多元函数微分学 习题.ppt

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1、第八章第八章 习题课习题课多元函数微分学多元函数微分学一一 基本要求基本要求1 理解二元函数的概念，会求定义域。理解二元函数的概念，会求定义域。2 了解二元函数的极限和连续的概念。了解二元函数的极限和连续的概念。3 理解偏导数的概念，掌握偏导数及高理解偏导数的概念，掌握偏导数及高阶偏导数的求法。阶偏导数的求法。4 掌握多元复合函数的微分法。掌握多元复合函数的微分法。5 了解全微分形式的不变性。了解全微分形式的不变性。6 掌握隐函数的求导法。掌握隐函数的求导法。7 会求曲线的切线及法平面，曲面的切会求曲线的切线及法平面，曲面的切平面及法线。平面及法线。8 了解方向导数的概念和计算公式。了解方向导

2、数的概念和计算公式。9 了解梯度的概念和计算方法以及梯度了解梯度的概念和计算方法以及梯度与方向导数之间的关系。与方向导数之间的关系。10 掌握多元函数无条件极值和条件极值掌握多元函数无条件极值和条件极值的求法及最大（小）值的求法。的求法及最大（小）值的求法。二二 要点提示要点提示（一）函数的概念（一）函数的概念 1.1.点函数的定义：点函数的定义：设设 是一个点集，如果对于每一点是一个点集，如果对于每一点 变量变量 按照一定的法则总有确定的值和它按照一定的法则总有确定的值和它对应，则称对应，则称 是点是点 的函数，记为的函数，记为 注意注意 1.从一元函数推广从一元函数推广 2.多元函数与一元

3、函数的区别多元函数与一元函数的区别当当 时，时，当当 时，时，为为n元函数元函数.为三元函数；为三元函数；当当 时，时，为二元函数；为二元函数；当当 时，时，为一元函数；为一元函数；2.2.多元初等函数：多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数经过有由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成，可限次的四则运算和复合步骤所构成，可用一个式子所表示的函数，称为用一个式子所表示的函数，称为多元初多元初等函数等函数.一切多元初等函数在其定义区域内是连一切多元初等函数在其定义区域内是连续的续的.1 1偏导数偏导数（1 1）定义：偏导数是函数的偏增量与自变量）定义：偏导数是函数的偏增量

4、与自变量增量之比的极限增量之比的极限.（二）偏导数与全微分（二）偏导数与全微分（2 2）计算）计算 求多元函数的偏导数实际上是一元函数的求多元函数的偏导数实际上是一元函数的微分法问题，对一个变量求导，暂时将其余变微分法问题，对一个变量求导，暂时将其余变量看作常数量看作常数.2 2全微分全微分微分公式微分公式：（三）多元函数连续（三）多元函数连续偏导存在与可微之间的偏导存在与可微之间的 关系关系一元函数：可导一元函数：可导 函数可微，函数可微，一元函数：可导一元函数：可导 连续，连续，多元函数：偏导数连续多元函数：偏导数连续 函数可微函数可微 多元函数连续多元函数连续 函数的偏导数存在。函数的偏

5、导数存在。（四）多元函数微分法（四）多元函数微分法1多元复合函数求导法多元复合函数求导法（1）链式法则链式法则 链式法则的实质是函数必须对中间变链式法则的实质是函数必须对中间变量求导。依据函数的复合结构，可按照量求导。依据函数的复合结构，可按照“连线相乘，分线相加连线相乘，分线相加”的原则来进行的原则来进行.设设则则 是是 的复合函数的复合函数.称为称为全导数全导数.求多元复合函数偏导数的关键在于弄清求多元复合函数偏导数的关键在于弄清函数的复合结构函数的复合结构,它可用它可用“树形图树形图”来表示来表示.注意注意：2隐函数求导法：隐函数求导法：设设 是由方程是由方程所确定的隐函数，则所确定的隐

6、函数，则方法方法2 隐函数的求导公式：隐函数的求导公式：方法方法1 对方程两端求对方程两端求(偏偏)导数，然后解出所求导数，然后解出所求 (偏偏)导数导数.（五）微分法在几何上的应用五）微分法在几何上的应用则曲线在点则曲线在点 处处切向量切向量为为是曲线上一点，其相应的参数为是曲线上一点，其相应的参数为 （1 1）设空间曲线：）设空间曲线：1 1空间曲线的切线及法平面空间曲线的切线及法平面曲线在点曲线在点 处的处的切线方程切线方程为为曲线在点曲线在点 处的处的法平面方程法平面方程为为 若曲线的方程表示为若曲线的方程表示为则在点则在点 处切向量为处切向量为 2曲面的切平面及法线曲面的切平面及法线

