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1、高中高考数学易错易混易忘题分类汇总及解析“会而不对，对而不全”一直以来成为制约学生数学成绩提高的重要因素，成为学生挥之不去的痛，如何解决这个问题对决定学生的高考成败起着至关重要的作用。本文结合笔者的多年高三教学经验精心挑选学生在考试中常见的6 6个易错、易混、易忘典型题目，这些问题也是高考中的热点和重点，做到力避偏、怪、难,进行精彩剖析并配以近儿年的高考试题作为相应练习，一方面让你明确这样的问题在高考中确实存在，另一方面通过作针对性练习帮你识破命题者精心设计的陷阱，以达到授人以渔的目的，助你在高考中乘风破浪，实现自已的理想报负。【易错 点1】忽视空集是任何非空集合的子集导致思维不全面。例1、设
2、4=k 1炉8x+15=0b8=xlax _ 1 =0,若 神 =5,求实数a组成的集合的子集有多少个？【易错点分析】此题由条件4口6=6易知B q A,由于空集是任何非空集合的子集，但在解题中极易忽略这种特殊情况而造成求解满足条件的a值产生漏解现象。解析：集合A化简得A=3,5,由A n8=8知8工力故（I）当8 时 一，即方程欧-1 =0无解，此 时a=o符合已知条件（H）当6 7。时 一，即方程公-1 =0的解为3或5,代入得”,或 综 上 满 足 条 件 的a组成的3 5集合为尼4，故其子集共有2=8个。【知识点归类点拔】(1)在应用条件AUB=B=AGB=A=A Bi|时，要树立起分
3、类讨论的数学思想，将集合A是空集中的情况优先进|行讨论.:(2)在解答集合问题时一，要注意集合的性质“确定性、无序性、互J 异性”特别是互异性对集合元素的限制。有时需要进行检验求解的结：果是满足集合中元素的这个性质，此外，解题过程中要注意集合语言|(数学语言)和自然语言之间的转化如：A =(x,y)l x 2 +y2=4,|8 =(x,y)l(x-3)2+(y-4)2 =产,其中厂()，若 AfU求 r 的取值范围。|将集合所表达的数学语言向自然语言进行转化就是：集合A表示以原j 点为圆心以2的半径的圆，集合B表 示 以(3,4)为圆心，以 r为半|径的圆，当两圆无公共点即两圆相离或内含时;求
4、半径r的取值范围。J 思维马上就可利用两圆的位置关系来解答。此外如不等式的解集等也:要注意集合语言的应用。【练 1 已知集合 A =x I x?+4 x =0、S=I x*2+2(a +l)x +a2 1 =O|?【易错点2 求解函数值域或单调区间易忽视定义域优先的原则。2例 2、已知(X +2)?+Y =l,求V+y 2 的取值范围【易错点分析】此题学生很容易只是利用消元的思路将问题转化为关2于 X的函数最值求解，但极易忽略X、y 满足(X+2)2+?=I这个条件中的两个变量的约束关系而造成定义域范围的扩大。若B A,则实数a的取值范围是。答案：a =1 或。-1。2 2解析：由于(x +2
5、 y+q=i得(x+2)2=l-二 W l,.-3 W x W T 从而x2+y2=-3 x-1 6 x-1 2=+-因此当x=-l 时x?+y2 有最小值1,当x=X 时，x?+y2 有最大值军。3 3 3故 x?+y2 的取值范围是 1,g；【知识点归类点拔】事实上我们可以从解析几何的角度来理解条件(x +2+匕=1 对 x、y 的限制，显然方程表示以(-2,0)为中心的椭：v 7 4:圆，则易知-3 W x W T,-2 y 2o此外本题还可通过三角换元转化j 为三角最值求解。2 2【练 2】(0 5 高考重庆卷)若动点(x,y)在曲线?+%=1。0)上变化，则L+2 y的最大值为()仇
6、 2(.2+4(0 /?4)、+4(0 i)4答案：Aj【易错点3】求解函数的反函数易漏掉确定原函数的值域即反函数的|定义域。例3、力=七 二 是 R 上的奇函数，(1)求 a的 值(2)求的反函数广【易错点分析】求解已知函数的反函数时，易忽略求解反函数的定义域即原函数的值域而出错。解析：(1)利用/(x)+/(-x)=O (或/=0)求得a=L(2)由 a =l 即=设 y=/(x),贝 Ij 2(y)=l +y 由于 yw l 故2 =户，x =l o g 2 而/(X)=|T=1-Y(-1,1)所以1 y z 十1/十il+.r/(x)=l o g j1 (-1 X 1)1知识点归类点拔
