最优控制系统设计学习教案.pptx

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1、会计学1最优控制系统最优控制系统(xtng)设计设计第一页，共85页。4.1 4.1 最优控制的基本概念最优控制的基本概念 在古典控制理论中，反馈控制在古典控制理论中，反馈控制系统的传统设计方法有很多局限性，系统的传统设计方法有很多局限性，其中最重要的缺点是其中最重要的缺点是:*方法不严密，大量地依靠试探法。方法不严密，大量地依靠试探法。这种设计方法对于多输入这种设计方法对于多输入-多输出系多输出系统以及复杂系统，不能得到令人满统以及复杂系统，不能得到令人满意的设计结果。意的设计结果。*另一方面，近年来，由于另一方面，近年来，由于(yuy)(yuy)对系统控制质量的要求越来越高，对系统控制质量

2、的要求越来越高，和计算机在控制领域的应用越来越和计算机在控制领域的应用越来越广泛，所以最优控制系统受到很大广泛，所以最优控制系统受到很大重视。重视。第1页/共85页第二页，共85页。*最优控制的目的是使系统的某种性能指最优控制的目的是使系统的某种性能指标达到最佳，也就是说，利用控制作用可标达到最佳，也就是说，利用控制作用可按照人们的愿望选择一条达到目标的最佳按照人们的愿望选择一条达到目标的最佳途径（即最优轨线），至于哪一条轨线为途径（即最优轨线），至于哪一条轨线为最优，对于不同的系统有不同的要求。而最优，对于不同的系统有不同的要求。而且且(r qi)(r qi)对于同一系统，也可能有不对于同一

3、系统，也可能有不同的要求。同的要求。第2页/共85页第三页，共85页。例如在机床加工中可要求加工成本最低为最优；在导弹飞行控制中可要求燃料消耗最少为最优；在截击问题中可选时间最短为最优等等。因此，最优是以选定的性能指标最优为依据的。*一般来讲，达到一个目标的控制方式很多，但实际上的经济、时间、环境、制造等方面有各种限制，因此可实行(shxng)的控制方式是有限的。第3页/共85页第四页，共85页。当需要实行具体控制时，有必要选择某一控制当需要实行具体控制时，有必要选择某一控制方式。方式。考虑这些考虑这些(zhxi)(zhxi)情况，引入控制的性能指标情况，引入控制的性能指标概念，使这种指标达到

4、最优值（指标可以是极大值概念，使这种指标达到最优值（指标可以是极大值或极小值）就是一种选择方法。这样的问题就是最或极小值）就是一种选择方法。这样的问题就是最优控制。优控制。但一般来讲不是把经济、时间等方面的要求全但一般来讲不是把经济、时间等方面的要求全部表示为这种性能指标，而是把其中一部分用这种部表示为这种性能指标，而是把其中一部分用这种指标来表示，其余部分用系统工作范围中的约束来指标来表示，其余部分用系统工作范围中的约束来表示。表示。第4页/共85页第五页，共85页。将上面的 思想用数学形式表达(biod)如下：已知：控制系统(kn zh x tn)的最优性能指标为 附加约束(yush)为系

5、统方程 以及对应的边界条件（如给定初始条件以及对应的边界条件（如给定初始条件 ），求控制作用），求控制作用u(t)u(t)，使性能指标，使性能指标J J极小。极小。第5页/共85页第六页，共85页。*求解：对这种问题应用古典变分法，作为其扩展求解：对这种问题应用古典变分法，作为其扩展的极大（或极小）值原理，或者用动态规划方法的极大（或极小）值原理，或者用动态规划方法(fngf(fngf)来解决。来解决。性能指标性能指标J J在数学上称为泛函，而在控制系统术语在数学上称为泛函，而在控制系统术语中称为损失函数。通常，在实际系统中，特别是在中称为损失函数。通常，在实际系统中，特别是在工程项目中，损失

6、函数的确定很不容易，需要多次工程项目中，损失函数的确定很不容易，需要多次反复。反复。第6页/共85页第七页，共85页。性能指标的选择性能指标的选择:性能指标性能指标J J是一个标量，在最优控制中是一个标量，在最优控制中它代替了传统的设计指标，如最大超调量、它代替了传统的设计指标，如最大超调量、阻尼比、幅值裕度和相位裕度。适当选择性阻尼比、幅值裕度和相位裕度。适当选择性能指标，使系统设计符合物理上的标准。能指标，使系统设计符合物理上的标准。/即性能指标既要能对系统作有意义的估即性能指标既要能对系统作有意义的估价，又要使数学处理简单价，又要使数学处理简单(jindn)(jindn)，这就，这就是对

