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1、重 难 点 01 数 列【高 考 考 试 趋 势】新 高 考 中 考 查 数 列 难 度 不 大，但 解 答 题 中 作 为 了 必 考 内 容，一 般 是 解 答 题 的 前 两 题，会 考 察 开 放 式 的 题 型。知 识 点 考 查 比 较 简 单，也 是 高 考 中 务 必 拿 分 题 目，对 于 大 部 分 人 来 说，数 列 这 一 知 识 点 是 不 容 失 分 的。本 重 点 专 题 是 通 过 对 高 考 中 常 见 高 考 题 型 对 应 知 识 点 的 研 究 而 总 结 出 来 的 一 些 题 目，通 过 本 专 题 的 学 习 补 充 巩 固，让 你 对 高 考 中
2、 数 列 题 目 更 加 熟 练，做 高 考 数 列 题 目 更 加 得 心 应 手。【高 考 常 见 题 型 分 类 总 结】通 项 公 式 的 求 法 1、累 加 法(叠 加 法)若 数 列 册 满 足%+4=/()(weN*),则 称 数 列“为“变 差 数 列，求 变 差 数 列 册 的 通 项 时,利 用 恒 等 式=q+(4-q)+(%-4)+)=/+/+/(2)+/(3)+/(“-1)(N 2)求 通 项 公 式 的 方 法 称 为 累 加 法。2、累 乘 法(叠 乘 法)若 数 列 册 满 足 也=/()S e N*),则 称 数 列%,为“变 比 数 列，求 变 比 数 列
3、册 的 通 项 时，利 用-=a/(1),/(2)-/(3)/(-1)(2 2)求 通 项 公 式 的 方 法 称 为 累 乘 法。a2%a,i3、由 数 列 的 前 n 项 和 S”与 a“的 关 系 求 通 项 公 式 若 已 知 数 列 4 的 前 n 项 和 S,=/()，则 不 论 数 列 许 是 否 为 等 差 数 列 或 等 比 数 列，当 2 2 时，都 S，n=1有-可 利 用 公 式 4=:。求 通 项。Sl,-S_l,n 24、构 造 新 数 列对 于 a“=+q 的 形 式，主 要 是 利 用（a“+M=，（一|+加）的 形 式 进 行 转 化;对 于 4=pa.、+p
4、 N,主 要 采 用 学 卷=加 的 形 式 进 行 转 化 运 算;1 1对 于 一 般 采 用 转 化 成 丁-1=的 形 式 进 行 转 化 运 算。对 于 求 和 问 题 1、裂 项 求 和 形 如=（2；2+1）的 形 式 一 般 采 用 裂 项%=g（七 一 5?的 形 式 注 意 前 面 的;此 系 数，是 由 2-1与 2+1系 数 只 差 确 定。2、错 位 相 减 求 和 问 题，本 专 题 题 目 中 有 出 现。3、分 组 求 和 问 题，分 为 两 种，一 种 是 绝 对 值 分 组 求 和 问 题，另 外 一 种 是 两 种 不 同 数 列 的 分 组 求 和 问
5、题。【限 时 检 测】（建 议 用 时：50分 钟）一、单 选 题 1.（2021 全 国 高 三 其 他 模 拟（理）等 比 数 列 4 中 q=1,且 4q,2%,%成 等 差 数 列，则 2（6乂+）的 最 小 值 为（）16 4 八 1A.B.-C.D.125 9 2【答 案】1）【分 析】首 先 设 等 比 数 列 6,的 公 比 为 夕 工。），根 据 4%,2 4，4 成 等 差 数 列，列 出 等 量 关 系 式，求 得 4=2,比 较%（s N*）相 邻 两 项 的 大 小，求 得 其 最 小 值.【详 解】在 等 比 数 列 4 中，设 公 比 4 0/0）,当=1时，有
