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1、第三节传递函数一、传递函数的定义及求取二、典型环节的传递函数及其动态响应拉氏变换可以简化线性微分方程的求解。还可将线性定常微分方程转换为复数S域内的数学模型传递函数。第二章自动控制系统的数学模型第三节第三节 传递函数传递函数输出拉氏变换一、传递函数的定义及求取设一控制系统输入输入拉氏变换输出传递函数的定义：零初始条件下，系统输出量拉氏变换与系统输入量拉氏变换之比。R(S)C(S)r(t)c(t)R(s)C(s)G(s)=表示为：将微分方程拉氏变换便可求得传递函数。系统 G(S)例求图示RLC电路的传递函数。+-uruc+-CLRi解：输出量 输入量根据基尔霍夫定律：第三节第三节 传递函数传递函
2、数i=CducdtLdidtur=R i+uc拉氏变换：RCsUc(s)+LCs2Uc(s)+Uc(s)=Ur(s)传递函数为:G(s)=Uc(s)Ur(s)1LCs2+RCs+1=RCducdt+uc=ur+LCd2ucdt2dh(t)1=qi(t)dt Ah(t)2A+ah0例求液位控制系统的传递函数.将上式两边求拉氏变换：设解：得asH(s)+H(s)Qi(s)=h02A1AH(s)A(s+=ah02A)1Q(s)s+1=ah02A/a h02=Abah02Aa=bh02传递函数为H(s)Abs+1b=Q(s)第三节第三节 传递函数传递函数零初始条件下拉氏变换得：(a0 sn+a1 sn
3、-1+an-1 s+an)C(s)=(b0 sm+b1 sm-1+bm-1 s+bm)R(s)第三节第三节 传递函数传递函数系统微分方程的一般表达式为：dtm+bmr(t)=b0dm-1r(t)dtm-1+b1+dmr(t)dr(t)dt+bm-1+anc(t)+dnc(t)dtna0dn-1c(t)dt n-1+a1dc(t)dt+an-1系统传递函数的一般表达式为=b0sm+b1sm-1+bm-1s+bma0sn+a1sn-1+an-1s+anR(s)C(s)G(s)=将传递函数中的分子与分母多项式分别用因式连乘的形式来表示，即n=mG(s)=K0(s z1)(s z2)(s zm)(s
4、s1)(s s2)(s sn)放大系数传递函数的极点传递函数的零点传递函数性质：（1）传递函数只适用于线性定常系统。（2）传递函数取决于系统的结构和参数，与外施信号的大小和形式无关。（3）传递函数为复变量S的有理分式。（4）传递函数是在零初始条件下定义的，不能反映非零初始条件下系统的运动过程。第三节第三节 传递函数传递函数不同的物理系统，其结构差别很大。但若从系统的数学模型来看，一般可将自动控制系统的数学模型看作由若干个典型环节所组成。研究和掌握这些典型环节的特性将有助于对系统性能的了解。二、典型环节的传递函数及其动态响应第三节第三节 传递函数传递函数c(t)=Kr(t)C(s)=KR(s)放
5、大倍数取拉氏变换:得传递函数:1比例环节微分方程:R(s)C(s)G(s)=K第三节第三节 传递函数传递函数比例环节方框图KR(S)C(S)K1SC(s)=R(s)=1S单位阶跃响应：拉氏反变换得:c(t)=K单位阶跃响应曲线r(t)t0c(t)1r(t)Kc(t)K=-R1R2比例环节实例(a)uruc-+R1R2运算放大器第三节第三节 传递函数传递函数(b)线性电位器uc(t)+-R1R2+-ur(t)K=R2+R1R2传动齿轮(c)r(t)c(t)iK=i单位阶跃信号作用下的响应:KTs+11sC(s)=Ks+1/TKs+=R(s)=1s2惯性环节微分方程:+c(t)=Kr(t)dc(t