7、于给定的系统很难选择一个最合适的性是对于给定的系统很难选择一个最合适的性能指标的原因，尤其是对于复杂系能指标的原因，尤其是对于复杂系 统，更是这样。统，更是这样。第7页/共85页第八页，共85页。性能指标已有了如下几种公式化的形式性能指标已有了如下几种公式化的形式(xngsh):(xngsh):最短时间问题：最短时间问题：在最优控制中，一个最常遇到的问题是设计一个系统，在最优控制中，一个最常遇到的问题是设计一个系统，使该系统能在最短时间内从某初始状态过渡到最终状态。使该系统能在最短时间内从某初始状态过渡到最终状态。此最短时间问题可表示为极小值问题。此最短时间问题可表示为极小值问题。第8页/共8

8、5页第九页，共85页。线性调节器问题：给定一个线性系统，设计目标为保持平衡(pnghng)状态，而且系统能够从任何初始状态恢复到平衡(pnghng)状态。式中 Q为对称的正定矩阵。第9页/共85页第十页，共85页。或者或者:式中，式中，u u为控制作用，矩阵为控制作用，矩阵R R，Q Q 称为权矩阵，在最优称为权矩阵，在最优化过程中，它们的组成化过程中，它们的组成(z chn)(z chn)将对将对X X和和u u施加不同的影施加不同的影响。响。第10页/共85页第十一页，共85页。线性伺服器问题：线性伺服器问题：如果要求给定的系统状态如果要求给定的系统状态X X跟踪或者跟踪或者(huzh)(

9、huzh)尽可能地接近目标轨迹尽可能地接近目标轨迹 ，则，则问题可公式化为问题可公式化为:J J为极小值。为极小值。除此之外，还有最小能量问题、最小除此之外，还有最小能量问题、最小燃料问题等等。燃料问题等等。第11页/共85页第十二页，共85页。除特殊情况外，最优控制问题的解析解都是较复杂(fz)的，以至必须求其数值解。但必须指出，当线性系统具有二次型性能指标时，其解就可以用整齐的解析形式表示。第12页/共85页第十三页，共85页。*必须注意，控制作用u(t)不像通常(tngchng)在传统设计中那样被称为参考输入。当设计完成时，最优控制u(t)将具有依靠输出量或状态变量的性质，所以一个闭环系

10、统是自然形成的。第13页/共85页第十四页，共85页。最优控制的实现问题:*如果系统不可控，则系统最优控制问题是不能实现的。*如果提出的性能指标超出给定系统所能达到的程度(chngd)，则系统最优控制问题同样是不能实现的.第14页/共85页第十五页，共85页。例例4.1 4.1 电枢控制电枢控制(kngzh)(kngzh)的他激直流电动机动态方程为的他激直流电动机动态方程为:式中，式中，为恒定负载转矩，为恒定负载转矩，J J为转动惯量；为转动惯量；为为 电枢电流；电枢电流；为电机的角速度；为电机的角速度；为转矩系数。为转矩系数。要求电动机在 时间内，从静止状态起动(q dn)，转过一定的角度后

11、停止，即有:第15页/共85页第十六页，共85页。在时间在时间00，内，使电枢绕组上的损耗为最小，内，使电枢绕组上的损耗为最小，即最优控制问题表示为：即最优控制问题表示为：式中式中 为最小电枢电流；为最小电枢电流；R R为绕组电阻为绕组电阻(dinz)(dinz)。将上述最优控制问题，写为典型形式：将上述最优控制问题，写为典型形式：设状态变量设状态变量 （转角），（转角），（角速（角速度），令：度），令：第16页/共85页第十七页，共85页。则状态则状态(zhungti)(zhungti)方程为：方程为：式中：式中：初始状态初始状态(zhungti)(zhungti)给定为：给定为：终点状态终

12、点状态(zhungti)(zhungti)给定为：给定为：性能指标函数为最小，即：性能指标函数为最小，即：为最小。为最小。第17页/共85页第十八页，共85页。4.2 4.2 4.2 4.2 无约束最优控制的变分方法无约束最优控制的变分方法无约束最优控制的变分方法无约束最优控制的变分方法 所谓无约束，是指控制作用所谓无约束，是指控制作用所谓无约束，是指控制作用所谓无约束，是指控制作用u(t)u(t)u(t)u(t)不受不等式的约束，可以在整个不受不等式的约束，可以在整个不受不等式的约束，可以在整个不受不等式的约束，可以在整个(zhngg)r(zhngg)r(zhngg)r(zhngg)r维向量

