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1、第一*引卷7、照值今布所究对我，数值分析是计算数学的一个主要部分，计算数学是数学科学的一个分支，它研究用计算机求解各种数学问题的数值计算方法及其理论与软件实现。2、熬值今新特J U面向计算机，要根据计算机特点设计切实可行的有效算法有可靠的理论分析，能任意逼近并达到精度要求，对近似计算要保证收敛性和数值稳定性要有好的计算复杂性，时间复杂性好是指节省时间，空间复杂性好是指节省存贮量，这也是建立算法要研究的问题。要有数值试验，即任何一个算法除了从理论上要满足上述三点外，还要通过数值试验证明是行之有效的。品裁值今新实质，是以数学问题为研究对象，不像纯数学那样只研究数学本身的理论，而是把理论与计算紧密结
2、合，着重研究数学问题的数值方法及理论。4、用计算机斛决科考4 t 算冏做遹帝经历双千班程实际问题-数学模型(应用数学)-数值计算方法-程序设计-上机计算结果(计算数学)5、镁爱家像及台美1 .模型误差从实际问题中抽象出数学模型2 .观测误差通过测量得到模型中参数的值(通常根据测量工具的精度，可以知道这类误差的上限值。)3 .截断误差|当数学模型得不到精确解时.，要用数值计算方法求它的近似解，由此产生的误差称为(截断误差)或(方法误差)4 .舍入误差|由于计算机字长有限，原始数据的输入及浮点数运算过程中都有可能产生误差，这样产生的误差称为舍入误差6、八个关寸篌是的林念1 .绝对误差G(X*)2.
3、绝对误差限*3.相对误差e,.(x*)4.相对误差限,.(X*)(1)定 义：设某-量的准确值为X,近似值为X*,则 X*与 X之差叫做近似值X*的绝对误差(简 称 误 差)，记 为(1 )定 义：若指定一个适当小的正数，使(1 )定 义：绝 对 误 差 与 准 确 值 之 比(1 )定 义：若 指 定 一 个 适 当 小 的 正 数|e(x*)|=|x*-x x2 =-=/=la a-x 10求和时从小到大相加，可使和的误差减小。若干数相加，采用绝对值较小者先加的算法，结果的相对误差限较小=54321x10+0.4x10+0.3x10+0.4x10=54322(三)注意简化计算步骤，减少运算
4、次数，避免误差积累(秦九韶)P4(x)=0.0625%4+0.425x3+1.215x2+1.912x+2.1296=(0.0625%+0.425)x+1.125)x+1.912)x+2.1296(四)要避免绝对值小的数作除数阳 冈 区)+周 。2)丁 1 -cos x _ sinxsinx 1 +cos xr=-7=X(Jx+l+Vx)+1 y X(五)设法控制误差的传播许多算法具有递推性。递推法运算过程较规律，但多次递推必然导致误差的积累。=2,3,9e(纥)=f e(E i)=(-l)T!e(E J|e(E,i)|=一|e(纥)|n1哨)1=V(纥)1第二 逼近冏题1,5.裁逼近1、插值
5、问题：求一条曲线严格通过数据点2、曲线拟合问题：求一条曲线在一定意义下靠近数据点2,越值冏煞1、定义：求个简单函数0(x)作为H x)的近似表达式，以满足|(x,)=,i =O,l，)我们称这样的问题为插值问题；并称。(x)为f 3 的插值函数；f(x)为被插函数，AO ,%1,嵬，A n是插值节(基)点；(p(xj=%,i =0,1,，是插值原则.3,插伐，旗或1、定义：求一个次数不超过n的多项式|匕(x)=%+4 X+a*+a,x”|使满足插值原则(条件)匕(巧)=乂，j =0,1,称尸(x)为/(x)的 次插值多项式2、定理:在n+1个互异节点处满足插值原则且次数不超过n的多项式P n(