7、】(1)在求解函数的反函数时，一定要通过确定原iI函数的值域即反函数的定义域在反函数的解析式后表明(若反函数的:定义域为R可省略)。|(2)应用广9)=。=/可省略求反函数的步骤，直接利用原函j数求解但应注意其自变量和函数值要互换。【练3】(2 004全国理)函数X)=H T +1(XN1)的反函数是()A、y =x2-2 x +2(x 1)C、y =x2-2 x(x y =x2-2 x(x 1)答案：B【易错点4】求反函数与反函数值错位例4、已知函数x)=E，函数y=g(x)的图像与=广 -1)的图象关于直线y=x对称，则y=g(x)的解析式为()A、g(x)=B、g(x)=1 C、g(x)
8、=D、g(x)=【易错点分析】解答本题时易由y=g(x)与y=尸(x-l)互为反函数，而认为y=广,(x-1)的反函数是y=/(x-1)则y=g(x)=/(x-l)=1 而错选 Aol +(x-l)X解析：由“x)=t 2得/(x)=p从而1 +x 2+x=尸(1)=亨整#再求 1)的反函数得8(上了2 +(-1)1 +x 1 +x正确答案：B；【知识点分类点拔】函数y=/T(i)与函数y=x 1)并不互为反函:数，他只是表示/-(X)中x用xT替代后的反函数值。这是因为由求;反函数的过程来看：设y=/(x-l)则尸(y)=x-1,：了 =尸3 +1再将X、y互换即得y=/(x-1)的反函数为
9、y=尸(x)+l,:故 =/(x-l)的反函数不是y=f (x-1),因此在今后求解此题问题时!一定要谨慎。【练4】(2 004高考福建卷)已知函数y=l o g 2 X的反函数是y=(x),则函数y=(x)的图象是()【易错点5 判断函数的奇偶性忽视函数具有奇偶性的必要条闲莞|义域关于原点对称。例5、判断函数/(幻=旦曰的奇偶性。x-2-2【易错点分析】此题常犯的错误是不考虑定义域，而按如下步骤求解：/(-X)=吗?W /(X)从而得出函数/(X)为非奇非偶函数的错误结尤 +2 2论。1 /A解析：由函数的解析式知X满 足：一二即函数的定义域为小-2卜2(7,O)U(O,1)定义域关于原点对
10、称，在定义域下同=业之易证 X T)=_/(X)即函数为奇函数。I【知识点归类点拔】(1)函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶iI性的必要但不充分条件，因此在判断函数的奇偶性时一定要先研究函1数的定义域。I(2)函数“X)具有奇偶性，则x)=/(-x)或x)=-/(-X)是对定义I域内X的恒等式。常常利用这一点求解函数中字母参数的值。【练5】判断下列函数的奇偶性：京7+门2小)=(1)后4)=署 詈 黑答案：既是奇函数又是偶函数非奇非偶函数非奇非偶函数【易错点6】易忘原函数和反函数的单调性和奇偶性的关系。从而导致解题过程繁锁。例6、函数/(x)=log2罚卜 g)的反函数为尸(X),证明广(
11、X)是奇函数且在其定义域上是增函数。【思维分析】可求/T(x)的表达式，再证明。若注意到/T(x)与“X)具有相同的单调性和奇偶性，只需研究原函数“X)的单调性和奇偶性即可;-2x 2x+2x-解析：/(-X)=log2=log2=-log2=-/(x),故/(x)为奇函数从而尸（x）为奇函数。又令f=l-5T在1 8,-和（巾）上均为增函数且y=10 g；为增函数，故“X）在1 8,-|和（；,+8）上分别为增函数。故尸（X）分别在（0,+8）和（-0 0,0）上分别为增函数。1知识点归类点拔】对于反函数知识有如下重要结论：（1）定义域上ii的单调函数必有反函数。（2）奇函数的反函数也是奇函
12、数且原函数和i反函数具有相同的单调性。（3）定义域为非单元素的偶函数不存在反:函数。（4）周期函数不存在反函数（5）原函数的定义域和值域和反，函数的定义域和值域到换。即 尸=a o f（a）=b.【练6】（1）（9 9全国高考题）已知/（x）=q二，则如下结论正确的 是（）A、/（x）是奇函数且为增函数 B、/（x）是奇函数且为减函数C、x）是偶函数且为增函数 D、“X）是偶函数且为减函数答案：A（2）（20 0 5天津卷）设尸（x）是函数”x）=g（a，-aT）（1）的反函数，则2 2 使广（X）1成立的X的取值范围为（）A、,+8）B、（-8,今一）C、（-,a）D、（a,+co）2a答