13、空间中任意取值维向量空间中任意取值维向量空间中任意取值维向量空间中任意取值.一、古典变分法一、古典变分法一、古典变分法一、古典变分法 无约束最优控制的提法：无约束最优控制的提法：无约束最优控制的提法：无约束最优控制的提法：已知受控系统的状态方程是已知受控系统的状态方程是已知受控系统的状态方程是已知受控系统的状态方程是:在在在在 范围内有效，式中，范围内有效，式中，范围内有效，式中，范围内有效，式中，X X X X为为为为n n n n维状态向量，维状态向量，维状态向量，维状态向量，u u u u为为为为r r r r维控制向量。这是等式约束。维控制向量。这是等式约束。维控制向量。这是等式约束。

14、维控制向量。这是等式约束。第18页/共85页第十九页，共85页。给定：始点与终点的时间固定，状态自由。给定：始点与终点的时间固定，状态自由。要求确定控制作用要求确定控制作用u(t)u(t)，使性能指标，使性能指标:达到极小值。达到极小值。由上述最优控制的提法知，约束方程为状态方程，由上述最优控制的提法知，约束方程为状态方程，所以现在所以现在(xinzi)(xinzi)的问题成为有约束条件的泛函极值问的问题成为有约束条件的泛函极值问题，即在状态空间中，在曲面题，即在状态空间中，在曲面 上找出极值曲线。上找出极值曲线。第19页/共85页第二十页，共85页。求解的一种方法是:先解状态方程，求出 再将

15、其代入 J中求解，此种方法非常繁琐。另一种方法是:组成新的泛函 J，求考虑约束(yush)的极值问题，即拉格朗日乘子法。它的具体步骤如下：第20页/共85页第二十一页，共85页。用一个向量拉格朗日乘子 ，将约束(yush)即系统的状态方程加到原来的性能指标J中去，得到新的性能指标 为:第21页/共85页第二十二页，共85页。定义(dngy)一个标量函数 称它为哈密尔顿函数。所以新的性能指标为:第22页/共85页第二十三页，共85页。对对 的最后一项进行分部积分的最后一项进行分部积分 求求 对控制向量对控制向量(xingling)(xingling)及状态向量及状态向量(xingling)(xi

16、ngling)的一次变分，并利用内积可换位性的一次变分，并利用内积可换位性质（为方便，以下用质（为方便，以下用J J代代 ）,有：有：第23页/共85页第二十四页，共85页。得得 因为极小值存在的必要条件是因为极小值存在的必要条件是J J对对 的一次变分为的一次变分为(fn wi)0(fn wi)0，所以令，所以令 从而得到以下一组方程从而得到以下一组方程:第24页/共85页第二十五页，共85页。(4.1)(4.1)以上四个方程以上四个方程(fngchng)(fngchng)叫作叫作 控制作用不受约束的庞德亚金方程控制作用不受约束的庞德亚金方程(fngchng)(fngchng)。第25页/共

17、85页第二十六页，共85页。极小值存在(cnzi)的充分条件是：沿着满足 的一切轨线，J的二次变分必须非负。取 的台劳级数展开式的二次项为 J的二次变分，有：一次变分 第26页/共85页第二十七页，共85页。二次变分：二次变分：第27页/共85页第二十八页，共85页。如果如果 半正定，及半正定，及半正定，则半正定，则 为非负值，即上述两个半正定条件为为非负值，即上述两个半正定条件为J J极小的充分条极小的充分条件。件。由庞德亚金方程由庞德亚金方程(fngchng)(fngchng)可知，初端与终端的各种不同情况可知，初端与终端的各种不同情况都将影响贯截方程都将影响贯截方程(fngchng)(f

18、ngchng)，即贯截条件，这，即贯截条件，这 一点是较难掌握的。一点是较难掌握的。第28页/共85页第二十九页，共85页。二、贯截条件的分析二、贯截条件的分析(fnx)(fnx)始点时间、状态固定及终点时间固定、状态自由时，相应的新泛函指标为：始点时间、状态固定及终点时间固定、状态自由时，相应的新泛函指标为：因为因为 固定，所以有固定，所以有 ，而，而 是完全任意的，则由前面推出的贯截方程是完全任意的，则由前面推出的贯截方程:得到贯截条件为：得到贯截条件为：第29页/共85页第三十页，共85页。系统的始点时间与状态都固定，系统的始点时间与状态都固定，系统的始点时间与状态都固定，系统的始点时间

19、与状态都固定，终点状态固定，终点状态固定，终点状态固定，终点状态固定，时间不固定：时间不固定：时间不固定：时间不固定：因为因为因为因为 和和和和 都为都为都为都为0 0，即始点与终点的状，即始点与终点的状，即始点与终点的状，即始点与终点的状态固定，没有选择的余地，所以始点与终点的态固定，没有选择的余地，所以始点与终点的态固定，没有选择的余地，所以始点与终点的态固定，没有选择的余地，所以始点与终点的状态对性能指标极小化不产生影响，于是状态对性能指标极小化不产生影响，于是状态对性能指标极小化不产生影响，于是状态对性能指标极小化不产生影响，于是J J中便中便中便中便没有末值项了。即没有末值项了。即没