6、x)存 在 并 且 唯、注：若不将多项式次数限制为n,则插值多项式不唯一。P(x)=,(x)+p(x)l(x-七)也是一个插值多项式，其中p(x)可以是任意多项式。，插值冏做拉格朗日差值牛顿插值4(x)=%/o(x)+_ y/(x)i=0M(x)=f(x0)+f x0,x(x-x0)+.+f x0,.xn(x-x0).(x-xn_l)二次插值基函数一阶差商(X)=(X-%)(-4)6-%)(占一丫2)二(X7 o)(X-X|)2(x2-x0)(x2-x,)J lxnxj X.-Xjk阶差商_ /X(),.X2，XR -./Xo，X，,X Xk-Xj4(x)；(X-%)(x_ x“)(x_%+J
7、-(x-x.)(X,-X。)一(X,.-X,T)(X,)(X,.一 X“)y V=n/J=0 xi 一 入 jjw i零阶差商/k,=/U)i.差商与节点的排列次序无关，称为差商的对称性2 .高阶差商可由低阶差商反复作一阶差商得至I J,计算具有递推性3.若f(x)在 a,6 上存在阶导数，则/,.(x,.)=l,/,(xy)=O,/k o，x-,x =ea,bn凡(x)=/(x)-4(x)(幻=勺 普%(不(+1)!&(x)=0+1(x)=(X 5)(x X|)(x xn)为了使得1 3 加1(x)1尽可能小一些，插值基点的选取原则是：使X尽可能位于区间/X的中部，这 里/X是包含X以及所用
8、基点的最小闭区间。=/x,x0,.,xn)为分段线性插值函数散学表达：,=江+JEZ-A+,&1 1)r.-Y.Y.-Y.性质：1 0 分段线性插值多项式是分段函数；2 可以预见，但充分大时，?(x)能 很 好 逼 近 九3以(才)有1 个缺点:在插值点处有尖点，即一阶导数不连续，不够光滑。解决办法：|三次埃尔米特插值三 次样 两种构造方法条插值5,秦小二集旅1、定义：已知：一组实验数据(x“y j (i=0,1,m),且观测数据有误差求：自变量x与因变量y 之间的函数关系尸尸(x),不要求片尺x)经过所有点,而只要求在给定点上误差弓=尸(苍)-b 按某种标准最小。2、度量标准:使残差的最大绝
9、对值为最小 m a x|ej =m a x/j -b区)=m i ni i(2)使残差的绝对值之和为最小 X KI=m i n(3)使|残差的平方和|为最小 X 4=m i n3、最小二乘法-多项式拟合尸(x)=g+q x+x (n m)已知：一组 数 据(%,%)(=0,1,n i)求：在次数不超过的多项式中找一个函数卜=尸(、)，使误差平方和最小，即斗 尸 区)-月=幽 项 2项)-用 2这里：F(x)=70+axx+.+anx(n m)解:3E (产(%)-乂)2 =*(&冯)i=0故:。0(冯)0c dan 解得:_ Qda4、最 小 二 窕 多 项 醐 合 戮 线 性 /=/4 +%
10、雷 用+可 或 (n m)已知：一组数据(汨，/i)(7=0,1,i n)求：在函数类。=s a 4o(x),4(x),.,0.(x)中找一个函数歹=S*(x),使误差平方和最小,即 Z s(xj 力 2 =min Z S(占)一乂 2=0 S(x)/=0这里：S(x)=60(x)+a (x)+i +q,0(x)(0,(户1,2,，血.求:在函数类夕=即。滋(%),。(幻,.,。,(%)中找一个函数y =S*(x),使误差平方和最小，即 Z叫5a)-了=m i n Zw,S(x,)-y J.n S(X)G。.n1=0 1=0这里：S(x)=a o0 o(x)+q 4(x)+.+4,(x)(w
