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1、重庆大学材料学院重庆大学材料学院2.2.4 4 信号的频域分析信号的频域分析第二章、信号分析基础第二章、信号分析基础 信号频域分析是采用傅立叶变换将时域信号信号频域分析是采用傅立叶变换将时域信号x(t)x(t)变换为频域信号变换为频域信号X(f)X(f)，从而帮助人们从另一个，从而帮助人们从另一个角度来了解信号的特征。角度来了解信号的特征。8563ASPECTRUM ANALYZER 9 kHz-26.5 GHz傅里叶傅里叶变换变换X(t)=sin(2nft)0t0f重庆大学材料学院重庆大学材料学院2.4 信号的频域分析信号的频域分析时域分析与频域分析的关系时域分析与频域分析的关系时间时间幅值
2、幅值频率频率时域分析时域分析频域分析频域分析1)1)时域描述、频域描述是同时域描述、频域描述是同一信号的不同描述，并没有一信号的不同描述，并没有改变信号本身的特性，只表改变信号本身的特性，只表征了信号的不同特征。征了信号的不同特征。2)2)信号频谱信号频谱X(f)X(f)代表了信号代表了信号在不同频率分量成分的大小，在不同频率分量成分的大小，能够提供比时域信号波形更能够提供比时域信号波形更直观，丰富的信息。直观，丰富的信息。重庆大学材料学院重庆大学材料学院 时域分析只能反映信号的幅值随时间的变化时域分析只能反映信号的幅值随时间的变化情况，除单频率分量的简谐波外，很难明确揭示情况，除单频率分量的
3、简谐波外，很难明确揭示信号的频率组成和各频率分量大小。信号的频率组成和各频率分量大小。2.4信号的频域分析信号的频域分析图例：受噪声干扰的多频率成分信号图例：受噪声干扰的多频率成分信号重庆大学材料学院重庆大学材料学院2.4信号的频域分析信号的频域分析大型空气压缩机传动装置故障诊断大型空气压缩机传动装置故障诊断重庆大学材料学院重庆大学材料学院重庆大学材料学院重庆大学材料学院2 2 周期信号的频谱分析周期信号的频谱分析 周期信号是经过一定时间可以重复出现的信周期信号是经过一定时间可以重复出现的信号，满足条件：号，满足条件：x(t)x(t)=x(t+nT)x(t+nT)2.4信号的频域分析信号的频域
4、分析 任何周期函数，都可以展开成正交函数线性任何周期函数，都可以展开成正交函数线性组合的无穷级数，如三角函数集的傅里叶级数组合的无穷级数，如三角函数集的傅里叶级数:重庆大学材料学院重庆大学材料学院1)傅里叶级数的一般表达形式：傅里叶级数的一般表达形式：2.4信号的频域分析信号的频域分析各变量含义各变量含义-2)傅里叶级数的变形形式傅里叶级数的变形形式:具体过程具体过程-重庆大学材料学院重庆大学材料学院式中式中:T周期，周期，T=2/0；0基波圆频率；基波圆频率；f0=0/22.4 信号的频域分析信号的频域分析重庆大学材料学院重庆大学材料学院重庆大学材料学院重庆大学材料学院2.4 信号的频域分析
5、信号的频域分析由上式可以看出：由上式可以看出：1)1)上式实际描述了周期信号上式实际描述了周期信号x(t)x(t)的频率结构。幅的频率结构。幅值值-频率构成幅值频谱图，简称频率构成幅值频谱图，简称频谱图频谱图；相位；相位-频频率构成相位频谱图，简称相位图。率构成相位频谱图，简称相位图。2)2)具体来说，周期信号的频谱是离散的，即各次具体来说，周期信号的频谱是离散的，即各次谐波频率都是基频谐波频率都是基频 的整数倍的整数倍举例举例-重庆大学材料学院重庆大学材料学院频谱图的概念频谱图的概念 工程上习惯将计算结果用图形方式表示，以工程上习惯将计算结果用图形方式表示，以f fn n(0 0)为横坐标，