20、有末值项了。即没有末值项了。即:由于由于由于由于(yuy)(yuy)可得贯截条件方程为可得贯截条件方程为可得贯截条件方程为可得贯截条件方程为 (4.3)(4.3)为待定常数乘子。为待定常数乘子。为待定常数乘子。为待定常数乘子。第30页/共85页第三十一页，共85页。4.3 4.3 4.3 4.3 线性调节器问题线性调节器问题线性调节器问题线性调节器问题 一、二次型性能指标的最优控制一、二次型性能指标的最优控制一、二次型性能指标的最优控制一、二次型性能指标的最优控制 在现代控制理论在现代控制理论在现代控制理论在现代控制理论(lln)(lln)(lln)(lln)中，基于二次型性能指中，基于二次型

21、性能指中，基于二次型性能指中，基于二次型性能指标进行最优设计的问题已成为最优控制理论标进行最优设计的问题已成为最优控制理论标进行最优设计的问题已成为最优控制理论标进行最优设计的问题已成为最优控制理论(lln)(lln)(lln)(lln)中的一个重要问题。中的一个重要问题。中的一个重要问题。中的一个重要问题。而利用变分法建立起来的无约束最优控制原理，而利用变分法建立起来的无约束最优控制原理，而利用变分法建立起来的无约束最优控制原理，而利用变分法建立起来的无约束最优控制原理，对于寻求二次型性能指标线性系统的最优控制是适对于寻求二次型性能指标线性系统的最优控制是适对于寻求二次型性能指标线性系统的最

22、优控制是适对于寻求二次型性能指标线性系统的最优控制是适用的。用的。用的。用的。下面介绍什么是二次型性能指标的最优下面介绍什么是二次型性能指标的最优下面介绍什么是二次型性能指标的最优下面介绍什么是二次型性能指标的最优 控制控制控制控制第31页/共85页第三十二页，共85页。给定一个n阶线性控制对象，其状态方程是 (4.4)寻求(xnqi)最优控制u(t)，使性能指标 (4.5)达到极小值。这是二次型指标泛函，要求S、Q(t)、R(t)是对称矩阵，并且S和 Q(t)应是非 负定的或正定的，R(t)应是正定的。第32页/共85页第三十三页，共85页。对性能指标的意义加以了解与讨论是非常必要的。对性能

23、指标的意义加以了解与讨论是非常必要的。式式(4.5(4.5）右端第一项是末值项，实际上它是对终端状态提出）右端第一项是末值项，实际上它是对终端状态提出(t ch)(t ch)一个符合需要的要一个符合需要的要求，表示在给定的控制终端时刻求，表示在给定的控制终端时刻 到来时，系统的终态到来时，系统的终态 接近预定终态的程度接近预定终态的程度.这一项对于控制大气层外导弹的拦这一项对于控制大气层外导弹的拦 截、飞船的会合等问题是很重要的。截、飞船的会合等问题是很重要的。第33页/共85页第三十四页，共85页。式(4.5）右侧的积分项是一项综合指标。积分中的第一项表示对于一切的 对状态 的要求，用它来衡

24、量整个控制期间系统的实际状态与给定状态之间的综合误差，类似于古典控制理论中给定参考输入与被控制量之间的误差的平方积分，这一积分项愈小，说明控制的性能愈好。积分的第二项是对控制总能量的限制，如果仅要求控制误差尽量小，则可能(knng)造成求得的控制向量u(t)过大，控制能量消耗过大，甚 至在实际上难以实现。第34页/共85页第三十五页，共85页。实际上，上述两个积分项是相互制约的：实际上，上述两个积分项是相互制约的：要求控制状态的误差平方积分减小，必然导致控制能要求控制状态的误差平方积分减小，必然导致控制能量的消耗增大；反之，为了节省控制能量，就不得不降量的消耗增大；反之，为了节省控制能量，就不

25、得不降低对控制性能的要求。低对控制性能的要求。求两者之和的极小值，实质上是求取在某种最优意义求两者之和的极小值，实质上是求取在某种最优意义下的折衷，这种折衷侧重下的折衷，这种折衷侧重(czhng)(czhng)哪一方面，取决于加哪一方面，取决于加权矩阵权矩阵Q(t)Q(t)及及R(t)R(t)的选取。的选取。如果重视控制的准确性如果重视控制的准确性,则应增大加权矩阵则应增大加权矩阵 Q(t)Q(t)的各的各元，反之则应增大加权矩阵元，反之则应增大加权矩阵R(t)R(t)的各元。的各元。第35页/共85页第三十六页，共85页。Q(t)Q(t)中的各元体现了对中的各元体现了对X(t)X(t)中各分