6、4 4，2a2,%成 等 差 数 列，所 以 4a2=44+0,，即 4q=4+/,解 得 q=2,所 以 q,=2一，所 以 4 L=Z;，n n超“=2 匕 2 1,当 且 仅 当=1 时 取 等 号，a n+1n所 以 当=1 或=2 时，?（wN*）取 得 最 小 值 1,故 选：D.【点 睛】该 题 考 查 的 是 有 关 数 列 的 问 题，涉 及 到 的 知 识 点 有 等 比 数 列 的 通 项 公 式，三 个 数 成 等 差 数 列 的 条 件，求 数 列 的 最 小 项，属 于 简 单 题 目.2.（2021 全 国 高 三 其 他 模 拟（理）已 知 数 列%的 前 w
7、项 和 5“=+”,则 为 的 值 为（）A.4 B.6 C.8 D.10【答 案】C【分 析】利 用%=S4-S3 计 算.【详 解】由 已 知。4=$4-53=(42+4)(3 2+3)=8.故 选：c.3.(2021 全 国 高 三 专 题 练 习(理)已 知 等 比 数 列 a 的 前 项 和 为 S,若 S=7,&=6 3,则 数 列&的 前 项 和 为()A.-3+(/T+1)X2 B.3+(z?+l)X2C.1+(加 1)X 2 D.l+(n-l)X2【答 案】D【分 析】利 用 已 知 条 件 列 出 方 程 组 求 解 即 可 得 巧 应,求 出 数 列 a“的 通 项 公
8、式，再 利 用 错 位 相 减 法 求 和 即 可.【详 解】设 等 比 数 列 4 的 公 比 为 g,易 知 qW l,S H i)71 q所 以 由 题 设 得 4,两 式 相 除 得 1+4=9,解 得 甲 2,进 而 可 得 d=1,所 以 为 二 句 q 二 2 I所 以 nan=nX 2!设 数 列 a 的 前 n 项 和 为 兀,则 T,r X20+2 X 2+3X 22+nX 2 1,27L=1 X 2+2 X 22+3 X 23+-+/?X 2,n 2n nr DD 2/?+lL 2+l,4/1+21 _ 2n两 式 作 差 得-71+2+22+2“-X 2=-/?X 2,
9、=-l+(l-/7)X 2；1-2故 7；=1+(/?-1)X2.故 选:D.【点 睛】本 题 主 要 考 查 了 求 等 比 数 列 的 通 项 公 式 问 题 以 及 利 用 错 位 相 减 法 求 和 的 问 题.属 于 较 易 题.4.(2021 全 国 高 三 专 题 练 习(理)已 知 数 列 a,J满 足=1,=2：，则 数 列。，4项 和(,=()nA.-2/7-1【答 案】B【分 析】利 用 倒 数 法 求 出 数 列 4 的 通 项 公 式，进 而 利 用 裂 项 相 消 法 可 求 得 北.【详 解】已 知 数 列 4 满 足 4=1，%=五 六，a“1 1+2a 1 1
