数值分析笔记期末复习汇总.pdf-淘文阁

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1、第一*引卷7、小值合新研究对上，数值分析是计算数学的一个主要部分，计算数学是数学科学的一个分支，它研究用计算机求解各种数学问题的数值计算方法及其理论与软件实现。2、眼值今析特点，面向计算机，要根据计算机特点设计切实可行的有效算法有可靠的理论分析，能任意逼近并达到精度要求，对近似计算要保证收敛性和数值稳定性要有好的计算复杂性，时间复杂性好是指节省时间，空间复杂性好是指节省存贮量，这也是建立算法要研究的问题。要有数值试验，即任何一个算法除了从理论上要满足上述三点外，还要通过数值试验证明是行之有效的。3、盛使台新实质，是以数学问题为研究对象，不像纯数学那样只研究数学本身的理论，而是把理论与计算紧密结

2、合，着重研究数学问题的数值方法及理论。久用书算机斛决科学计算冏系.通存经历逐千曲程实际问题-数学模型(应用数学)-数值计算方法-程序设计-上机计算结果(计算数学)5、镇是来源及今类1.模型误差一一从实际问题中抽象出数学模型2.观测误差一一通过测量得到模型中参数的值(通常根据测量工具的精度，可以知道这类误差的上限值。)3.截断误差|当数学模型得不到精确解时，要用数值计算方法求它的近似解，由此产生的误差称为(截断误差)或(方法误差)4.舍入误差|由于计算机字长有限，原始数据的输入及浮点数运算过程中都有可能产生误差，这样产生的误差称为舍入误差仄 a 个关孑银条的林念1.绝对误差e(x*)2.绝对误差

3、限*3.相对误差e,(X*)4.相对误差限J(X*)(1)定义：设某一量的准确值为X,近似值为X*,则 X*与 X 之差叫做近似值X*的绝对误差(简称误差)，记为(1)定义：若指定一个适当小的正数，使(1)定义：绝对误差与准确值之比(1)定义：若指定一个适当小的正数J(x*),使工0|e(x*)|=|x*-x|*则称*e(x*)x*-xe,=e,(x*)=,x为近似值 X*的绝对误差限。X X(有时用X=士*表示近似值X*的精度或准确值的所在范围。)(2)性质：(1)在实际问题中，绝对误差一般是有量纲的，绝对误差限也是有量纲的。(2)绝对误

5、的绝对误差限是某一位的半个单位，该位到x*的第一位非零数字一共有n 位，则称近似值X*有 n 位有效数字，或说x*精确到该位。注意：近似值后面的零不能随便省去！(2)例题：取 x l*=3 作为n 的近似值，则|q|=0.1 4 1 5-x l 0(，：一个有效数字2取 x 2*=3.1 4 作为n 的近似值，则|e?|=0.0 0 1 5 9-x l O2：三个有效数字2取 x 3*=3.1 4 1 6 作为 n 的近似值，则|e3|=0.0 0 0 0 0 7 3 4-x l O-4：五个有效数字2它们的误差都不超过末位数字的半个单位。(3)性质：(1)有效数字越多，则绝对误差越小(2)有

6、效数字越多，则相对误差越小有效数字的位数可刻画近似数的精确度!6、一无5,檄的银裳传针问题：设产於)，x的近似值为户，则 y的近似值清的误差如何计算？e(y*)。办=r(x*)e(x*)因为无法知道准确值，所以尽量用近似值X*dy/，(x*)e(x*)y /*)e,(y*)代替准确值。|e(y*)同 r(/)e Cx*)|e,(y*)卜/(x*)|布卜 3)|故相应的误差限计算如下(y*)B，a*)|a*)x*r(y*)k/(/),/.、J(X*)f(x*)7、N 无施戳的篌爰体计问题：设 y=f(x l,x 2),x l,x 2 的近似值为x l*,x 2*,则 y的误差如何计0算?e(

7、y*)=y*-y=f(,)-f(xl,x2)df(x*l,x*2)=如*”、*九(片)+如*”-)5)dxdx2|e（y*）|=（上）心|）+的犷里心,）x2=行=1a a-10求和时从小到大相加，可使和的误差减小。若干数相加，采用绝对值较小者先加的算法，结果的相对误差限较小y =54321 x 10。+0.4 x 100+0.3 x 10 +0.4 x 10 =54322(三)注意简化计算步骤，减少运算次数，避免误差积累(秦九韶)匕(x)=0.0625%4+0.425x3+1.215%2+1.912x 4-2.1296=(0.0625%+0.425)x+1.125)x +1.912)%+2.

