《2023年中考初中数学压轴题(有答案).pdf》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2023年中考初中数学压轴题(有答案).pdf(57页珍藏版)》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、2023年1中考初中数学压轴题(有答案)解 答 题(共 30小题)1.(2023攀枝花)如图,以点P(-1,0)为圆心的圆,交 x 轴于B、C 两 点(B 在 C 的左侧),交 y 轴于A、D两 点(A 在 D 的下方),AD=2A/5,将 ABC绕点P 旋 转 180。,得到 MCB.(1)求 B、C 两点的坐标;(2)请在图中画出线段MB、M C,并判断四边形ACMB的形状(不必证明),求出点M 的坐标;(3)动直线1从与BM 重合的位置开始绕点B 顺时针旋转,到与BC重合时停止,设直线1与 CM 交点为E,点 Q为 B E的中点,过点E 作 EGJ_BC于 G,连接MQ、Q G.请问在旋
2、转过程中N MQG的大小是否变化?假设不变,求出NM QG的度数;假设变化,请说明理由.2.(2023苏州)如 图,h_L12,2 0 与 2,12都 相 切,2 0 的半径为2 c m,矩形ABCD的边AD、AB分别与h,12重合,AB=4cm,AD=4cm,假设O O 与矩形ABCD沿 11同时向右移动,O O 的移动速度为3cm/s,矩形ABCD的移动速度为4cm/s,设移动时间为t(s)(1)如图,连接OA、A C,那么NOAC的度数为。;(2)如图,两个图形移动一段时间后,。到达。O i的位置,矩形ABCD到达AIBICIDI的位置,此时点Oi,Ai,C i恰好在同一直线上,求圆心O
3、 移动的距离(即OOi的长);(3)在移动过程中,圆心O 到矩形对角线AC所在直线的距离在不断变化,设该距离为d(c m),当 d 0)的图象与x 轴、y 轴分别相交于点A、B,半径为4 的0 0 与 x 轴正半轴相交于点C,与 y 轴相交于点D、E,点 D 在点E 上方.(1)假设直线AB与而有两个交点F、G.求 N CFE的度数;用 含 b 的代数式表示F G 2,并直接写出b 的取值范围;(2)设 b 2 5,在线段AB上是否存在点P,使NCPE=45。?假设存在,请求出P 点坐标;假设不存在,请说明理由.4.(2023 上 海)如 图 1,在平行四边形ABCD中,AB=5,BC=8,c
4、 o s B;l 点 P 是边BC上的动点,以C P为半径5的圆C 与边AD交于点E、F(点F 在点E 的右侧),射线C E与射线BA 交于点G.(1)当圆C 经过点A 时,求 C P的长;(2)连接A P,当 APIICG时,求弦E F的长;(3)当 AGE是等腰三角形时,求圆C 的 半 径 长._ _5.(2023常州)在平面直角坐标系xOy中,点 M(,我),以点M 为圆心,O M 长为半径作。M.使。M 与直线OM 的另一交点为点B,与 x 轴,y 轴的另一交点分别为点D,A(如图),连接AM.点 P 是第上的动点.(1)写出N AMB的度数;(2)点 Q 在射线OP上,且 OPO Q
5、=20,过点Q 作 Q C垂直于直线O M,垂足为C,直线Q C交 x 轴于点E.当动点P 与点B 重合时,求点E 的坐标;连 接 Q D,设点Q 的纵坐标为3 ZiQOD的面积为S.求 S 与 t 的函数关系式及S 的取值范围.6.(2023漳州)阅读材料:如 图 1,在AAOB中,Z 0=90,OA=OB,点 P 在 AB边上,PE_LOA于点E,PFOB于点F,那么PE+PF=OA.(此结论不必证明,可直接应用)(1)【理解与应用】如图2,正方形ABCD的边长为2,对角线AC,BD相交于点O,点 P 在 AB边上,PELOA于点E,PF_LOB于点 F,那么PE+PF的值为.(2)【类比
