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1、 3.2 3.2 二阶系统的瞬态响应二阶系统的瞬态响应 一个可以用二阶微分方程来描述的系统称为二一个可以用二阶微分方程来描述的系统称为二一个可以用二阶微分方程来描述的系统称为二一个可以用二阶微分方程来描述的系统称为二阶系统。从物理上讲，二阶系统包含有二个独立的阶系统。从物理上讲，二阶系统包含有二个独立的阶系统。从物理上讲，二阶系统包含有二个独立的阶系统。从物理上讲，二阶系统包含有二个独立的储能元件，经常用到的储能元件有电感、电容等。储能元件，经常用到的储能元件有电感、电容等。储能元件，经常用到的储能元件有电感、电容等。储能元件，经常用到的储能元件有电感、电容等。一、二阶系统标准形式一、二阶系统
2、标准形式一、二阶系统标准形式一、二阶系统标准形式令：令：则则 二阶系统标准式二阶系统标准式:无阻尼自然振荡频率；无阻尼自然振荡频率；阻尼比阻尼比 二阶系统的特征方程为：二阶系统的特征方程为：系统的两个特征根（闭环极点）为系统的两个特征根（闭环极点）为 特征根的性质取决于特征根的性质取决于 的大小，下面分四种情况讨论。的大小，下面分四种情况讨论。特征根的特征根的ss平面的分布情况见图平面的分布情况见图1 1 1 1欠阻尼情况欠阻尼情况欠阻尼情况欠阻尼情况:则二阶系统具有一对共轭复根：则二阶系统具有一对共轭复根：式中：式中：称为阻尼振荡频率称为阻尼振荡频率特征根为：特征根为：共扼复数特征根为：共扼
3、复数 相等实数相等实数 不等实数不等实数 共扼虚数共扼虚数输入为单位阶跃信号，则系统输出量的拉氏变换为输入为单位阶跃信号，则系统输出量的拉氏变换为对上式进行拉氏反变换，可得对上式进行拉氏反变换，可得单位阶跃响应：单位阶跃响应：式中：式中：欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应为欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应为一条衰减振荡曲线一条衰减振荡曲线一条衰减振荡曲线一条衰减振荡曲线，包含，包含在一对包络线在一对包络线 之内。振荡频率为之内。振荡频率为 。越小，系统振荡越厉害，一般取越小，系统振荡越厉害，一般取0.50.80.50.8之间。之间。一条幅值按指数衰减的阻尼振荡曲线 2 2 2 2临界阻尼情况（临界阻尼情
4、况（临界阻尼情况（临界阻尼情况（）由由 可知，此时系统有两个可知，此时系统有两个相等的实根相等的实根 对单位阶跃输入，系统输出的拉氏变换可写为对单位阶跃输入，系统输出的拉氏变换可写为 响应曲线：响应曲线：一条单调上升的指数曲线 3 3 3 3过阻尼情况（过阻尼情况（过阻尼情况（过阻尼情况（）此时系统有两个不相等的负实根此时系统有两个不相等的负实根 对单位阶跃输入，输出拉氏变换式写成部分分式为对单位阶跃输入，输出拉氏变换式写成部分分式为 将上式拉氏反变换，得将上式拉氏反变换，得过阻尼情况时的时域响应：过阻尼情况时的时域响应：过阻尼情况时的时域响应：过阻尼情况时的时域响应：式中式中也是一条单调上升
5、的指数曲线响应速度比临界阻尼缓慢4 4 4 4无阻尼情况无阻尼情况无阻尼情况无阻尼情况 此时系统有一对共扼虚根此时系统有一对共扼虚根 这是一条等幅振荡曲线。这是一条等幅振荡曲线。重点控制系统的动态特性控制系统的动态特性一动态性能指标一动态性能指标一动态性能指标一动态性能指标通常以系统单位阶跃输入时的响应来定义时域性能指标。通常以系统单位阶跃输入时的响应来定义时域性能指标。1 1上升时间上升时间上升时间上升时间 ：阶跃响应曲线首次从零值上升到其稳态值所需阶跃响应曲线首次从零值上升到其稳态值所需 的时间。（若无超调量，取稳态值的时间。（若无超调量，取稳态值10109090）2 2峰值时间峰值时间峰
6、值时间峰值时间 ：阶跃响应曲线第一次出现峰值的：阶跃响应曲线第一次出现峰值的：阶跃响应曲线第一次出现峰值的：阶跃响应曲线第一次出现峰值的时间。时间。3 3超调量超调量超调量超调量 ：阶跃响应超过稳态值的最大值与稳态值之比：阶跃响应超过稳态值的最大值与稳态值之比的百分数。下式中，的百分数。下式中，为输出响应的最大值；为输出响应的最大值；为稳态值。为稳态值。4 4 4 4调整时间调整时间调整时间调整时间 （又称又称过渡过程时间过渡过程时间过渡过程时间过渡过程时间）：响应曲线达到并响应曲线达到并保持与稳态值之差在预定的差值保持与稳态值之差在预定的差值内（又叫误差带内（又叫误差带 ）所）所需要的时间。
7、一般需要的时间。一般取取2%2%或或5%5%。二、二阶系统的动态响应性能指标二、二阶系统的动态响应性能指标二、二阶系统的动态响应性能指标二、二阶系统的动态响应性能指标（1 1 1 1）峰值时间）峰值时间）峰值时间）峰值时间因为因为整理得：整理得：为输出响应达到第一个峰值所需的时间，应取为输出响应达到第一个峰值所需的时间，应取 因为因为 ，得到，得到 与极点虚部成反比与极点虚部成反比,一定时一定时,极点离实轴越远极点离实轴越远,越短。越短。（2 2）最大超调量）最大超调量）最大超调量）最大超调量 因为最大超调量发生在峰值时间上，所以将因为最大超调量发生在峰值时间上，所以将 代入代入 得得 表明表
