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1、刚体系运动学及其计算机辅助分析第2章 刚体系运动学及其计算机辅助分析1刚体系运动学及其计算机辅助分析刚体系运动学及其计算机辅助分析刚体系的位形描述，约束方程刚体系的位形描述，约束方程运动学的计算机辅助分析基础运动学的计算机辅助分析基础常见平面运动约束的约束方程常见平面运动约束的约束方程平面机械系统运动学模型的定义平面机械系统运动学模型的定义第2章 刚体系运动学及其计算机辅助分析2刚体系的位形描述，约束方程刚体系的位形描述，约束方程前言前言笛卡尔位形坐标笛卡尔位形坐标约束方程约束方程刚体系运动学及其计算机辅助分析方法第2章 刚体系运动学及其计算机辅助分析3刚体系位形的描述，约束方程由由N个刚体构
2、成的刚体系个刚体构成的刚体系前言前言解决如何描述刚体系的位形解决如何描述刚体系的位形确定系统位形坐标确定系统位形坐标第2章 刚体系运动学及其计算机辅助分析 刚体的平面运动刚体的平面运动 在刚体运动的过程中，如果刚体内部任意点与某固定的在刚体运动的过程中，如果刚体内部任意点与某固定的参考平面的距离始终保持不变。参考平面的距离始终保持不变。4连体基连体基 的位形有的位形有两个要素两个要素：1）基点）基点C 在参考基在参考基 上的位置；上的位置；2）连体基）连体基 在参考基上在参考基上 的姿态。的姿态。系统的位形坐标系统的位形坐标矢径矢径 在参考基在参考基 的坐标阵的坐标阵连体基连体基 在参考基在参
3、考基 上的姿态角：上的姿态角：第2章 刚体系运动学及其计算机辅助分析注意注意：刚体位形与该刚体连体基：刚体位形与该刚体连体基 的位形一致，因此只要实的位形一致，因此只要实现对刚体连体基现对刚体连体基 位形的描述，即达到了对该刚体位形的描位形的描述，即达到了对该刚体位形的描述述6定义连体基 的基矢量 与参考基 的基矢量 的夹角为 。逆时针方向旋转为正。连体基 相对于参考基 的方向余弦阵姿态角：夹角 确定了连体基相对于参考基的姿态位形：连体基的基点坐标与姿态角三个标量完全能描述刚体的位形。位形坐标阵：定义列阵 7坐标个数坐标个数刚体系位形的坐标列阵：刚体系位形的坐标列阵：称为刚体系的笛卡尔位形坐标
4、阵。称为刚体系的笛卡尔位形坐标阵。8刚体系位形的描述，约束方程/笛卡尔位形坐标 解解11系统有系统有N=3个刚体构成，个刚体构成，分别定义各刚性杆为分别定义各刚性杆为B1，B2与与B3公共参考基公共参考基建立连体基建立连体基C1C3C2O连体基基点在各杆的中点连体基基点在各杆的中点第2章 刚体系运动学及其计算机辅助分析10刚体系位形的描述，约束方程/笛卡尔位形坐标/解各刚体的位形坐标各刚体的位形坐标C1O 1第2章 刚体系运动学及其计算机辅助分析图示机构的参数为图示机构的参数为l1=0.1m，l2=0.4m，l3=0.3m d1=0.4m，d2=0.1m此瞬时此瞬时 1=p p/4(rad)1
5、1刚体系位形的描述，约束方程/笛卡尔位形坐标/解C3O各刚体的位形坐标各刚体的位形坐标 3第2章 刚体系运动学及其计算机辅助分析图示机构的参数为图示机构的参数为l1=0.1m，l2=0.4m，l3=0.3m d1=0.4m，d2=0.1m,1=p p/4(rad)13刚体系位形的描述，约束方程/笛卡尔位形坐标 解解22 1系统有系统有N=3个刚体构成，个刚体构成，分别定义各刚性杆为分别定义各刚性杆为B1，B2与与B3公共参考基公共参考基建立连体基建立连体基C1C3C2O连体基基点在各杆的端点连体基基点在各杆的端点第2章 刚体系运动学及其计算机辅助分析15刚体系位形的描述，约束方程/笛卡尔位形坐
