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1、,第八章,习题课,机动目录上页下页返回结束,一、基本概念,二、多元函数微分法,三、多元函数微分法的应用,多元函数微分法,一、基本概念,连续性,偏导数存在,方向导数存在,可微性,1.多元函数的定义、极限、连续,定义域及对应规律,判断极限不存在及求极限的方法,函数的连续性及其性质,2.几个基本概念的关系,机动目录上页下页返回结束,思考与练习,机动目录上页下页返回结束,1.讨论二重极限,解法1,解法2令,解法3令,时,下列算法是否正确?,分析:,解法1,解法2令,机动目录上页下页返回结束,此法第一步排除了沿坐标轴趋于原点的情况,此法排除了沿曲线趋于原点的情况.,此时极限为1.,第二步,未考虑分母变化
2、的所有情况,解法3令,机动目录上页下页返回结束,此法忽略了的任意性,极限不存在!,由以上分析可见,三种解法都不对,因为都不能保证,自变量在定义域内以任意方式趋于原点.,特别要注意,在某些情况下可以利用极坐标求极限,但要注意在定义域内r,的变化应该是任意的.,同时还可看到,本题极限实际上不存在.,提示:利用,故f在(0,0)连续;,知,在点(0,0)处连续且偏导数存在,但不可微.,2.证明:,机动目录上页下页返回结束,而,所以f在点(0,0)不可微!,机动目录上页下页返回结束,例1.已知,求出的表达式.,解法1令,即,解法2,以下与解法1相同.,则,且,机动目录上页下页返回结束,二、多元函数微分
3、法,显示结构,隐式结构,1.分析复合结构,(画变量关系图),自变量个数=变量总个数方程总个数,自变量与因变量由所求对象判定,2.正确使用求导法则,“分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导”,注意正确使用求导符号,3.利用一阶微分形式不变性,机动目录上页下页返回结束,例2.设,其中f与F分别具,解法1方程两边对x求导,得,有一阶导数或偏导数,求,(99考研),机动目录上页下页返回结束,解法2,方程两边求微分,得,化简,消去即可得,机动目录上页下页返回结束,例3.设,有二阶连续偏导数,且,求,解:,机动目录上页下页返回结束,练习题,1.设函数f二阶连续可微,求下列函数的二阶偏导数,2.同济(下)P
4、73题12,机动目录上页下页返回结束,解答提示:,第1题,机动目录上页下页返回结束,机动目录上页下页返回结束,P73题12设,求,提示:,机动目录上页下页返回结束,利用行列式解出du,dv：,机动目录上页下页返回结束,代入即得,代入即得,有连续的一阶偏导数,及,分别由下两式确定,求,又函数,答案:,(2001考研）,机动目录上页下页返回结束,3.设,三、多元函数微分法的应用,1.在几何中的应用,求曲线在切线及法平面,(关键:抓住切向量),求曲面的切平面及法线(关键:抓住法向量),2.极值与最值问题,极值的必要条件与充分条件,求条件极值的方法(消元法,拉格朗日乘数法),求解最值问题,3.在微分方
5、程变形等中的应用,最小二乘法,机动目录上页下页返回结束,例4.在第一卦限作椭球面,的切平面,使其在三坐标轴上的截距的平方和最小,并求切点.,解:设,切点为,则切平面的法向量为,即,切平面方程,机动目录上页下页返回结束,问题归结为求,在条件,下的条件极值问题.,设拉格朗日函数,机动目录上页下页返回结束,切平面在三坐标轴上的截距为,令,由实际意义可知,为所求切点.,机动目录上页下页返回结束,唯一驻点,例5.,求旋转抛物面,与平面,之间的最短距离.,解：,设,为抛物面,上任一点，,则P,的距离为,问题归结为,约束条件:,目标函数:,作拉氏函数,机动目录上页下页返回结束,到平面,令,解此方程组得唯一驻点,由实际意义最小值存在,故,机动目录上页下页返回结束,上求一点,使该点处的法线垂直于,练习题：,1.在曲面,并写出该法线方程.,提示:设所求点为,则法线方程为,利用,得,平面,法线垂直于平面,点在曲面上,机动目录上页下页返回结束,2.在第一卦限内作椭球面,的切平面,使与三坐标面围成的四面体体积最小,并求此体积.,提示:设切点为,用拉格朗日乘数法可求出,则切平面为,所指四面体围体积,V最小等价于f(x,y,z)=xyz最大,故取拉格朗日函数,例4目录上页下页返回结束,(见例4),作业,P735，6，10，15，17,机动目录上页下页返回结束,