11、)k=l.s，6/(。)+4 /(4口)+攵=0M-12Z x*)+/(b),左=0.L jM-1-1。“=.7/3 +3 2 号)+医./(X/k=0 4&=0 232(3)+/./&)+7/(加A=0k+4 k=lRT=1-n-=k=(/=-n1 2b-c_ 1 2-T1 T_=0 _3 f 8)I V h hI-S,Y (-)4/(4,(7X)1 80 2 J一之闿*1 80 uJ,rjEa,h复化辛甫生公式精度优于复化梯形公式/亚出与 94 5 4,向5,需新成租公大1、定义：机械求积公式/(x)&a 4/(4)含有2n+2个待定参数：x*，4(A=0,1,若&=0适当选择这些参数使求
12、积公式具有至+1次代数精阖,则这类公式称为高斯公式。中矩形公式是2,高斯点定义：高斯公式的求积节点称为高斯点。3、求一点的高斯公式设一点高斯公式为(f(x)dx 4/(/)则其代数精度应为2 w+l =2 x0 +l =l4、求二点的高斯公式再设两点高斯公式为f/(x)公x 4/(x0)+4/(吊)代数精度应为2 +1 =2 x 1 +1 =35,高斯点的性质：定理：对于插值型求积公式(4.1),其节点/伏=0,1,是高斯点的充要条件是以这些点为零点的多项式0(x)=(x xo)(x xj.(x x“)与任意次数不超过n的多项式P(x)均正交，即f P(x)(y(x)办=0【证明看习题】6、高
13、斯一勒让得公式 特 别 地，取a,b=-l,1 ,其上高斯公式为：1/(x)名4/()下面求对应的高斯J t=o点。对 于 任 意 求 积 区 间a,b如 何 求？作 变 换 工=一/+=2可以化到区间-1,1 匕 这时 J f(x)dx=r /(+)dtJ a 2 8 2 27、带权的高斯公式1、定 义：求 积 公 式f 2(x)/(x)/。为4/(%)若 该 公 式 具 有2 n+l次代数精度，则A=0称这类公式为带权的高斯公式。上 述p(x)K)是权函数。2、定 理：.(左=0,1,是高斯点的充要条件是。(%)=(%-%)(彳一石).(彳一七1)是区间a,b上 关 于p(x)的正交多项式
14、。3、特 别：若a,b =-1 ,1 ,权 函 数 是p(x)=-l=所 建 立 的 高 斯 公 式 为V l-x2f -X A/U J【切 比雪夫一高斯公式】【X k是切比雪夫多项式的零点】山 J i M第四#斜钱但方程做7、合委【一般形式】【矩阵形式】QA =.4anx+a12x2+%=4。21%+。22X2+a2 nXn=2Vanxx+anlx2+.+annxn bn系数矩阵为低阶稠密矩阵(阶 数 大 约 不 超 过1 50)【直 接 法】(经过有限步算术运算，可求得方程组的精确解的方法，一般用于解系数矩阵为低阶稠密矩阵)A x =b-%,-X=A.b 二AA.系数矩阵为大型稀疏矩阵(阶
15、数高且零元素较多)【迭 代 法】(用某种极限过程去逐步逼近精确解的方法，一般用于解系数矩阵为大型稀疏矩阵)2、意裁向量范数矩阵范数类型在川上的向量x=（为，x Fe H在胪 上的矩阵a（w）,定义设 对 任 意 向 量x e R,按一定的规则有一实数与之对 应，记为II X II,若II X|满 足l）|x|0；当且仅当x 三0 时 才 有 卜|=0;（正定性）2）|a x|=|a|x|,V a e H;（齐次性）3）|x+川 4|x|+|y|,x,y e R （三角不等式）则 称 1 1 x1 1 为向量的范数设对任意矩阵A G RnX n,按一定的规则有一实数与之对应，记 为 II A I