6、标/解各刚体的位形坐标各刚体的位形坐标C1O 1第2章 刚体系运动学及其计算机辅助分析16刚体系位形的描述，约束方程/笛卡尔位形坐标/解各刚体的位形坐标各刚体的位形坐标C3O 3在基的在基的 坐标阵坐标阵第2章 刚体系运动学及其计算机辅助分析18刚体系位形的描述，约束方程/笛卡尔位形坐标/解各刚体的位形坐标各刚体的位形坐标C1C3C2O 1 2系统的位形坐标系统的位形坐标系统的位形坐标部分时变系统的位形坐标部分时变时变时变坐标的个数为坐标的个数为3（3N）3第2章 刚体系运动学及其计算机辅助分析19刚体系位形的描述，约束方程/笛卡尔位形坐标系统位形坐标的定义是人为的系统位形坐标的定义是人为的小
7、结小结时变位形坐标的个数可能不同，时变位形坐标的个数可能不同，这些时变坐标（这些时变坐标（3N）可）可作为描述系统的位形坐标作为描述系统的位形坐标定义系统位形笛卡尔坐标具有定义系统位形笛卡尔坐标具有程式化程式化的特征的特征系统位形笛卡尔坐标的最大的个数是系统位形笛卡尔坐标的最大的个数是3N称为称为位形坐标的缩并位形坐标的缩并第2章 刚体系运动学及其计算机辅助分析20刚体系位形的描述，约束方程约束方程的基本概念约束方程的基本概念约束方程约束方程系统的自由度系统的自由度加速度约束方程加速度约束方程建立约束方程的方法建立约束方程的方法速度约束方程速度约束方程第2章 刚体系运动学及其计算机辅助分析21
8、刚体系位形的描述，约束方程/约束方程由由N个刚体构成的刚体系个刚体构成的刚体系约束方程的基本概念约束方程的基本概念描述刚体系的位形坐标描述刚体系的位形坐标系统各刚体的运动相互有联系系统各刚体的运动相互有联系有哪些联系？这些联系的力学描述？有哪些联系？这些联系的力学描述？坐标个数通常坐标个数通常 缩并缩并第2章 刚体系运动学及其计算机辅助分析22刚体系位形的描述，约束方程/约束方程/基本概念系统各刚体两种性质不同的联系系统各刚体两种性质不同的联系 不影响刚体相对运动的独立性不影响刚体相对运动的独立性 影响刚体相对运动的独立性影响刚体相对运动的独立性6个位形坐标相互不独立个位形坐标相互不独立系统运
9、动过程中，位形坐标间存在的关系统运动过程中，位形坐标间存在的关系式称为系式称为约束方程约束方程第2章 刚体系运动学及其计算机辅助分析24刚体系位形的描述，约束方程/笛卡尔位形坐标 例例 d2 1d1l1l2l3写出系统的约束方程写出系统的约束方程第2章 刚体系运动学及其计算机辅助分析25刚体系位形的描述，约束方程/笛卡尔位形坐标/解解解C1C3C2O 1 2系统位形坐标的定义系统位形坐标的定义系统参考基与刚体连体基的定义系统参考基与刚体连体基的定义杆与杆和杆与机座的铰点限杆与杆和杆与机座的铰点限制各杆位形坐标的独立性制各杆位形坐标的独立性?如何建立各杆位形坐标间的关系如何建立各杆位形坐标间的关
10、系 3第2章 刚体系运动学及其计算机辅助分析26刚体系位形的描述，约束方程/约束方程/基本概念约束方程的一般形式约束方程的一般形式由由N个刚体构成的刚体系个刚体构成的刚体系约束方程约束方程 n 个位形坐标的非线性代数方程组个位形坐标的非线性代数方程组坐标个数坐标个数 n描述刚体系的位形坐标描述刚体系的位形坐标其中其中方程的个数方程的个数 s第2章 刚体系运动学及其计算机辅助分析28刚体系位形的描述，约束方程/约束方程/基本概念约束方程的分类约束方程的分类完整约束与非完整约束完整约束与非完整约束定常约束与非定常约束定常约束与非定常约束双侧约束与单单侧约束双侧约束与单单侧约束完整约束完整约束-只含
