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1、会计学1求体积的几种求体积的几种(j zhn)常用的方法常用的方法第一页，共30页。一、等体积一、等体积(tj)(tj)法（换底法）法（换底法）等体积法是针对等体积法是针对(zhndu)(zhndu)当所给几何体的体积不能当所给几何体的体积不能直接套用公式或涉及的某一量直接套用公式或涉及的某一量(底面积或高底面积或高)不易求解不易求解时，可以转换一下几何体中有关元素的相对位置进时，可以转换一下几何体中有关元素的相对位置进行计算，该方法尤其适用于求三棱锥的体积。行计算，该方法尤其适用于求三棱锥的体积。第1页/共30页第二页，共30页。分析分析(fnx)(fnx)：对于三棱锥，四个面都可以作为对于
2、三棱锥，四个面都可以作为底面，选取三个点所在的面作为底面，选取三个点所在的面作为底面，剩余底面，剩余(shngy)(shngy)的一个点作的一个点作为顶点。至于如何选取，关键在为顶点。至于如何选取，关键在于选取的底面积和高易求出。于选取的底面积和高易求出。第2页/共30页第三页，共30页。第3页/共30页第四页，共30页。变式变式1、如图、如图,正方体正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为的棱长为1,E,F分别分别为线段为线段(xindun)AA1,B1C上的点上的点,求三棱锥求三棱锥D1-EDF的体积的体积.第4页/共30页第五页，共30页。变式变式2、在棱长为、在棱长为2的斜三棱柱的斜三
3、棱柱ABC-DEF中，已知中，已知BFAE，BFCEO，AB=AE,连结连结AO.()求证求证(qizhng)：AO平面平面FEBC；()求三棱锥求三棱锥B-DEF的体积的体积.第5页/共30页第六页，共30页。ABCDFE变式变式3、如图所示，正方形、如图所示，正方形ABCD与直角梯形与直角梯形ADEF所在平面互相垂直所在平面互相垂直(chuzh),ADE=900,AF/DE，DE=DA=2AF=2.求四面体求四面体BDEF的体积的体积.第6页/共30页第七页，共30页。ABCDE变式变式4、如图，在边长为如图，在边长为a的正方体的正方体 中，点中，点E为为AB上的任意一点，求三棱锥上的任意
4、一点，求三棱锥 的的体积。体积。解法分析：解法分析：V =V第7页/共30页第八页，共30页。图图5第8页/共30页第九页，共30页。对于给出的一个不规则的几何体，不能直接套用公对于给出的一个不规则的几何体，不能直接套用公式，常常需要通过式，常常需要通过“割割”或或“补补”化复杂化复杂(fz)(fz)图形为已图形为已熟知的简单几何体，并作体积的加、减法，从而较快地找熟知的简单几何体，并作体积的加、减法，从而较快地找到解决问题的突破口。到解决问题的突破口。二二、割补法、割补法第9页/共30页第十页，共30页。BCAB如何如何如何如何(rh)(rh)求三棱锥的体求三棱锥的体求三棱锥的体求三棱锥的体
5、积？积？积？积？ABCABCABCACACB 答：答：由于由于 和和 的面积相等，且三棱锥的面积相等，且三棱锥 和三棱锥和三棱锥 具有相等的高，所以具有相等的高，所以又由于又由于 和和 的面积相等，且三棱锥的面积相等，且三棱锥 和三棱锥和三棱锥 具有相等的高，所以具有相等的高，所以第10页/共30页第十一页，共30页。【例【例2】如右图，在多面体如右图，在多面体ABCDEF中，已知中，已知ABCD是是边长为边长为1的正方形，且的正方形，且 ADE、BCF均为正三角形均为正三角形(zhn sn jio xn)，EFAB，EF=2，则该多面体的，则该多面体的体积为体积为.思考：第11页/共30页第
6、十二页，共30页。E EF FA AB BC CD DE EF FA AB BC CD DG GH H(分割法分割法2)P PE EF FA AB BC CD D（分割法（分割法3）Q QE EG GF FP PA AB BC CD DH H（补形法）（补形法）E EF FA AB BC CD D(分割法分割法1)第12页/共30页第十三页，共30页。E EF FA AB BC CD DE EF FA AB BC CD D（分割（分割(fng)(fng)法法1 1）多面体分割多面体分割(fng)(fng)成一个三棱锥成一个三棱锥和一个四棱锥，但是，三棱锥和一个四棱锥，但是，三棱锥E-E-ADF
7、ADF的体积不易求得，所以，不的体积不易求得，所以，不考虑这种方法。考虑这种方法。注：将几何体分割时，尽量注：将几何体分割时，尽量分割成体积分割成体积(tj)(tj)容易求容易求得的小几何体。得的小几何体。第13页/共30页第十四页，共30页。分别过分别过A A、B B作作EFEF的垂线，的垂线，垂足分别为垂足分别为G G、H H，连结，连结DGDG、CHCH，容易求得容易求得EGEG=HFHF=.=.(分割分割(fng)(fng)法法2)2)E EF FA AB BC CD DE EF FA AB BC CD DG GH H第14页/共30页第十五页，共30页。E EF FA AB BC C