13、案：A（a I时，/（x）单 调 增 函 数，所 以【易错点7】证明或判断函数的单调性要从定义出发，注意步骤的规范性及树立定义域优先的原则。例7、试判断函数x）=ax+2（a0力0）的单调性并给出证明。X【易错点分析】在解答题中证明或判断函数的单调性必须依据函数的性质解答。特别注意定义X G D,x2 e D/（x,）/（x2）（/（x,）x2 0 ,不）-）=（%-）丝&心 由于玉-0故当不Jg+oo时XX2（V。/（x,）-/（x2）0,此时函数“X）在（R+oo）上增函数，同理可证函数“X）在卜，器）上为减函数。又由于函数为奇函数，故函数在卜后,0）为减函数，在 卜，书 为 增 函 数。
14、综上所述：函数“X）在卜8,-g|和（R+T上分别为增函数，在（。，用和心。上分别为减函数.【知识归类点拔】（1）函数的单调性广泛应用于比较大小、解不等式、求参数的范围、最值等问题中，应引起足够重视。（2）单 调 性 的 定 义 等 价 于 如 下 形 式：“X）在 a,句上是增函数o心 匕90,“X）在小句上是减函数o以 上90/0）是一种重要的函数模型，要引起重视并注:I意应用。但注意本题中不能说“X）在1-8,-哙）u（行+8）上为增函|数，在（0,用，-和）上为减函数，在叙述函数的单调区间时不能在|I多个单调区间之间添加符号“U ”和“或”，I【练7（1）（潍坊市统考题）力=+上三（。
15、0）（1）用单调性ax的定义判断函数“X）在（0,+8）上的单调性。（2）设“X）在0 xWl的最小值为g（a）,求y=g（a）的解析式。答 案：（1）函数在（5+oo）为增函数在（0,J为减函数。（2）y=g（）=j a（0 a o+巴为R H l勺偶函数。（1）求a的 值（2）试判断函数在（0,+oo）上的单调性并给出证明。答案：（1）a=l （2）函数在（0,+oo）上为增函数（证明略）；【易错点8 在解题中误将必要条件作充分条件或将既不充分与不必；要条件误作充要条件使用，导致错误结论。例8、（20 0 4全国高考卷）已知函数x）=ax3+3x2_x+l上是减函数，求a的取值范围。【易错
16、点分析】:（工）0卜（7/）是“X）在（a内单调递减的充分不必要条件，在解题过程中易误作是充要条件，如 x）=f 3在R上递减，但r(x)=-32 0。解析：求函数的导数:(x)=3 a/+6 x l (1)当/(x)0时 一，“X)是减函数，贝U /(x)=3 a x?+6 x l 0(x e R)故 ；:解得。-3时 一，在R上存在一个区间在其上有_f(x)0,所以当a -3时，函数/(x)不是减函数，综上，所求a的取值范围是(-8,-3。【知识归类点拔】若函数/(x)可导，其导数与函数的单调性的关系现以增函数为例来说明：/(x)0与/(x)为增函数的关系：1(x)0能推出“X)为增函数，
17、但反之不一定。如函数/()=/在(-8,+8)上单调递增，但八x)N O ,/(x)0是f(x)为增函数的充分不必要条件。尸(X)*0时,f(x)0与f(x)为增函数的关系:若将f(x)=0的根作为分界点，因 为 规 定 即 抠 去 了 分 界 点，此时/(X)为增函数，就一定有尸(x)0 .,.当_T(x)w O时，_f(x)0 Q/(x)为增函数的充分必要条件。(x)N 0与 X)为增函数的关系：x)为增函数，一定可以推出广20,但反之不一定，闪为:(x)N 0,即为:(x)0或/(x)=0当函数在某个区间内恒有f(x)=0，则/(x)为常数，函数不具有单调性。.F(X)NO是/(X)为增
18、函数的必要不充分条件。函数的单调性是函数一条重要性质，也是高中阶段研究的重点，我们一定要把握好以上三个关系，用导数判断好函数的单调性。因此新教材为解决单调区间的端点问题，都一律用开区间作为单调区间，避免讨论以上问题，也简化了问题。但在实际应用中还会遇到端点的讨论问题，要谨慎处理。因此本题在第一步后再对 =-3利”-3进行了讨论，确保其充要性。在解题中误将必要条件作充分条件或将既不充分与不必要条件误作充要条件使用而导致的错误还很多，这需要同学们在学习过程中注意思维的严密性。【练8】(1)(2 0 0 3新课程)函数y u V+A x +c (x e(0,+o o)是是单调函数的充要条件是OA、b
19、0 B、b0 D、b 0 ,b 0 ,a+b=l,求(a+,)2+(b+1)2的最小值。a b错 解：(a+-)2+(b+-)2=a2+b2+二+4 2 2 a b+4 4 Jab +4=8a b a b ab v ah.(a+1)2+(b+D 2的最小值是 8a h【易错点分析】上面的解答中，两次用到了基本不等式a 2+b2 2 2 a b,第一次等号成立的条件是a=b=1,第二次等号成立的条件2a b=-L,显然，这两个条件是不能同时成立的。因此，8不是最ab小值。解析：原式:a2+b2+4+Jr+4=(a2+b2)+(+J-)+4=(a+b)2-2 a b +a2 b2 a2 b2(-+
