例精析解析：根据特殊有理数找出最接近的完
21、全平方数，问题可得到解决，8 9，n8.练一练：写出一个比3大的无理数：_.D实数的概念及分类二有理数和无理数统称为实数.无理数：无限不循环小数有理数：有限小数或无限循环小数实数分数整数开方开不尽的数有规律但不循环的数含有 的数 试一试 你能分辩下列各数是哪个家庭的成员吗你能分辩下列各数是哪个家庭的成员吗?试试看？试试看？，.正数负数正实数 负实数数 实负有理数 正有理数按大小分类：0负无理数 正无理数0正实数负实数无理数：有理数：负实数：正实数：例2 将下列各数分别填入下列相应的括号内：当堂练习1.下列各数：1，(相邻两个3之间0的个数逐次加1)中，无理数的个数是（）A.2个 B.3个 C.
22、4个 D.5个【解析】无限不循环小数是无理数，其中(相邻两个3之间0的个数逐次加1)是无理数，其他是有理数.A【解析】因为3.14是小数，是分数，是无限循环小数，所以选项A,B,D都是有理数；是无限不循环小数，所以是无理数.2.下列各数中，是无理数的为（）A.3.14 B.C.D.C(1)有限小数是有理数;（）(2)无限小数都是无理数;（）(3)无理数都是无限小数;（）(4)有理数是有限小数.（）3.判断题4.以下各正方形的边长是无理数的是（）A.面积为25的正方形；B.面积为 的正方形；C.面积为8的正方形；D.面积为1.44的正方形.C5.把下列各数分别填入相应的括号内：（相邻两个3之间的
23、7的个数逐次加1）有理数 无理数课堂小结无理数带省略号且不循环的小数有特殊意义的数，如等带根号，但被开方数是开方不尽的数概念实数有理数6.2 实 数第6章 实 数导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结七年级数学下（HK）教学课件第2课时 实数的运算及大小比较1.了解实数与数轴的关系及实数范围内相反数、倒数、绝对值的意义；(重点)2.理解有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍适 用，能进行实数的大小比较(重点、难点)学习目标 下列各数中，哪些是有理数，哪些是无理数？，0，1.414，0.1010010001（相邻两个1之间逐次增加一个0）.是有理数，是无理数.导入新课回顾与思考思考：有理数可以做
24、加、减、乘、除、乘方运算，实数可以吗？思考1：如图，直径为个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上一点从原点到达A点，则数轴上表示点A的数是多少？因为圆的周长为,无理数可以用数轴上的点来表示.0-2-1 1 3 2 4 A实数与数轴上的点 一讲授新课提醒：播放状态下点击画面操作0 1 2 4 3-1-2思考2:边长为1的正方形,对角线长为多少?每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一点都表示一个实数即实数和数轴上的点是一一对应的提醒：播放状态下点击画面操作这可以说明：每一个实数都可以用数轴上唯一的一个点来表示.反过来，还可以说明：数轴上每一个点都表示唯一的一个实数.上面
25、两个结论结合起来可以简洁地说成：实数和数轴上的点一一对应.如果在数轴上表示正实数、零、负实数，它们分别应该在数轴的原点的哪侧呢？例1：如图所示，数轴上A，B两点表示的数分别为1和，点B关于点A的对称点为C，求点C所表示的实数解：数轴上A，B两点表示的数分别为1和，点B到点A的距离为1，则点C到点A的距离为1，设点C表示的实数为x，则点A到点C的距离为1x，1x1，x2方法总结 本题主要考查了实数与数轴之间的对应关系，其中利用了：当点C为点B关于点A的对称点时，点C到点A的距离等于点B到点A的距离；两点之间的距离为两数差的绝对值例2：如图所示，数轴上A，B两点表示的数分别为 和5.1，则A，B两
26、点之间表示整数的点共有()A6个 B5个 C4个 D3个解析：1.414，和5.1之间的整数有2，3，4，5，A，B两点之间表示整数的点共有4个C【方法总结】数轴上的点与实数一一对应，结合数轴分析，可轻松得出结论 在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样例如：与 互为相反数与 互为倒数实数的性质二例3：分别求下列各数的相反数、倒数和绝对值解：(1)4，的相反数是4，倒数是，绝对值是4.(2)15，的相反数是15，倒数是，绝对值是15.(3)的相反数是，倒数是，绝对值是.练一练1.的相反数是，的相反数是，的相反数是.2.-的绝对值是，=，=.1.
