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1、关于线性方程组的表示消元关于线性方程组的表示消元法法第一页，讲稿共三十七页哦2定义定义11 线性方程组的表示、消元法线性方程组的表示、消元法第二页，讲稿共三十七页哦3让让第三页，讲稿共三十七页哦4借助于矩阵乘法，线性方程组可表示为借助于矩阵乘法，线性方程组可表示为第四页，讲稿共三十七页哦5第五页，讲稿共三十七页哦6线性方程组研究的主要问题为：线性方程组研究的主要问题为：（1）线性方程组是否有解？）线性方程组是否有解？（2）线性方程组如有解，有多少个解）线性方程组如有解，有多少个解?（3）线性方程组如有解，如何求解？如）线性方程组如有解，如何求解？如解有无穷多，如何表示所有的解？解有无穷多，如何
2、表示所有的解？第六页，讲稿共三十七页哦7引例引例求解线性方程组求解线性方程组用消元法解下列方程组的过程用消元法解下列方程组的过程消元法解线性方程组消元法解线性方程组第七页，讲稿共三十七页哦8解解第八页，讲稿共三十七页哦9用用“回代回代”的方法求出解：的方法求出解：第九页，讲稿共三十七页哦10解得解得(2)第十页，讲稿共三十七页哦11 从从上上面面的的例例子子我我们们可可以以看看出出，用用消消元元法法解解线线性性方方程程组组，实实际际上上是是对对线线性性方方程程组组施施行行了了以以下下三三种种变变换：换：(1)互换两个方程的位置；互换两个方程的位置；(2)用一用一非零非零数数c乘某一方程；乘某一
3、方程；(3)(3)把其中一个方程的把其中一个方程的k倍加到另一个方程上倍加到另一个方程上我们称以上三种变换为线性方程组的初等变换我们称以上三种变换为线性方程组的初等变换 第十一页，讲稿共三十七页哦12 这三种初等变换只改变了线性方程组的这三种初等变换只改变了线性方程组的系数和常数，而未知量保持不变。因此，如系数和常数，而未知量保持不变。因此，如果将未知量与系数和常数项分离开来，实际果将未知量与系数和常数项分离开来，实际上是对系数和常数项构成的上是对系数和常数项构成的增广矩阵增广矩阵作了三作了三种初等种初等行行变换。因此解线性方程组时只需对变换。因此解线性方程组时只需对由系数和常数项所构成的增广
4、矩阵作初等由系数和常数项所构成的增广矩阵作初等行行变换。变换。第十二页，讲稿共三十七页哦13问题：问题：（1）为为什什么么经经过过一一系系列列的的初初等等行行变变换换以以后后得得到到的的新新的的方方程程组组的的解解为为原原方方程程组组的的解解。我我们们需需要要给给出出它它的理论依据。的理论依据。(2)(2)是否任意一个线性方程组都有解，在什么条件是否任意一个线性方程组都有解，在什么条件下方程组无解？下方程组无解？第十三页，讲稿共三十七页哦14第十四页，讲稿共三十七页哦15第十五页，讲稿共三十七页哦16阶梯矩阵阶梯矩阵定义定义例例第一，二，三行的首元所第一，二，三行的首元所在的列依次为在的列依次
5、为2，1，3，不，不是严格增的，故不是阶梯是严格增的，故不是阶梯行行.第十六页，讲稿共三十七页哦17（1）可划出一条）可划出一条阶梯线，线的下方阶梯线，线的下方全为零；全为零；（2）每个台阶）每个台阶 只有一行，只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非零元个元素为非零元，即非零行的第一个非零元行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵特点：特点：第十七页，讲稿共三十七页哦18回顾回顾:消元法解方程的过程实际上就是用一系列初等消元法解方程的过程实际上就是用一系列初等行行变换把增广矩阵化为变换把增广矩阵化为阶梯形矩阵阶梯