16、I,若 II A I I 满足i）M 0 当且仅当Z三0 时才有|川=0;（正 定性）2）|c4|=|c|M|,V cwR;（齐 次性）3升4 +8|引 川+忸 ,（三角不等式）娜 四1 4 M l忸|,（相容性）则 称 II A I I 为矩阵的范数帆8=嘤个闻称为8 范数或最大范数n1 1 4=膘 包%|_ j=l称为8 范数或行范数【绝对值最大的7t 素】称 为 1 一范数【所有元素绝对值之和最大的一行】怵=力卬/=11 1 4=腐2称 为 1 范数或列范数M=（七小/=i称为2 范数【所有元素绝对值之和最大的一列】卜 2 =M m a x(H /)称为2 范数1 1 4=(Ek Di=
17、,称 为 范 数UrA的最大特征值匚开平方】称为Fro be nni us一范数平方】1 4=(X V)【所有值绝对值的P 次方求和，再开P 次方】【所有元素平方和开性质定义：如果R-中有两个范数1 M l s与 I矶,存在常数m,M 0,彳翅型璋n l ttx有加卜,1 k l l A/|x|v则称这两个范数等价.性质：对两种等价范数而言，某向量序列在其中一种范数意义下收敛时，则在另,种范数意义下也收敛。定理：Rn卜一的任意两个范数等价。【注：今后研究向量序列的收敛性时，可在任何一种范数意义下研究。】3、“离是方程粗1、定义:当一个方程组，由于系数矩阵A 或右端常数项b 的微小变化，引起方程
18、组Ax=b解的巨大变化，则称此方程组为“病态”方程组，矩阵A 称 为“病态”矩阵，否则称方程组为“良态”方 程 组，A 为“良态”矩阵.2、如何划分“病态”的程度:条件数：设 A 为非奇异阵，称 co nd(A),=|AT|、.|A|,(v=1,2,8)为矩阵A 的条件数。需 喘“，喘 b-为 n 阶方阵序列，A 为 n 阶如肆Ji m|一)-x|=0 其中 11/为向方 阵,如 果 l i m|4 一川|=0 其中|.|为*T O O量范数，则 称 序 列 次吗收 敛 于 X,记矩阵范数，则称序列 A 收敛于A,记为i mx=x T 8为 li m A(k)=A定 理 1R”中的向量序列 x
19、 =(a Q (k=l,2,)，A =(a“)均 为n阶方阵，则矩阵序列 A0 0 收敛于矩阵A的充要条件为li m 婿)=a,(i,j=1,2,直接消去法高 斯直 接消 去法基本思想|：用 逐 次 消 去 未 知 数 的 方 法 把 原来方程组A X=t H为与其等价的三角形方程组，而求解三角形方程 组 就 容 易 了！消元时高 斯 消 去 法 的 丽:消元和回代不同步！使用高斯消去法的丽使用高斯消去法要求在每步询 约 化 的 主 元 素 或,工0 (i=l,2,n)的充要条 件 是 矩 阵A的顺序主子式D产0(Z =1,2,.,)娟艰)-,Un甲喈.u户2nX?=靖),aMJ坤马=邸7甯砂
20、-E喈X：J=k+(k=-1,一2,2,1)推 论：|如果A的顺序主子式不等于0,则主 元素法定 理6：如 果n阶 矩 阵A的所有顺序主子式均不为零,则 可 通 过 高斯 消 去 法(不 进 行 交换两行的初等变换)，将方程组约化为三角形方程组。定 理6：如 果A为n阶非奇异矩阵，则可通过高斯消去 法(及 交 换 两 行 的 初 等 变 换)将 方 程 组A x=b化为三 角形方程组。在采用高斯消去法解方程组时，小主元可能产生麻烦，故应避免采用绝对值小的主元素。对一般矩阵，最 好 每 一 步 选 取 系 数 矩 阵(或消元后的低阶矩阵)中绝对值最大的元素作为主元素，以使高斯消去法具有较好的数值
