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1、1第第第第 五五五五 章章章章2A位移位移位移位移转角位移转角位移转角位移转角位移线位移线位移线位移线位移A A点点点点线位移线位移线位移线位移A A点点点点水平位移水平位移水平位移水平位移A A点点点点竖向位移竖向位移竖向位移竖向位移A A截面转角截面转角截面转角截面转角P5-1 5-1 应用虚功原理求刚体体系的位移应用虚功原理求刚体体系的位移一、结构位移计算概述一、结构位移计算概述结构位移的概念：结构位移的概念：3AP引起结构位移的原因引起结构位移的原因制造误差制造误差 等等荷载荷载温度温度改变改变支座移动支座移动还有什么原还有什么原因会使结构产因会使结构产生位移生位移?4以上都是绝对位移
2、以上都是绝对位移以上都是相对位移以上都是相对位移广义位移广义位移广义位移广义位移绝对位移与相对位移绝对位移与相对位移6BA(b)试确定指定广义位移对应的试确定指定广义位移对应的单位广义力。单位广义力。A(a)P=1P=1P=17ABCd(c)ABC(d)试确定指定广义位移对应的单位广义力。试确定指定广义位移对应的单位广义力。8AB(e)P=1P=1C(f)左右=？P=1P=1试确定指定广义位移对应的单位广义力。试确定指定广义位移对应的单位广义力。10 1 1）虚功原理用于）虚功原理用于虚设的虚设的协调位移状态协调位移状态与与实实际的际的平衡力状态平衡力状态之间。之间。例例.求求 A 端的支座反
3、力端的支座反力(Reaction at Support)。解：去掉解：去掉A端约束并代以反力端约束并代以反力 X，构造相应的虚位移状态，构造相应的虚位移状态.ABaC(a)bPX(b)P(c)直线直线待分析平衡的力状态待分析平衡的力状态虚设协调的位移状态虚设协调的位移状态由外力虚功总和为零，即：由外力虚功总和为零，即：将将代入得代入得:通常取通常取单位位移法单位位移法(Unit-Displacement Method)11例例.求求 A 端支座发生竖向位移端支座发生竖向位移 c 时引起时引起C点的竖向位移点的竖向位移 .2）虚功原理用于）虚功原理用于虚设的虚设的平衡力状态平衡力状态与与实际的实
4、际的协协调位移状态调位移状态之间。之间。解：首先构造出相应的解：首先构造出相应的虚设力状态虚设力状态。即，在拟求位移之。即，在拟求位移之点（点（C点）沿拟求位移方向（竖向）设置点）沿拟求位移方向（竖向）设置单位荷载单位荷载。ABaCbc1ABC由由 求得求得解得：解得：这是这是单位荷载法单位荷载法(Dummy-Unit Load Method)它是它是 Maxwell,1864和和Mohr,1874提出，故也称为提出，故也称为Maxwell-Mohr Method虚功方程为：虚功方程为：13 虚拟力状态：虚拟力状态：在拟求位移处沿着拟求位移的方向，虚设相应在拟求位移处沿着拟求位移的方向，虚设相
5、应的广义单位荷载。的广义单位荷载。P=1m=1m=1m=1P=1P=1l1/l1/lAB求A点的水平位移求A截面的转角求AB两截面的相对转角求AB两点的相对位移求AB两点连线的转角15（2）求）求C点的相对转角点的相对转角 在在C点作用一对力矩，求出点作用一对力矩，求出 和和 。abL/2L/2LABCM=1真实的位移状态 16原理的表述：原理的表述：任何一个任何一个处于平衡状态的变形体处于平衡状态的变形体，当，当发生任意一个虚位移时，变形体所受发生任意一个虚位移时，变形体所受外力外力在虚位移上所作的总虚功在虚位移上所作的总虚功We，恒等于变，恒等于变形体各形体各微段内力在微段变形上作的虚功之
6、微段内力在微段变形上作的虚功之和和Wi。也即恒有如下虚功方程成立。也即恒有如下虚功方程成立We=Wi 变形体变形体的虚功原理的虚功原理三、位移计算的一般步骤三、位移计算的一般步骤:K 1实际变形状态虚力状态(1)建立虚力状态建立虚力状态：在待求位移方向上加单位力；：在待求位移方向上加单位力；(2)求虚力状态下的内力及反力求虚力状态下的内力及反力表达式表达式;(3)用位移公式计算所求位移用位移公式计算所求位移，注意正负号问题。，注意正负号问题。195-3 荷载作用下的位移计算荷载作用下的位移计算研究对象：静定结构、线性弹性材料。研究对象：静定结构、线性弹性材料。重点在于解决荷载作用下应变重点在于
7、解决荷载作用下应变 的表达式。的表达式。一、计算步骤一、计算步骤（1）在荷载作用下建立）在荷载作用下建立 的方程，可经由荷载的方程，可经由荷载内力内力应力应力应变应变 过程推导应变表达式。过程推导应变表达式。（2 2）由）由内力计算应变内力计算应变，表达式由材料力学知，表达式由材料力学知k-为截面形状系数为截面形状系数1.2(3)荷载作用下的位移计算公式荷载作用下的位移计算公式20二、各类结构的位移计算公式二、各类结构的位移计算公式（1）梁与刚架）梁与刚架（2）桁架）桁架（3）拱）拱215-4 图乘法图乘法 位移计算举例位移计算举例kidsEIMM=kiCEIdxMMEI1=DPEIydxEI
8、MM0w=yEI01w=xtgEI01wa=BAkdxxMtgEI1aBAkMdxxtgMEIi1a是直线直线kidxEIMM直杆直杆MiMi=xtgyxMkdxxy0 x0注注：y0=x0tg表示对各杆或各杆段表示对各杆或各杆段分别图乘再相加分别图乘再相加。图乘法的应用条件：图乘法的应用条件：a）EI=常数常数；b）直杆直杆；c）两个弯矩图）两个弯矩图 至少有一个是直线至少有一个是直线。竖标竖标y0取在直线图形中取在直线图形中，对应另一图形的形心处。，对应另一图形的形心处。面积面积与竖标与竖标y0在杆的在杆的同侧同侧，y0 取取正号正号，否则取负号。，否则取负号。图乘法是图乘法是Veresh
9、agin于于1925年提出的，他当年提出的，他当时为时为莫斯科铁路运输学院的学生。莫斯科铁路运输学院的学生。ABAB22几种常见图形的面积和形心的位置：几种常见图形的面积和形心的位置：(a+l)/3(b+l)/3=hl/2labhl/2l/2h二次抛物线二次抛物线=2hl/3h3l/4l/45l/83l/8二次抛物线二次抛物线=hl/3二次抛物线二次抛物线=2hl/3h顶点顶点顶点顶点顶点顶点24PPaaa例：求图示梁中点的挠度。例：求图示梁中点的挠度。PaPaMPP=13a/4a/2a/2Pl/2l/2C例：求图示梁例：求图示梁C C点的挠度。点的挠度。MPPlCP=1l/2l/6l6EIPl123=PlEIC212=DEIPl4853=Pl65llEIyC22210=Dw5Pl/6？25例例 5.已知已知 EI 为常数，求为常数，求 。ABCq解：作解：作荷载内力图荷载内力图和和单位荷载内力图单位荷载内力图26ABC图图A1图图一种算法：一种算法：ABC结果正确否？结果正确否？?28ABC图图A1图图解法解法二二、