8、D DP PE EF FA AB BC CD D（分割（分割(fng)(fng)法法3 3）：）：取取EFEF的中点的中点P P，则多面体，则多面体ABCDEFABCDEF分分割割(fng)(fng)成正四面体成正四面体ADEPADEP，PBCFPBCF和和正四棱锥正四棱锥P-ABCDP-ABCD第15页/共30页第十六页，共30页。Q QE EG GF FP PA AB BC CD DH HE EF FA AB BC CD D（补形法）：（补形法）：如图，过如图，过E E分别作分别作BABA、CDCD的延长线的延长线的垂线的垂线(chu xin)EG(chu xin)EG、EHEH，过，过F
9、 F分别作分别作ABAB、DCDC的延长线的垂线的延长线的垂线(chu xin)FP(chu xin)FP、FQFQ，连接，连接GHGH、PQPQ，则多面体，则多面体EFH-FPQEFH-FPQ为为直三棱柱直三棱柱AG=DH=BP=CQ=AG=DH=BP=CQ=，EG=EH=FP=FQ=E到平面AGHD的距离为第16页/共30页第十七页，共30页。1.1.多面体常常切割成柱体和锥体多面体常常切割成柱体和锥体(zhu t)(zhu t)，特别是，特别是三棱锥三棱锥,比如比如2.2.将大几何体分割时，尽量将大几何体分割时，尽量(jnling)(jnling)分割成分割成底面积或高容易求得的小几何体
10、。底面积或高容易求得的小几何体。GH第17页/共30页第十八页，共30页。ab bbaa1.1.将不规则的几何体补成规则的或体积易于将不规则的几何体补成规则的或体积易于(yy)(yy)计计算的几何体。算的几何体。2.2.常见的补形常见的补形（1 1）将被平面）将被平面(pngmin)(pngmin)所截得几何体还原；所截得几何体还原；第18页/共30页第十九页，共30页。（2 2）将三棱锥补成平行六面体，特别）将三棱锥补成平行六面体，特别(tbi)(tbi)是长方体是长方体或正方体；或正方体；a.三条侧棱互相三条侧棱互相(h xing)垂直，垂直，补成长方体补成长方体b.b.将三棱锥补成三棱柱
11、将三棱锥补成三棱柱(lngzh)(lngzh)或平行六面体或平行六面体ABPCc.c.将正四面体补成正方体将正四面体补成正方体第19页/共30页第二十页，共30页。O例题例题(lt)2、在棱长为、在棱长为4的正方体中，求三棱锥的正方体中，求三棱锥AB1CD1的体积的体积ACDB1C1D1BA1第20页/共30页第二十一页，共30页。变式训练变式训练(xnlin)1、已知长方体、已知长方体ABCD-A1B1C1D1中中,AB=4,BC=2，BB1=3，求三棱，求三棱锥锥B1-AD1C的体积的体积.第21页/共30页第二十二页，共30页。BEADC变式训练变式训练(xnlin)2(xnlin)2第
12、22页/共30页第二十三页，共30页。解：练习练习(linx)：PABC第23页/共30页第二十四页，共30页。PABCD（等体积（等体积(tj)法）法）第24页/共30页第二十五页，共30页。思考思考(sko)(sko)这个三棱锥还可以用这个三棱锥还可以用“割补法割补法”做吗？做吗？“割割”或或“补补”一个几何体得一个几何体得到常见的几何体呢？到常见的几何体呢？第25页/共30页第二十六页，共30页。法二法二:(分割分割(fng)法）取法）取AB、AC的中点的中点M、N，连接连接PMPM、PNPN、MNMN，则，则P-AMNP-AMN是一个是一个(y)(y)棱长为棱长为1 1的正四面体。的正
13、四面体。明显明显(mngxin)(mngxin)地，地，VP-ABC=4VP-AMNVP-ABC=4VP-AMN故故V VP-ABCP-ABC=MNPABC第26页/共30页第二十七页，共30页。PABCOQ法三：法三：明显明显(mngxin)(mngxin)地，地，P-ABCP-ABC是棱长为是棱长为2 2的的正四面体，正四面体，所以所以(suy)(suy)，VP-VP-ABC=1/2VQ-ABCABC=1/2VQ-ABC（补形法）延长（补形法）延长(ynchng)AP至至点点Q，连接，连接BQ、CQ，第27页/共30页第二十八页，共30页。求体积的求体积的常用方法常用方法所给的是非规范所给
14、的是非规范(或条件比较分散或条件比较分散(fnsn)(fnsn)的规的规范的范的)几何体时几何体时,通过对图象的割补或体通过对图象的割补或体积变换积变换,化为与已知条件直接联系的规化为与已知条件直接联系的规范几何体范几何体,并作体积的加、减法。并作体积的加、减法。小结小结(xioji)(xioji)当按所给图象的方位不便当按所给图象的方位不便(bbin)(bbin)计算时计算时,可选可选择条件较集中的面作底面择条件较集中的面作底面,以便计算底以便计算底面积和高面积和高.所给的是规范几何体所给的是规范几何体,且已知条件比较且已知条件比较集中时集中时,就按所给图象的方位用公式直就按所给图象的方位用公式直接计算体积接计算体积.换底法换底法直接法直接法割补法割补法第28页/共30页第二十九页，共30页。第29页/共30页第三十页，共30页。