6、与推理】如图3,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,AB=4,AD=3,点 P 在 AB边上,PEII O B交 AC于点E,PFII OA交 BD于点F,求 PE+PF的值;(3)【拓展与延伸】如图4,0 0 的半径为4,A,B,C,D 是。0 上的四点,过点C,D 的切线CH,DG相交于点M,点 P 在弦AB上,PEII BC交 AC于点E,PFIIAD于点F,当N ADG=N BCH=30。时,PE+PF是否为定值?假设是,请求出这个定值;假设不是,请说明理由.7.(2023云南)如图平面直角坐标系中,点 O 是坐标原点,矩形ABCO是顶点坐标分别为A(3,0)、B(3,4)、C
7、0,4).点 D 在 y 轴上,且点D 的坐标为(0,-5),点 P 是直线AC上的一动点.(1)当点P 运动到线段A C 的中点时,求直线D P的解析式(关系式);(2)当点P 沿直线AC移动时,过点D、P 的直线与x 轴交于点M.问在x 轴的正半轴上是否存在使 DOM与4 ABC相似的点M?假设存在,请求出点M 的坐标;假设不存在,请说明理由;(3)当点P 沿直线AC移动时,以点P 为圆心、R(R 0)为半径长画圆.得到的圆称为动圆P.假设设动圆P 的半径长为空,过点D 作动圆P 的两条切线与动圆P 分别相切于点E、F.请探求在动圆P 中是否存在面积最小的四2边形DEPF?假设存在,请求出
8、最小面积S 的值;假设不存在,请说明理由.8.(2023湖州)在平面直角坐标系xOy中,O 是坐标原点,以 P(1,1)为圆心的O P 与 x 轴,y 轴分别相切于点M 和点N,点 F 从点M 出发,沿 x 轴正方向以每秒1 个单位长度的速度运动,连接P F,过点PE_LPF交 y 轴于点E,设点F 运动的时间是t 秒(t 0).(1)假设点E 在 y 轴的负半轴上(如下列图),求证:PE=PF;(2)在点F 运动过程中,设 OE=a,O F=b,试用含a 的代数式表示b;(3)作点F 关于点M 的对称点F,经过M、E 和 F 三点的抛物线的对称轴交x 轴于点Q,连接Q E.在点F 运动过程中
9、,是否存在某一时刻,使得以点Q、0、E 为顶点的三角形与以点P、M、F 为顶点的三角形相似?假设存在,请直接写出t 的值;假设不存在,请说明理由.9.(2023 陕 西)问题探究(1)如图,在矩形ABCD中,AB=3,B C=4,如果BC边上存在点P,使4A P D 为等腰三角形,那么请画出满足条件的一个等腰三角形 A P D,并求出此时B P的长;(2)如图,在 ABC中,N ABC=60。,BC=12,AD是 BC边上的高,E、F 分别为边AB、A C 的中点,当 AD=6时,BC边上存在一点Q,使NEQF=90。,求此时B Q 的长;问题解决(3)有一山庄,它的平面图为如图的五边形A B
10、 CD E,山庄保卫人员想在线段CD上选一点M 安装监控装置,用来监视边AB,现只要使N AMB大约为60,就可以让监控装置的效果到达最正确,N A=N E=Z D=90。,AB=270m,AE=400m,ED=285m,CD=340m,问在线段CD上是否存在点M,使N AMB=60。?假设存在,请求出符合条件的DM 的长,假设不存在,请说明理由.10.(2023成都)如图,在 的 内 接 A ABC中,Z ACB=90,AC=2BC,过 C 作 A B的垂线1交。O 于另一点D,垂足为E.设 P 是众上异于A,C 的一个动点,射线A P交 1于点F,连接PC与 PD,PD交 AB于点G.(1
11、)求证:PAC-PDF;(2)假设 AB=5,AP=BP.求 PD 的长;(3)在点P 运动过程中,设旭=x,tan/A F D=y,求 y 与 x 之间的函数关系式不要求写出x 的取值范围)BG11.(2023宁波)木匠黄师傅用长A B=3,宽 BC=2的矩形木板做一个尽可能大的圆形桌面,他设计了四种方案:方案一:直接锯一个半径最大的圆;方案二:圆心01、0 2 分别在CD、AB上,半径分别是O1C、02A,锯两个外切的半圆拼成一个圆:方案三:沿对角线AC将矩形锯成两个三角形,适当平移三角形并锯一个最大的圆;方案四:锯一块小矩形BCEF拼到矩形AFED下面,利用拼成的木板锯一个尽可能大的圆.