21、稳 定 性！列主元素法:选主元时仅考虑按列选取，然后换行使之变到主元位置 上，再进行消元计算。列主元消去法的特点：(1)能 够 得 到 较 高 精 度 要 求 的 解；(2)计算量大大减少*=Dx,(k=2,3,.,n)“完全主元素法:a a2 an4。22%其 中y i,y 2.yn为any未 知 数X X 2,X”调换后的次序。【第一步：首 先 在A中选取绝对值最大的元素作为主元素；然后交换到第一行、第一列的位置；再进行第一次消元，】完全主元素消去法的缺点：在选主元素时要花费较多机器时间 时时 纪 录X顺序的变化情况yn=ba“j=k+l(k=，,2,1)高 斯高斯约当消去法定义：约 当则
22、同时消去对角线上方和下方的元素。消去高斯约当消去法的特点：法(1)消元和回代同时进行；(2)乘 除 法 的 次数要比高斯消去法大，所以通常用于同时求解系数矩阵相同的多个方程组或求逆矩阵。1 00010直接角法直接三角分 解 法定 理：（矩 阵 的LU分解）设A为n阶矩阵，如 果A的顺序主子式（i =1,2,n-1）,贝1A可分解为一个A=-1 0 o-0 1 0 2-1 11 1 1 0 4-10 0-2_A=LU单 位 下 三 角 矩 阵L和一个 上三角 矩 阵1的乘 枳，且这种分解是唯 的。注：若A实现1 0 0 y,0 1 0 y212 1 1J 为1 1 1 X,0 4-1 x20 0
23、 2 x3%A=LU=651乂y2y3解得解得=65 6123J L I|U x=A=J力 腑，火也 1 0 0-4.1 o_，3 1，3 2 LXU U2 1 30 u22 u230 0 3 3r y 二=LU单位下三角阵 上三角阵平方根法平方根法 适用于 系数矩阵为对称 正兄W阵的方L=-1 0 o-%1 0/3 1 /3 2 1D=-4 0 o-040_0 0%e =1 A 2 A0 1 L230 0 1程组的求解。定 理1 （对称阵的三角分解定理）设A为n阶对称阵，且A的所彳不为零，则A可唯一分解为行顺序主子式均A=LE L，其 中LA二LD LA=LL八）牛1乂 r 一用p干，u力
24、个 用p干.定 理2 （对称正定阵的三角分解定理）设A.大于，A 二 L1分解为n阶对称阵，且A的所有顺序主子式均零，则存在一个非奇异下三 角 阵L使口，当 限 定L的对角元素为正时，这种是唯一的。C h o l e s k y分解L=7“0 o-，2 1，2 2。，3 2，2 3 _u =1 1 M2 ,1 3。l22/230 0追 赶 法追赶法适用于系数矩阵为 三对角阵伊，方程组4=a7h c,1-1 B 1 AA.-,的求J利用角阵为单，L U=解。系数矩阵的特点拘乘积，A=LIJ|,立上三角矩阵。41 0.，2 1 GJn 2 ,*-1 40 1 U230 0 1；，可 以 将A分解为
25、两个三其 中L为下三角矩 阵，U0-0n n _a2 2 C2/c_a”2 a2/3n-n迭代法雅克比迭代法*-一:一般形式ax+(71 2x2+=ha2 x+a2 2x2+a2 nxn=b2,l+a2x2+.+annxn=bnM=(一*-4再+4)/%x2=(一。2内 a2 nxn+b2)/a2 2%=(alXl -an2X2-4 所/“+/)/，/。)=(靖),力),.,)尸(初始向量)1 nX”au/=1声矩阵形式将方程组记为A x=b其中A非奇异且a“关0 （1=1,2,，117.D =付n刀 衣/v A4a2 2-UL=-L u 丹，T0%勺2 a2%”0 .a,7 =-2”0X（。
