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1、 上一章的克莱姆法则只能解决部分适合条件方程个数与未知量个数相等的线性方程组。科学技术和经济管理中的许多问题往往可以归结为解一个线性方程组，一般这样的方程组中方程个数与未知量个数是不同的，对这种方程组的研究在理论上和应用上都具有重要意义，也是本章的主要任务。本章主要解决两个问题：1.线性方程组求解方法 矩阵消元法及解的结构。2.为了解决第一个问题,需要引进 n 维向量的概念，并讨论 n 维向量的 线性关系。1 第一节：矩阵消元法 本节主要介绍以下两点一：矩阵消元法 解线性方程组的一种最古老但 仍然被广泛使用的方法之一。(引入矩阵及矩阵的初等行，列变换)二：线性方程组解的情况 初探。*矩阵消元法
2、也被称为高斯消元法，但是我国古代的算书九章算术中早已有了许多线性方程组的应用题，而且有了解线性方程组的消元法，这比高斯整整早了一千年。2一：矩阵消元法.在中学里，我们已经学过用加减消元法 解二,三元线性方程组，下面先看一个例子。例 1.解线性方程组解：-3-2符号-3 表示第二个方程减去第一个方程的 3 倍 3符号(-1/5)表示第3 的方程乘(-1/5)。符号(,)表示互换第2，第3 两个方程的位置。(-1/5)(,)4这种形式的线性方程组一般称为阶梯形方程组,特点是：自上而下的各个方程所含未知量的个数依次减少。+75 由原方程组化为阶梯形方程组的过程称为消元过程，而由阶梯形方程组逐次求得各
3、未知量的过程称为回代过程。在求解过程中，对方程组反复施行了以下三种变换 称为方程组的初等变换。1.交换两个方程的位置。2.用一个非零数乘某个方程的两边。3.用一个数乘某个方程加到另一个方程上。方程组的初等变换具有可逆性，即若方程组 经过方程组的初等变换 变为方程组，则方程组 必可经过方程组的初等变换 还原成方程组。6 在例 1 的求解过程中，我们只对未知量的系数与常数项进行运算，因此求解过程可以写的更简单。线性方程组 可以用下面的矩形数表来表示：(它的每一行表示一个方程)数表 中的横排称为行，纵排称为列。这样的三行四列数表就称为一个三行四列矩阵，简称 3 4 矩阵，且称其为线性方程组 的增广矩
4、阵。7 对方程组 施以方程组的初等变换，就相当于对矩阵 的各行施以相应的变换，它们都称为矩阵的初等行变换。利用矩阵的记号，例 1 的消元过程可以写成如下形式。83232(-1/5)(-1/5)9(,)(,)+7+710 最后一个矩阵称为 阶梯形矩阵，其特点是 自上而下的各行中，每行第一个非零元素 左边零的个数随行数的增加而严格增加。元素全为零的行(如果有的话)位于矩阵的下边。1 1由最后一个矩阵可得原方程组的解：x1=2,x2=0,x3=-1.(唯一解)这个阶梯 形矩阵称为简化阶梯形矩阵。12解：对方程组的增广矩阵(是一个 3 5 的矩阵)施以 矩阵的初等行变换，将其化为阶梯形矩阵，过程 如下
5、：在求解未知量个数与方程个数不等的线性方程组时，也可以用上述的矩阵形式。32132(,)14所以原方程组也无解。这是一个矛盾方程组，无解。15解：对方程组的增广矩阵(是一个 4 6 的矩阵)施以 矩阵的初等行变换，将其化为阶梯形矩阵，(下面我们给出简化过程)1617阶梯形矩阵，它对应的阶梯形方程组为 其中最后一个方程已化成 0=0，说明该方程是“多余”的方程，不再写出。这个阶梯形方程组还可以写成下面的形式。18所以原方程组有无穷多解。我们继续对阶梯形矩阵(2)进行初等行变换，19+9 3(-1)(-1/5)20(这种阶梯形矩阵 称为简化阶梯 形矩阵，特点 是？)221 我们称 为原方程组的一般
6、解：即用自由未知量表示其余未知量的表达式。22 由上面的例 1 例 3，可以看出线性方程组可能无解，也可能有解，在有解的情况下，可能有唯一解，也可能有无穷多解。将矩阵消元法小结如下：1.写出线性方程组的增广矩阵,一般用 表示。2.对 用矩阵的初等行变换化为阶梯形矩阵或 简化 阶梯形矩阵。3.判断线性方程组是否有解，有解时，给出相应的解。(有无穷多解时，给出一般解。)23定义：为了便于讨论一般的线性方程组解的情况，现在引入矩阵的概念。24 有时为了说明矩阵的行数与列数也可以用 Amn 或 A=(ai j)mn 来表示一个mn 矩阵。其中的横排称为矩阵的行，纵排称为矩阵的列。矩阵中的数 定义：对一