8、1296(四)要避免绝对值小的数作除数x|司(王)+|力(%2)仪-)=-2-x2 x21 -c o s x _ s i n xs i n x 1 +c o s x/尤广-x(J x+l +V x)J x +1 -y/X(五)设法控制误差的传播许多算法具有递推性。递推法运算过程较规律，但多次递推必然导致误差的积累。EI=1 /en=2,3,9e(En)=-ne(En_t)=(一 1严 !e()1 _ IE,i=一工|e(纥 _|)|=|e(纥)|le(E,)h-le(E)ln n n第二本通近冏泉t,备裁逼近1、插值问题：求一条曲线严格通过数据点2、曲线拟合问题：求一条曲线在一定意义下靠近

9、数据点2,插值问题1、定义：求一个简单函数0 5)作为Hx)的近似表达式，以满足|(x,)=y,i=O,l,我们称这样的问题为插值问题；并称0(x)为/(x)的插值函数；/(X)为被插函数,AO ,xl,A2,，刈是插值节(基)点；(p(Xj)-y；,i-0,1,，是插值原则.3,插伐9欧式1、定义：求一个次数不超过n的多项式|(x)=%+4X+Q/2+a/|使满足插值原则(条件)匕(4)=y,j=0,1,，称P(X)为f(x)的n次插值多项式2、定理:在n+1个互异节点处满足插值原则且次数不超过n的多项式Pn(x)存在并且唯一。注：若不将多项式次数限制为n,则插值多项式不唯一。P(x)=(x

10、)+p(x)力(x-王)也是一个插值多项式，其中p(x)可以是任意多项式。/=0“，括伍冏发拉格朗日差值牛顿插值4（x）=M（x）+y，（x）这 M（x）/=0NQ)=f(x0)+fx0,x1(x-x0)+.+/Xo，.X,J(X-Xo).(X-X,i)二次插值基函数=（无一X。）（龙 X?）（%一七）（苞-2）/,（=（%_=）（犬尤|）（%2-%0）（%2-%,）依）（x 一 /）（X-X）（X 玉+|）（x-x）一阶差商,r /区）二/G）力X，x =xi-xik 阶差商加，,x jXk Xk-l零阶差商f 闻=F&）1.差商与节点的排列次序无关，称为差商的对称性2.高阶差商可由低阶

11、差商反复作一阶差商得至 I J,计算具有递推性3.若/Xx）在a,3 上存在阶导数，则/K，x，乙a,bn（七一%）（苞一七 T）（七一XM）（X,.-尤“）=n 黄苍-X,同4（再）=口区）=0,R“（x）=f（x）L“（x）产）（=先需3（r t +1）!4+i（x）=（无一尤 0）。一%）（%-%）为了使得1。於1（x）1 尽可能小一些，插值基点的选取原则是：使 X 尽可能位于区间/X 的中部，这里是包含X以及所用基点的最小闭区间。凡=一-3（+1）!=fx,x0,.,xn con+l（x）=fx,x0,.xn（x-xQ）.（x-xn）1 .计算量省，便于程序设计2 .具有

12、承袭性的插值公式，便于理论分析埃尔米特差值插值条件中除函数值插值条件外，还有导数值插值条件，即已知：2 n+2 个条件求:一个次数不超过2 n+l 的多项式应力芍Xl*瑞Ji=/(Xi)y0yiy1 4 4此yn解法 1:基函数法解法2：承袭法分段低次插值|原因：|当插值基点无限加密时,P n(x)也只能在很小范围内收敛，这一现象称为龙格(R un g e)现象，它表明通过增加基点来提高逼近程度是不宜的。走红设在 a,3上给出插值条件：求一个折线插值函数功(x)满足xixOxlxnf(x)fOfl fn1 为(x)是 a,3上的连续函数2 7 7?(x A)=fk,A =0,1,

