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1、一般地，实数一般地，实数一般地，实数一般地，实数与向量与向量与向量与向量a a的积是一个向量，记的积是一个向量，记的积是一个向量，记的积是一个向量，记作作作作a a，它的长度和方向规定如下：，它的长度和方向规定如下：，它的长度和方向规定如下：，它的长度和方向规定如下：(1)|(1)|(1)|(1)|a a|=|=|=|=|a a|(2)(2)(2)(2)当当当当0000时时时时,a a的方向与的方向与的方向与的方向与a a方向方向方向方向相同相同相同相同；当当当当0000时时时时,a a的方向与的方向与的方向与的方向与a a方向方向方向方向相反相反相反相反；特别地，当特别地，当特别地，当特别地
2、，当=0=0=0=0或或或或a a=0=0=0=0时时时时,a a=0=0=0=0设设设设a,ba,b为任意向量，为任意向量，为任意向量，为任意向量，,为任意实数，则为任意实数，则为任意实数，则为任意实数，则有：有：有：有：(a a)=()=()a a (+)a=a=a+a+a a (a+ba+b)=)=a+a+b b已知两个非零向量已知两个非零向量a和和b，作，作OA=a，OB=b，则，则AOB=（0 180）叫做向量）叫做向量a与与b的的夹角夹角.OBA当0时，a与b同向；OAB当180时，a与b反向；OABB当90时，称a与b垂直，记为ab.OAab一、问题情境sF 一个物体在力F 的作
3、用下产生的位移s，且F与s的夹角为,那么力F 所做的功应当怎样计算？其中力F 和位移s 是向量，是F 与s 的夹角，而功是数量.数量 叫做力F 与位移s的数量积 已知两个非零向量已知两个非零向量a a与与b b，它们的夹，它们的夹角为角为，我们把数量，我们把数量|a a|b b|cos|cos叫做叫做a a与与b b的的数量积数量积（或内积），记作（或内积），记作a ab b a ab b=|=|a a|b b|cos|cos规定规定:零向量零向量与任一向量的数量积为与任一向量的数量积为0.0.数量积的定义数量积的定义注意：注意：1.两个向量的数量积是数量，而不是向量两个向量的数量积是数量，而
4、不是向量.2.书写时书写时“”不能省略不能省略.4.的范围的范围5.的符号由的符号由的符号决定的符号决定.可以读作3.向量点乘向量OA=a，OB=b，过点，过点B作作BB1垂直于直线垂直于直线OA，垂足为，垂足为B1，则，则OB1=|b|cos.|b|cos叫做向量叫做向量b在在a方向上的方向上的投影投影.为为锐角锐角时时为为钝角钝角时时=90=0=180我们得到我们得到a a b b的几何意义：的几何意义：数量积数量积a ab b等于等于a a的长度的长度|a a|与与b b在在a a的方的方向上的投影向上的投影|b|cos|b|cos的乘积的乘积.数量积的几何意义B1两个向量数量积的性质：
5、（1）e a=a e=|a|cos（2）ab a b=0(判断两向量垂直的依据)（3）当a 与b 同向时，a b=|a|b|，当a 与b 反向时，a b=|a|b|特别地（4）（5）a b|a|b|数学应用2.判断下列各题是否正确：1若a=0，则对任一向量b，有a b=02若a 0，则对任一非零向量b,有a b03若a 0，ab=0，则b=04若ab=0，则ab中至少有一个为06若a0，a b=a c，则b=c5对任意向量 a 有数量积的运算律数量积的运算律交换律：交换律：对数乘的结合律：对数乘的结合律：分配律：分配律：注意：注意：数量积不满足结合律数量积不满足结合律其中，其中，是任意三个向量
6、，是任意三个向量，例例 2：求证：求证：（1）(ab)2a22abb2；（2）(ab)(ab)a2b2.证明：证明：（1）(ab)2(ab)(ab)(ab)a(ab)baabaabbba22abb2.例例 2：求证：求证：（1）(ab)2a22abb2；（2）(ab)(ab)a2b2.证明：证明：（2）(ab)(ab)(ab)a(ab)b aabaabbb a2b2.例例3、例例4、两个向量的数量积是否为零,是判断相应的两条直线是否垂直的重要方法之一.练习：练习：基础训练题基础训练题A.4个 B.3个 C.2个 D.1个D DB BB巩固练习三、典型例题分析三、典型例题分析进行向量数量积计算时
7、,既要考虑向量的模,又要根据两个向量方向确定其夹角.例例1、例例2如图，已知菱形如图，已知菱形ABCD的边长的边长 为为2，.(1)求求 与与 的值；的值；(2)求求 、的值；的值；(3)求求 、的值；的值；(4)若若E为为AB上靠近上靠近A的一个三等分的一个三等分点，求点，求 的值的值.三、典型例题分析三、典型例题分析例题讲解例题讲解例例4如图，已知等边三角形如图，已知等边三角形ABC的的 边长为边长为2，圆，圆A的半径为的半径为1，PQ 为圆为圆A的任意一条直径的任意一条直径.求求 的最大值的最大值.1.ab=|a|b|cos2.数量积几何意义数量积几何意义3.重要性质重要性质课时小结课时小结:作业：