26、量的重视中各分量的重视程度，如果程度，如果Q(t)Q(t)中有些元素等于零，则说明对中有些元素等于零，则说明对X(t)X(t)中对应的状态分量没有任何要求，这些状态中对应的状态分量没有任何要求，这些状态分量往往对整个系统的控制性能影响较微小，由此分量往往对整个系统的控制性能影响较微小，由此也能说明加权矩阵也能说明加权矩阵Q(t)Q(t)为什么可以是正定或非负定为什么可以是正定或非负定对称矩阵。对称矩阵。因为对任一控制分量所消耗的能量都应限制因为对任一控制分量所消耗的能量都应限制(xinzh)(xinzh)，又因为计算中需要用到矩阵，又因为计算中需要用到矩阵R(t)R(t)的逆的逆矩阵，所以矩阵

27、，所以 R(t)R(t)必须是正定对称矩阵。必须是正定对称矩阵。第36页/共85页第三十七页，共85页。常见的二次型性能指标最优控制分两类常见的二次型性能指标最优控制分两类:线性调节器线性调节器 线性伺服器线性伺服器它们已在实际中得到了广泛应用。它们已在实际中得到了广泛应用。由于二次型性能指标最优控制的突出特点是其由于二次型性能指标最优控制的突出特点是其线性的控制规律，即其反馈控制作用可以做到与系线性的控制规律，即其反馈控制作用可以做到与系统状态的变化成比例，即统状态的变化成比例，即u(t)=-KX(t)u(t)=-KX(t)（实际上，它（实际上，它是采用状态反馈的闭环控制系统），因此这类控制

28、是采用状态反馈的闭环控制系统），因此这类控制易于易于(yy)(yy)实现，也易于实现，也易于(yy)(yy)驾驭，是很引人注驾驭，是很引人注意的一个课题意的一个课题.第37页/共85页第三十八页，共85页。1.1.线性调节器问题线性调节器问题 如果施加于控制系统的参考输入如果施加于控制系统的参考输入不变，当被控对象的状态受到外界不变，当被控对象的状态受到外界(wiji)(wiji)干扰或受到其他因素影响而干扰或受到其他因素影响而偏离给定的平衡状态时，就要对它加偏离给定的平衡状态时，就要对它加以控制，使其恢复到平衡状态，这类以控制，使其恢复到平衡状态，这类问题称为调节器问题。问题称为调节器问题。

29、5,285,28第38页/共85页第三十九页，共85页。2.2.线性伺服器问题线性伺服器问题 对被控对象施加控制，使其状态按照参考输对被控对象施加控制，使其状态按照参考输入的变化而变化，这就是入的变化而变化，这就是(jish)(jish)伺服器问题。伺服器问题。从控制性质看以上两类问题，虽然有差异，从控制性质看以上两类问题，虽然有差异，但在寻求最优控制的问题上，它们有许多一致但在寻求最优控制的问题上，它们有许多一致的地方。的地方。这两类问题，又可根据要求的性能指标不同，这两类问题，又可根据要求的性能指标不同，分为两种情况：分为两种情况：第39页/共85页第四十页，共85页。终端时间有限终端时间

30、有限 的最优控制：的最优控制：因为所给控制时间因为所给控制时间 是有限的，这就限制是有限的，这就限制了终端状态，所以终端状态了终端状态，所以终端状态 可以是自由的，也可以是自由的，也可以是受限制的，往往不可能要求可以是受限制的，往往不可能要求 完全固定。完全固定。此外，该问题中性能指标应该有末值项，因为积此外，该问题中性能指标应该有末值项，因为积分项上限分项上限(shngxin)(shngxin)是有限的。是有限的。终端时间无限终端时间无限 的最优控制：的最优控制：当终端时间当终端时间 时，终端状态时，终端状态 进入到进入到给定的终端稳定状态给定的终端稳定状态 ，所以性能指标中不应有，所以性能

31、指标中不应有末值项，此时积分项上限末值项，此时积分项上限(shngxin)(shngxin)为为 。第40页/共85页第四十一页，共85页。二、终端时间有限二、终端时间有限二、终端时间有限二、终端时间有限()()()()的线性调节器问题的线性调节器问题的线性调节器问题的线性调节器问题 设线性系统的状态方程由下式表示设线性系统的状态方程由下式表示设线性系统的状态方程由下式表示设线性系统的状态方程由下式表示(biosh)(biosh)(biosh)(biosh)(4.6)(4.6)(4.6)(4.6)给定初始条件给定初始条件给定初始条件给定初始条件 ，寻求最优控制，寻求最优控制，寻求最优控制，寻求