20、-)2-+4 =(l-2 a b)(l+4 v)+4 *a b ()=1 得：a b ab a2b2 2 41-2 a b2 l-工=,且 上 2 16,1+221 7；.原式2工乂17+4=竺2 2 a2 b2 a2 b 2 2(当且仅当a=b=时，等号成立)+工产+8+工尸的最小值是2 a b2 5-o2【知识归类点拔】在应用重要不等式求解最值时，要注意它的三个前提条件缺一不可即“一正、二定、三相等”，在解题中容易忽略验证取提最值时的使等号成立的变量的值是否在其定义域限制范围内。j【练 9】(9 7 全国卷文2 2 理 2 2)甲、乙两地相距s k m ,汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得
21、超过c k m/h ,已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v(k m/h)的平方成正比，比例系数为b;固定部分为a 元。(1)把全程运输成本y (元)表示为速度v (k m/h)的函数，并指出这个函数的定义域；(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？答案为：y =*+a)(0 c时，行驶速度丫气。【易错点1 0】在涉及指对型函数的单调性有关问题时，没有根据性质进行分类讨论的意识和易忽略对数函数的真数的限制条件。例1 0、是否存在实数2使函数/（刈=地/-，在2,4 上是增函数？若存在求出a的值，若不存在，说明理由。【易错点分析】本题主要考查
22、对数函数的单调性及复合函数的单调性判断方法，在解题过程中易忽略对数函数的真数大于零这个限制条件而导致a的范围扩大。解析：函 数 是 由。（x）=a/-x和y=l o g产）复合而成的，根据复合函 数 的 单 调 性 的 判 断 方 法 当a数 时,若 使/3=1呜。在2,4 上是 增 函 数，则“。）=以2-在 2,4 上 是 增 函 数 且 大 于 零。故有 l。（2）当21时若使/（力=陛严-在2,4 上是。=42 0 4增函数，则0卜卜一一了在已可上是减函数且大于零/2。一 0（4）=1 6 a-4 0不等式组无解。综上所述存在实数2 1使得函数*）=地尸-，在2,4 上是增函数i【知识
23、归类点拔】要熟练掌握常用初等函数的单调性如：一次函数的;:单调性取决于一次项系数的符号，二次函数的单调性决定于二次项系|:数的符号及对称轴的位置，指数函数、对数函数的单调性决定于其底|；数 的 范 围（大 于1还 是 小 于1）,特别在解决涉及指、对复合函数的:|单调性问题时要树立分类讨论的数学思想（对数型函数还要注意定义!j域的限制）。|【练1 0 （1）（黄岗三月分统考变式题）设a0,且a w l试求函数y=l o g 0 4 +3 x-f的的单调区间。答案：当0。1,函数在J l,m上单调递减在艮4 上单调递增当空10,1）在区间（-；,0）内单调递增，贝底的取值范围是（）A.1,1）B
24、、1）4 4C、（*+8）D、（1,1）答案：B.（记g（x）=/一 吐 工,则g x）=3 一&当 1时,要使得“X）是增函数,则需有g x）0恒成立，所以“3信）=|,矛盾.排除C、D当0 ”1时，要使“X）是函数，则需有g 1 X）31=；.排除A）【易错点1 1】用换元法解题时，易忽略换元前后的等价性.例1 1、已知sinx +siny =求siny-cosz%的最大值【易错点分析】此题学生都能通过条件$由成=；将问题转化为关于sinx的函数，进而利用换元的思想令仁sinx将问题变为关于t的二次函数最值求解。但极易忽略换元前后变量的等价性而造成错解，解 析：由已知条件有si”=；-si
25、nx且siny =；-sinx e-l,l（结合2sinx e -1,1 ）得 sinx 1 ,而 2 ,2 、-sin y -cos2 x-sinx -cos2 x =sin2 x-sinx 令/=sinx r 0,0 0 0 求 f(x)=2 a(sinx+cosx)sinx cosx 2 a 2 的最大值和最小值。答 案:f(x)的 最 小 值 为 一 2 a 2 -2&a -g,最大值为1 V2-(0 6!2 2不等式Qax+件 解集是(4,b),_，b =_o一 元 二36-1-8-翦答(提示令换元=，原不等式变为关于t 的次不等式的解集为(2,旬)【易错点1 2】已知S“求a,时