26、）染）“初始向量）”旬=为”）+f高斯塞德尔V王=（一 勾2 一一 即 占+4）/孙X=（一须 a2xn+b2）/a2 2X=（一/内一凡22 一 一%（。）=（玉（。）足。）,.,。）尸（初始向量）靖+i）=J _（q _q*+i）_ a泣?）ai i j=l；=/+!4nL).)=x(x(程组记为A x=将A分 裂 为A4。2 2a,.n.0)“0)丫(0)1人1，人2k+)=(D-L y b其=D-L =-”x?U x(k)中A非奇异且-L-U其中-0 2 I 0_ n l%-0)?(初始向量+(D-L)-bai t H O (1=1,2,al2.a n0 .a、“U =-2”0 J超松
27、弛迭x 二 X +3 AX（D 1 时，称为低松弛；（0=1 时，是G-S法；3 1时，称为超松弛法，简称S0 R法x+l）=xk+&A X j=（1一0）靖）+色（4 一允 白产”）一 2 a产 7）ai i j=l y=/+I用分解式 A =D L U,则可写为x（*+D =（一 0乃 T _ +必）心）+a）（D-a）L y b注：（1）松弛法是G-S法的一种加速方法；（2）具有计算公式简单，程序设计容易；（3）但需要选择较好的加速因子。5、选代法微微极到新方破预备定义定 义 1：称迭代公式小皿)=Bxw+f中的矩阵B 为迭代矩阵.定义2：设 A为 n阶方阵，工内二匕一加为人的特征值，称
28、特征值模的最大值为矩阵A的谱半径,记为夕(Z)=m a x|4|in定义2：4,4,4,称为矩阵A的谱.定义3：A k=A A.A 的谱为 阿存,片 (k=l,2,)定义 3：Ak=A A.A 的谱半径为 0(T)=m a x|4|=夕(/)了已知定 理 1：设 A 为 任 意 n阶方阵，|.|为任意由向量:范数诱导出的矩阵的范数，则P(A)|A|定理定理2：设 A为n 阶方阵，则对任意正数8,存 在 一 种 矩 阵 范 数 使 得|小区pA)+辅助定义定理3：设 A为 n阶方阵，则l i m/J=0左T O O的|充要|条件为p(A)1定义：若 n阶 方 阵 A=(a Q 满足1 q漳 Zl
29、 为 1且至少有一,个i7=1加值，使上式中不等号严格成立，则 称 A 为弱对角占优阵。若对所有i,不等号均严格成立，则称A为严格对角占优阵。定义：如果矩阵A不能通过行的互换和相应列的互换成为形式4,o4A.12其中A u，22A 2 2 为方阵，则称A为不可约.收敛设有线性方程组A x=b,下列结论成立:判断1.若 A 为严格对角占优阵或不可约弱对角占优阵，则 J a c o b i 迭代法和条件G a u s s-S e i d e l迭代法均收敛。2.若 A为严格对角占优阵，(X 3 W 1,则松弛法收敛。3.若 A为对称正定阵，0 3 2,则松弛法收敛.即：若 A是对称正定阵，则松弛法
30、收敛的充要条件为0 3 2。推论:若迭代矩阵满足|M|h 则迭代公式产生的向量序列 x 力收敛.定理：对任意初始向量X 3和右端项g,由迭代格式x =Mx +g产生的向量序列 收 敛 的 耐 条 件 为|p(M)1 推论：松弛法收敛的必要条件是0 1,称x*是m重根.2、成 旅 的 两 个 步 藤(1)确定根的初始近似值(称之为初始近似根)，一般为一个包含根的区间，称为“有根区间”【逐步扫描法：原理：设/(才)在 a,a连续，且/(a)/U)0 则由连续函数的性质知f(x)=O在(a,6)内至少有一个根。若f(x)在 a,6上单调，则f(x)=O在(a,6)上有且仅有一个根。作图法、解析法】(