8、明:二阶系统的最大超调量仅与阻尼比有关二阶系统的最大超调量仅与阻尼比有关,越大越大,越小。越小。（3 3 3 3）调整时间）调整时间）调整时间）调整时间 t ts s 欠阻尼情况下输出响应的衰减情况可以用包络线近似。欠阻尼情况下输出响应的衰减情况可以用包络线近似。（）求得求得当当 时，忽略时，忽略（）()()表明：调整时间与系统极点的实数值成反比。由于表明：调整时间与系统极点的实数值成反比。由于 由由 决定，若决定，若 不变，加大不变，加大 的数值，则可在不影响系统的数值，则可在不影响系统 的的情况下，加快系统的响应速度。情况下，加快系统的响应速度。（4 4 4 4）上升时间）上升时间）上升时
9、间）上升时间根据定义根据定义因为因为:必有：必有：所以所以:其中其中 上式表明：在上式表明：在 一定的情况下，无阻尼自然振荡频率一定的情况下，无阻尼自然振荡频率 越大，系统的响应就越迅速。越大，系统的响应就越迅速。3.2 3.2 二阶系统的瞬态响应二阶系统的瞬态响应小结小结小结小结阻尼比小：阻尼比小：上升时间短，调整时间长，超调量大上升时间短，调整时间长，超调量大 阻尼比大：上升时间长阻尼比大：上升时间长希希 望：望：上升时间短、调整时间短、超调量小上升时间短、调整时间短、超调量小上升时间短、调整时间短、超调量小上升时间短、调整时间短、超调量小，工程，工程 上阻尼比一般取上阻尼比一般取0.40
10、.40.80.8。阻尼比为。阻尼比为0.7070.707称称 为最佳阻尼比为最佳阻尼比.例3-2 P67例题 3-3 P97 通常把三阶以上的系统就称为高阶系统通常把三阶以上的系统就称为高阶系统通常把三阶以上的系统就称为高阶系统通常把三阶以上的系统就称为高阶系统 。一般近似为一个一般近似为一个一般近似为一个一般近似为一个二阶系统来处理。二阶系统来处理。二阶系统来处理。二阶系统来处理。设设设设 控制系统的闭环传递函数为控制系统的闭环传递函数为控制系统的闭环传递函数为控制系统的闭环传递函数为阶跃响应阶跃响应阶跃响应阶跃响应3.3 3.3 高阶系统的瞬态响应高阶系统的瞬态响应高阶系统阶跃响应曲线高阶
11、系统阶跃响应曲线高阶系统阶跃响应曲线高阶系统阶跃响应曲线1.1.高阶系统时域响应的瞬态分量由一阶惯性环节和二阶振荡环高阶系统时域响应的瞬态分量由一阶惯性环节和二阶振荡环高阶系统时域响应的瞬态分量由一阶惯性环节和二阶振荡环高阶系统时域响应的瞬态分量由一阶惯性环节和二阶振荡环节合成。节合成。节合成。节合成。2.2.响应曲线的类型（振荡情况）由闭环极点的性质所决定。响应曲线的类型（振荡情况）由闭环极点的性质所决定。响应曲线的类型（振荡情况）由闭环极点的性质所决定。响应曲线的类型（振荡情况）由闭环极点的性质所决定。3.3.闭环极点离虚轴愈近，其对系统的影响愈大。闭环极点离虚轴愈近，其对系统的影响愈大。
12、闭环极点离虚轴愈近，其对系统的影响愈大。闭环极点离虚轴愈近，其对系统的影响愈大。4.4.偶极子：偶极子：偶极子：偶极子：同一位置或相距很近的闭环零、极点同一位置或相距很近的闭环零、极点同一位置或相距很近的闭环零、极点同一位置或相距很近的闭环零、极点 ，对系统的影，对系统的影，对系统的影，对系统的影响很小。响很小。响很小。响很小。5.5.主导极点：如果系统中有一个极点（或一对复数极点）距虚主导极点：如果系统中有一个极点（或一对复数极点）距虚主导极点：如果系统中有一个极点（或一对复数极点）距虚主导极点：如果系统中有一个极点（或一对复数极点）距虚轴很近，且附近没有闭环零点，而其他闭环极点与虚轴的轴很
13、近，且附近没有闭环零点，而其他闭环极点与虚轴的轴很近，且附近没有闭环零点，而其他闭环极点与虚轴的轴很近，且附近没有闭环零点，而其他闭环极点与虚轴的距离都比该极点与虚轴距离大距离都比该极点与虚轴距离大距离都比该极点与虚轴距离大距离都比该极点与虚轴距离大5 5倍以上，这种离虚轴最近的倍以上，这种离虚轴最近的倍以上，这种离虚轴最近的倍以上，这种离虚轴最近的闭环极点将对系统的动态响应起主导作用，并称其为闭环闭环极点将对系统的动态响应起主导作用，并称其为闭环闭环极点将对系统的动态响应起主导作用，并称其为闭环闭环极点将对系统的动态响应起主导作用，并称其为闭环主导极点。主导极点。主导极点。主导极点。例：三阶系统的闭环传递函数例：三阶系统的闭环传递函数例：三阶系统的闭环传递函数例：三阶系统的闭环传递函数系统闭环极点：系统闭环极点：系统单位阶跃响应：系统单位阶跃响应：实极点实极点 P P3 3的实部和的实部和P P1 1 、P P2 2的实部之比：的实部之比：所以所以P P1 1 、P P2 2为一对主导极点。为一对主导极点。如果忽略如果忽略P P3 3 对应的动态分量，两该系统的解相近：对应的动态分量，两该系统的解相近：