26、一，易忽略n=l的情况.例 1 2、(2 0 0 5 高考北京卷)数歹！J 4 前 n 项和s“且4=1,。向=$.。(1)求外,%，4的值及数列 可 的通项公式。【易错点分析】此题在应用s “与的关系时误认为4=%3对于任意n值都成立，忽略了对n=l的情况的验证。易得出数列 ,为等比数列的错误结论。解析:易求得出=!,%=，4 由%=1，牝+1 =9.得。”=3 1(2 2)故%+i 一%=一 =g%(N 2)得%=(之 2)又=1 ,外=；故该数1(=1)列从第二项开始为等比数列故%=龄“4 丫 2 E。【知 识 点 归 类 点 拔】对 于 数 列。,与S,之 间 有 如 下 关 系：%=
27、卜(=1),、利用两者之间的关系可以已知S“求。但注意只有在当外适合。“=%-2 1(2 2)时两者才可以合并否则要写分段函数的形式。【练1 2(20 0 4全 国 理)已 知 数 列 满 足ax=l,a =t?|+2a2+3 a,+.+(n-l)a,(_l(n 2)则 数 列 a“的 通 项为。答案：(将条件右端视为数列 叫的前n-1项和利用公式法解答即可)1(=1)I K N 4【易错点13】利用函数知识求解数列的最大项及前n项和最大值时易忽略其定义域限制是正整数集或其子集(从1开始)例13、等差数列 4的首项 0,前n项和,当 机 时，%=s,。问n为何值时s“最大？【易错点分析】等差数
28、列的前n项和是关于n的二次函数，可将问题转化为求解关于n的二次函数的最大值，但易忘记此二次函数的定义域为正整数集这个限制条件。解析：由题意知5.=/（）=卬+1=9 2+，弓）止匕函数是以n为变量的二次函数，因为生0,当株z时，%=4故d 0即此二次函数开口向下，故由/）=血）得当方=号 时“X）取得最大值，但由于e N+,故若/+加为偶数，当=等 时，.为 最大。当/+机为奇数时，当 =/+；1时4最大。；【知识点归类点拔】数列的通项公式及前n项和公式都可视为定义域:为正整数集或其子集（从1开始）上的函数，因此在解题过程中要树j立函数思想及观点应用函数知识解决问题。特别的等差数列的前n项|和
29、公式是关于n的二次函数且没有常数项，反之满足形如,=助2+加所对应的数列也必然是等差数列的前n项和。此时由1=即+8知数列n1i中的点,号）是同一直线上，这也是一个很重要的结论。此外形如前J n项和,=仅-c所对应的数列必为一等比数列的前n项和。【练13（2 001全国高考题）设%是等差数列，s,是前n项和，且$5 7，则下列结论错误的是（）A、d s5D、1和X均为s”的最大值。答案：C （提示利用二次函数的知识得等差数列前n项和关于n的二次函数的对称轴再结合单调性解答）【易 错 点 14 解答数列问题时没有结合等差、等比数列的性质解答使解题思维受阻或解答过程繁琐。例 14、已知关于的方程/
30、-3 了 +。=0和/一3 +。=0 的四个根组成首项为3的等差数列，求 的值。4【思维分析】注意到两方程的两根之和相等这个隐含条件，结合等差数列的性质明确等差数列中的项是如何排列的。解析：不妨设3是方程V 3 x +a=0 的根，由于两方程的两根之和相4等故由等差数列的性质知方程f 3 x +a =0 的另一根是此等差数列的第四项，而 方 程 3 x +b =0 的两根是等差数列的中间两项，根据等差数列知识易知此等差数列为：3,2 2,2 故a =2,6 =至从而a +底 卫。4 4,4 4 16 16 8【知识点归类点拔】等差数列和等比数列的性质是数列知识的一个重要方面，有解题中充分运用数
31、列的性质往往起到事半功倍的效果。例如对于笠差数列 4 ，若+m=P+q，则%+%=%+/对于等比数列 a.,若”+?=+v,则%q=a“.,；若数列”是等比数列，S“是其 前 n项的和，壮N*,那么s”，$2*-sk,s3k-s2k成等比数列；若数列%是等差数列，S“是其前n项的和，k e N”,那么Sk,S2k-Sk,Sik-S2k成等差数列等性质要熟练和灵活应用。【练 14(2 003 全国理天津理)已知 方 程 2 x +/=0和2 x +=0的四个根组成一个首项为:的等差数列，则帆-|=()A、1 B、!答案：C【易错点1 5】用等比数列求和公式求和时，易忽略公比q=l的情况例1 5、