13、n3 /方(x)在每个小区间Ixk,xk+1上是线性函数则称乃(X)为分段线性插值函数版学表达：必=$+士工九(七Z f+l XM-Xk性质：1 分段线性插值多项式是分段函数；2 可以预见，但充分大时，7(x)能很好逼近/在九3 以(x)有一个缺点:在插值点处有尖点，即一阶导数不连续，不够光滑。解决办法：|三次埃尔米特插值三次样两种构造方法条插值5,承.，二来依1、定义：已知：一组实验数据(X,ys)(i=0,1,m),且观测数据有误差求：自变量x与因变量y 之间的函数关系产尸(x),不要求尸网x)经过所有点,而只要求在给定点上误差(5；=尸(乙)-,(i =O,l,.,加)按某种标准最

14、小。2、度量标准:(1)使残差的最大绝对值为最小 m a x e.=m a x-F(x)|=m i ni i(2)使残差的绝对值之和为最小 Zkl=m i n(3)使|残差的平方和|为最小=m i n3、最小二乘法-多项式拟合产 =4+q x+.+a“x (?)已知：一组数据(加，%)(/=0,1,ni)求：在次数不超过n的多项式中找一个函数y =F*(x),使误差平方和最小，即*尸(斗)-城=m i n Z F(斗)-y占广。他次多项式M这里：F(x)=+atx+.+anxn(nm)d(p(a0,at)_-V解：y(F(x.)-x)=0(4,q)故：1c /、解得：。0,4i=o4)_

15、 da14、最小二乘多工赋拟合惨麴混。N W=44)x +40 x+勿 K y t m 已知：一组数据(加，/i)U=0,1,m)求：在函数类。=卬 4 4)。),埼(幻,，或(x)中找一个函数y =S*(x),使误差m i平方和最小，即 =则 O Z【S(xJ-1=0s(x)E j=o这里：S(x)=a。/(x)+q A O)+.+a(x)(0,(户1,2,，血.求：在函数类。=叩4)(%),0(工),.,痣(幻中找一个函数丁=5*(幻，使误差平方和最小，即 E w J S*（x；）-y j2 =m i n Zw JS（x,）-y.=0 S“）e%=0这里：S（x）=4 4,（x）+aM（

16、x）+.+aM（x）（，）(2*(x)=(4(x)%+Q)+.+(由 3 户最小二哆项域哈生或尸8 。(切隈(尤)(4 0 3 瓮)启(NO!)第三本煲秋令/,或斛定我台同题方该，(靠曲边幡形而我)rb1 0：(1)牛顿莱布尼兹公式 I f(x)dx=F(b)-F(a)J a【需要寻求原函数的困难】【已知点离散】新：(2)机械求积公式rb 8J【多项式机械求积公式】*【解决原函数的困难】a k=0rb a +bf/(X)公)【中矩形公式】*【解决原函数的困难】J a2rb b cif/(x)公。S)+/(a)l【梯形公式】*【解决原函数的困难】J”2 fxdx Ln(x d x

17、f(xk)Jlkxdx【插值型求积公式】*【解决离散问题】2,代出帮次(1)目的：数值求积方法是近似方法，为了保证精度，我们自然希望公式能对“尽可能多”的函数准确成立，这就提出了所谓代数精度的概念。(2)定义:若某个求积公式对于次数Wm的多项式均能够准确成立，但对于m+1次多项式就不一定准确，则称该求积公式有m次代数精度。若某个求积公式对于1,x,，x m 均能够准确成立，但对于xm+1就不准确成立，则称该求积公式有m次代数精度。(3)定理：当 n为偶数时，牛顿柯特斯公式至少有n+l 次代数精度。注：在实际应用时，出于对计算复杂性和计算速度的考虑，我们常常使用低阶偶数求积公式，代替高一阶的奇数

18、求积公式。3,插供京版公式(1)定理：具有n+1个求积节点的机械求积公式至少有n次代数精度的充分必要条件是,它是插值型的。希机插求 W方(2)求积公式的余项若求积公式的代数精度为m,则余项形如用力=/(幻公-之 4 (迎)=a 旬(77)其中 K是不依赖于f(x)的待定参数。s,牛杈一将清新求病公蚊样形，4-t*.利特斯1、定义eh,、【牛顿一柯特斯】J,fxdxIn=3 )2或”(4)a k=0C f(x)dx 仪 t&f(xk)=f /(%(x)公 k=0 k=0 c.,n,)=1 r b U x)dx=1 rI b nn-X-X:孤=一(-1)”r nn(t-j)dtb-a a