12、(1)写出方案一中圆的半径;(2)通过计算说明方案二和方案三中,哪个圆的半径较大?(3)在方案四中,设 CE=x(0 x 8 时,是否存在t 使得一=近?假设存在请求出所有t 的值,假设不存在,请说明理由.EF2+16V2 1 620.(2023营口)如图,点 C 是以AB为直径的O O 上的一点,AD与过点C 的切线互相垂直,垂足为点D.(1 J 求证:AC平分N BAD;(2)假设CD=1,AC=A/TO,求0 0 的半径长.21.(2023襄阳)如图,ABC内接于0 0,且 A B为O O 的直径.N ACB的平分线交0 0 于点D,过点D 作。O的切线PD 交 CA 的延长线于点P,过
13、点A 作 AELCD于点E,过点B 作 BFLCD于点F.(1)求证:DPII AB;假 设 AC=6,B C=8,求线段PD 的长.22.(2023曲靖)如图,O O 的直径AB=10,C、D 是圆上的两点,JaAC=CD=D B.设过点D 的切线ED交 A C的延长线于点F.连接O C交 AD于点G.(1)求证:DF_LAF.(2)求 O G 的长.23.(2023德阳)如图,AB是。O 直径,BC是。O 的弦,弦 EDJLAB于点E交 BC于点G,过点C 作。O 的切线与ED 的延长线交于点P.(1)求证:PC=PG;(2)点 C 在劣弧AD上运动时,其他条件不变,假设点G 是 B C
14、的中点,试探究CG、BF、BO三者之间的数量关系,并写出证明过程;_(3)在 满 足(2)的条件下,。的半径为5,假设点O 到 BC的距离为泥时,求弦ED 的长.24.(2023贺州):O O 的直径为3,线段A C=4,直线AC和 PM 分 别 与 相 切 于 点 A,M.(1)求证:点 P 是线段A C 的中点;(2)求 sinN PMC 的值.25.(2023兰州),如图,直线M N交0 O 于 A,B 两点,AC是直径,AD平分N CAM交O O 于 D,过 D 作 DE_LMN于 E.(1)求证:DE是O O 的切线;(2)假设 DE=6cm,AE=3cm,求。O 的半径.26.(2
15、023南宁)如图,在 ABC 中,N BAC=90。,AB=AC,AB 是。O 的直径,0 0 交 BC 于点 D,DE_LAC 于点 E,B E交。O 于点F,连接AF,A F的延长线交D E于点P.(1)求证:DE是。的切线;(2)求 tanN ABE 的值;(3)假设O A=2,求线段A P的长.27.(2023长沙)如 图,ABC中,以 A B为直径的。O 交 AC于点D,Z DBC=Z BAC.(1)求证:BC是0 O 的切线;(2)假设。的半径为2,NBAC=30。,求图中阴影局部的面积.28.(2023 广安)如图,在 ABC中,A B=A C,以 A B为 直 径 作 半 圆
16、交 BC于点D,连接A D,过点D 作DE_LAC,垂足为点E,交 A B的延长线于点F.(1)求证:EF是。0 的切线.(2)如果。的半径为5,sinN ADE=W,求 B F的长.529.(2023沈阳)如图,OC平分N M O N,点 A 在射线O C上,以点A 为圆心,半径为2 的。A 与 OM 相切于点B,连接BA并延长交0 A 于点D,交 ON于点E.(1)求证:ON是。A 的切线;(2)假设NMON=60。,求图中阴影局部的面积.(结果保存H)30.(2023宜宾)如图,AB是。的直径,Z B=Z CAD.(1)求证:A C是。O 的切线;(2)假设点E 是俞的中点,连接AE交
17、BC于点F,当 BD=5,CD=4时,求 A F的值.参考答案与试题解析解 答 题(共 30小题)1.(2023攀枝花)如图,以点P(-1,0)为圆心的圆,交 x 轴于B、C 两 点(B 在 C 的左侧),交 y 轴于A、D两 点(A 在 D 的下方),AD=2A/5,将 ABC绕点P 旋 转 180。,得到 MCB.(1)求 B、C 两点的坐标;(2)请在图中画出线段MB、M C,并判断四边形ACMB的形状(不必证明),求出点M 的坐标;(3)动直线1从与BM 重合的位置开始绕点B 顺时针旋转,到与BC重合时停止,设直线1与 CM 交点为E,点 Q为 B E的中点,过点E 作 EGJ_BC于
18、 G,连接MQ、Q G.请问在旋转过程中N MQG的大小是否变化?假设不变,求出NM QG的度数;假设变化,请说明理由.考点:圆的综合题.专题:压轴题.分析:(1)连接P A,运用垂径定理及勾股定理即可求出圆的半径,从而可以求出B、C 两点的坐标.(2)由于圆P 是中心对称图形,显然射线A P与圆P 的交点就是所需画的点M,连接MB、M C即可;易证四边形ACMB是矩形;过点M 作 MH_LBC,垂足为H,易证 MHPM A O P,从而求出MH、OH 的长,进而得到点M 的坐标.(3)易证点E、M、B、G 在以点Q 为圆心,Q B为半径的圆上,从而得到N MQG=2N M B G.易得Z O
19、CA=60,从而得到N MBG=60。,进而得到N MQG=120,所以N MQG是定值.解答:解:(1)连接P A,如 图 1所示.POAD,AO=DO.A D=2,OA=V3.:点P 坐 标 为(-1,0),OP=1.PA=VOP2+OA2=2-BP=CP=2.B(-3,0),C(1,0).(2)连接A P,延长A P交O P 于点M,连接MB、MC.如图2 所示,线段MB、M C即为所求作.四边形ACMB是矩形.理由如下:M CB由4 ABC绕点P 旋 转 180。所得,四边形ACMB是平行四边形.BC是0 P 的直径,Z CAB=90.1.平行四边形ACMB是矩形.过点M 作 M HJ
20、LBC,垂足为H,如图2 所示.在4 乂1 和4 AOP中,Z MHP=Z AOP,Z HPM=Z OPA,MP=AP,A MHP A AOP.MH=OA=A/3,PH=PO=I.OH=2.,.点M 的坐标为(-2,).(3)在旋转过程中N MQG的大小不变.四边形ACMB是矩形,Z BMC=90./EGBO,/.Z BGE=90.Z BMC=Z BGE=90.点Q 是 B E的中点,,QM=QE=QB=QG.点E、M、B、G 在以点Q 为圆心,Q B为半径的圆上,如图3 所示.Z MQG=2Z MBG./Z COA=90,OC=1,OA=班,tanZ 0C A=V 3.ocZ OCA=60.