32、数列%中，4=1,%=2,数 列 是 公 比 为q (q0)的等比数列。(I)求使a“%+|+an+lan+2%+2%+3成立的夕的取值范围；(I I)求数列%的前2 项的和 2“.【易错点分析】对于等比数列的前n项和易忽略公比q=l的特殊情况,造成概念性错误。再者学生没有从定义出发研究条件数列%用 是公比为4(叱0)的等比数列得到数列奇数项和偶数项成等比数列而找不到解题突破口。使思维受阻。解：(I),数列%q+J是公比为q的等比数列，%+|%+2 =4 4+U，an+2an+3=。“+闯,山%+|+%+1%+2%+2%+3得%a”+i+%+闯%+闯2 n 1 +4 /，即r-q-l0),解得
33、(H)由数列他,/川 是公比为q的等比数歹U，得生四y=4 口吐=4,%氏+1%这表明数列%的所有奇数项成等比数列，所有偶数项成等比数列，且 公 比 都 是q ,又q=1 ,a2=2,.当g H1时，S 2n=%+。2+3 +。4 +,+。2”一1 +(。+4,+%+*+*)+%+6 +,+%)=。(1-/)+/(1-/)=3(1-/),当g =i 时，-q -q -qS2n=at+a2+a3+a4+1 +a2_,+a2n=(6Z|+。3 +*,+)+(2+。4 +6 +,*+。2”)=(1+1 +1 +.+1)+(2+2+2+.+2)=3 .【知识点归类点拔】本题中拆成的两个数列都是等比数列
34、，其中:是解题的关键，这种给出数列的形式值得关注。另外，不要j%;以为奇数项、偶数项都成等比数列，且公比相等，就是整个数列成等;比数列，解题时要慎重，写出数列的前几项进行观察就得出正确结论.；对等比数列的求和一定要注意其公比为1这种特殊情况。高考往往就1是在这里人为的设计陷阱使考生产生对现而不全的错误。【练15 (2 0 0 5高考全国卷一第一问)设等比数列.,的公比为q,前n项和s.0 (1)求q的取值范围。答案：(-l,O)U(O,+8)【易错 点16在数列求和中对求一等差数列与一等比数列的积构成的数列的前n项和不会采用错项相减法或解答结果不到位。例1 6、.(2 003北 京 理)已 知
35、 数 列 4是 等 差 数 列，且。=2,q+。2 +。3 =12(1)求数列%的通项公式(2)令勿=ax(xeR)求数列也 前项和的公式。【思维分析】本题根据条件确定数列储“的通项公式再由数列也 的通项公式分析可知数列出 是一个等差数列和一个等比数列构成的“差比数列”，可用错项相减的方法求和。解析：(1)易求得an-In(2)由(1)得=2 x 令s =2X+42+6/+.+2 x (I )贝！Jx s“=2+4/+.+2(-l)x +2x ”(I I )用(I )减 去(I I )(注意错过一位再相减)得(1 -力 s,=2x +2/+2d +2xn-2n x,+l 当2 x(l-xn)、
36、1,x 工 1 s”=-j-n x+i 当 x =1 时 s“=2+4 +6 +2 =(+1)综上可得：2 I当x w l s“=j-n x+l 当 x =1 时 s“=2+4+6+.+2”=(+1)【知识点归类点拔】一般情况下对于数列%有%=。也其中数列 4和也 分别为等差数列和等比数列，则其前n项和可通过在原数列的每一项的基础上都乘上等比数列的公比再错过一项相减的方法来求解，实际上课本上等比数列的求和公式就是这种情况的特例。【练1 6 (2 0 0 5全国卷一 理)已知un=a+an-h+an-2b2+.+ab-+/e N,a 0力 0)当 a =/时，求数列 的前n项和s“答案：时,=e
37、+-e+2),+2+2 a =.(1-a)2 2【易错 点17】不能根据数列的通项的特点寻找相应的求和方法，在应用裂项求和方法时对裂项后抵消项的规律不清，导致多项或少项。例17、求s“=+!+-!-.1 1 +2 1 +2+3 1 +2+3 +”【易错点分析】本题解答时一方面若不从通项入手分析各项的特点就很难找到解题突破口，其次在裂项抵消中间项的过程中，对消去哪些项剩余哪些项规律不清而导致解题失误。解：由等差数列的前 项和公式得1 +2 +3+=返 由，2i =2（匚），取1，2,3,，就分别得到1 +2 +3H-n n n+1）n +11 1 1 .c 1 11 11 1 1T T T T
38、T T I T r ,=2（1-5）+2份y+2（/+2（厂 r）=2（1-.+1 +1【知识归类点拔】“裂项法”有两个特点，一是每个分式的分子相同;二是每项的分母都是两个数（也可三个或更多）相乘，且这两个数的第一个数是前一项的第二个数，如果不具备这些特点，就要进行转化。同是要明确消项的规律一般情况下剩余项是前后对称的。常见的变形题除本题外，还有其它形式,例如：求 J-+7，I2+2 22+4 32+6 n2+2n方法还是抓通项，即？一=u =：d-二），问题会很容易解决。另外还有一些类 似“裂项法”的题目，如：求其前项和，可通过分母有理化的方法解决。数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错