19、 b-a a z=xk-xj nkn-k)4,复也嘉分公式梯形公式辛甫生(S i m ps o n)公式柯特斯(Co t e s)公式s=(a)+/S)Sc=b-/a 3/)+4./r(ub)+/(工/?7)、1o 20 =富7/(%)+32/(王)+12/(X2)+3 2/(X3)+7/(X4)一阶【2 次代数精度令 f(x)=x2二阶【3 次代数精度】令 f(x)=x,四阶 1 5 次代数精度】R=_ M(0 _a)3/12%4fR,=I C=_2-_。)()6 /(1)c 9 4 5 41、定义：为了提高精度通常可把积分区间分成若干子区间，再在每个子区间上用低阶求积公式。这种方法称

20、为复化求积法。复化求积法就是先用低阶的牛顿柯特斯公式求得每个子区间打，x“J 上的积分?一!?一!L然后再求和，用 X 4作为所求积分I 的近似值。即/e 4太=0k=0S,常新而犯公式复化梯形公式复化辛甫生公式复化柯特斯公式rt-1T,=k=0A-0 Zn 1/(a)+2Z/(x)+/S)2=1 _S.N1一！/()+4/(%)+k=0H-12工/)+),k=Q.h-1 -1c =-7/3)+32工 /(X,)+1 2 )+U 攵=0 4 k=0 2/j-1 -132工/(3)+14 工/(4)+7/(如k=Q 4 k=-I-n-=wk=th3=-n12b-c一 12万,一不/(%)L

21、i z _i n-lA=0 _f用一龄i,rjea,b复化辛甫生公式精度优于复化梯形公式/_G=一亚(勺6r 6)()9 4 5 4,r)&a,b1、定义：机械求积公式f/（x）必之 A（x J含有2n+2 个待定参数：和 4（攵=0,1,）,若 *=0适当选择这些参数使求积公式具有|2n+l 次代数精阖,则这类公式称为高斯公式。中矩形公式是2、高斯点定义：高斯公式的求积节点称为高斯点。3、求一点的高斯公式设一点高斯公式为 4/（方）则其代数精度应为2 +1 =2 x 0 +1 =14、求二点的高斯公式再设两点高斯公式为J：/（x）公 4/（/）+4/（内）代数精度应为2n +

22、l =2x l +l =35、高斯点的性质：定理：对于插值型求积公式（4.1）,其节点占（左=0,1,是高斯点的充要条件是以这些点为零点的多项式。（1）=（%一事）（刀西）.。一天）与任意次数不超过门的多项式H*）均正交，即P（x）次 x）公=0【证明看习题】6、高斯一勒让得公式特别地，取 a,b=-l,1,其上高斯公式为：（x）公，之下面求对应的高斯7 k=0点。对于任意求积区间 a,b如何求？作变换x=2二竺可以化到区间-1,1上，这2 2q时 J心J（/x、）公 =b _ a /f/（b-a r+-。+久）dt7、带权的高斯公式1、定义：求积公

23、式J：/7（x）/（x）必才若该公式具有2 n+l次代数精度，则a k=0称这类公式为带权的高斯公式。上述p（x）K）是权函数。2、定理：4（4=0,1,.,）是高斯点的充要条件是以工）=0 玉）。一%）.（工一天）是区间 a,b上关于p（x）的正交多项式。3、特别：若 a,bj=-1,1 J,权函数是。（幻二-r所建立的高斯公式为yJl-X2J1（x【切比雪夫一高斯公式】【Xk是切比雪夫多项式的零点】-1 V1-X2 A=o第解钱做方程做1、台美【一般形式】【矩阵形式】4A=.4a”%+anx2+.)1 d-yy 1 .0;当且仅当