21、Z MBC=N BCA=60.Z MQG=120.在旋转过程中N MQG的大小不变,始终等于120.点评:此题考查了垂径定理、勾股定理、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、圆周角定理、特殊角的三角函数、图形的旋转等知识,综合性比较强.证明点E、M、B、G 在以点Q 为圆心,Q B为半径的圆上是解决第三小题的关键.2.(2023苏州)如 图,1山 2,O O 与 h,12都 相 切,。的半径为2 c m,矩形ABCD的边AD、AB分别与h,12重合,A B-4J圣m,AD=4cm,假 设 与 矩 形 ABCD沿 h 同时向右移动,O O 的移动速度为3cm/s,矩形ABCD的移动速度为4c
22、m/s,设移动时间为t(s)(1)如图,连接OA、A C,那么N OAC的 度 数 为 105 ;(2)如图,两个图形移动一段时间后,。到达。0 1 的位置,矩形ABCD到达AE ICIDI的位置,此时点01,Ai,C i恰好在同一直线上,求圆心O 移动的距离(即OOi的长);(3)在移动过程中,圆心O 到矩形对角线AC所在直线的距离在不断变化,设该距离为d(c m),当 d Z CiAiDi=60,在 R sA iO iE 中,Z OiA)E=Z CiAiDi=60AiE=Ll=3,tan60 3AiE=AAi-OOi-2=t-2,t-2-3.,_3t/V l+2,3 _OOi=3t=2 J
23、+6;(3)当直线AC与。O 第一次相切时,设移动时间为ti,如图,此时O O 移动到0 0 2 的位置,矩形A B C D 移动到A 2 B 2 c 2 D 2 的位置,设。0 2 与直线h,A 2 c 2 分别相切于点F,G,连接O2 F,O2 G,0 2 A 2,O2 F 1 1,C)2 G _ L A 2 c 2,由(2)得,N C 2 A 2 D 2=60,.N G A 2 F=1 2 0,Z 0 2 A 2 F=60,在 R t A A 2 O2 F 中,O2 F=2,A 2 F=2 次,3 OO2=3 t i,A F=A A 2+A 2 F=4t i+Z ,_34t i+冬 回
24、3 t l =2,3 _t i=2 -2 班,3 当直线AC与。第二次相切时,设移动时间为t 2,记第一次相切时为位置一,点 0 1,A i,C i 共线时位置二,第二次相切时为位置三,由题意知,从位置一到位置二所用时间与位置二到位置三所用时间相等,.至 露-(2-空=t 2 -(2 M 旬,3 3 3解得:t 2=2+2 ,综上所述,当 d 2 时,t 的取值范围是:2-2K t 0)的图象与x 轴、y 轴分别4相交于点A、B,半径为4 的。0与 x轴正半轴相交于点C,与 y轴相交于点D、E,点 D在点E上方.(1)假设直线AB与而有两个交点F、G.求 N C F E 的度数;用 含 b的代
25、数式表示F G 2,并直接写出b的取值范围;(2)设 b 2 5,在线段AB上是否存在点P,使N C P E=45。?假设存在,请求出P点坐标;假设不存在,请说明理由.考点:圆的综合题.专题:几何综合题;压轴题.分析:(1)连接C D,EA,利用同一条弦所对的圆周角相等求行N C F E=45。,(2)作 O M _ L A B 点 M,连接O F,利用两条直线垂直相交求出交点M 的坐标,利用勾股定理求出F M?,再求出F G?,再根据式子写出b的范围,(3)当 b=5 时,直线与圆相切,存在点P,使Z C P E=45。,再利用 A P O”AO B和 A M P”AO B相似得出点P的坐标
26、,再求出O P所在的直线解析式.1.-Z C OE=9 0 Z C F E-l z C OE=45 ,(圆周角定理)2方法一:0 M 所在的直线函数式为:y=W x,3.1.OM2=(A 2 b)2+(A b)2,25 251 1-0 F=4,F M2=OF2-O M2=42-(乌)2-(雪)225 25FMJFG,2FG2=4FM2=4X42-乌)2-(屿)2=64-M2=64x (1 -Ab2),25 25 25 25V直线AB与而有两个交点F、G.4 b 5,FG2=64X(1 -Ab2)(4 b 5)25方法二:B的坐标为(0,b),A的坐标为(W b,0),3AB=V o B2+O