10、 1 c在 等 式 4+i=：两 边 同 时 取 倒 数 得=-=+2,-=2,2a“+1 4 用 4 an+i an所 以，数 列 是 等 差 数 列，且 首 项 为=1,公 差 为 2,则-=1+2(-1)=2 T,.aa,%的 前 2n 11 1a a=_=1 O _1）（2+1）一 八 2九 一 1 2n+l,因 此,1 h _1 _ 2n+l）2 V 2n+l）2n+l故 选：B.【点 睛】使 用 裂 项 法 求 和 时，要 注 意 正 负 项 相 消 时 消 去 了 哪 些 项，保 留 了 哪 些 项，切 不 可 漏 写 未 被 消 去 的 项，未 被 消 去 的 项 有 前 后
11、对 称 的 特 点，实 质 上 造 成 正 负 相 消 是 此 法 的 根 源 与 目 的.5.（2021 全 国 高 三 专 题 练 习（理）已 知 数 列 4 的 前 项 和 为 S”，4=5,且 满 足 三 一 一 2=-2n-5 2 一 7若 P,qeN*,P Q,则 SpSg的 最 小 值 为（）A.-6 B.-2 C.-1 D.0【答 案】A【分 析】转 化 条 件 为 非 三-琮 二=2，由 等 差 数 列 的 定 义 及 通 项 公 式 可 得%=（2 3）（2 7）,求 得 满 足 生 4 0 的 项 后 即 可 得 解.【详 解】因 为-2=,所 以 上-工-=2,2 5
12、2 7 2 5 2 7乂 一%=_1,所 以 数 列 是 以 _ 为 首 项，公 差 为 2 的 等 差 数 列,2-7 2n-7J所 以 7 5=_1+2（1）=2 _3,所 以=（2 一 3）（2“_7）.3 7令 q=（2-3）（2-7）4 0,解 得 所 以 外 0,%0,其 余 各 项 均 大 于 0，所 以（S,J%。=星 号=2+a3=lx（-3）+3x（-l）=-6.故 选：A.【点 睛】解 决 本 题 的 关 键 是 构 造 新 数 列 求 数 列 通 项，再 将 问 题 转 化 为 求 数 列 中 满 足 0的 项，即 可 得 解.6.（2021 全 国 高 三 其 他 模
13、 拟（文）已 知 数 列%的 前 项 和 为 s“且 满 足 4+3ssl=0（N2）,q=；,下 列 命 题 中 错 误 的 是（）A.是 等 差 数 列 B.S=-J-C.D.工/是 等 比 数 列 S,J 3n 3n（n-l）（3【答 案】C【分 析】由 4=S,-S,i（N2）代 入 得 出 S J 的 递 推 关 系，得 证 是 等 差 数 列，可 判 断 A,求 出 S“后，可 判 断 B,由 的 值 可 判 断 C,求 出 S3,后 可 判 断 D.【详 解】22时，因 为%+3S“S“_=0,所 以 S“-S“_|+3 s=0,所 以，-一，一=3,3 3 一 1所 以，是 等
14、 差 数 列，A 正 确;S,=fl,=-,：=3,公 差 d=3,所 以!=3+3(-l)=3，所 以 S=J_,B 正 确；3，S,3H4=,不 适 合 4=,C 错 误；1 3 3n(n-1)S y=击，数 列 击 是 等 比 数 列，D 正 确 故 选：C.【点 睛】易 错 点 睛：本 题 考 查 由 数 列 的 前 项 和 求 数 列 的 通 项 公 式，考 查 等 差 数 列 与 等 比 数 列 的 判 断,在 公 式 a“=S“-S“_|中 2 2,不 包 含 生 错.7.(2021 全 国 高 三 专 题 练 习(理)已 数 列 见 的 前 项 积 刀,的 最 大 值 为(A.