39、位相减法、倒序相加法等。【练1 7 （2 0 0 5济南统考）求 和S=a+里+Q+-+22-1 42-1 62-1(2 1+1(2 产 一1答案：S,=+1 +1 +，I 3 3 5 5 7 2-11 _ 2-=+-2n 4-1 2 +1【易 错 点1 8】易由特殊性代替一般性误将必要条件当做充分条件或充要条件使用，缺乏严谨的逻辑思维。_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _例1 8、（2 0 0 4年高考数学江苏卷，2 0）设无穷等差数列 a“的前n项和 为S.3(I)若首项=5，公差d =i,求满足j=(s k)2 的正整数k；(H)求所有的无穷等差数列
40、 4 ,使得对于一切正整数k都有5 尸=(S)2 成立.【易错点分析】本小题主要考查数列的基本知识，以及运用数学知识分析和解决问题的能力.学生在解第(H)时极易根据条件“对于一切正整数k 都有=区)2成立”这句话将k 取两个特殊值确定出等差数列的首项和公差，但没有认识到求解出的等差数列仅是对已知条件成立的必要条件，但不是条件成立的充分条件。还应进一步的由特殊到一般。解：(I)当 q=3,d=l 时 S”叫=2 1 2 2 2 2由 =(S*)2,得 lk4+k2=(k2+k)2 即 =O 又k H 0,所以k =4 .(II)设数列 aj 的公差为d,则在L=(S,)2 中分别取k=l,2,得
41、)2 即卜=砧(1)=(S2)2 4 4=(2/+d)2I z z y由(1)得%=0 或4 =1.当q =0 时，代入得 =0 或(/=6,彳 f a,-0,d-0,则%=0,S=0,从而S=(Sk 产成乂，若为 =0,4=6,则%=6(1),由S3=18,=324,S“=216知比 丁尸，故所得数列不符合题意.当q=1时，代入得4+64=(2 +斤,解 得 /=0或4=2=l,d=0,贝g=1,5“=,从 而 =(耳)2 成 立；7 r%=1,=2,则%=2n-1,5 =I +3+F (2”-1)=/,从 而 S=(5“了 成 立.综上，共有3 个满足条件的无穷等差数列：2 :a=0,即
42、0,0,0,;a :a=l,即 1,1,1,;:H 0=2 n l,即 ,3,5,_ _ “%=区)2 成立.”就等价于关于k的方程的解是一切正整数又转化为关于k的方程的各项系数同时为零，于是本题也可采用这程等价转化的思想解答，这样做就能避免因忽视充分性的检验而犯下的逻辑错误。在上述解法中一定要注意这种特殊与一般的关系。【臻 一，8】7 1 5 7 5 0 0 0 至国)一巨如薮列而 7 箕币1 1 2 1；3 匚1 薮列 C,M-Pg 为等比数歹U求常数P答案：p=2 或 p=3 (提示可令n=l,2,3 根据等比中项的性质建立关于P的方程，再说明P值对任意自然数n都成立）【易错点1 9】用
43、判别式判定方程解的个数（或交点的个数）时，易忽略讨论二次项的系数是否为0 .尤其是直线与圆锥曲线相交时更易忽略.例1 9、已 知 双 曲 线 2=4,直线y =k（x l）,讨论直线与双曲线公共点的个数【易错点分析】讨论直线与曲线的位置关系，一般将直线与曲线的方程联立，组成方程组，方程组有儿解，则直线与曲线就有儿个交点,但在消元后转化为关于x或y的方程后，易忽视对方程的种类进行讨论而主观的误认为方程就是二次方程只利用判别式解答。解析：联立方程组消去y得到（12卜2+2/2 _4 =0X =4当1-公=0时，即4=1,方程为关于x的一次方程，此时方程组只有解，即直线与双曲线只有一个交点。（2）当
44、 J时即A =4（4-3 fc2）=0k=*方程组只有一解，故直线与双曲线有一个交点（3）当、时，方程组有两个交点此时-述女逋且工1。4=4（4-3小）0 3 3 当!I 时 即 心 殛 或 亚时方程组无解止匕时直 =4（4-3 公）0 3 3线与双曲线无交点。综上知当女=1或女=半时直线与双曲线只有一个交点，当-迫 k 亚 且k x l。时直线与双曲线有两个交点，当人 述 或3 3 3k-平时方程组无解此时直线与双曲线无交点。|【知识点归类点拔】判断直线与双曲线的位置关系有两种方法：一种；代数方法即判断方程组解的个数对应于直线与双曲线的交点个数；另一种方法借助于渐进线的性质利用数形结合的方法