11、坐标与时间的约束只含坐标与时间的约束方程描述的约束方程描述的约束非完整约束：约束方程显含速度项，当非完整约束：约束方程显含速度项，当这些约束方程不可积时。这些约束方程不可积时。定常约束定常约束:不显含时间的约束方程不显含时间的约束方程的约束的约束非定常约束非定常约束：约束方程显含时间项：约束方程显含时间项双侧约束：双侧约束：约束方程为一等式方约束方程为一等式方程的约束程的约束单侧约束：单侧约束：约束方程为一不等式约束方程为一不等式方程方程第2章 刚体系运动学及其计算机辅助分析29刚体系位形的描述，约束方程/约束方程/基本概念系统的独立位形坐标与非独立位形坐标系统的独立位形坐标与非独立位形坐标系
12、统系统 n 个个位形坐标中有位形坐标中有 d d 是独立的是独立的系统的自由度为系统的自由度为系统其余的系统其余的 s 个个位形坐标取决于独立坐标位形坐标取决于独立坐标记为记为 w坐标重新排列坐标重新排列独立坐标独立坐标非非独立坐标独立坐标记为记为 u第2章 刚体系运动学及其计算机辅助分析31刚体系位形的描述，约束方程/笛卡尔位形坐标 例例 d2 1d1l1l2l3写出系统的自由度数，定义独立写出系统的自由度数，定义独立与非独立坐标与非独立坐标第2章 刚体系运动学及其计算机辅助分析32刚体系位形的描述，约束方程/笛卡尔位形坐标/解解解C1C3C2O 1 2系统位形坐标的定义系统位形坐标的定义系
13、统参考基与刚体连体基的定义系统参考基与刚体连体基的定义约束方程约束方程d1d2独立的完整约束方程的个数独立的完整约束方程的个数 s=2系统的自由度系统的自由度 3第2章 刚体系运动学及其计算机辅助分析33刚体系位形的描述，约束方程/笛卡尔位形坐标/解C1C3C2O 1 2d1d2系统的自由度系统的自由度独立坐标个数为独立坐标个数为 d d=1非独立坐标个数为非独立坐标个数为 s=2定义独立坐标阵定义独立坐标阵定义非独立坐标阵定义非独立坐标阵 3第2章 刚体系运动学及其计算机辅助分析34刚体系位形的描述，约束方程总体法总体法根据系统根据系统一般情况下一般情况下构形的几何关系建立系统的约束方程构形
14、的几何关系建立系统的约束方程建立约束方程的方法建立约束方程的方法局部法局部法以系统中一对邻接刚体为单元，根据连接关系建立它们位形坐以系统中一对邻接刚体为单元，根据连接关系建立它们位形坐标间的关系，然后将它们标间的关系，然后将它们组集组集第2章 刚体系运动学及其计算机辅助分析35刚体系位形的描述，约束方程/笛卡尔位形坐标 例例 d2 1d1l1l2l3利用总体法写出系统的约束方程利用总体法写出系统的约束方程第2章 刚体系运动学及其计算机辅助分析36刚体系位形的描述，约束方程/笛卡尔位形坐标/解解解C1C3C2O 1 2系统位形坐标的定义系统位形坐标的定义系统参考基与刚体连体基的定义系统参考基与刚
15、体连体基的定义约束方程约束方程d1d2杆与杆和杆与机座的铰点限制杆与杆和杆与机座的铰点限制各杆位形坐标的独立性各杆位形坐标的独立性总体上保证系统机座的相对位总体上保证系统机座的相对位置（置（d1,d2）3第2章 刚体系运动学及其计算机辅助分析37刚体系位形的描述，约束方程/笛卡尔位形坐标 例例 d2d1l1l2l3利用局部法写出系统的约束方程利用局部法写出系统的约束方程第2章 刚体系运动学及其计算机辅助分析38刚体系位形的描述，约束方程/约束方程/基本概念 解解 系统的构成：系统的构成：系统可分解为系统可分解为4个刚体偶对：个刚体偶对：铰铰A：B1 B2刚体个数刚体个数 N=3铰的个数铰的个数