24、x 三0 B 寸才有R M =0；（正定性）定义2）|网|=|a|H，V G凡（齐次性）3）卜+y|引4+1 M,x,y G（三角不等式）则称1 1 x 1 1为向量的范数矩阵范数在胪上的矩阵4=（瞅），设对任意矩阵A d R-X n,按一定的规则有一实数与之对应，记为II A II,若II A I I满足1）|A|N。当且仅当三0 0 寸才有同=（M正定性）2）|同引 c|N，/c e R;（齐次性）3）M+川|胤+旭 ,（三角不等式）4）|明|珊忸|,（相容性）则称I I A II为矩阵的范数|x|z=m a x|x,.|称为8 范数或最大范数【绝对值最大的元素】1=1称为

25、1 范数n 2i=称为2范数M，=(Wi=l称为p 范数【所有值绝对值的P次方求和，再开P次方】【所有元素绝对值之和最大的一行】MI L=膘汇同_ _ j=l称为8范数或行范数【所有元素绝对值之和最大的一列】称为1 范数或列范数【A A的最大特征值开平方】国 2=几稣缶 7）称为2范数【所有元素平方和开平方】!0,彳姗任i：n细崛x有司XL引M则称这两个范数等价.性质：对两种等价范数而言，某向量序列在其中一种范数意义下收敛时，则在另-种范数意义下也收敛。定理：R”上的任意两个范数等价。【注：今后研究向量序列的收敛性时，可在任何一种范数意义下研究。】3、“病态方程做1、定

26、义:当一个方程组，由于系数矩阵A或右端常数项b的微小变化，引起方程组A x=b 解的巨大变化，则称此方程组为“病态”方程组，矩阵A称为“病态”矩阵，否则称方程组为“良态”方程组，A为“良态”矩阵.2、如何划分“病态”的程度：条件数:设 A为非奇异阵,称c o n d(A)k(v =1,2,)为矩阵A的条件数。胃喘“喘b c o n d(A)3|0 0方阵,如果 l i m|果一 A|=0 其中|.|为量范数,则称序列只叫收敛于 X,记矩阵范数，则称序列 1叫收敛于A,记为l i m x)=xt o c为 l i m A )=AA T 8定理 1R”中的向量

27、序列 x 收敛于R中的向量 X当且仅当l i m x/)=xi(i =1,2,人Y(*)一_l/人Y()，4Y2)，一，人r(k)/T，X=(X,X2,.,X)T设 A(k)=(a i j)(k=l,2,)，A =(a i j)均为 n阶方阵，则矩阵序列植叼收敛于矩阵A的充要条件为Ji m a；?=%(i,j=1,2,.,n)直接消去法高斯直接消去法：用逐次消去未知数的方法把原来方程组A X=b化为与其等价的三角形方程组，而求解三角形方程组就容易了！高斯消去法的噩|：消元和回代不同步！使用高斯消去法的医曲：使用高斯消去法要求在每步消元时定理约化的主元素(i=l,2,n)的充要条件是矩阵A

28、的顺序主子式D产O(z =1,2,)定理6：如果n阶矩阵A的所有顺序主子式均不为零,则可通过高斯消去法(不进行交换两行的初等变换)，将方程组约化为三角形方程组。定理6：如果A为n阶非奇异矩阵，则可通过高斯消去法(及交换两行的初等变换)将方程组A x=b化为三角形方程组。在采用高斯消去法解方程组时，小主元可能产生麻烦，故应避免采用绝对值小的主元素。对一般矩阵，最好每一步选取系数矩阵(或消元后的低阶矩阵)中绝对值最大的元素作为主元素，以使高斯消去法具有较好的数值稳定性！列主元素法：推论：如果A的顺序主子式不等于0,则点)=2/2(k =2,3,.,n)完全主元素法:712Myyy一一一一其中 y

29、 i,y 2,.,y n 为选主元时仅考虑按列选取，然后换行使之变到主元位置上，再进行消元计算。列主元消去法的特点：(1)能够得到较高精度要求的解；(2)计算量大大减少未知数X 1,X 2,.,X n调换后的次序。【第一步：首先在A中选取绝对值最大的元素作为主元素；然后交换到第一行、第一列的位置；再进行第一次消元，】完全主元素消去法的缺点：在选主元素时要花费较多机器时间。时时纪录X顺序的变化情况%=t/ann,%=(%-E a MJ=k+i/(k=-1,一2,2,1)高斯约当消去法高斯一一约当消去法定义：则同时消去对角线上方和下方的元素。高斯一一约当消去法的特点：(1)消元和回代同时进