15、16 B.64【答 案】B【分 析】利 用 等 比 数 列 的 前 项 和 公 式 求 出 q=8,最 大 值.【详 解】_21 j山 2 6 4,因 此 由 S“求 出 的。“不 包 含 外,需 要 特 别 求 解 检 验，否 则 易 出 1 21知 等 比 数 列%的 前 项 和 为 S.，若 公 比 4=一 5,5 6=1，则 C.128 D.256观 察 等 比 数 列 的 各 项 的 值 及 其 规 律，从 而 可 求 出 前 F 项 之 枳 7；的.=0,解 得 弓=8,4所 以 数 列 凡 为 8,-4,2,-b，前 4 项 乘 积 最 大 为 64.故 选:B.【点 睛】本 题
16、 主 要 考 查 了 利 用 等 比 数 列 的 前 项 和 公 式 求 基 本 量 的 运 算，等 比 数 列 的 各 项 的 积 的 最 值 问 题，属 创 新 题.8.（2021 全 国 高 三 其 他 模 拟（理）已 知 数 列 4 满 足 g=1，4.+1=,，“2.+2=4+%+1（心 0），则%+4+4 2 8=（）A.1024 B.1101 C.1103 D.1128【答 案】B【分 析】由 数 列 的 递 推 关 系 得 出 为*之 间 的 关 系,然 后 计 5（%）=%卬+%，2+%，可 归 纳 出 S（攵+1）与 S（6 的 关 系 得 5（幻 的 表 达 式，从 而
17、可 计 算 6+%+aI28.【详 解】因 为 数 列）满 足 4=a“M 2+2=an+an+（2 0），所 以 4=。3=%=。2-|=1，wN*,+%=1+旬，%+l=%T，甸+2=%T+，%+3=%f，%=%+%，设 S（A）=%+1+%+2+azM）所 以 S伏）=%+1+%+2+41=3（。21+1+“2*T+2+4*）+2a2 A=S（Z-1）2,又 死=1,所 以 6=1,az=2,%=1，4=3，5(1)=a3+a4=4,所 以 S(k)-l=3S(左)-1,5(1)-1=3,5(以 一 1=3,即 S伏)=3*+1,所 以+%28=l+2+S(l)+S(6)=3+(3+l)
18、+(32+l)+(36+1)=1101.故 选：B.【点 睛】本 题 考 查 由 递 推 公 式 求 数 列 的 和，解 题 时 需 寻 找 规 律，解 题 关 键 是 记 S(左)=%“+&-+2+4*”，然 后 通 过 项 的 关 系 得 S(的 关 系，从 而 得 出 S(6 的 衣 达 式，然 后 可 求 数 列 的 某 些 和.二、填 空 题 39.(2021 全 国 高 三 其 他 模 拟(文)记 S 为 等 比 数 列 a 的 前 项 和.若 q=1,53=4，则&=一.【答 案】8【分 析】本 题 根 据 已 知 条 件，列 出 关 于 等 比 数 列 公 比 9 的 方 程，
19、应 用 等 比 数 列 的 求 和 公 式，计 算 得 到 S4.题 目 的 难 度 不 大，注 重 了 基 础 知 识、基 本 计 算 能 力 的 考 查.【详 解】详 解：设 等 比 数 列 的 公 比 为 夕，由 己 知 Sy=q+%q+a、q-=1+g+q1=,即 q+4-=0解 得 4=_;,所 以 S4=q58【点 睛】准 确 计 算，是 解 答 此 类 问 题 的 基 本 要 求.本 题 由 于 涉 及 事 的 乘 方 运 算、繁 分 式 分 式 计 算，部 分 考 生 易 出 现 运 算 错 误.一 题 多 解：本 题 在 求 得 数 列 的 公 比 后，可 利 用 已 知 计
