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1、会计学1求轨迹求轨迹(guj)的几种求法的几种求法第一页，共56页。第1页/共56页第二页，共56页。三、定义三、定义(dngy)法法分析题设几何条件，根据所学曲线的定义，分析题设几何条件，根据所学曲线的定义，判断轨迹是何种类型的曲线，直接判断轨迹是何种类型的曲线，直接(zhji)求出该曲线的方程求出该曲线的方程.第2页/共56页第三页，共56页。椭圆椭圆(tuyun)(tuyun)的的定义：定义：双曲线的定义双曲线的定义(dngy)(dngy)：抛物线的定义抛物线的定义(dngy)(dngy)：圆的定义：圆的定义：|PC|=r(r0)|PF1|+|PF2|=2a(2a|F1F2|)|PF1|
2、-|PF2|=2a(0 2a|F1F2|)|PF|=dP-l(F l)第3页/共56页第四页，共56页。由题设条件由题设条件(tiojin)(tiojin)，根据圆锥曲线的，根据圆锥曲线的定义确定曲线的形状后，直接写出曲线的定义确定曲线的形状后，直接写出曲线的方程方程一、定义法求轨迹一、定义法求轨迹(guj)(guj)方程的特征方程的特征二、二、“定义法定义法”求轨迹方程求轨迹方程(fngchng)(fngchng)的一般步骤的一般步骤一一 建建轴轴设设点点二二 定定型型三三 定定 方方 程程四四 定定 范范 围围第4页/共56页第五页，共56页。：定义：定义(dngy)法法第5页/共56页第
3、六页，共56页。例例2已知已知B，C是两个定点，是两个定点，|BC|8，且且ABC的周长等于的周长等于18，求这个三角形的顶点求这个三角形的顶点A的轨迹的轨迹(guj)方程方程第6页/共56页第七页，共56页。练习练习(linx)：知三角形ABC的一边 BC 长为6，周长为16，求顶点(dngdin)A的轨迹方程答：答：14已第7页/共56页第八页，共56页。ACOyxO1O2M练习：已知两圆练习：已知两圆C1：(x4)2y2169，C2：(x4)2y29，动圆，动圆在圆在圆C1内部且和圆内部且和圆C1内切，和圆内切，和圆C2外切外切(wi qi)，求动圆圆心的轨迹方程求动圆圆心的轨迹方程第8
4、页/共56页第九页，共56页。ABSSABSAB探索与定圆相切的动圆圆心轨迹要抓牢动圆圆心到两定点的距离的和与差不放。C第9页/共56页第十页，共56页。CP例3：变式2：169相相rr13-rM第10页/共56页第十一页，共56页。1 1、如图，圆、如图，圆C C：(x+1)2+y2=9(x+1)2+y2=9内一点内一点A(1A(1，0)0)，与圆，与圆 上一动上一动(ydng)(ydng)点点Q Q的连线的连线AQAQ的垂直平分线交的垂直平分线交CQCQ于于P P当当Q Q在圆在圆C C上运动一周时，则动点上运动一周时，则动点P P的轨迹方程为的轨迹方程为_Cy xAQP问题问题(wnt)
5、2(wnt)2第11页/共56页第十二页，共56页。OxyQ QPF1F2问题问题(wnt)2(wnt)22 2、已知椭圆的焦点是、已知椭圆的焦点是F1F1、F2F2，P P是椭圆上的是椭圆上的一个动点，如果延长一个动点，如果延长F1PF1P到到Q Q，使得，使得(sh(sh de)|PQ|=|PF2|de)|PQ|=|PF2|，那么动点，那么动点Q Q的轨迹是的轨迹是 （）(A)(A)圆圆 (B)(B)椭圆椭圆 (C)(C)双曲线的一支双曲线的一支 (D)(D)抛物线抛物线第12页/共56页第十三页，共56页。【探究【探究【探究【探究1 1】如图】如图】如图】如图,已知线段已知线段已知线段已