31、2)根的精确化。根据根的初始近似值按某种方法逐步精确化，直至满足预先要求的精度为止。【二分法简单迭代法牛顿迭代法弦截法抛物线法】2、二分法原理：X*。1实施：的区间始，直停止:误差分优点：缺点：若 f e C a,b ,且 f (a)f (b)0,则 f 在(a,b)上必有一根将方程根的区间平分为两个小区间，然后判断根在哪个小区间，舍去无根,而把有根区间再一分为二，再判断根属于哪个更小的区间，如此周而复到求出满足精度要求的近似根。|4+1一队|4或|/(x)|；(I I)3 0 Z 1 使得|g，(x)降 1 对 V x e a,b 成立。贝 l j 任 取 xoe a,b,由xk+=g(xA
32、)得到的序列 X*：=(,收敛于蛉)在6上的唯一不动点。注 1：定理中的 1非常重要，否则不能保证收敛，且工越小，收敛越快。注 2：为恰当估计|g(x)|,可以把有根区间取得适当小。补充：1.迭代是否收敛除了依赖于迭代函数外，还依赖于有根区间。2.设方程尸鼠外在区间用内有根，若总有|g (x)|2 1,则迭代公式对任意a,b 上的初值均发散。惆部收敛：定义：设 x*是 g(x)的不动点，若存在x*的某5邻 域Bs=x I|x -x*|.对xoe Bs迭代产生的序列丫 卜G B,且收敛到x*,则称xi+1=g(xk)局部收敛.定理：设 X*是 g(x)的不动点，若 g (x)在 X*的某邻域连续
33、，且有|g，(x*)|0则称该迭代为P 阶收敛，其 中 C 称为渐近误差常数。1|ekp特别地：p=l时：线性收敛，p l 时：超线性收敛，p =2时：平方收敛定理：设 X*为x =g(x)的不动点，若 g(x)e Cp(Bg(x*),/?2；且 g (x*)=.=g Sf(x*)=O,则 x z=g(x。在 斗(x*)内 p 阶收敛。牛 顿 迭代法原理：将非线性方程线性化泰勒展开/(x*)=/(X o)+/(X o)(x*(X*/)2X -X-3k/U)局部收敛性设f e d af 6 ,若/为F(x)在心川上的根，且(/)w 0,则存在A*的邻域与(1*)使得任取初值与 纭(x*)N ew
34、 to n s Meth o d产生的序列 xk 收 敛 到 X*,且满足l im x*_%2 =-，)有 l im 左 4 =/“，)只要*-=(x*-xk)-2/(x*)J 8|/|2/(x*)/(炉)工0就 有p 2.重根是线性收敛的。跖(1)牛顿法要求初值充分接近根以保证局部收敛性。(2)牛顿迭代法的主要优点是收敛较快，是平方收敛的缺点是公式中需要求Ax)的导数。若兀C)比较复杂，则使用牛顿公式就大为不便。弦截法针对问题卜重根问题/(%)=(x X*)q(x)问题 1:若/*(x*)=0,N ew to n?s Meth o d 是否仍收敛？K1:有局部收敛性，但 重 数 n越高，收敛
35、越慢。问题2:如何加速重根的收敛？K2:将 求 f 的重根转化为求另一函数的单根。令(x)=栗 则/的 重 根=的单根。下山法：原理：若 由 X*得 到 的 不 能 使 1/1 减小，则 在Xk和 X H1 之间找一个更好的点4+1,使得|/(/+1)|c 0,(左-8)2|x -xk 1第6幸解帝版台方程/,定义M -f (x”)-z 理论上可以证明：只要函数f(x,y)适当光滑一关于y 满足李普希兹(L i p s ch i tz)|7(%)=为条件I/(x j)-/(x,y)区工I y -歹|则初值问题的解存在唯一。2、两种斛一 般 解(解析解 产 双)|在X=Xi处的精确值.对一些典型