20、 算 S4=S 3+4=S 3+q/=(+(_()3=1，避 免 繁 分 式 计 算.10.(2021 山 东 高 三 专 题 练 习)我 国 古 代 数 学 家 杨 辉，朱 世 杰 等 研 究 过 高 阶 等 差 数 列 的 求 和 问 题，如 数 列 2-就 是 二 阶 等 差 数 列，数 列(+1)2-(G N*)的 前 3 项 和 是【答 案】10【分 析】根 据 通 项 公 式 可 求 出 数 列。“的 前 三 项，即 可 求 出.【详 解】因 为%=(,1),所 以 4=,%=3,%=6.即 S3=4+4+%=1+3+6=10.故 答 案 为：10.【点 睛】本 题 主 要 考 查
21、 利 用 数 列 的 通 项 公 式 写 出 数 列 中 的 项 并 求 和，属 于 容 易 题.11.（2021 全 国 高 三 其 他 模 拟（理）己 知 数 列 是 首 项 为-34,公 差 为 1的 等 差 数 列，数 列 6,满 足=2（e N*），且=47,则 数 列 组）的 最 大 值 为【答 案】萍【解 析】根 据 题 意，数 列 仍“是 首 项 为 一 34,公 差 为 1 的 等 差 数 列，则 2=（-34）+1、（“-1）=-35,A?=37-35=2,对 于 数 列 4 满 足 4+i-a“=2（rN*）,a,=b31=2,则 有 a”=(an a,)+(fln-i
22、a-2)+(4 at)+at=(2 1+2H*+.+2)+2=2（2：-11中,数 列 b b n-35 b 般 1卜 的 通 项 为：=，分 析 可 得：当=3 6 时，数 列 卜 取 得 最 大 值，此 时 工=而；故 q J a 2 a，J%2答 案 为 点 睛：根 据 题 意，由 等 差 数 列 的 通 项 公 式 可 得 数 列 的 通 项 公 式，进 而 对 于 数 列 他“,由%=（“4 I）+（4 I-4-2）+（“，-4）+6，计 算 可 得 数 列 4 的 通 项 公 式，即 可 得 数 列 的 通 项,b结 合 数 列 的 性 质 分 析 可 得 当=3 6 时，数 列
23、上 卜 取 得 最 大 值，计 算 即 可 得 答 案.lan12.（2021 全 国 高 三 其 他 模 拟（文）若 正 项 数 列%满 足 a+l-al,则 称 数 列%为 型 数 列，以 下 4 个 正 项 数 列,满 足 的 递 推 关 系 分 别 为:-k=1 i=i 用=急 I a*-24=1,则，型 数 列 的 序 号 为【答 案】【分 析】根 据 型 数 列 的 定 义，逐 个 判 断 正 项 数 列 4 是 否 满 足 a“+i-%1即 可.【详 解】对,因 为 一 片=1,且 正 项 数 列 an.故 d+i=d+1 an+2a.+1=(a“+，故%+i%+1.所 以 an
24、+l-an 成 立.1 1,1o对，-=1?一 4川。%+1 I。去，故 见+1一%+12 2a=%=0 1 成 立.%+1 4+11对，%+|=等;=%+|一%勺+1+1-1 0 a；=2an+1 a；+2an+l=(an+l)2.故 见+i”+1，成 立.综 上，均 正 确.故 答 案 为：【点 睛】本 题 上 要 考 杏/新 定 义 的 问 题，需 要 根 据 递 推 公 式 证 明 a+l-a l.属 于 中 等 题 型.三、解 答 题 13.（2020 海 南 高 考 真 题）已 知 公 比 大 于 1的 等 比 数 列 4 满 足 4+“4=2。吗=8.(1)求,J 的 通 项 公
25、 式;(2)求 q%一。2 3+.+(-o r 2 n+3【答 案】(1)4=2；(2)-(-l)n 5 5【分 析】(1)由 题 意 得 到 关 于 首 项、公 比 的 方 程 组，求 解 方 程 组 得 到 首 项、公 比 的 值 即 可 确 定 数 列 的 通 项 公 式;(2)首 先 求 得 数 列(-1)”出 的 通 项 公 式，然 后 结 合 等 比 数 列 前 项 和 公 式 求 解 其 前 项 和 即 可.【详 解】(1)设 等 比 数 列 4 的 公 比 为 g(g D,则 收+%；44+40=20,%=%q=8整 理 可 得：2/-5 乡+2=0,q、q=2,ci-2,数