27、A2=1b,sinz B A 0=4=卫,A B 5 53sinZ MAO=0 M_ 0 M_ 3中0M=&,5在 RTA OMF 中,FM=o p2 _QH2=42 _2FG=2FM,FG2=4FM2=4(42-g2)=6 4.-塾2=64X(1-A b2),2 5 2 5 2 5V 直线A B与而有两个交点F、G.4b5,FG2=64X(1-A b2(4b5)2 5当 b=5时,直线与圆相切,二.在直角坐标系中,Z COE=90,Z CPE=Z ODC=45,存在点P 使NCPE=45,连接OP,P 是切点,/.OPAB,/.APO-AOB,.O P=A P一技而1-OP=r=4,OB=5
28、,AO=&,3工 黑 即 A P=,5 2 0 33=052+0 52+(-y)2=y,作 PMJLAO交 AO于点M,设 P 的坐标为(x,y),A M P-A O B,.P 1L A PAB16-3,253Boy-5 .yv一_ 16,5x=OM=7oP2-PM2=42-(y).点P的 坐 标 为(卫,久).5 5点评:此题主要考查了圆与一次函数的知识,解题的关键是作出辅助线,利用三角形相似求出点P的坐标.4.(2 0 2 3 上海)如 图 1,在平行四边形ABCD 中,A B=5,B C=8,c o sB=W,点 P是边BC上的动点,以CP为半径5的圆C与边AD 交于点E、F (点F在点
29、E 的右侧),射线CE 与射线BA交于点G.(1)当圆C经过点A时,求 CP的长;(2)连接AP,当 A P IIC G 时,求弦E F 的长;(3)当AAGE 是等腰三角形时,求圆C的半径长.考点:圆的综合题.专题:压轴题.分析:(1)当点A在。C上时,点 E 和点A重合,过点A作 A H J _ B C 于 H,直接利用勾股定理求出AC进而得出答案;(2)首先得出四边形A P C E 是菱形,进而得出CM 的长,进而利用锐角三角函数关系得出CP以及E F 的长;(3)NGAE WNBGC,只能NAGE=NAE G,利用 AD I I B C,得出 G A E-GBC,进而求出即可.解答:解
30、:(1)如 图 1,设00的半径为r,当点A在。C上时,点 E 和点A重合,过点A作 A H _ L B C 于 H,B H=A B*c o sB=4,A H=3,C H=4,A C=VAH2+CH5,此时 C P=r=5;(2)如图2,假设A P II C E,A P C E 为平行四边形,C E=C P,四边形A P C E 是菱形,连接 A C、E P,那么 A C JL EP,AM=CM=22由(1)知,A B=A C,那么N A C B=N B,C P=C E=空c o sZ A C B 8E(3)如图3:过点C作 C N _ L A D 于点N,设 A Q _ L B C,.,晚
31、cosB,AB=5,A BBQ=4,AN=QC=BC-BQ=4.cosB=,5Z B45,Z BCG45,Z B G O Z B=Z G A E,即N BGC#Z GAE,又N AEG=Z BCGZ ACB=Z B=Z GAE,当N AEG=N GAE时,A、E、G 重合,那么AAGE不存在.即 N A E G GAE只能N AGE=N AEG,ADII BC,GAE-GBC,二A G g|j _ A E_ _ A E_ 五 而 T-A E+5,解得:AE=3,EN=AN-AE=1,CE=VEN2+C N2=V32+12=点评:此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及勾股定理以及锐角三角函数关
32、系等知识,利用分类讨论得出 AGE是等腰三角形时只能N AGE=Z AEG进而求出是解题关键.5.(2023常州)在平面直角坐标系xOy中,点 M(我,圾),以点M 为圆心,0 M 长为半径作。M.使。M 与直线0 M 的另一交点为点B,与 x 轴,y 轴的另一交点分别为点D,A(如图),连接A M.点 P 是 AB上的动点.(1)写出N AMB的度数;(2)点 Q 在射线O P上,且 OPO Q=20,过点Q 作 QC垂直于直线O M,垂足为C,直线Q C交 x 轴于点E.当动点P 与点B 重合时,求点E 的坐标;连 接 Q D,设点Q 的纵坐标为t,aQClD的面积为S.求 S 与 t 的