27、a是一个实数，实数a的相反数为-a.2.一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.总结归纳解:因为所以，的相反数分别为由绝对值的意义得：例4 求下列各数的相反数和绝对值：填空：设a，b，c是任意实数，则（1）a+b=（加法交换律）；（2）(a+b)+c=（加法结合律）；（3）a+0=0+a=；（4）a+(-a)=(-a)+a=；（5）ab=（乘法交换律）；（6）(ab)c=（乘法结合律）；b+aa+(b+c)a0baa(bc)实数的运算三（7）1 a=a 1=；a（8）a(b+c)=（乘法对于加法的分配律），(b+c)a=（乘法对于加法的分配律）；（9）实数的
28、减法运算规定为a-b=a+；（10）对于每一个非零实数a，存在一个实数b，满足ab=ba=1，我们把b叫作a的；（11）实数的除法运算（除数b0），规定为 ab=a；（12）实数有一条重要性质：如果a 0，b 0，那么ab0.ab+acba+ca(-b)倒数 每个正实数有且只有两个平方根，它们互为相反数.0的平方根是0.在实数范围内，负实数没有平方根.在实数范围内，每个实数有且只有一个立方根，而且与它本身的符号相同.实数的平方根与立方根的性质：此外，前面所学的有关数、式、方程（组）的性质、法则和解法，对于实数仍然成立.总结归纳例5 计算（结果保留小数点后两位）：【方法总结】在实数运算中，如果遇
29、到无理数，并且需要求出结果的近似值时，可按要求的精确度用相应的近似有限小数代替无理数，再进行计算.例6 用计算器计算：（精确到小数点后面 第二位）.解:按键：显示：3.162 277 66.精确到小数点后面第二位得：3.16.思考：实数怎么比较大小呢？实数的大小比较四 与有理数规定的大小一样，数轴上右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大.原点0正实数 负实数1.正数大于零，负数小于零，正数大于负数；2.两个正数，绝对值大的数较大；3.两个负数，绝对值大的数反而小.与有理数一样，在实数范围内：总结归纳，2可以看作分别是面积为5，4的正方形的边长，容易说明：面积较大的正方形，它的边长也较大，因此
30、同样，因为59，所以不用计算器，与2比较哪个大？与3比较呢？议一议例7 在数轴上表示下列各点，比较它们的大小，并用“”连接它们.-2-1 0 1 2 31-2例8 估计 位于（）A.01之间 B.12之间 C.23之间 D.34之间B 熟记一些常见数的算术平方根；或用计算器估计.归纳 例9 比较下列各组数的大小：解：（1）因为 12 42，所以 4，所以 1 32，所以 所以 为什么？为什么？（4）点A在数轴上表示的数为，点B在数轴上对 应的数为，则A,B两点的距离为_.（3）的相反数是_，绝对值是_;1.填空（1）3.14的相反数是_，绝对值是_;（2）的相反数是_，绝对值是_;当堂练习2.如图所示，数轴上A，B两点表示的数分别是 和 5.1，则 A，B两点之间表示整数的点共有 个.4解析 1.414,和5.1之间的整数有2,3,4,5,A,B两点之间表示整数的点共有4个.4.估计 与6的大小.所以 6.解因为37 36.3.用计算器计算（精确到0.01）：（1）；（2）；（3）.解(1)(2)(3)实数在实数范围内，相反数、绝对值、倒数的意义和有理数范围内的相反数、绝对值、倒数的意义完全一样.实数与数轴上点的一一对应课堂小结实数的运算实数的运算律用计算器计算实数的大小比较