6、形矩阵(特别是特别是若当阶梯形若当阶梯形)的过程的过程.现重新用初等行变换化增广矩阵为现重新用初等行变换化增广矩阵为Jordan阶梯阶梯形的方法求解线性方程组形的方法求解线性方程组第十八页，讲稿共三十七页哦19解解第十九页，讲稿共三十七页哦20第二十页，讲稿共三十七页哦21第二十一页，讲稿共三十七页哦22阶梯形阶梯形第二十二页，讲稿共三十七页哦23若当阶梯形若当阶梯形于是得到原方程组的同解方程组于是得到原方程组的同解方程组第二十三页，讲稿共三十七页哦24例例 解线性方程组解线性方程组第二十四页，讲稿共三十七页哦25解解：写写出出增增广广矩矩阵阵 ，对对其其进进行行初初等等行行变变换换化简：化简
7、：以以 为增广矩阵的线性方程组有一矛盾方为增广矩阵的线性方程组有一矛盾方程程0=47，从而原方程组无解。，从而原方程组无解。第二十五页，讲稿共三十七页哦26注：若原方程组与同解方程组中出现注：若原方程组与同解方程组中出现矛盾方程，则原方程组无解。矛盾方程，则原方程组无解。第二十六页，讲稿共三十七页哦27例例 用消元法解线性方程组用消元法解线性方程组第二十七页，讲稿共三十七页哦28解：解：第二十八页，讲稿共三十七页哦29所以原方程组的解为所以原方程组的解为 ，与用，与用Gramer法则所得结果一样。法则所得结果一样。第二十九页，讲稿共三十七页哦30例例 解齐次线性方程组解齐次线性方程组AX=0，
8、其中系数矩阵，其中系数矩阵第三十页，讲稿共三十七页哦31解：解：与原方程组同解的齐次线性方程组与原方程组同解的齐次线性方程组BX=0的一般形式为，的一般形式为，第三十一页，讲稿共三十七页哦32很显然对于任意的很显然对于任意的 都能解出都能解出 令令 ，得，得 方程组的解为方程组的解为 第三十二页，讲稿共三十七页哦33从上面的例子可以看出，求解线性方程组分为以从上面的例子可以看出，求解线性方程组分为以下几步：下几步：1.对增广矩阵作初等行变换化为阶梯形；对增广矩阵作初等行变换化为阶梯形；2.若阶梯形增广矩阵对应的最后一个不为零的方若阶梯形增广矩阵对应的最后一个不为零的方程为程为 ，则原方程组无解
9、；否则方，则原方程组无解；否则方程组一定有解程组一定有解.3.有解的情况下有解的情况下:当阶梯形增广矩阵非零数行等于当阶梯形增广矩阵非零数行等于未知数个数时未知数个数时,则解唯一则解唯一;否则非零行数就小于未知否则非零行数就小于未知数数,这时候方程组有无穷多解这时候方程组有无穷多解.要解出方程组要解出方程组,就需要继续对阶梯形增广矩阵进行就需要继续对阶梯形增广矩阵进行初等行变换初等行变换,最终化为若当阶梯形最终化为若当阶梯形.若当阶梯形增广若当阶梯形增广矩阵对应的方程组实际上就是解矩阵对应的方程组实际上就是解(让非首元对应的让非首元对应的未知数取任意数未知数取任意数).第三十三页，讲稿共三十七
10、页哦34证明：必要性。设证明：必要性。设 满足满足 。若若 ，则，则 A可逆，有唯一解可逆，有唯一解 矛盾，故矛盾，故 。充分性。当充分性。当n=1时，时，有非有非零解，假设零解，假设n-1时结论成立。时结论成立。定理定理1 设设A为为n阶方阵，则齐次线性方程组阶方阵，则齐次线性方程组AX=0有非零解的充分必要条件是有非零解的充分必要条件是 。第三十四页，讲稿共三十七页哦35当当为为n时时，设设A经经初初等等变变换换化化为为阶阶梯梯形形矩矩阵阵B：，其其中中C为为n-1阶方阵，阶方阵，P为为n阶可逆矩阵。取行列式得阶可逆矩阵。取行列式得 。解同解方程组解同解方程组 。若。若b=0，则，则 是一个非零解；是一个非零解；第三十五页，讲稿共三十七页哦36若若 ，则则 ，由由归归纳纳假假设设，齐齐次次线线性方程组性方程组有非零解有非零解 ，代入，代入 的的第一个方程，因为第一个方程，因为 的系数的系数 ，可，可解出解出 。于是。于是 是是 的一的一个非零解。由归纳法结论成立。个非零解。由归纳法结论成立。第三十六页，讲稿共三十七页哦感感谢谢大大家家观观看看第三十七页，讲稿共三十七页哦