26、列 的 通 项 公 式 为：4=2 2T=2.由 于：(一 1广 anan+l=x 2 x2n+1=(-l)n-122n+1,故:aa2-。2a3+(-I)”anan+=23-25+27-29+.+(-1),-I-22,+I【点 睛】等 比 数 列 基 本 量 的 求 解 是 等 比 数 列 中 的 一 类 基 本 问 题，解 决 这 类 问 题 的 关 键 在 于 熟 练 掌 握 等 比 数 列 的 有 关 公 式 并 能 灵 活 运 用，等 差 数 列 与 等 比 数 列 求 和 公 式 是 数 列 求 和 的 基 础.14.（2020 天 津 高 考 真 题）已 知 4 为 等 差 数
27、列，为 等 比 数 列，4=5=1,。5=5（%-q），=4（a-&）.（I）求 凡 和 也 的 通 项 公 式；（II）记 4 的 前 项 和 为 S,求 证：SNSn+2 S3（e N*）；-（一 3an-2）bn,赤 为 立 奇 粕 数，（H D 对 任 意 的 正 整 数，设 或=aa,+2 求 数 列%的 前 2M项 和.如，为 偶 数.也+1【答 案】（I）。“=，=2T；（11）证 明 见 解 析；（in）上 一 色 上*一 土 2n+l 9x4 9【分 析】（I）由 题 意 分 别 求 得 数 列 的 公 差、公 比，然 后 利 用 等 差、等 比 数 列 的 通 项 公 式
28、得 到 结 果；（II）利 用（1）的 结 论 首 先 求 得 数 列 a,J前 n项 和，然 后 利 用 作 差 法 证 明 即 可；（III）分 类 讨 论 为 奇 数 和 偶 数 时 数 列 的 通 项 公 式，然 后 分 别 利 用 指 数 型 裂 项 求 和 和 错 位 相 减 求 和 计 算 Z c 2 I 和 的 值，据 此 进 一 步 计 算 数 列%的 前 2/7项 和 即 可.k=l k=【详 解】（I）设 等 差 数 列%的 公 差 为 4,等 比 数 列 4 的 公 比 为 q.由 6=1,“5=5(4“3)，可 得 占 1.从 而 4 的 通 项 公 式 为%=.由
29、4=L&=4(一 打)，又 qWO,可 得/4q+4=0,解 得 行 2,从 而 2 的 通 项 公 式 为=2，(II)证 明：由(I)可 得 S.=(；D,故 SSn+2=；(+1)(+2)(+3),S,3=；(+厅(+2,1从 而 S A.一 S3=-(+1)(+2)0,所 以 SnSn+2 2*=SZ 2k-1k=k=l-2/7-34 T2n-l4“(2k有 力 羽 k=攵=1 I 乙 K 十 11 3 5“不+不+由 得 Zigec 2=不 1+不 3+干 5+2n-3 2 n-4一 4 1 J 心）1 2n-l 2 2 1 1 2n-l 1 5 6+5|J _ _x_x=_1 4
30、4+i 3 3 4 4 4 4 12 3x4,+11-49 5从 而 得：XC2 A-=Qk=6+59x4 2M n n 4n因 此，或=C2 A-I+EC2*=-一-k=k=k=+16+5 49x4”一 所 以，数 列%的 前 2 项 和 为 上 一-把 一 土 t 2/1+1 9x4 9【点 睛】本 题 主 要 考 查 数 列 通 项 公 式 的 求 解，分 组 求 和 法，指 数 型 裂 项 求 和，错 位 相 减 求 和 等，属 于 中 等 题.15.(2020 浙 江 高 考 真 题)已 知 数 列 aj,4,4 中,1=4=G=L 6=眉 闻%eZ).(I)若 数 列 4 为 等