7、个矩阵可以施以下述三种变换25 这三种变换中的每一种都称为矩阵的初等行(列)变换，矩阵的初等行变换，初等列变换统称为矩阵的初等变换。(具有可逆性)*解方程组时，只用其中的初等行变换。26 方程组中未知量的系数可以组成数域 F 上的一个 m n 矩阵27 矩阵A 称为线性方程组(1)的系数矩阵，而称 m(n+1)矩阵 为线性方程组(1)的 增广矩阵。请比较系数矩阵与增广矩阵的相同与不同之处。为了讨论线性方程组(1)的解的情况，2829 由后 m 1 行，右边的 n 列可以组成一个(m 1)n 矩阵，对此矩阵继续施以上述变换，必要时可以重新排列未知量的顺序，直到将其化为如下形式的阶梯形矩阵为止：(
8、想一想是否一定可以化为阶梯形?若能，请给出证明。)30阶梯形矩阵它对应的阶梯形方程组为3132 因为消元过程只是对线性方程组的系数（含常数项）进行运算而与方程中未知量的取值无关，所以上面的阶梯形线性方程组 与原线性方程组 同解。我们只要对阶梯形线性方程组 讨论就可以知道原线性方程组解的情况。由消元过程不难得出必有 r n。(关于这一点你能否想清楚)这时可能出现下述情况：331)如果 r=n 则线性方程组 相当于 对 式，由 可以 自下而上的依次求出34 写出 式对应的阶梯形矩阵，自下而上逐次施以矩阵的初等行变换，进一步化为简化阶梯形矩阵，可得线性方程组 的 唯一解。线性方程组 有唯一解，因而线
9、性方程组 也有唯一解。这一过程也可以用下法代替。用下图表示。35简化阶梯形矩阵36记为 其中 xr+1,xr+2.xn 称为自由未知量，任 意取定自由未知量的一组值，都可以 唯一的确定其余未知量 x1,x2.xr(不自由)的一组值，从而可得线性方程组的一组解。37 因此原来的线性方程组有无穷多组解。此时，对阶梯形方程组 对应的阶梯形矩阵可以经过矩阵的初等行变换进一步化为简化阶梯形矩阵：38由此可得原线性方程组的一般解：对于具体的线性方程组，若有无穷多解时，自由未知量的选取要根据具体题目具体分析，不一定取后面的未知量为自由未知量！但是，自由未知量的个数是唯一确定的！39且有：自由未知量的个数=线
10、性方程组中未知量 的个数 n-(简化)阶梯形矩阵中非零行的 行数 r，非零行是指-不全为零的行。总结一下，我们有下述结论：线性方程组 的增广矩阵经过矩阵的初等行变换,可以化为阶梯形(或简化阶梯形)矩阵，对应的阶梯形方程组与原线性方程组同解，并且有：1.当 d r+1 0 时，线性方程组 无解。2.当 d r+1=0 时 且 r=n 时，线性方程组 有 唯一解。3.当 d r+1=0 时且 rn 时，线性方程组 有 无穷多解-用一般解表示。40注意 恒有解,如果还有其它的解，则称为非零解。它有 m 个方程，n 个未知量.41 则有下述结论：1.r=n 时，齐次线性方程组 有 唯一零解。2.rn
11、时，齐次线性方程组 有无穷多解，3.即有 非零解。定理1：齐次线性方程组，当 mn(即方程个数小于未知量个数)时，必有非零解。证明：显然 的增广矩阵化为阶梯形矩阵后,其中非零行的行数 r 矩阵的行数 m,从而 阶梯形矩阵中非零行的行数 r n.齐次线性方程组 有无穷多解，即有非零解。42这个齐次线性方程组 方程个数等于未知量个数=n。定理2：齐次线性方程组 有非零解的充分 必要条件是 的系数行列式43证明：(必要性)若 D 0，则由克莱姆法则 齐次线性方程组 有唯一零解，矛盾，所以 D=0。(充分性)假设齐次线性方程组 经过 初等行变换化成的阶梯形方程组仍有 n 个，44它的行列式设为：45
12、的方程个数必小于未知量个数，根据定理1 齐次线性方程组 必有非零解，从而齐次线性方程组 也有非零解。例1：a 取何值时，下面的线性方程组有解，并求出这个方程组的解。D 必是 D 的非零常数倍，由条件 D=0，而 D0，从而产生矛盾，所以在阶梯形方程组 中去掉多余方程 0=0 以后，但是 D 可以由 D 用行列式的性质得到，所以46解：对线性方程组的増广矩阵施以初等行变换，将其化成阶梯形矩阵。2 4 34731(,)(1/7)48显然 当 a-4 时，原方程组无解，当 a-4 时，原方程组有解。把 a=-4 代入阶梯形矩阵，继续进行初等行变换将其化成简化阶梯形矩阵。49未知量个数 n=4,阶梯形
13、 矩阵中非零行数 r=3.50例2：试确定 的值，使齐次线性方程组有非零解。注意：x 3，x 4 均与 自由未知量 x 2 无关！51解：对方程组的增广矩阵施以矩阵的初等行 变换，将其化为阶梯形矩阵，(2)(1)52将=-2 代入阶梯形矩阵 进一步化成简 化阶梯形矩阵得：由阶梯形矩阵可以看出，当 或 时原方程组有非零解。53类似的有，当 时，有54另解*：方程组的系数行列式-见第一 章。注意：后一种方法只适用于方程个数与 未知量个数相等的线性方程组。55 小结：1.熟练应用矩阵消元法求解线性方程组。2.用阶梯形矩阵判断线性方程组是否有解，在线性方程组有无穷解时，给出其一般解。用自由未知量表示其余未知量的表达式！56