33、函数关系式及S 的取值范围.考点:圆的综合题.专题:几何综合题;压轴题._ _ _分析:(1)首先过点M 作 M HLOD于点H,由点M(V2&),可得NMOH=45。,OH=MH=J,继而求得NAOM=45。,又由OM=AM,可得 AOM是等腰直角三角形,继而可求得N AMB的度数;(2)由 OH=MH=J/,M H O D,即可求得OD 与 OM 的值,继而可得O B 的长,又由动点P 与点B重合时,OPO Q=20,可求得O Q 的长,继而求得答案;由 OD=2圾,Q 的纵坐标为t,即可得S=*X 2亚 然 后 分 别 从 当 动 点 P 与 B 点重合时,过点Q 作 QF_Lx轴,垂足
34、为F 点,与当动点P 与 A 点重合时,Q 点在y 轴上,去分析求解即可求得答案.解答:解:(1)过点M 作 MH_LOD于点H,点 M(V 2.我),OH=MH=&,Z MOD=45,Z AOD=90,Z AOM=45,OM=AM,Z OAM=N AOM=45,Z AMO=90,Z AMB=90;(2)OH=M H=,MHOD,OM=4从 口 2+0 H*2,OD 2OHOB=4,动点P 与点B 重合时,OPOQ=20,OQ=5,Z OQE=90,Z POE=45,O E=5,.E 点坐标为15后,0)OD=2A/2-Q 的纵坐标为t,-1 s=|x 2 V 2 t=V 2 t-如图2,当动
35、点P 与 B 点重合时,过点Q 作 QF_Lx轴,垂足为F 点,OP=4,OPOQ=20,OQ=5,Z OFC=90,Z QOD=45,t=QF=殳 亘2 _此时 s=&x=.=5;如图3,当动点P 与 A 点重合时,Q 点在y 轴上,OP=2,:OPOQ=20,t=OQ=5/2止 匕 时 S=&x 5 2=10;S的取值范围为5VSV10.点评:此题考查了垂径定理、等腰直角三角形的性质以及勾股定理等知识.此题难度较大,注意掌握辅助线的作法,注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用.6.(2023漳州)阅读材料:如 图1,在A A O B中,N 0=9 0。,O A=O B,点P在A
36、 B边上,PEJLOA于点E,PFOB于点F,那么PE+PF=OA.(此结论不必证明,可直接应用)(1)【理解与应用】如图2,正方形ABCD的边长为2,对角线AC,B D相交于点O,点P在A B边上,PE J_OA于点E,PFJ.OB于点F,那么PE+PF的值为、回.(2)【类比与推理】如图3,矩形ABCD的对角线AC,B D相交于点O,AB=4,AD=3,点P在A B边上,PEII O B交A C于点E,PFII OA交B D于点F,求PE+PF的值:(3)【拓展与延伸】如图4,。的半径为4,A,B,C,D是。O上的四点,过点C,D的切线CH,DG相交于点M,点P在弦AB上,PEII BC交
37、A C于点E,P FIIA D于点F,当N ADG=N BCH=30。时,PE+PF是否为定值?假设是,请求出这个定值;假设不是,请说明理由.考点:圆的综合题;等边三角形的判定与性质;矩形的性质;正方形的性质;弦切角定理;相似三角形的判定与性质.专题:压轴题;探究型.分析:(1)易证:OA=OB,Z AOB=90%直接运用阅读材料中的结论即可解决问题.(2)易证:OA=OB=OC=OD=g 然后由条件 PEII OB,PFII A0 可证 AEP-AOB,BFP-BOA,2从 而 可 得 哒 且=空3=1,进而求出EP+FP=3O B O A A B A B 2(3)易证:AD=BC=4.仿
38、照(2)中的解法即可求出PE+PF=4,因而PE+PF是定值.解答:解:(1)如图2,四边形ABCD是正方形,OA=OB=OC=OD,Z ABC=Z AOB=90.AB=BC=2,AC=2A/2-O A=V 2.OA=OB,Z AOB=90,PEOA,PFOB,PE+PF=OA=&.(2)如图3,V 四边形ABCD是矩形,OA=OB=OC=OD,Z DAB=90.AB=4,AD=3,BD=5.OA=OB=OC=OD=32,/PEII OB,PFII AO,AEP&AOB,BFP-BOA.理望F P _ B P,瓦 而 O A A B.E P ,F P _ A P ,B P,O B O A A