6、知线段AB=4,AB=4,动圆动圆动圆动圆OO与线段与线段与线段与线段ABAB切切切切于点于点于点于点C,C,且且且且AC-BC=2 ,AC-BC=2 ,过点过点过点过点A A B B分别作分别作分别作分别作 OO的切线的切线的切线的切线,两切线相交于两切线相交于两切线相交于两切线相交于P,P,且且且且P P OO均在均在均在均在ABAB同侧同侧同侧同侧,建立适当建立适当建立适当建立适当(shdng)(shdng)坐标系坐标系坐标系坐标系,当当当当OO位置变化时位置变化时位置变化时位置变化时,求动点求动点求动点求动点P P的轨迹的轨迹的轨迹的轨迹E E的方程的方程的方程的方程.第13页/共56
7、页第十四页，共56页。【解析】以【解析】以【解析】以【解析】以ABAB的中点的中点的中点的中点OO为坐标原点为坐标原点为坐标原点为坐标原点,以以以以ABAB所在所在所在所在(su(su zi)zi)直线为直线为直线为直线为x x轴建立直角坐标系轴建立直角坐标系轴建立直角坐标系轴建立直角坐标系(图略图略图略图略),),则则则则A(-2,0),B(2,0).A(-2,0),B(2,0).由切线长定理可得由切线长定理可得由切线长定理可得由切线长定理可得|AC|-|BC|=|PA|-|PB|=2 4,|AC|-|BC|=|PA|-|PB|=2 ).:x2-y2=2(x ).第14页/共56页第十五页，
8、共56页。想一想想一想想一想想一想:问题问题1 1：一动圆与圆：一动圆与圆O1O1：(x+3)2+y2=4(x+3)2+y2=4外切，同时外切，同时与圆与圆O2O2：(x-3)2+y2=9(x-3)2+y2=9内切，求动圆圆心的轨迹方内切，求动圆圆心的轨迹方程，并说明它是什么类型程，并说明它是什么类型(lixng)(lixng)的曲线的曲线在两定圆不动的前提下，适当改变其他条件在两定圆不动的前提下，适当改变其他条件使动圆圆心形成使动圆圆心形成(xngchng)(xngchng)新的轨迹？新的轨迹？第15页/共56页第十六页，共56页。已知圆已知圆A：(x+2)2+y2=1与点与点A（-2，0）
9、，），B（2，0），），分别求出满足分别求出满足(mnz)下列条件的动点下列条件的动点P的轨迹方程的轨迹方程.（1）PAB的周长为的周长为10;（2）圆）圆P与圆与圆A外切，且点外切，且点B在动圆在动圆P上（上（P为动圆圆心）为动圆圆心）;（3）圆）圆P与圆与圆A外切且与直线外切且与直线x=1相切（相切（P为动圆圆心）为动圆圆心）.【例题【例题(lt)3】第16页/共56页第十七页，共56页。【解析】【解析】(1)(1)根据题意，知根据题意，知|PA|+|PB|+|AB|=10|PA|+|PB|+|AB|=10，即即|PA|+|PB|=6|PA|+|PB|=64=|AB|4=|AB|，故，故P
10、 P点的轨迹是椭圆点的轨迹是椭圆(tuyun)(tuyun)，且且2a=62a=6，2c=42c=4，即，即a=3a=3，c=2c=2，b=b=，因此其方程为因此其方程为 （y0y0）.（2 2）设圆）设圆P P的半径为的半径为r r，则，则|PA|=r+1|PA|=r+1，|PB|=r|PB|=r，因此因此|PA|-|PB|=1.|PA|-|PB|=1.由双曲线的定义知，由双曲线的定义知，P P点的轨迹为双曲线的右支，点的轨迹为双曲线的右支，且且2a=12a=1，2c=42c=4，即，即a=,c=2,b=a=,c=2,b=，因此其方程为因此其方程为第17页/共56页第十八页，共56页。（3）
11、依题意）依题意(t y)，知动点，知动点P到定点到定点A的距离等于的距离等于 到定直线到定直线x=2的距离，故其轨迹为抛物线，的距离，故其轨迹为抛物线，且开口向左，且开口向左，p=4.方程为方程为y2=-8x.第18页/共56页第十九页，共56页。1.动动点点P到到定定点点(-1，0)的的距距离离(jl)与与到到点点(1，0)距距离离(jl)之之差差为为2，则则P点的轨迹方程是点的轨迹方程是_.2.3.【练习【练习(linx)3】第19页/共56页第二十页，共56页。【练习【练习(linx)3】第】第3题题第20页/共56页第二十一页，共56页。【练习【练习(linx)3】第】第3题题-变式变