16、 NJ=4铰铰B：B2 B3铰铰C：支座支座 B1铰铰D：B3 支座支座第2章 刚体系运动学及其计算机辅助分析39刚体系位形的描述，约束方程/约束方程/基本概念 解解 建立刚体连体基建立刚体连体基C1C3C2C建立参考基建立参考基定义刚体的笛卡尔位形坐标定义刚体的笛卡尔位形坐标 1 2 3连体基基点在各杆的中点连体基基点在各杆的中点第2章 刚体系运动学及其计算机辅助分析40刚体系位形的描述，约束方程/约束方程/基本概念铰铰A：B1 B2的约束方程的约束方程几何关系：在运动的过程中几何关系：在运动的过程中铰铰 A 是两刚体的共点是两刚体的共点在公共基上的坐标式在公共基上的坐标式C2C 1 2C1
17、第2章 刚体系运动学及其计算机辅助分析为杆 连体基基点 的矢径，为杆 上 指向铰A的连体 矢径41约束方程：42刚体系位形的描述，约束方程/约束方程/基本概念铰铰B：B2 B3的约束方程的约束方程几何关系：在运动的过程中几何关系：在运动的过程中铰铰 B 是两刚体的共点是两刚体的共点在公共基上的坐标式在公共基上的坐标式C3C2C 2 3第2章 刚体系运动学及其计算机辅助分析43刚体系位形的描述，约束方程/约束方程/基本概念铰铰C：支座支座 B1的约束方程的约束方程几何关系：在运动的过程中几何关系：在运动的过程中铰铰 C 是支座与刚体是支座与刚体 B1 共点共点在公共基上的坐标式在公共基上的坐标式
18、C1C 1第2章 刚体系运动学及其计算机辅助分析44刚体系位形的描述，约束方程/约束方程/基本概念铰铰D：B3 支座支座的约束方程的约束方程几何关系：在运动的过程中几何关系：在运动的过程中铰铰 D 是刚体是刚体 B3与支座共点与支座共点在公共基上的坐标式在公共基上的坐标式C3C 3d2d1第2章 刚体系运动学及其计算机辅助分析45刚体系位形的描述，约束方程/约束方程/基本概念系统的约束方程系统的约束方程局部约束方程组集局部约束方程组集系统笛卡尔位形坐标系统笛卡尔位形坐标系统系统自由度自由度C1C3C2C 1 2 3独立约束方程的个数独立约束方程的个数 s=8第2章 刚体系运动学及其计算机辅助分
19、析46刚体系位形的描述，约束方程两种建立约束方程方法的比较两种建立约束方程方法的比较总体法总体法程式化程式化：坐标统一（坐标统一（3N个笛卡儿坐标）个笛卡儿坐标）统一以邻接刚体为单元建立约束方程统一以邻接刚体为单元建立约束方程方程个数偏大方程个数偏大局部局部法法依赖技巧：依赖技巧：坐标的定义坐标的定义 几何关系的分析几何关系的分析方程方程个数个数少少两种方法建立的约束方程，不影响系统的自由度两种方法建立的约束方程，不影响系统的自由度第2章 刚体系运动学及其计算机辅助分析47刚体系位形的描述，约束方程系统的位形坐标系统的位形坐标个数为个数为 n独立独立的完整约束方程个数为的完整约束方程个数为 s