39、B A B号 昌 5 5,2 ,2EP+FP=32PE+PF的值为a2(3)当N ADG=N BCH=30。时,PE+PF 是定值.理由:连接OA、OB、OC、O D,如图4DG与。0 相切,Z GDA=N ABD.Z ADG=30。,Z ABD=30.Z AOD=2Z ABD=60.OA=OD,AOD是等边三角形.AD=OA=4.同理可得:BC=4.PEII BC,PFII AD,AEP-ACB,BFP BDA.P E _ A P P F _ P BBCAB ADAB-P E ,P F _ A P ,P B _.BCD ABBPE+PF=4.当Z ADG=Z BCH=30。时,PE+PF=4
40、.图3图2点评:此题考查了正方形的性质、矩形的性质、弦切角定理、相似三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识,考查了类比联想的能力,由一定的综合性.要求PE+PF的值,想到将相似所得的比式相加是解决此题的关键.7.(2023云南)如图平面直角坐标系中,点 O 是坐标原点,矩形ABCO是顶点坐标分别为A(3,0)、B(3,4)、C(0,4).点 D 在 y 轴上,且点D 的坐标为(0,-5),点 P 是直线AC上的一动点.(1)当点P 运动到线段A C 的中点时,求直线D P的解析式(关系式);(2)当点P 沿直线AC移动时,过点D、P 的直线与x 轴交于点M.问在x 轴的正半轴上是否存
41、在使 DOM与4 ABC相似的点M?假设存在,请求出点M 的坐标;假设不存在,请说明理由;(3)当点P 沿直线AC移动时,以点P 为圆心、R R 0)为半径长画圆.得到的圆称为动圆P.假设设动圆P 的半径长为丝,过点D 作动圆P 的两条切线与动圆P 分别相切于点E、F.请探求在动圆P 中是否存在面积最小的四2边形DEPF?假设存在,请求出最小面积S 的值;假设不存在,请说明理由.考点:圆的综合题;待定系数法求一次函数解析式;垂线段最短;勾股定理;切线长定理;相似三角形的判定与性质.专题:综合题;压轴题;存在型;分类讨论.分析:(1)只需先求出A C中点P 的坐标,然后用待定系数法即可求出直线D
42、 P的解析式.(2)由于ADOM 与 ABC相似,对应关系不确定,可分两种情况进行讨论,利用三角形相似求出OM 的长,即可求出点M 的坐标.(3)易证 SA PED=SA PFD.从而有 S 四 边 彩 DEPF=2SA PED=壬D E.由N DEP=90得 DE2=DP2-PE2=DP2-根2 4据 点到直线之间,垂线段最短”可得:当 DP_LAC时,DP最短,此时DE也最短,对应的四边形DEPF的面积最小.借助于三角形相似,即可求出DP_LAC时 D P的值,就可求出四边形DEPF面积的最小值.解答:解:(1)过点P 作 PHII 0 A,交 O C于点H,如 图 1所示.PHII 0A
43、,CHP CO A.HP_ CH_ CPOACO CA 点 P 是 A C中点,CP=lcA.2H p Jo A,C H=k o.2 2 A(3,0)、C 0,4),OA=3,OC=4.HP=g CH=2.2OH=2.PHII OA,Z COA=90,Z CHP=Z COA=90.点 P 的坐标为 3,2).2设直线D P的解析式为y=kx+b,V D(0,-5),P 2,2)在直线 DP 上,2fb=-53-k+b=2b=-5直线D P的解析式为y=Mx-5.3(2)假设 D O M-A B C,图 2(1)所示,DOM-ABC,.D0.ONAB BC,点 B 坐 标 为(3,4),点 D
44、的坐标为(0.-5),BC=3,AB=4,OD=5.5=0M I 3 OM=K.4点 M 在 x 轴的正半轴上,二点M 的坐标为(K,0)4假设 DOM-&C B A,如图2(2)所示,DOM-CBA,.DCLOMCB-BA,1,BC=3,AB=4,OD=5,.5=0M3 TOM=.3.点M 在 x 轴的正半轴上,.,.点M 的坐标为(型,0).3综上所述:假设ADOM 与4C B A 相似,那么点M 的坐标为(至,0)或(圆,0).4 3(3).,OA=3,OC=4,NAOC=90,AC=5.PE=PF JAC”.2 2DE、DF都与O P 相切,DE=DF,Z DEP=N DFP=90.S