31、比 数 列，且 公 比 4 0,且 a+8=6/，求 q与 a 的 通 项 公 式；(II)若 数 列 4 为 等 差 数 列，且 公 差 d 0,证 明：c,+c2+C 1+-!-.(eN*)a1 4i+?【答 案】(I)q=,a“=(II)证 明 见 解 析.2 n 3【分 析】(I)根 据 伉+2=6 4,求 得 q,进 而 求 得 数 列%的 通 项 公 式，利 用 累 加 法 求 得 数 列 q 的 通 项 公 式.(II)利 用 累 乘 法 求 得 数 列 c,的 表 达 式，结 合 裂 项 求 和 法 证 得 不 等 式 成 立.【详 解】(I)依 题 意 伪=1,a=4,勿=/
32、,而 仇+4=6 4，即 1+4=6/,由 于 4(),所 以 解 得 4=(,所 以 b=-2-i*1所 以 2+2=击，故%+1=2 胃 1=，所 以 数 列 c.是 首 项 为 1,公 比 为 4 的 等 比 数 列，所 以 C“=4T.所 以。”+1 一%=%=4 一(n 2,n G N).47-4-?所 以 q=q+1+4+4-2=_ _ _,又=,4H-+2故(=3.(II)依 题 意 设。“=l+(-l)d=d+l-d,E所 以 2 2,w N*),“一%c3 c2 _ 如 bn_2 bn_3故-A-7-C“-l C,”2 C2 q bn+i bn%二 姑 2=l+d j l 1
33、她+1 d bn b.+J(d bn bn+l,f,1 V 1 1 1 d+1 d d又 CI=1,而 1+x=I d bx b2)d 她 故 2 0 训 1 f q=1符 合,a g+i _ b%bn+2 纪 组 G仇、(？2).7+1 d_ x_-d lx(J+l)-所 以 C+L+c=1 1+彳 2 J+L+区)3 么+J由 于 0,仇=1,所 以 b“+0,所 以+；1+I d 八 b+J d即 G+。2+.+C 0,4S“=a；+2a“一 3；数 列 也 为 等 比 数 列，且 列=2,4=16.(1)求 凡,bn.（2）求 数 列 的 前 项 和 刀,.也 J【答 案】a“=2+l
34、.4=2T；（=10 二 g.【分 析】（1）由 递 推 式 可 得-2）（见+6 1）=0,结 合 已 知 条 件 即 可 求 可,利 用 等 比 数 列 的 通 项 公 式 求 伪,q,写 出 通 项 公 式 即 可.（2）由（1）结 合 错 位 相 减 法 求 的 前 项 和【详 解】（1）之 2 时,由 4s.=a：+2a“一 3 得 4s，一=吮+2%-3,所 以 4a,=a；一+2ati-2an_t,整 理 得-2 乂。“+。,1)=0,又 a“0,所 以 a.-的=2(N 2),又 4s=a；+2%-3,即 有 a；一 2%-3=0,得 q=3 或 4=-1(舍 去)，所 以,是
35、 以 q=3 为 首 项，公 差 为 2 的 等 差 数 列，则 有 勺=2+1.设 等 比 数 列 公 比 为 4,则 44=2,刎 4=6,解 得 4=1,g=2,则 有 4=2 T.7 2+1 _ 3 5 7 2+1（2）由（1）知 a,a=-丁，则=+.+-.1,3 5 7 2+1 2 2 22 23 2 一=-T=3+2-+-+-+2 n（2 2?22n+l22n+122n+1 2n+5-=（）-r-2 i 2T【点 睛】方 法 点 睛:1、由 S“,a 的 递 推 关 系 式，结 合 4=S,=1,、确 定/或 得 到,中 项 的 关 系，进 而 确 定 是 否 为 等 七 一 2
36、差 或 等 比 数 列.2、若 已 知 公 差、公 比、项 等 条 件，直 接 应 用 等 差、等 比 的 通 项 公 式 求 基 本 量，写 出 通 项 公 式 即 可.3、由 等 差、等 比 数 列 组 成 的 混 合 数 列：一 般 考 虑 应 用 错 位 相 减 法 求 数 列 前 项 和.a f 1,1 1,117.（2020 全 国 高 三 专 题 练 习）在 一 为 等 差 数 列，其 中 一,一+1,一 成 等 比 数 列;,+-!-+=注 三 这 三 个 条 件 中 任 选 一 个，补 充 到 下 面 的 问 题 中，然 后 解 答 补 充 完 整 的 题 4 4%an 2目