12、式16第21页/共56页第二十二页，共56页。16【练习【练习(linx)3】第】第3题题-变式变式第22页/共56页第二十三页，共56页。8.(8.(能力题能力题能力题能力题,中中中中)设设设设QQ是圆是圆是圆是圆C:(x+1)2+y2=16C:(x+1)2+y2=16上的动点上的动点上的动点上的动点,另有另有另有另有A(1,0),A(1,0),线段线段线段线段AQAQ的垂直平分线交直的垂直平分线交直的垂直平分线交直的垂直平分线交直线线线线(zhxin)CQ(zhxin)CQ于点于点于点于点P,P,当点当点当点当点QQ在圆上运动时在圆上运动时在圆上运动时在圆上运动时,点点点点P P的轨迹方的
13、轨迹方的轨迹方的轨迹方程是程是程是程是_._.第23页/共56页第二十四页，共56页。解析解析解析解析(ji x):(ji x):设设设设P(x,y),P(x,y),点点点点P P是线段是线段是线段是线段AQAQ垂直平分线上的一点垂直平分线上的一点垂直平分线上的一点垂直平分线上的一点,|PA|=|PQ|,|PA|=|PQ|,|PA|+|PC|=|PC|+|PQ|=42,|PA|+|PC|=|PC|+|PQ|=42,点点点点P P的轨迹是以点的轨迹是以点的轨迹是以点的轨迹是以点A A C C为焦点的椭圆为焦点的椭圆为焦点的椭圆为焦点的椭圆,且且且且a=2,c=1,b2=3,a=2,c=1,b2=
14、3,点点点点P P的轨迹方程为的轨迹方程为的轨迹方程为的轨迹方程为 .第24页/共56页第二十五页，共56页。方法：利用双曲线的定义求轨迹(guj)方程第25页/共56页第二十六页，共56页。第26页/共56页第二十七页，共56页。题目中的条件有明显的等量关系，或者可以题目中的条件有明显的等量关系，或者可以(ky)(ky)利用平面几何知识推出等量关系，列出含动点利用平面几何知识推出等量关系，列出含动点P P（x,yx,y）的解析式）的解析式.一、直接一、直接(zhji)(zhji)法法第27页/共56页第二十八页，共56页。例例3如图，设点如图，设点A、B的坐标分别的坐标分别(fnbi)为为(
15、-5,0)，(5,0).直线直线AM,BM相交于点相交于点M，且它们的斜率之积为，且它们的斜率之积为 ,求求M的轨迹方程的轨迹方程.ABMyOx方法方法(fngf)3：直接法直接法第28页/共56页第二十九页，共56页。第29页/共56页第三十页，共56页。第30页/共56页第三十一页，共56页。【例题【例题(lt)1】它它它它表表表表示示示示何何何何种种种种曲曲曲曲线线线线呢呢呢呢？第31页/共56页第三十二页，共56页。2.与圆与圆x2+y2-4x=0外切外切(wi qi)，且与，且与y轴相切的动圆圆心轴相切的动圆圆心 的轨迹方程是的轨迹方程是_.y2=8x(x0)或或y=0(x0)1.已
16、知一曲线是与两个定点已知一曲线是与两个定点O(0,0)、A(3,0)距离的比为距离的比为 1:2的点的轨迹的点的轨迹(guj),则此曲线的方程是则此曲线的方程是_.PABxyo解：设动圆圆心为解：设动圆圆心为P(x,y).由题，得由题，得即即 -4x+y2=4|x|得动圆圆心的轨迹得动圆圆心的轨迹(guj)方程为方程为 y=0(x0)【练习练习】第32页/共56页第三十三页，共56页。9.(9.(经典经典经典经典(jngdi(jngdi n)n)题题题题,中中中中)ABCABC的顶点的顶点的顶点的顶点B(-1,0),C(2,0)B(-1,0),C(2,0)若若若若ACB=2ACB=2ABC,A