36、的微分方程(可分离变量方程，一阶线性方程等等)，有可能找出它们的一般解表达式，然后用初始条件确定表达式中的任意常数，这样解即能确定。故解为产V20)=0数值解(近似解):口一般解y=y(x)在 x=Xj处的近似值.山于在实用上对初值问题，一般是要求得到解在若干点上满足规定精确度的近似值匕，或者是得到一个满足精确度要求的便于计算的近似表达式。故常微分方程的数值解就是求出在若干点上解的近似值。定义：指在由初始点刖开始的若干离散的X 值处，即对劭4 1 必 与，求出准确值式为做必),，的近似值H，h，M，2，为2、三种照值斛放用差商代替导数口2”(D)h*%=(%)i =0,l,2 y n=yn-i
37、+h f (x0+(n-l)h,yn-i)2、五钟世值方做、使用泰勒公式在微分方程y=f(x,力中，是x及y(x)的函数.由于精确值了(广方)在/FO处的泰勒展式为h2y(x+h)=y(x)+hy x)+y (x)+3 (x)+/h4)(x)+f z+1=yi+hf(xi,yi)V o =X o)i =0,l,2 ,h2 hp(p)K+1=+7 7 +-+KP2!pl注：应用泰勒公式求数值解，从形式上看简单，其实具体构造这种公式往往是相当困难的，因为它需要提供导数值，户”.当阶数提高时，求导过程可能很复杂，因此泰勒公式通常不直接使用，但可以用它来启发思路。使用对于微分方程y =f(%y)两边求
38、及到rx数值X的定积分J心+1)-依)=J*/(/(/)龙积分 乃=1 f(x,y(x)dxJx0 ax J xQ的方 七+1 xi r f(丫 v(丫(本矩形)法rXy(x)-y(x0)=J f(t,y(t)dtV乂+1=匕+(玉，乂)y0=y(x()，=o,i,2 Jv(x,+i)-y(x,)=*/(/,y(/)d/(梯形)J xiK-YJ、0 ./1%，VIL力十/1%+，入i+l Jh5+1 =B +5 /(X，乂)+/(Xl，乂+1)在 假 设 =/(*)，即 第i步计算是精确的前提下，考虑的截断误差自“=y(*Q-%”称为局部截断误差欧拉公式简单；精度低向前差商近似导数凹+1(4匕
39、)(z =0,1)RM =y(xM)-yM=y(xj+加(菁)+冬/(苍)+0(/)-y,.+hf(x”y )=4/(X,.)+O(A3)欧拉法具有1阶精度隐式的欧拉公式稳定性最好：向后差商近似导数B+1 =+/(玉+|,匕+|)(z =0,，一 1)K+i=歹(%+1)-%i=-9 /U)+。曲)隐式欧拉公式具有1阶精度。精度低，计算量大梯形公式精度提高计算量大乂+1 =hX+-f(xi,yi)+%)(z=0,.,w-l)的确有局部截断误差4=MX；+J-NM=O(3)即梯形公式 具 有 2阶精度，比欧拉方法有了进步。但注意到该公式是隐式公式，计算时不得不用到迭代法，其迭代收敛性与欧拉公式相似。中点欧拉公式计算量大多一个初值，可能影响精度B+i=凹 一1+2/(七,乂)z=1,.1力 34+1 =y(xi+)-yM=y y (xj=0(3)即中点公式具有2阶精度需要2个初值为和,来启动递推过程，这样的算法称为双步法而前面的三种算法都是单步法改进的欧拉公式=L +八 /(*,，y,)y,+,=九 +:/(“，)+/(乙+,，无*,)】乂+i =必 +，/(演，必)+/(0 1，M +/?/(X”B)(z =0,.1)此法亦称为预测-校正法。可以证明该算法具有2阶精度，同时可以看到它是个单步递推格式，比隐式公式的迭代求解过程简单。