30、行；(2)乘除法的次数要比高斯消去法大，所以通常用于同时求解系数矩阵相同的多个方程组或求逆矩阵。1 00 10 0直接角法直接三角分解法A=LU定理设A（i（矩阵的LU分解）为n阶矩阵，如果A的顺序主子式:1,2,n-1）,则A可分解为一个单位下三角矩阵和一个上三角矩阵u的乘枳且这种分解是唯一的。注：若A实现了 LU 分解，则|Ax=b|了U)x=b|Ly=b|Ux=y|A=-1 0 01_，一。31，32 JU“12 13 “22”23 0 433A=LU单位下三角阵上三角阵A=-1001()010141 _-1A=LU2-1100-2-100M6y6010%=5解得%=52-11%

31、1%-6-111XX玉104-1X2=y2解得九2=200-2J-%X33平方根法A=LDLA=LL平方根法适用于系数矩阵为对称怔定1阵的方程组的求解。子式均定理1（对称阵的三角分解定理）|设A为n阶对称阵，且A的所彳不为零，则A可唯一分解为份顺序主A=LDLr其中L为单位下三角阵，D为对角阵.定理2（对称正定阵的三角分解定理）设A为n阶对称阵，且A的所有顺序主子式均大于零，则存在一个非奇异下三角阵L使A=LL1,当限定L的对角元素为正时，这种分解是唯一的。Cholesky分解L=L14iL3I0()一40o-11231310D=04011=01心23,321_00001ll4.L3I0

32、0%，13011=0,22，23,3200/33 _追赶法A=LU追赶法适用于系数矩阵为1三对角阵1的方程组的求解。利用系数矩阵的特点，可以将A分解为两个三角阵的乘积，归里其中L为下三角矩阵，U为单位上三角矩阵。工1 0.0 L=/21 122 0Jn 乙2 Ln 一U=0 1 u230 0 1迭代法雅克比迭代法*一般形式%+。12%2+.+。1X=4。2%+。22%2+.+a2nXn=Z。,油+。“2+-“+品占=2尤1 =（al2x2 一一即卢,+仇）/孙%2=（一出内一一+么）/凡2Xn=（-anX a2X2 一一册“-1%2,）/%“,矩阵形式将方程组记为A x =b其

33、中A非奇异且a“W 0 (1=1,2,，D=1寸n 7 J衣八/n4a22.a1 1 n-uL=Lu 丹”r0沏an l an 2 。.7=-0%4“.a2n0。)=(染,琛,.,螳尸(初始向量)=用户)+/X()=W)H),.，H)T(初始向量)1 铲)=他二明力1评高斯塞德尔V再=（一 2%2-%,再+）/4 1工2=（一4 1 -a2,xn+b2）/a22Xn=（一新一 an2X2 一一品+hn V 4”X 靖,x”（初始向量）X”=，s,-/+-力*力aU；=I j=i+）ln1）.）=x（x（程组记为Ax=将A分裂为A 2 2%.0）一“0）Y（0）一A j 9 人 2

34、 9 ,k+,）=（D-L）-b 其=D-L=-.，染U x（k）中 A非奇异且-L-U 其中-0a2 一%4,2 -0）7（初始向量+（D-L y baii WU=-0（1=1,2,，an.a t l%0 j超松弛迭x（k，l）=x（k）+3 A x o）+/中的矩阵B 为迭代矩阵.定义2：设 A为 n阶方阵，尢(i=l,.,n)为 A的特征值，称特征值模的最大值为矩阵A的谱半径，记为p(A)=ma x|2,|)in定义2：4,4,.,4 称为矩阵A的谱.定义 3：A k =A A.A 的谱为 4,港,(k=l,2,)定义 3：Ak=A A.A 的谱半径为2(A*)=ma x|4|=p(A