7、为曲面上一点为曲面上一点,则曲面在点则曲面在点 处处的的法向量法向量为为（1 1）设曲面方程为（隐函数形式）设曲面方程为（隐函数形式）切平面方程切平面方程为为法线方程法线方程为为（2）若曲面方程为（显函数形式）若曲面方程为（显函数形式）曲面上曲面上 点的法向量为点的法向量为则可写为隐函数形式则可写为隐函数形式 （六）方向导数与梯度（六）方向导数与梯度2计算公式：若计算公式：若 可微，则可微，则其中其中 为为 轴正向到方向轴正向到方向 的转角的转角1.方向导数的定义方向导数的定义注意注意:方向导数存在方向导数存在 偏导数存在偏导数存在 若若 可微可微,则则其中其中 为方向为方向 的方向角的方向角

8、.3.梯度：梯度：设设 在平面区域在平面区域D内具有一阶连续内具有一阶连续偏导数，则对于每一点偏导数，则对于每一点 ，向量，向量 称为称为 在点在点 的梯度。的梯度。梯度与方向导数的关系：梯度与方向导数的关系：梯度的方向与取得最大方向导数的方向一致，梯度的方向与取得最大方向导数的方向一致，而它的模为方向导数的最大值。而它的模为方向导数的最大值。（七）函数的极值（七）函数的极值最大值和最小值最大值和最小值这时称这时称 为驻点。为驻点。若若 在点在点 处有极值，则处有极值，则驻点不一定是极值点驻点不一定是极值点1极值的必要条件：极值的必要条件：是极小值；是极小值；2充分条件：充分条件：设设 在驻点

9、在驻点 的某邻域内有的某邻域内有连续的二阶偏导数，记连续的二阶偏导数，记(2)(2)当当 时，不是极值；时，不是极值；(1)(1)当当 时，时，是极值是极值;(3)(3)当当 时，不能确定时，不能确定.是极大值；是极大值；3条件极值：条件极值：求拉格朗日函数求拉格朗日函数 求条件极值的方法：求条件极值的方法：(1)(1)可将条件代入函数，转化为无条件极值问题；可将条件代入函数，转化为无条件极值问题；的极值的极值.如函数如函数下的极值称为下的极值称为条件极值条件极值.在条件在条件(2)可以用可以用拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法：4 4函数的最大值和最小值函数的最大值和最小值在在实际问题实际问题中往

10、往可根据问题本身的性质来中往往可根据问题本身的性质来判定驻点是否是最值点判定驻点是否是最值点.求函数在有界区域上的最大值和最小值的法求函数在有界区域上的最大值和最小值的法:1.求出该函数在内的所有驻点和偏导数不存在求出该函数在内的所有驻点和偏导数不存在的点的函数值的点的函数值;2.求出在的边界上可能的最大值求出在的边界上可能的最大值 最小值最小值;3.比较大小，其中最大者就是最大值，最小者比较大小，其中最大者就是最大值，最小者就是就是最小值最小值.三三 例题分析例题分析（一）求定义域和极限（一）求定义域和极限2.2.讨论极限讨论极限1.1.答案答案:(2)设设 沿直线沿直线 趋近于趋近于(0,

11、0)故极限不存在故极限不存在.2.(1)令令（二）（二）求偏导数和全微分求偏导数和全微分:1.1.求一阶偏导数及全微分求一阶偏导数及全微分.1.1.求一阶偏导数及全微分求一阶偏导数及全微分.参考答案参考答案解解7.设设F(x,y)具有连续偏导数具有连续偏导数,已知方程已知方程解法解法1 1 利用隐函数偏导数公式利用隐函数偏导数公式 确定的隐函数确定的隐函数,则则故故7.设设F(x,y)具有连续偏导数具有连续偏导数,已知方程已知方程解法解法2对方程对方程 两边求全微分，得两边求全微分，得用全微分形式不变性用全微分形式不变性即即（三）曲线的切线和法平面、曲面的切平（三）曲线的切线和法平面、曲面的切

12、平面和法线面和法线2.2.作一平面与直线作一平面与直线 垂直且垂直且与球面与球面 相切相切.在点在点 处的切线方程及法平面方程处的切线方程及法平面方程.1.1.求曲线求曲线即曲线即曲线 ，法平面方程：法平面方程：切线方程：切线方程：其切向量为其切向量为 解解 方程组方程组 确定隐函数确定隐函数在点在点 处的切线方程及法平面方程处的切线方程及法平面方程.1.1.求曲线求曲线所求平面的法向量所求平面的法向量2.作一平面与直线作一平面与直线 垂直且垂直且与球面与球面 相切相切.解解 所求平面设为所求平面设为设切点为设切点为方法方法1 1所求平面：所求平面：由（切）点到原点的距离公式，有由（切）点到原