6、为横坐标，b bn n、a an n为纵坐标画图，称为实为纵坐标画图，称为实频虚频谱图。频虚频谱图。2.4 信号的频域分析信号的频域分析图例图例重庆大学材料学院重庆大学材料学院重庆大学材料学院重庆大学材料学院 以以f fn n为横坐标，为横坐标，为纵坐标画图，则称为为纵坐标画图，则称为功率谱。功率谱。2.4 信号的频域分析信号的频域分析重庆大学材料学院重庆大学材料学院重庆大学材料学院重庆大学材料学院2.4信号的频域分析信号的频域分析计算：计算：该周期方波可写成：该周期方波可写成：频谱图频谱图重庆大学材料学院重庆大学材料学院2.4 信号的频域分析信号的频域分析求图求图2 2所示三角波的频谱：所示
7、三角波的频谱：分析分析1)1)偶函数偶函数,因为因为2)2)其余参数代其余参数代入公式计算入公式计算重庆大学材料学院重庆大学材料学院重庆大学材料学院重庆大学材料学院 三角波信号频谱比方波信号的频谱衰减快三角波信号频谱比方波信号的频谱衰减快得多得多,说明前者频率结构主要由低频成份组成说明前者频率结构主要由低频成份组成,而方波高频成份比较大。反映到时域波形上，而方波高频成份比较大。反映到时域波形上，含高频成份多的时域波形变化比高频成份少的含高频成份多的时域波形变化比高频成份少的三角波要剧烈得多。可根据时域波形变化的剧三角波要剧烈得多。可根据时域波形变化的剧烈程度，判断其频谱成份。烈程度，判断其频谱
8、成份。2.4信号的频域分析信号的频域分析方波频谱三角波频谱重庆大学材料学院重庆大学材料学院1 1）周期信号的频谱是离散的；）周期信号的频谱是离散的；2 2）周期信号频谱中的谱线只能出现在基频的）周期信号频谱中的谱线只能出现在基频的整数倍频率处；整数倍频率处；3 3）周期信号的频谱线是收敛的。）周期信号的频谱线是收敛的。2.4 信号的频域分析信号的频域分析周期信号频谱相关结论：周期信号频谱相关结论：重庆大学材料学院重庆大学材料学院3)傅里叶级数的复数表达形式：傅里叶级数的复数表达形式：2.4 信号的频域分析信号的频域分析由欧拉公式由欧拉公式：代入傅里叶级数一般形式代入傅里叶级数一般形式：重庆大学
9、材料学院重庆大学材料学院2.4 信号的频域分析信号的频域分析进一步得到进一步得到：令令：则则：重庆大学材料学院重庆大学材料学院实验：方波信号的合成与分解实验：方波信号的合成与分解2.4 信号的频域分析信号的频域分析重庆大学材料学院重庆大学材料学院重庆大学材料学院重庆大学材料学院3 3 非周期信号的频谱分析非周期信号的频谱分析 非周期信号是时间上不会重复出现的信号，非周期信号是时间上不会重复出现的信号，一般为时域有限信号，具有收敛可积条件，其能一般为时域有限信号，具有收敛可积条件，其能量为有限值。这种信号的频域分析手段是傅立叶量为有限值。这种信号的频域分析手段是傅立叶变换。变换。2.4 信号的频
10、域分析信号的频域分析傅里叶积分傅里叶积分可写作可写作重庆大学材料学院重庆大学材料学院或或2.4 信号的频域分析信号的频域分析求解求解：式中|X(f)|信号在频率f处的幅值谱密度；。信号在频率f处的相位差。重庆大学材料学院重庆大学材料学院 与周期信号相似，非周期信号也可以分解为与周期信号相似，非周期信号也可以分解为许多不同频率分量的谐波和，所不同的是，由于许多不同频率分量的谐波和，所不同的是，由于非周期信号的周期非周期信号的周期T T，基频，基频f fdfdf，它包含了，它包含了从零到无穷大的所有频率分量，各频率分量的幅从零到无穷大的所有频率分量，各频率分量的幅值为值为X(f)dfX(f)df，