35、)了己知定理 1:设 A 为任意 n阶方阵，|.|为任意由向量:范数诱导出的矩阵的范数，则0(A)勺 A|定理定理2：设 A为 n 阶方阵,则对任意正数,存在一种矩阵范数|.|,使得|A|W p(A)+定理3：设 A为 n阶方阵，则 li m屋=0 的充要条件为2(A)1A TO O -辅助定义：若 n阶方阵人=的)满足|%色|囱 1 =1,2,.,)且至少有一个i定义j-l用 _值，使上式中不等号严格成立，则称 A 为弱对角占优阵。若对所有3不等号均严格成立，则称A为严格对角占优阵。定义：如果矩阵A不能通过行的互换和相应列的互换成为形式A,

36、2其中A”L o A2JA 2 2 为方阵，则称A为不可约.收敛设有线性方程组A x=b,下列结论成立：判断1.若A 为严格对角占优阵或不可约弱对角占优阵，则 J a c o b i 迭代法和条件G a uss-S ei d e l 迭代法均收敛。2.若 A为严格对角占优阵，0 3 W l,则松弛法收敛。3.若 A为对称正定阵，0 3 2,则松弛法收敛.即：若 A是对称正定阵，则松弛法收敛的充要条件为0 3 =M x(k,+g产生的向量序列收敛的|充要|条件为P(M)1推论：松弛法收敛的必要条件是0 3 1,称 x*是 m重根.2、求根的两个小腺(D 确定根的初始近似值(称之为初始近似根)，一

37、般为一个包含根的区间，称为“有根区间”【逐步扫描法：原理：设 f j)在 a,6 连续，且/(a)A 6)0 则由连续函数的性质知f(x)=0 在(a,6)内至少有一个根。若 f(x)在 a,3 上单调，则 f(x)=0 在(a,6)上有且仅有一个根。】(2)根的精确化。根据根的初始近似值按某种方法逐步精确化，直至满足预先要求的精度为止。【二分法简单迭代法牛顿迭代法弦截法】2、台美二分法原理：|若 f e C a,b ,且 f (a)f (b)0,则 f在(a,b)上必有一根X*。1实施：1将方程根的区间平分为两个小区间,然后判断根在哪个小区间，舍去无根的区间，而把有根区间再一分为二，再判断根

40、不动点，若g，(x)在X*的某邻域连续,且有|g (x*)|0则称该迭代为p阶收敛，其中C称为渐进误差常数。51 ek r特别地：p=l时：线性收敛，P 1时：超线性收敛，p =2时：平方收敛定理：设 X*为x =g(x)的不动点，若 g(x)e C(”a*),p 2；且 g (%*)=.=g S D(X*)=O,则 x“i=g(双)在%*)内 p 阶收敛。牛顿迭代法原理：将非线性方程线性化泰勒展开f(x*)=f(x0)+f(x0)(x*X o)+，2：(*%0)一/(/)%=4 ,7 f 5)局部收敛性设8,若/为f(公在a 3上的根，且 F (/)工0,则存在户的邻域统

41、(X*)使得任取初值/g 5(x*)N e w t o r f s Me t h o d 产生的序列4收敛到 X*,且满足l i m x*T =一有l i m 居?=)?*)只要r(x*)w O 就有 p2o重根是线性收敛的。注：1(1)牛顿法要求初值充分接近根以保证局部收敛性。(2)牛顿迭代法的主要优点是收敛较快，是平方收敛的缺点是公式中需要求X x)的导数。若/U)比较复杂，则使用牛顿公式就大为不便。弦截法针对问题|：重根问题/(幻=(X 产)q(x)问题 1:若/(#)=0,N e w t o n?s Me t h o d 是否仍收敛？K1:有局部收敛性，但重数 n 越高，收

42、敛越慢。问题2:如何加速重根的收敛？K 2:将求f的重根转化为求另一函数的单根。令(幻=黄；则f的重根=的单根。下山法：原理：若由Xk得到的必+|不能使|/|减小，则在 4 和 4+1 之间找一个更好的点 Z+,使得|/(%)|/()|2=1 时就是N ew t o n s M et ho d 公式。当 2=1代入效果不好时，将几减半计算。/+d%)/一乙_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _/(玉)f g弦截法N ew t o n s M et ho d 一步要计算f 和f ,相当于2 个函数值，比较费时。现用f的值近似f,可少算一个函数值。需要 2 个初值