6、)dtT时间常数 比例系数拉氏变换：TsC(s)+C(s)=KR(s)惯性环节的传递函数:R(s)C(s)G(s)=KTs+1=第三节第三节 传递函数传递函数惯性环节方框图R(S)C(S)1+T s1拉氏反变换得:c(t)=K(1e tT-)单位阶跃响应曲线设K=1r(t)t0c(t)1r(t)c(t)T0.632uruc-+R2R1C惯性环节实例(a)运算放大器R2CS+1R2/R1G(s)=(b)RL电路+-u(t)RLiL(t)1/R(L/R)S+1G(s)=第三节第三节 传递函数传递函数R(s)C(s)G(s)=1TsTsC(s)=R(s)=r(t)dc(t)dtT 微分方程：时间常数
7、3积分环节传递函数：拉氏变换：积分环节方框图R(S)C(S)T s1第三节第三节 传递函数传递函数单位阶跃响应：1TS1SC(s)=R(s)=1S1TS2=1Tc(t)=t单位阶跃响应曲线r(t)t0c(t)1c(t)r(t)T拉氏反变换得:积分环节实例(a)运算放大器uc-+RCur1RCSG(s)=(b)直流伺服电机+-UdMSKG(s)=第三节第三节 传递函数传递函数4微分环节R(S)C(S)T s理想微分环节微分方程：微分时间常数微分环节方框图单位阶跃响应：c(t)=Tdr(t)dtR(s)C(s)G(s)=Ts第三节第三节 传递函数传递函数TS1SC(s)=R(s)=1S拉氏反变换得
8、:c(t)=T(t)单位阶跃响应曲线r(t)t0c(t)c(t)r(t)运算放大器构成的微分环节-+RucCurG(s)=RC s+-uc+-CRurRC电路构成的实用微分环节RCsRCS+1 G(s)=TsTs+1=第三节第三节 传递函数传递函数理想微分环节实际中是难以实现的，实际中常用含有惯性的实用微分环节。传递函数:单位阶跃响应:1sTsTs+1G(s)=1s+1/T c(t)=e tT-单位阶跃响应曲线r(t)r(t)t0c(t)c(t)1 由于微分环节的输出只能反映输入信号的变化率，不能反映输入量本身的大小，故常采用比例微分环节。采用运算放大器构成的比例微分环节：R1ucC1R2ur
9、-+传递函数：单位阶跃响应：c(t)=KT(t)+K R(s)C(s)G(s)=K(Ts+1)第三节第三节 传递函数传递函数单位阶跃响应曲线1c(t)r(t)r(t)t0c(t)5.振荡环节微分方程：+c(t)=r(t)+2T d2c(t)dt2dc(t)dtT 2时间常数 阻尼比T传递函数：1T2S2+2T S+1=R(s)C(s)G(s)=G(s)=T 21T 21T 2S2+S+n2n2n S2+2S+=T1n=无阻尼自然振荡频率振荡环节方框图S2+2nS+n2n2R(S)C(S)单位阶跃响应：c(t)=1-1-2Sin(dt+)e第三节第三节 传递函数传递函数单位阶跃响应曲线1c(t)r(t)r(t)t0c(t)1 ms2+fs+k=F(s)Y(s)G(s)=常见振荡环节的实例：(1)机械位移系统(2)他激直流电动机(3)RLC电路第三节第三节 传递函数传递函数1/Ce TaTms2+Tms+1=U(s)N(s)G(s)=Ur(s)Uc(s)1 LCs2+RCs+1=G(s)=R(s)C(s)G(s)=e-s c(t)=r(t)1(t)R(S)C(S)e-s6时滞环节延时时间 数学模型：时滞环节方框图传递函数：时滞环节作近似处理得1+s1第三节第三节 传递函数传递函数G(s)=1+s+2!2s2+11阶跃响应曲线1c(t)r(t)r(t)t0c(t)