37、.已 知 数 列 6,中，4=1.（1）求 数 列%的 通 项 公 式；设 bn=aan+l,Tn为 数 列 b,的 前 项 和，求 证：7；,1.注：如 果 选 择 多 个 条 件 分 别 解 答，按 第 一 个 解 答 计 分.【答 案】（1）。“=一：（2）证 明 见 解 析.3 一 2【分 析】1 1 c,1、（1）若 选 条 件，/N0,山 数 列 的 推 式 可 得-=3,从 而 得 数 列 是 以 1为 首 项，3为 公 差 的%a,a等 差 数 列，由 等 差 数 列 的 通 项 公 式 可 求 得%的 通 项 公 式；t1,若 选 择，设 数 列 一 的 公 差 为&由 等
38、差 数 列 的 通 项 公 式 和 等 比 数 列 的 性 质 可 得 方 程（2+2d丫=（1+J）（l+5J）,解 之 可 得%的 通 项 公 式；若 选 择，由-1-1-H H-=得 ki N 2 时，4 a2 a3 an 2+_=电!_1）_,两 式 相 减 可 求 得 一,从 而 求 得%的 通 项 公 式；q a2 a3*2 cin,1 i f 1 I（2）由（1）得 勿=为。,用=7=-7-7，运 用 裂 项 求 和 法 可 得 证.（3 一 2）（3+1）313-2 3H+1 7【详 解】a,1 1 c 1,1,（1）若 选 条 件，*0,an+i=,：.-=3,又 一 二 1
39、,所 以 数 列 一 是 以 1为 首 项，33a.+l a,l+i a q an为 公 差 的 等 差 数 列，所 以-L=1+3-1）=3-2,；an3 一 2若 选 择，设 数 列 的 公 差 为 4 则-=l+d，+l=2+2 d,l-=l+5d,an。2。3。61 1,1,因 为 一，一+1，一 成 等 比 数 列，.（2+2d）2=（l+d）（l+5d）,解 得 d=3或 d=1：a2。3。61 八 1 1,1当 4=一 1时，一=1+1=0,此 时 一,一+1,一 不 能 构 成 等 比 数 列，所 以 d=3,%。3。6所 以=1+3（-1）=3-2,二 an=1,an 3 n
40、-2若 选 择，由 1-1-1-H-=-得,当 时，a a2 a3 an 21 1 1 1 3(/7-l)2-(n-l),+-=-,4。2。3 an-2两 式 相 减 得，=3，一 迎 _D(_ 9=3-2,所 以。=-(2),当=1 时，q=l 也 an 2 2 3n-2适 合 上 式，所 以。=-,3-2(2)由(1)得 勿=4 A 用=7 名 一 二=:1-二 一 1 1?1，所 b 以,，=-1(八 1 1、)+(/-I-1-)、+(/-I-1-)、=1(1-1-)、-1-1-1 31 4 4 7 3/2-2 3+1 J 3 3+1 3 9+3 3故 得【点 睛】在 由 数 列 的 求
41、 和 公 式 求 数 列 的 通 项 公 式 时，注 意 检 验=1的 情 况 是 否 满 足 通 项 公 式。证 明 数 列 不 等 式 的 常 用 方 法 之 一：放 缩 法，即 是 从 不 等 式 的 一 边 着 手，用 不 等 式 的 传 递 性 等 性 质，舍 去（或 添 上）一 些 正 项 或 者 负 项，扩 大 或 缩 小 分 式 的 分 子、分 母，逐 渐 适 当 地 有 效 放 大 或 缩 小 到 所 要 求 的 目 标，注 意 放 缩 时 要 适 度，否 则 就 不 能 同 向 传 递.在 数 列 求 和 型 不 等 式 证 明 中，一 般 来 说 有 先 放 缩 再 求 和 或 先 求 和 再 放 缩 两 种 形 式。若 数 列 易 于 求 和，则 选 择 先 求 和 后 再 放 缩；若 数 列 不 易 求 和，要 考 虑 先 放 缩 后 再 求 和.