45、A PED=SA PFD.*.S 四边形DEPF=2Sa PED=2xJ:PEDE2=PEDE=5DE.2Z DEP=90,DE2=DP2-PE2.=Dp2 _ 至4根据 点到直线之间,垂线段最短”可得:当 DPJ_AC时,DP最短,此时DE取到最小值,四边形DEPF的面积最小.-/DPAC,Z DPC=90.Z AOC=N DPC.Z OCA=Z PCD,Z AOC=Z DPC,:&AOC-DPC.A0.ACDP-DC,1-AO=3,AC=5,DC=4-(-5)=9,.J_=5D P 9 D P=1.5DE2=DP2-名4=(2 7)2.2 55 4=2291100 _D E血虱10rS 四
46、 边 形 DEPF=+DE22291T 四边形D E P F面积的最小值为返型.点评:此题考查了相似三角形的判定与性质、用待定系数法求直线的解析式、切线长定理、勾股定理、垂线段最短等知识,考查了分类讨论的思想.将求D E的最小值转化为求D P的最小值是解决第3 小题的关键.另外,要注意“DOM与4 ABC相似 与 DOM-&ABC之间的区别.8.(2023湖州)在平面直角坐标系xOy中,O 是坐标原点,以 P(1,1)为圆心的0 P 与 x 轴,y 轴分别相切于点M 和点N,点 F 从点M 出发,沿 x 轴正方向以每秒1 个单位长度的速度运动,连接P F,过点PE_LPF交 y 轴于点E,设点
47、F 运动的时间是t 秒(t 0).(1)假设点E 在 y 轴的负半轴上(如下列图),求证:PE=PF;(2)在点F 运动过程中,设 OE=a,O F=b,试用含a 的代数式表示b;(3)作点F 关于点M 的对称点F,经过M、E 和 F 三点的抛物线的对称轴交x 轴于点Q,连接Q E.在点F 运动过程中,是否存在某一时刻,使得以点Q、0、E 为顶点的三角形与以点P、M、F 为顶点的三角形相似?假设存在,请直接写出t 的值;假设不存在,请说明理由.考点:圆的综合题.专题:压轴题.分析:(1)连接PM,P N,运用A PMF空 PNE证明;(2)分两种情况:当 t l 时,点 E 在 y 轴的负半轴
48、上;当 0 长1 时,点 E 在 y 轴的正半轴或原点上,再 根 据(1)求解,(3)分两种情况,当 l t 2时,三角形相似时还各有两种情况,根据比例式求出时间t.解答:证明:(1)如图,连接PM,PN,;0 P 与 x 轴,y 轴分别相切于点M 和点N,PMMF,PN_LON 且 PM=PN,Z PMF=Z PNE=90。且N NPM=90。,PEPF,Z NPE=Z MPF=90-Z MPE,在4 P M F和A P N E中,N N P E=/M P F-P N=P M ,ZPNE=ZPM F,A P M F A P N E (A SA),P E=P F;(2)解:分两种情况:当t l
49、时,点E在y轴的负半轴上,如 图1,由(1)P M F合 P N E,N E=M F=t,P M=P N=1,b=O F=O M+M F=l+t,a=N E -O N=t -1,b -a=l+t -(t -1)=2,b=2+a,O V t Sl时,如图2,点E在y轴的正半轴或原点上,b=O F=O M+M F=l+t,a=O E=O N -N E=1 -t,b+a=l+t+l -t=2,b=2 -a.综上所述,当t l时,b=2+a;当O V t M时,b=2 -a;(3)存在;F(1+t,0),F 和 F 关于点M 对称,M 的坐标为(1,0),F(1 -t,0).经过M、E 和 F 三点的
50、抛物线的对称轴交x 轴于点Q,Q(1 -At,0)2OQ=1-I t2由(1)得4 PMF2 A PNENE=MF=t,OE=t-1当 OEQs MPF.OE-OQM P-M F1 t解得,t+叵当 OEQs MFP 时,.OE-OQ,菽 布t 1解得,t=J,如 图 4,当 t 2 时,F Q-:F(1+t,0),F 和 F 关于点M 对称,F (1-t,0)经过M、E 和 F 三点的抛物线的对称轴交x 轴于点Q,Q(1 -I t,0)2OQ=lt-1,2由(1)得公PMF空 PNENE=MF=t,OE=t-1当 OEQj MPF.OELOQ M P M F1 t无解,当 OEQs MFP