11、这是无穷小量，所以频谱不能再用，这是无穷小量，所以频谱不能再用幅值表示，而用幅值密度函数描述，称频谱密度幅值表示，而用幅值密度函数描述，称频谱密度函数。函数。另外，与周期信号不同的是，非周期信号的谱另外，与周期信号不同的是，非周期信号的谱线出现在线出现在0,f0,fmaxmax的各连续频率值上，这种频谱称为的各连续频率值上，这种频谱称为连续谱。连续谱。2.4 信号的频域分析信号的频域分析举例举例-重庆大学材料学院重庆大学材料学院重庆大学材料学院重庆大学材料学院2.4 信号的频域分析信号的频域分析对比对比:方波谱方波谱求以下波形的频谱求以下波形的频谱。工程上习惯将计算结果用图形方式表示，以f为横
12、坐标，ReX(f)、ImX(f)为纵坐标画图，绘出的曲线图称为时频虚频密度谱图；以f为横坐标，|X(f)|、(f)为纵坐标画图，绘出的曲线图称为幅值相位密度谱。以f为横坐标，|X(f)|2为纵坐标画图，绘出的曲线图称为功率密度谱 重庆大学材料学院重庆大学材料学院2.4 信号的频域分析信号的频域分析求如下图所示脉冲方波的频谱函数：求如下图所示脉冲方波的频谱函数：进一步得到进一步得到：重庆大学材料学院重庆大学材料学院重庆大学材料学院重庆大学材料学院4 4 傅立叶变换的性质傅立叶变换的性质c.c.对称性对称性 若若 x(t)X(f)x(t)X(f)，则，则 X(-t)x(-f)X(-t)x(-f)2
13、.4 信号的频域分析信号的频域分析a.a.奇偶虚实性奇偶虚实性b.b.线性叠加性线性叠加性 若若 x1(t)X1(f)x1(t)X1(f)，x2(t)X2(f)x2(t)X2(f)则：则：c1x1(t)+c2x2(t)c1X1(f)+c2X2(f)c1x1(t)+c2x2(t)c1X1(f)+c2X2(f)重庆大学材料学院重庆大学材料学院e.时移性时移性2.4 信号的频域分析信号的频域分析d.时间尺度改变性时间尺度改变性 若若 x(t)X(f)，则，则 x(kt)1/kX(f/k)f.频移性频移性 1）若）若k1，时域波形被压缩，时域波形被压缩k倍，频域波形被扩展倍，频域波形被扩展k倍；反之亦
14、然。倍；反之亦然。2）尺度特性说明了时间和频率之间的反比关系。）尺度特性说明了时间和频率之间的反比关系。时域信号时延时域信号时延t0，则对应于其频谱在频域中产生附，则对应于其频谱在频域中产生附加相移加相移t0，而幅度保持不变，可用来搬移频谱。，而幅度保持不变，可用来搬移频谱。x(f)在频域中沿在频域中沿f轴移动轴移动f0，则对应于，则对应于x(t)在时域中乘在时域中乘以以ej2f0。重庆大学材料学院重庆大学材料学院2.4信号的频域分析信号的频域分析奇偶虚实性证明奇偶虚实性证明设设f(t)是实函数（为虚函数或复函数情况相似，略）是实函数（为虚函数或复函数情况相似，略）显然显然重庆大学材料学院重庆
15、大学材料学院例子：求下图波形的频谱例子：求下图波形的频谱+X1(f)X2(f)用线性叠加定理简化用线性叠加定理简化2.4 信号的频域分析信号的频域分析重庆大学材料学院重庆大学材料学院5 5 频谱分析的应用频谱分析的应用 频频谱谱分分析析主主要要用用于于识识别别信信号号中中的的周周期期分分量量，是是信号分析中最常用的一种手段。信号分析中最常用的一种手段。案例：案例：在齿轮箱故障诊断在齿轮箱故障诊断通过齿轮箱振动信号频谱分析，通过齿轮箱振动信号频谱分析，确定最大频率分量，然后根据确定最大频率分量，然后根据机床转速和传动链，找出故障机床转速和传动链，找出故障齿轮。齿轮。案例：案例：螺旋浆设计螺旋浆设计可以通过频谱分析确定螺旋浆可以通过频谱分析确定螺旋浆的固有频率和临界转速，确定的固有频率和临界转速，确定螺旋浆转速工作范围。螺旋浆转速工作范围。2.4 信号的频域分析信号的频域分析