43、照和小度泌a制掰蟀=4 L*-姬;心 =；“Xj J Vxk)J yxk-)弦截法与牛顿法相比较相同之处：都是线性化方法不同之处：牛顿法在计算Xk+l 时只用到前一步的值x k,故这种方法称为单点迭代法;而弦截法在求x k+l 时要用到前两步的值x k 和 Xk-l,因此这种方法称为箜通代法。弦截法的收敛速度与牛顿法相比，弦截法的收敛速度也是比较快的。可以证明，弦截法具有超线性收敛速度，收敛阶为p =L（1 +石）a 1.6 1 8 即/一”f c 0,（%.0 0）2|x 九&第6*斛有微合方程1、足*）=X）理论上可以证明：只要函数f（x,y）适当光滑一关于y 满足李普希兹（Lip

44、schitz）（/）=%条件（X,y）-/（%,歹）区L I y -刃则初值问题的解存在唯一。2、两科斛一般解（解析解）|y=y（x,）|在E;处的精确值.对一些典型的微分方程（可分离变量方程，一阶线性方程等等），有可能找出它们的一般解表达式，然后用初始条件确定表达式中的任意常数，这样f y *=2x解即能确定。V 故解为产fb（o）=o数值解（近似解）:一般解y=y（x）在 x=Xi处的近似值.州，为，yn由于在实用上对初值问题，一般是要求得到解在若干点上满足规定精确度的近似值匕，或者是得到一个满足精确度要求的便于计算的近似表达式。故常微分方程的数值解就是求出在若干点上解的近似值。

45、定义：指在由初始点劭开始的若干离散的X值处，即对X o X iX 2（%）的近似值乃，九，为2、三种小值斛依用差商代替导数y(x+h)-y(x)k/叱%+i=y+/(%,%)/=0,1,2yn=y n-i+hf(x0+(n-l)h,y-i)2、五种超值方核、使用泰勒公式在微分方程y =Hx,y)中，y 是x及y(x)的函数.由于精确值了(广方)在h=0处的泰勒展式为h2y(x+h)=y(x)+hy x)+y x)A3/74+ywW+y(4)(x)6 ,2 4+1%+i=+/（%）1%=y（X o）i =o,2 2 hPyn+=yn+y,，+yn+y,（,p）2!pl注：应用泰勒公式求数

46、值解，从形式上看简单，其实具体构造这种公式往往是相当困难的，因为它需要提供导数值，y。当阶数提高时，求导过程可能很复杂，因此泰勒公式通常不直接使用，但可以用它来启发思路。使用数值积分的方法对于微分方程y =f(x,y)两边求刘到X的定积分ex dv exf dx=f(x,y(x)(bcJ x0 a x J XQy,+i)在假设y =yE）,即第i步计算是精确的前提下，考虑的截断误差必“二y（笛T）-n”称为局部截断误差欧拉公式简单；精度低向前差商近似导数y+i=y（i=0,RM=y(xM)-yM=(%)+hy(xi)+4/(x,.)+O(/?3)-;+h

47、f(x”y)=与火%)+0(川)欧拉法具有1阶精度隐式的欧拉公式稳定性最好；向后差商近似导数+1=丫+儿（玉+1，X+|）（i=0,.，一 1）RM=y（.xM）-yM=一除旷（%）+。（川）隐式欧拉公式具有1阶精度。精度低，计算量大梯形公式精度提高计算量大y+i=h州+耳（七，%）+/（七+”凹+1）（z =O,.,n-l）的确有局部截断误差K=M X*i）+i =。（川）即梯形公式具有 2阶精度，比欧拉方法有了进步。但注意到该公式是隐式公式，计算时不得不用到迭代法，其迭代收敛性与欧拉公式相似。中点欧拉公式计算量大多一个初值，可能影响精度%+i =电+2 /（4 弘）i=1,一 1h3 3N+i =y（H i）一如i=y y （xi）=o（h）即中点公式具有2阶精度需要2个初值外和力来启动递推过程，这样的算法称为双步法而前面的三种算法都是单步法改进的欧拉公式元+,=y t+h/（*,y ,）%,=y,+K+i =%+：（玉，%）+/（%2；+力（z =O,.,n-l）此法亦称为预测-校正法。可以证明该算法具有2阶精度，同时可以看到它是个单步递推格式，比隐式公式的迭代求解过程简单。

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