32、最优控制u(t)u(t)u(t)u(t)，使性能指标，使性能指标，使性能指标，使性能指标 达到极小值。达到极小值。达到极小值。达到极小值。根据上一节所述的变分法原理求解。根据上一节所述的变分法原理求解。根据上一节所述的变分法原理求解。根据上一节所述的变分法原理求解。第41页/共85页第四十二页，共85页。1 1 1 1建立庞德亚金方程建立庞德亚金方程建立庞德亚金方程建立庞德亚金方程 首先建立首先建立首先建立首先建立哈密尔顿函数哈密尔顿函数哈密尔顿函数哈密尔顿函数 (4.7)(4.7)(4.7)(4.7)建立控制建立控制建立控制建立控制(kngzh)(kngzh)(kngzh)(kngzh)方程

33、方程方程方程 (4.8)(4.8)(4.8)(4.8)建立伴随方程建立伴随方程建立伴随方程建立伴随方程 (4.9)(4.9)(4.9)(4.9)建立贯截方程建立贯截方程建立贯截方程建立贯截方程 (4.10)(4.10)(4.10)(4.10)第42页/共85页第四十三页，共85页。2 2 2 2建立闭环控制建立闭环控制建立闭环控制建立闭环控制 使最优控制使最优控制使最优控制使最优控制 u(t)u(t)u(t)u(t)作为状态作为状态作为状态作为状态 的函数，的函数，的函数，的函数，建立闭环控制。由式建立闭环控制。由式建立闭环控制。由式建立闭环控制。由式(4.8)(4.8)(4.8)(4.8)得

34、得得得 (4.11)(4.11)(4.11)(4.11)假定上面这个控制作用假定上面这个控制作用假定上面这个控制作用假定上面这个控制作用(zuyng)u(t)(zuyng)u(t)(zuyng)u(t)(zuyng)u(t)可以用一个闭环控制来代可以用一个闭环控制来代可以用一个闭环控制来代可以用一个闭环控制来代替，而且能满足伴随方程式替，而且能满足伴随方程式替，而且能满足伴随方程式替，而且能满足伴随方程式(4.9)(4.9)(4.9)(4.9)的条件，的条件，的条件，的条件，设设设设:(4.12)(4.12)(4.12)(4.12)将其代入式将其代入式将其代入式将其代入式(4.11)(4.11

35、)(4.11)(4.11)，得，得，得，得:第43页/共85页第四十四页，共85页。式中 (4.13)为反馈增益矩阵。因为(yn wi)R(t)、B(t)均已知,所以求最优控制 u(t)便归结为求解矩阵P(t)。第44页/共85页第四十五页，共85页。3.3.3.3.求解求解求解求解(qi ji)(qi ji)(qi ji)(qi ji)矩阵矩阵矩阵矩阵P(t)P(t)P(t)P(t)将式将式将式将式(4.13)(4.13)(4.13)(4.13)代入式代入式代入式代入式(4.6)(4.6)(4.6)(4.6)后可得后可得后可得后可得 (4.14)(4.14)(4.14)(4.14)由式由式由

36、式由式(4.9)(4.9)(4.9)(4.9)和式和式和式和式(4.12)(4.12)(4.12)(4.12)可得可得可得可得 (4.15)(4.15)(4.15)(4.15)将式将式将式将式(4.14)(4.14)(4.14)(4.14)代入式代入式代入式代入式(4.15)(4.15)(4.15)(4.15)可得可得可得可得:第45页/共85页第四十六页，共85页。上式中，由于(yuy)，所以必须有：式中，P为一个 对称正定矩阵，共有 个不同类项。式(4.16)为里卡德(Ricatti)矩阵方程,它是一个非线性微分方程。/第46页/共85页第四十七页，共85页。求它的解所需的求它的解所需的

37、个边界条件个边界条件(tiojin)(tiojin)，可，可根据式根据式(4.10)(4.10)和式和式(4.12)(4.12)给出的终值条件给出的终值条件(tiojin)(tiojin)求得求得:即即:于是利用里卡德矩阵方程，可以由已知的于是利用里卡德矩阵方程，可以由已知的 时的时的P P 矩阵求出矩阵求出 时的值。时的值。第47页/共85页第四十八页，共85页。从式从式(4.16)(4.16)中解出满足终端条件的中解出满足终端条件的P(t)P(t)后，代入式后，代入式(4.13)(4.13)就能将最优控制就能将最优控制u(t)u(t)通过通过X(t)X(t)的线性反馈关系表示的线性反馈关系