13、点的距离公式，有 所求平面所求平面与球面与球面 相切相切.则球面的法向量为则球面的法向量为:方法方法2 所求平面的法向量所求平面的法向量2.作一平面与直线作一平面与直线 垂直且垂直且与球面与球面 相切相切.所求方程为所求方程为代入曲面，得代入曲面，得解解（四）方向导数和梯度（四）方向导数和梯度梯度的模梯度的模由题意：要使方向导数由题意：要使方向导数=梯度的模，即梯度的模，即须有须有 说明球心在原点的球面上点沿向径的方向说明球心在原点的球面上点沿向径的方向导数最大导数最大.解解（五）多元函数的极值和最大、最小值（五）多元函数的极值和最大、最小值解解1.(06,1.(06,一一)综合练习综合练习解

14、解 选选D.构造拉格朗日函数构造拉格朗日函数2(03,一一)A.不是极值点；不是极值点；B.极大值点；极大值点；C.极小值点；极小值点；D.无法判断无法判断因已知极限是因已知极限是1，而分母，而分母解解 选选A.3（03,三）三）则下列结论正确的是（则下列结论正确的是（）.解解 选选A.因可微函数必有偏导存在，由极值存在因可微函数必有偏导存在，由极值存在的必要条件，知的必要条件，知4.已知函数已知函数的全微分的全微分并且并且在椭圆域在椭圆域:上的最大值和最小值上的最大值和最小值.解解 先确定先确定不是极值点，也非最值点不是极值点，也非最值点.说明最值不在椭圆区域说明最值不在椭圆区域 内内.考虑

15、边界曲线考虑边界曲线 上的情形：上的情形：令拉格朗日函数为令拉格朗日函数为解方程组解方程组得可能的极值点得可能的极值点可能的极值点函数值：可能的极值点函数值：内的最大值为内的最大值为3，最小值为，最小值为2.可见可见 在区域在区域5.5.设有一小山设有一小山,取它的底面所在的平面为取它的底面所在的平面为 坐标面坐标面,其底部所占的区域为其底部所占的区域为 小山的高度函数为小山的高度函数为 该点沿平面上什么方向的方向导数最大该点沿平面上什么方向的方向导数最大?若记此方向导数的最大值为若记此方向导数的最大值为(2)(2)现欲利用此小山开展攀岩活动现欲利用此小山开展攀岩活动,为此需要在山为此需要在山

16、脚寻找一上山坡度最大的点作为攀登的起点脚寻找一上山坡度最大的点作为攀登的起点.也也就是说就是说,需要在需要在DD 的边界线的边界线上找出使上找出使(1)(1)中的中的达到最大值的点达到最大值的点,试确定试确定涉及到：方向导数、梯度和条件极值等概念涉及到：方向导数、梯度和条件极值等概念攀登起点的位置攀登起点的位置.解解沿梯度沿梯度方向的方向导数最大，为梯度的模，所以方向的方向导数最大，为梯度的模，所以 由方向导数与梯度之间的关系，知由方向导数与梯度之间的关系，知下的最大值点下的最大值点.由拉格朗日乘数法，令由拉格朗日乘数法，令（2）令）令则则则只须求则只须求在约束条件在约束条件于是得到四个可能极

17、值点：于是得到四个可能极值点：则由（则由（3）式得）式得则由（则由（1）式得）式得再由（再由（3）式得）式得式式(1)+(2),得得若若若若由于由于 故故或或可作为攀登起点可作为攀登起点.5.5.设设 具有二阶偏导数具有二阶偏导数,多元复合函数求偏导例题多元复合函数求偏导例题参考答案参考答案：同理同理,解解例例1 1设设 求求例例2 2 设设 求求解解幂指函数幂指函数可与对数求导法对比可与对数求导法对比.例例 幂指函数的求导公式幂指函数的求导公式:将幂指函数当作幂函数将幂指函数当作幂函数求导加上将幂指函数当作指数函数求导求导加上将幂指函数当作指数函数求导.例例4 4 设设 解解 设设 则则例例5 5 设设 求求注意区别：注意区别：解解例例6 6 设设 具有二阶偏导数具有二阶偏导数,这里这里 仍是以仍是以 为中间变量的函数为中间变量的函数,且且与函数有相同的复合结构与函数有相同的复合结构,故对它们求偏导要按故对它们求偏导要按复合函数求导法则复合函数求导法则.解解 设设记记多元复合函数求偏导的补充练习多元复合函数求偏导的补充练习二阶可导，求二阶可导，求可导可导,求求补充题参考答案补充题参考答案解解设设二阶可导，求二阶可导，求解解其中其中 可导可导,求求解解解解解解2 幂指函数的求导公式：幂指函数的求导公式：解解1 取对数求导法（隐函数）取对数求导法（隐函数）