45、解答，并且这；两种方法的对应关系如下上题中的第一种情况对应于直线与双曲|线的渐进线平行，此时叫做直线与双曲线相交但只有一个公共点，；通过这一点也说明直线与双曲线只有一个公共点是直线与双曲线；相切的必要但不充分条件。第二种情况对应于直线与双曲线相切。通过本题可以加深体会这种数与形的统一。32【练1 9（1）（2 0 0 5重庆卷）已知椭圆q的方程为亍+/=1,双曲线c2的左右焦点分别为c,的左右顶点，而c2的左右顶点分别是q的左右焦点。（1）求双曲线的方程（2）若直线/:），=履+0与椭圆q及双曲线,?恒有两个不同的交点，且与0 2的两个交点A和B满足IOAOB6,其中。为原点，求k的取值范围。
46、答案：（1）二-3 （2）已知双曲线C：,过点P （1,1）作直线1,使1与C有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线1共 有 一 条。答案：4条（可知L2存在时，令 1:y T=k（x-l）代入/一=1 中整理有（4-k 2）x 2+2 k（k-l）x-（l-k2）-4=0,A当4-1?=0即k=2时,有一个公共点;当k W 2时,由 =0有女=2,有一个切点另：当k i不存在时，x=l也和曲线C有一个切2点.综上，共有4条满足条件的直线）【易错点2 0 易遗忘关于s in。和c os。齐次式的处理方法。例 2 0、已知 t an6 =V,求（1 ）cosO+sin。；（2）s i n?（9
47、-s i n 6.c os e+2 c os?。c os。一 s i n。的值.【思维分析】将式子转化为正切如利用l =s i n 2 a +c os 2 a可将（2）式分子分母除去s i n。即可。1 +s i n。解：(1)c os O +s i n。一 +蓊 _l +t a n e _l +.一?2万;c os 6+s i n 6 s i n 6 1 -t a n 1 一五c os。s i n2 0 -s i n 0 c os 0 +2 c os2 0 =s i n2 0 -s i n 0 c os 0 +2 c os2 0s i n2 0 +c os2 0s i n2 0 s i n
48、0=c os?。c os +=2-拒+2 _ 4 6s i n2 0 2 +1 3c os2 0 +【知识点归类点拔】利用齐次式的结构特点（如果不具备，通过构造的办法得到），进行弦、切互化，就会使解题过程简化。（1 =s i n2 r z +c os2 a=s ec2 a-t a n2 a=t a n a c ot a这些统称为1的代换）常 数“1”的种种代换有着广泛的应用.【练2 0】.（2 0 0 4年湖北卷理科）已知 6 sin2 a+sin a cos a-2 cos2 a=0,a G答案：.z tan a +sin 2 a+=-；I 3)1 +tan a 万,1,求$池(20+)的值
49、.可 化为6 tan2 a+tan a 2=0，式原【易错点2 1 解答数列应用题，审题不严易将有关数列的第n项与数列的前n项和混淆导致错误解答。例 2 1、如果能将一张厚度为0.0 5m m 的报纸对拆,再对拆.对拆50次后,报纸的厚度是多少?你相信这时报纸的厚度可以在地球和月球之间建一座桥吗？(已知地球与月球的距离约为4 x1 0 米)【易错点分析】对拆50 次后,报纸的厚度应理解一等比数列的第n 项,易误理解为是比等比数列的前n 项和。解析：对拆一次厚度增加为原来的一倍，设每次对拆厚度构成数列4 ,则数列4是 以 为=().0 5 1()3 米为首项，公比为2的等比数列。从而对拆50 次
50、后纸的厚度是此等比数列的第51 项，利用等比数列的通项公式易得a 5i=0.0 5X 1 0 :iX 250=5.63 X 1 O1 0,而地球和月球间的距离为4 X1 08 s in ,则tanatanB、a、都是第三象限角，若c o s a c o s ,贝（J sin asin/?C、a、都是第四象限角，若sinas i n ,则tanatanD、a、都是第一象限角，若cos a cos p 则 sin asin【易错点分析】学生在解答此题时易出现如下错误：（1）将象限角简单理解为锐角或钝角或270到360度之间的角。（2）思维转向利用三角函数的单调性，没有应用三角函数线比较两角三角函数