38、表示(bi(bi osh)osh)出来。如图出来。如图4.14.1所示。所示。第48页/共85页第四十九页，共85页。由以上(yshng)分析可见，构成线性最优调节器的必要条件为：系统的状态必须是完全能量测的。反馈矩阵K 确实能够求得，并能够实 际实现。在通常情况下，短阵P 由里卡德矩阵方程解出。由于里卡德矩阵方程是一个非线性微分方程，虽然有一些求解的方法，但是解法很繁，只是在方程形式很简单的情况下，才能求得解析形式的解。第49页/共85页第五十页，共85页。如果矩阵如果矩阵S S太大，不易计算，有时可利用里卡太大，不易计算，有时可利用里卡德逆矩阵微分方程德逆矩阵微分方程(wi fn fn(w

39、i fn fn chn chn)求解，求解方求解，求解方法如下：令法如下：令微分得微分得:由上式可得由上式可得 里卡德逆矩阵方程为里卡德逆矩阵方程为:且且:第50页/共85页第五十一页，共85页。为求得线性最优调节器得以实现的充分条件(chn fn tio jin)，必须使性能指标J的二次变分大于零,即:第51页/共85页第五十二页，共85页。显然，要使显然，要使 ，Q Q、R R、S S等必须至少为等必须至少为半正定矩阵，同时由式半正定矩阵，同时由式(4.11)(4.11)可见，可见，R R必须是可必须是可逆的。因此逆的。因此(ync)(ync)充分条件可归纳为：充分条件可归纳为：R R是正

40、是正定的，定的，Q Q和和S S至少是半正定的。至少是半正定的。4 4线性调节器的稳定性线性调节器的稳定性 既然线性调节器构成了一个闭环回路，那既然线性调节器构成了一个闭环回路，那么它的稳定性如何也必然是人们所关心的问题。么它的稳定性如何也必然是人们所关心的问题。巳知系统的状态方程为巳知系统的状态方程为第52页/共85页第五十三页，共85页。按二次型性能指标按二次型性能指标达到达到(d do)(d do)最小，得到的控制规律为最小，得到的控制规律为 则有则有第53页/共85页第五十四页，共85页。由式里卡德由式里卡德(Ricatti)(Ricatti)矩阵方程矩阵方程(fngchng)(4.1

41、6)(fngchng)(4.16)可得可得令令 ，于是可得，于是可得 (4.17)(4.17)已知已知R R是正定矩阵是正定矩阵,Q,Q是半正定矩阵因此式是半正定矩阵因此式(4.17)(4.17)右端必永远为负。可用由里卡德方程右端必永远为负。可用由里卡德方程(fngchng)(fngchng)求得的矩阵求得的矩阵P P所构成的函数所构成的函数 作作为线性调节器的李亚普诺夫函数。由李亚普诺为线性调节器的李亚普诺夫函数。由李亚普诺夫第二法知，夫第二法知，P P是一个正定矩阵，是一个正定矩阵，永远为永远为负，可见由负，可见由 线性调节器构成的闭环系统是一个渐近线性调节器构成的闭环系统是一个渐近 稳

42、定的系统。稳定的系统。第54页/共85页第五十五页，共85页。例例4.2 设系统设系统(xtng)方程为方程为其性能指标为其性能指标为于是可得里卡德矩阵微分方程为于是可得里卡德矩阵微分方程为第55页/共85页第五十六页，共85页。其终值条件其终值条件其终值条件其终值条件(tiojin)(tiojin)为为为为解上述方程可得解上述方程可得解上述方程可得解上述方程可得或或或或:第56页/共85页第五十七页，共85页。调整调整调整调整 和和和和 可使可使可使可使 。例如。例如。例如。例如(lr)(lr)(lr)(lr)，假定，假定，假定，假定 S=0,S=0,S=0,S=0,即即即即P(1)=0P(

43、1)=0P(1)=0P(1)=0，则得，则得，则得，则得这时这时这时这时 S=10 S=10 S=10 S=10，,即即即即P(10)=10,P(10)=10,P(10)=10,P(10)=10,求得求得求得求得由由由由可得这时的放大系数可得这时的放大系数可得这时的放大系数可得这时的放大系数 K=10 K=10 K=10 K=10。上述线性调节器是参数可调的，当满足上上述线性调节器是参数可调的，当满足上上述线性调节器是参数可调的，当满足上上述线性调节器是参数可调的，当满足上 述要求时，就可以实现最优控制规律。述要求时，就可以实现最优控制规律。述要求时，就可以实现最优控制规律。述要求时，就可以实

44、现最优控制规律。第57页/共85页第五十八页，共85页。*例例例例4.3 4.3 4.3 4.3 设被控对象设被控对象设被控对象设被控对象(duxing)(duxing)(duxing)(duxing)的状态方程是的状态方程是的状态方程是的状态方程是这是一个标量状态方程，试求最优控制这是一个标量状态方程，试求最优控制这是一个标量状态方程，试求最优控制这是一个标量状态方程，试求最优控制u(t)u(t)u(t)u(t)，使性能指标，使性能指标，使性能指标，使性能指标为极小值。为极小值。为极小值。为极小值。第58页/共85页第五十九页，共85页。解解解解 根据式根据式根据式根据式(4.16)(4.1