17、BC,则顶点则顶点则顶点则顶点A A的轨迹方程为的轨迹方程为的轨迹方程为的轨迹方程为_._.第33页/共56页第三十四页，共56页。第34页/共56页第三十五页，共56页。第35页/共56页第三十六页，共56页。二、待定系数二、待定系数(xsh)法法题目已知曲线类型题目已知曲线类型,正确设出曲线的标准方程正确设出曲线的标准方程,然后然后结合问题的条件结合问题的条件,建立参数建立参数(cnsh)a,b,c,p 满足的满足的等式等式,求得其值求得其值,再代入所设方程再代入所设方程.第36页/共56页第三十七页，共56页。1、已知抛物线的顶点在原点，对称轴是、已知抛物线的顶点在原点，对称轴是y轴，且
18、轴，且经过经过(jnggu)点点P（-6，-3），则抛物线方程为），则抛物线方程为_【练习【练习(linx)2】第37页/共56页第三十八页，共56页。第38页/共56页第三十九页，共56页。四、代入法（相关四、代入法（相关(xinggun)点法）点法）当所求动点当所求动点P的运动很明显地依赖于一已知曲线上的的运动很明显地依赖于一已知曲线上的动点动点Q的运动时，可利用的运动时，可利用(lyng)代入法，其关键是找出两代入法，其关键是找出两动点的坐标的关系。动点的坐标的关系。设所求动点设所求动点 P坐标坐标(x,y)，再设与，再设与P相关的已知点坐标相关的已知点坐标为为Q(x0,y0)，找出，找
19、出P.Q之间的坐标关系，并表示为之间的坐标关系，并表示为x0=f(x),y0=f(y)，根据点，根据点Q的运动规律得出关于的运动规律得出关于x0,y0的关的关系式系式,把把x0=f(x),y0=f(y)代入关系式中代入关系式中,即得所求轨迹方程即得所求轨迹方程.第39页/共56页第四十页，共56页。讲授讲授(jingshu)新课新课例例1.yx第40页/共56页第四十一页，共56页。例例2、如图，在圆、如图，在圆 上任取一点上任取一点P，过点，过点P作作x轴的垂线段轴的垂线段PD，D为垂足。当点为垂足。当点P在圆上运动时，在圆上运动时，线段线段PD的中点的中点(zhn din)M的轨迹是什么？
20、为什么？的轨迹是什么？为什么？分析：点分析：点P在圆在圆 上运动，点上运动，点P的运动引的运动引 起点起点M运动。运动。解：设点解：设点M的坐标为的坐标为(x,y)，点，点P的坐标为的坐标为(x0,y0)，则，则 x=x0,y=y0/2.因为点因为点P(x0,y0)在圆在圆 上，所以上，所以把把x0=x,y0=2y代入方程代入方程(1)，得，得即即 所以点所以点M的轨迹是一个椭圆。的轨迹是一个椭圆。第41页/共56页第四十二页，共56页。此法实际上是利用中间此法实际上是利用中间(zhngjin)变量变量x0,y0求求轨迹方程轨迹方程【例题【例题(lt)4】第42页/共56页第四十三页，共56页
21、。【练习【练习(linx)4】第43页/共56页第四十四页，共56页。第44页/共56页第四十五页，共56页。五、参数五、参数(cnsh)法法如果轨迹动点如果轨迹动点P（x，y）的坐标之间的关系不易找到，）的坐标之间的关系不易找到，也没有相关点可用时，可先考虑将也没有相关点可用时，可先考虑将x、y用一个用一个(y)或几个参数来表示，消去参数得轨迹方程或几个参数来表示，消去参数得轨迹方程.参数法中常参数法中常选角、斜率等为参数选角、斜率等为参数.第45页/共56页第四十六页，共56页。【例题【例题(lt)5】解：解：设动直线方程为：设动直线方程为：y=x+b，和椭圆方程联立得：和椭圆方程联立得：
22、x2+4y2-4x=0 y=x+b 5x2+8bx-4x+4b2=0设中点设中点M（x，y），），则则 x=（x1+x2)/2=(2-4b)/5,与与联立消去参数联立消去参数b，得：得：x+4y-2=0（椭圆内的一段）（椭圆内的一段）倾斜角为倾斜角为450450的直线与椭圆的直线与椭圆(tuyun)(tuyun)交交于于A A、B B两点，求两点，求ABAB中点的轨迹方程。中点的轨迹方程。xyoAB第46页/共56页第四十七页，共56页。【练习【练习(linx)5】1.过原点的直线与椭圆过原点的直线与椭圆 相交，求弦中点的轨迹相交，求弦中点的轨迹(guj)方程。方程。2.如如图图,过过点点A(