20、约束方程对时间的导数约束方程对时间的导数速度约束方程速度约束方程速度约束方程速度约束方程第2章 刚体系运动学及其计算机辅助分析48刚体系位形的描述，约束方程/约束方程/速度约束方程约束方程雅可比矩阵约束方程雅可比矩阵约束方程的约束方程的雅可比矩阵雅可比矩阵元素是位形坐标与时间的函数元素是位形坐标与时间的函数速度约束方程的速度约束方程的右项右项元素是位形坐标与时间的函数元素是位形坐标与时间的函数速度约束方程为位形速度的线性代数方程组速度约束方程为位形速度的线性代数方程组定常约束定常约束第2章 刚体系运动学及其计算机辅助分析49刚体系位形的描述，约束方程/约束方程/速度约束方程 例例 写出系统的速
21、度约束方程写出系统的速度约束方程C1C3C2O 1 2d1d2 3第2章 刚体系运动学及其计算机辅助分析50刚体系位形的描述，约束方程/约束方程/速度约束方程 解解11约束方程约束方程约束方程雅可比约束方程雅可比位形坐标位形坐标C1C3C2O 1 2d1d2 3速度约束方程右项速度约束方程右项定常约束定常约束第2章 刚体系运动学及其计算机辅助分析51刚体系位形的描述，约束方程/约束方程/速度约束方程速度约束方程速度约束方程速度约束方程为位形速度的线性代数方程组速度约束方程为位形速度的线性代数方程组第2章 刚体系运动学及其计算机辅助分析52刚体系位形的描述，约束方程/约束方程/速度约束方程 解解
22、22约束方程约束方程直接对时间求导直接对时间求导位形坐标位形坐标求速度约束方程雅可比与右项的一种方法求速度约束方程雅可比与右项的一种方法整理整理速度项的系数阵速度项的系数阵与速度无关项与速度无关项第2章 刚体系运动学及其计算机辅助分析53刚体系位形的描述，约束方程系统的位形坐标系统的位形坐标个数为个数为 n速度速度约束方程个数为约束方程个数为 s速度约束方程对时间的导数速度约束方程对时间的导数加速度约束方程加速度约束方程加速度约束方程加速度约束方程第2章 刚体系运动学及其计算机辅助分析54刚体系位形的描述，约束方程加速度加速度约束方程个数为约束方程个数为 s加速度约束方程的加速度约束方程的右项
23、右项元素是位形坐标，速度元素是位形坐标，速度与时间的函数与时间的函数加速度约束方程加速度约束方程定常约束定常约束第2章 刚体系运动学及其计算机辅助分析55刚体系位形的描述，约束方程/约束方程/速度约束方程 例例 写出系统的加速度约束方程写出系统的加速度约束方程C1C3C2O 1 2d1d2 3第2章 刚体系运动学及其计算机辅助分析56刚体系位形的描述，约束方程/约束方程/加速度约束方程 解解11速度约束方程速度约束方程位形坐标位形坐标第2章 刚体系运动学及其计算机辅助分析57加速度约束方程加速度约束方程58刚体系位形的描述，约束方程/约束方程/加速度约束方程 解解22速度约束方程速度约束方程直
24、接对时间求导直接对时间求导位形坐标位形坐标第2章 刚体系运动学及其计算机辅助分析59求加速度约束方程右项的一种方法求加速度约束方程右项的一种方法与加速度无关项与加速度无关项整理整理60例题例题 图示机构由图示机构由3个构件组成，即套筒个构件组成，即套筒B1，杆，杆B2与曲柄与曲柄B3。公共基与各构件的连体基如图所示。杆公共基与各构件的连体基如图所示。杆B2相对于套筒相对于套筒B1有相有相对滑动。固定铰链对滑动。固定铰链O1与与O3的距离为的距离为d1，曲柄，曲柄O2O3的长度为的长度为d2，O1与与O2的距离为的距离为 。系统的位形坐标为。系统的位形坐标为 。试用总体法写出系统的约束方程；试用总体法写出系统的约束方程；写出系统约束方程的雅可比矩阵；写出系统约束方程的雅可比矩阵；写出系统加速度约束方程的右项。写出系统加速度约束方程的右项。6162运动学约束方程为：加速度约束方程为63