45、6)得里卡德矩阵微分方程得里卡德矩阵微分方程得里卡德矩阵微分方程得里卡德矩阵微分方程(wi fn(wi fn fnfn chn chn)它是非线性标量微分方程它是非线性标量微分方程它是非线性标量微分方程它是非线性标量微分方程(wi fn fn(wi fn fn chn chn)。将里卡德方程中的变量将里卡德方程中的变量将里卡德方程中的变量将里卡德方程中的变量t t用用用用 代换，分离变量后，代换，分离变量后，代换，分离变量后，代换，分离变量后，对等式两侧积分，积分的下限用对等式两侧积分，积分的下限用对等式两侧积分，积分的下限用对等式两侧积分，积分的下限用t t及及及及P(t)P(t)，上限，上

46、限，上限，上限取终端时间取终端时间取终端时间取终端时间 及及及及 ，则有，则有，则有，则有第59页/共85页第六十页，共85页。考虑到终端考虑到终端(zhn(zhn dun)dun)贯截条件贯截条件所以又可写成所以又可写成将等式左侧被积函数的分母分解因式，再写成部将等式左侧被积函数的分母分解因式，再写成部分分式，则可得出分分式，则可得出第60页/共85页第六十一页，共85页。式中式中或写成或写成 经整理经整理(zhngl(zhngl)得出得出第61页/共85页第六十二页，共85页。将求得的将求得的P(t)P(t)代人下式，得最优控制代人下式，得最优控制于是系统于是系统(xtng)(xtng)的

47、最优轨迹的最优轨迹X(t)X(t)是下面标量时变微分方是下面标量时变微分方程的解，既程的解，既或写成为或写成为对里卡德方程所解的对里卡德方程所解的P(t)P(t)进行分析，得进行分析，得第62页/共85页第六十三页，共85页。当当a=-1,b=,S=0 a=-1,b=,S=0 时时 当当a=-1,b=a=-1,b=，S=1 S=1 时时在图在图4.24.2中画出了当中画出了当 时，对应时，对应(duyng)(duyng)于于S=0S=0与与S=1S=1的的P(t)P(t)的几何图形。由图的几何图形。由图4.24.2可见：可见：第63页/共85页第六十四页，共85页。当当 ，即当终端时间有限时，

48、即当终端时间有限时，由里卡德方程的终端条由里卡德方程的终端条件决定。事实上件决定。事实上当当 ，即终端时间无限，即终端时间无限(wxin)(wxin)时，时，趋于稳态值，因趋于稳态值，因为为第64页/共85页第六十五页，共85页。这一点很重要，它说明了里卡德方程的解这一点很重要，它说明了里卡德方程的解P(t)P(t)的一个重要性质，即的一个重要性质，即:当当 时里卡德矩阵微分方程退化为里卡德矩阵代数方程时里卡德矩阵微分方程退化为里卡德矩阵代数方程:(4.18)(4.18)/6,4/6,4三、终端三、终端(zhn dun)(zhn dun)时间无限时间无限()()的线性调节器问题的线性调节器问题

49、 实际上，这类问题就是考虑使系统的终态达到给定的某一个衡状实际上，这类问题就是考虑使系统的终态达到给定的某一个衡状态，因此，在性能指标中应不包态，因此，在性能指标中应不包 含末值项。含末值项。第65页/共85页第六十六页，共85页。给定给定(i dn)(i dn)被控对象的状态方程为被控对象的状态方程为:寻求最优控制寻求最优控制u(t)u(t)，使下述性能指标，使下述性能指标 (4.19)(4.19)为极小值。为极小值。第66页/共85页第六十七页，共85页。和终端(zhn dun)时间 相比较，虽然仅仅是将性能指标中的积分上限由 改为 ,但是由此带来的问题却是复杂的，问题的核心是必须使式(4

50、.19)所示的积分型性能指标存在因为它是由在无穷大区间上的积分表示的，为此需要做如下假设：第67页/共85页第六十八页，共85页。在在 区间上分段连区间上分段连续，一致续，一致 有界，并绝对可积；有界，并绝对可积；在在 上分段连续，且为有界对上分段连续，且为有界对 称的正定矩阵；称的正定矩阵；系统系统(xtng)(xtng)的状态是完全能控的。的状态是完全能控的。在以上假设条件下，终端时间无限在以上假设条件下，终端时间无限()()的调节器问题的解存在且唯一。的调节器问题的解存在且唯一。此外，系统此外，系统(xtng)(xtng)还必须是可观测的。因还必须是可观测的。因为反馈系统为反馈系统(xt