23、-3,0)的的直直线线(zhxin)l与与曲曲线线C：x2+2y2=4交交于于A,B两两点点.作作平平行行四边形四边形OBPC，求点，求点P的轨迹。的轨迹。AoxyBCPoxyMA第47页/共56页第四十八页，共56页。【练习【练习(linx)5】解：设解：设OA斜率为斜率为k（kR），），由由 y=kx x2+4y2-4x=0 得：（得：（1+4k2）x2-4x=0设中点设中点M（x，y），则），则 x=（x1+x2）/2=2/（1+4k2）k=y/x 消参数得：消参数得：x2+4y2-2x=01.1.过原点的直线过原点的直线(zhxin)(zhxin)与椭圆与椭圆 相交，求相交，求弦中点的
24、轨迹方程。弦中点的轨迹方程。oxyMA第48页/共56页第四十九页，共56页。2.如如 图图,过过 点点 A(-3,0)的的 直直 线线 l与与 曲曲 线线(qxin)C：x2+2y2=4交交于于A,B两两点点.作作平平行行四四边边形形OBPC，求求点点P的轨迹。的轨迹。AoxyBCPG解法解法(ji f)一：利用韦达定理一：利用韦达定理解法解法(ji f)二：点差法二：点差法 连连PO交交CB于于G.设P(x,y),G(x0,y0),C(x1,y1),B(x2,y2),则x12+2y12=4x22+2y22=4作差，得(x2-x1)(x2+x1)+(y2-y1)(y2+y1)=0即x0+y0
25、k=0又k=解得，x0=y0=x=y=因此消去k,得(x+3)2+y2=9故所求轨迹为(-3,0)为圆心，3为半径的圆.?【练习练习5】第49页/共56页第五十页，共56页。第50页/共56页第五十一页，共56页。第51页/共56页第五十二页，共56页。第52页/共56页第五十三页，共56页。当直线当直线当直线当直线l l的斜率不存在时的斜率不存在时的斜率不存在时的斜率不存在时,A,A B B的中点坐标为原点的中点坐标为原点的中点坐标为原点的中点坐标为原点(0,0),(0,0),也满足方程也满足方程也满足方程也满足方程,所以所以所以所以(su(su y y)点点点点P P的轨迹方程为的轨迹方程
26、为的轨迹方程为的轨迹方程为4x2+y2-y=0.4x2+y2-y=0.第53页/共56页第五十四页，共56页。直接法直接法当动点所满足的几何条件能直接用其坐标代入时当动点所满足的几何条件能直接用其坐标代入时,可用可用直接法直接法.待定系数法待定系数法已知曲线的类型和位置已知曲线的类型和位置,可设出曲线方程可设出曲线方程,利用利用待待定系数法定系数法求解求解.定义法定义法分析题设几何条件，根据圆锥曲线的定义，判断分析题设几何条件，根据圆锥曲线的定义，判断轨迹是何种类型的曲线，直接求出该曲线的方程轨迹是何种类型的曲线，直接求出该曲线的方程.代入法代入法(相关点法相关点法)当所求动点的运动很明显地依
27、赖于一已知曲线上当所求动点的运动很明显地依赖于一已知曲线上的动点的运动时的动点的运动时,可利用可利用代入法代入法,其关键是找出两其关键是找出两动点的坐标的关系动点的坐标的关系,这要充分利用题中的几何条件这要充分利用题中的几何条件.参数法参数法如果轨迹动点如果轨迹动点P P（x，y）的坐标之间的关系不易找）的坐标之间的关系不易找到，也没有相关点可用时，可先考虑将到，也没有相关点可用时，可先考虑将x、y用一个用一个或几个参数来表示，消去参数得轨迹方程或几个参数来表示，消去参数得轨迹方程.参数法参数法中常选角、斜率等为参数中常选角、斜率等为参数.总结总结(zngji)一、求动点的轨迹方程一、求动点的轨迹方程(fngchng)的常用方法的常用方法第54页/共56页第五十五页，共56页。第55页/共56页第五十六页，共56页。