历年考研数学概率与统计真题总结.pdf-淘文阁

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1、2011考研必看：历年考研数学概率与统计真题总结目录第一章随机事件和概率 1第一节基本概念 11、概念网络图 12、重要公式和结论 1第二节重点考核点 6第三节常见题型 61、事件的运算和概率的性质 62、古典概型和几何概型 63、条件概率和乘法公式 74、全概和贝叶斯公式 75、独立性和伯努利概型 8第四节历年真题 9数学一：9数学三：10第二章随机变量及其分

2、布 13第一节基本概念 131、概念网络图 132、重要公式和结论 13第二节重点考核点 18第三节常见题型 181、常见分布 182、函数分布 20第四节历年真题 20数学一：20数学三：21第三章二维随机变量及其分布 24第一节基本概念 241、概念网络图 242、重要公式和结论 25第二节重点考核点 31第三节常见题型 311、二维随机变量联合分布函数 312、随机变量的独立性 3

3、23、简单函数的分布 33第四节历年真题 34数学一：34数学三：36第四章随机变量的数字特征 39第一节基本概念 391、概念网络图 392、重要公式和结论 39第二节重点考核点 43第三节常见题型 431、一维随机变量及其函数的数字特征 432、二维随机变量及其函数的数字特征 443、独立和不相关 454、应用题 46第四节历年真题 46数学一：46数学三：49第五章大数定律和

4、中心极限定理 53第一节基本概念 531、概念网络图 532、重要公式和结论 53第二节重点考核点 55第三节常见题型 551、大数定律 552、中心极限定理 55第四节历年真题 56数学一：56数学三：56第六章数理统计的基本概念 57第一节基本概念 571、概念网络图 572、重要公式和结论 57第二节重点考核点 59第三节常见题型 591、统计量的性质 592、统计量的分布 60第四

5、节历年真题 60数学一：60数学三：61第七章参数估计 63第一节基本概念 631、概念网络图 632、重要公式和结论 64第二节重点考核点 67第三节常见题型 671、矩估计和极大似然估计 672、估计量的优劣 683、区间估计 68第四节历年真题 69数学一：69数学三：70第八章假设检验 73第一节基本概念 731、概念网络图 732、重要公式和结论 73第二节重点考核点 74第三节常

6、见题型 751、单正态总体均值和方差的假设检验 752、两类错误 75第四节历年真题 76数学一：76数学三：76第一章随机事件和概率第一节基本概念 1、概念网络图 2、重要公式和结论(1)排列组合公式从 m个人中挑出 n 个人进行排列的可能数。从 m个人中挑出 n 个人进行组合的可能数。(2)加法和乘法原理加法原理(两种方法均能完成此事)：m+n某件事由两种方法来

7、完成，第一种方法可由 m种方法完成，第二种方法可由 n 种方法来完成，则这件事可由 m+n种方法来完成。乘法原理(两个步骤分别不能完成这件事)：mXn某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由 m种方法完成，第二个步骤可由 n 种方法来完成，则这件事可由 m X n种方法来完成。(3)一些常见排列重复排列和非重复排列(有序)对立事件(至少有一个)顺序问题(4)随机试验

8、和随机事件如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。试验的可能结果称为随机事件。(5)基本事件、样本空间和事件在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质：每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组

9、中的一个事件；任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用来表示。基本事件的全体，称为试验的样本空间，用表示。一个事件就是由中的部分点（基本事件）组成的集合。通常用大写字母 A,B,C,表示事件，它们是的子集。为必然事件，？为不可能事件。不可能事件（？）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必

10、然事件（Q）的概率为 1,而概率为 1 的事件也不一定是必然事件。（6）事件的关系与运算关系：如果事件 A 的组成部分也是事件 B 的组成部分，（A 发生必有事件 B 发生）：如果同时有，则称事件 A 与事件 B 等价，或称 A 等于 B：A二 B。A、B 中至少有一个发生的事件：AB,或者 A+B。属于 A 而不属于 B 的部分所构成的事件，称为 A 与 B 的差，记为 A-B,也可表示为 A-AB或者，它

11、表示 A 发生而 B 不发生的事件。A、B 同时发生：AB,或者 AB。AB=？，则表示 A 与 B 不可能同时发生，称事件 A 与事件 B 互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。-A称为事件 A 的逆事件，或称 A 的对立事件，记为。它表示 A不发生的事件。互斥未必对立。运算：结合率：A(BC)二(AB)C AU(BUC)=(AUB)UC分配率：(AB)UC=(AUC)D(BUG)(AUB)AC=(AC)U(BC)德摩根率：，(7)概率的公

12、理化定义设为样本空间，为事件，对每一个事件都有一个实数 P(A),若满足下列三个条件：1 0W P(A)W 1,2 P(Q)=13 对于两两互不相容的事件，有常称为可列(完全)可加性。则称 P(A)为事件的概率。(8)古典概型 1,2 o设任一事件，它是由组成的，则有 P(A)二二(9)几何概型若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀，同时样本空间中的每一个基

13、本事件可以使用一个有界区域来描述，则称此随机试验为几何概型。对任一事件 A,o 其中 L 为几何度量(长度、面积、体积)。(10)加法公式 P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)当 P(AB)=0 时,P(A+B)=P(A)+P(B)(11)减法公式 P(A-B)=P(A)-P(AB)当 BA 时,P(A-B)=P(A)-P(B)当 A二。时，P()二 1 一 P(B)(12)条件概率定义设 A、B 是两个事件，且 P(A)0,则称为事件 A 发生条件下，事件 B

14、发生的条件概率，记为。条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。例如 P(Q/B)=1P(/A)=1-P(B/A)(13)乘法公式乘法公式：更一般地,对事件 A1,A2,-An,若 P(A1A2An-1)0,则有(14)独立性两个事件的独立性设事件、满足，则称事件、是相互独立的。若事件、相互独立，且，则有若事件、相互独立，则可得到与、与、与也都相互独立。必然事件和不可能事件?与任何事

15、件都相互独立。?与任何事件都互斥。多个事件的独立性设 ABC是三个事件，如果满足两两独立的条件，P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)二 P(C)P(A)并且同时满足 P(ABC)=P(A)P(B)P(C)那么 A、B、C 相互独立。对于 n 个事件类似。(15)全概公式设事件满足 1两两互不相容，2,则有 O(16)贝叶斯公式设事件，及满足 1,，两两互不相容，0,1,2,2,则,i=1,2,n。此公式即

16、为贝叶斯公式。,通常叫先验概率。，（,通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了“由果朔因”的推断。（17）伯努利概型我们作了次试验，且满足*每次试验只有两种可能结果，发生或不发生；*次试验是重复进行的，即发生的概率每次均一样；*每次试验是独立的，即每次试验发生与否与其他次试验发生与否是互不影响的。这种试验称为伯努利概型，或

17、称为重伯努利试验。用表示每次试验发生的概率，则发生的概率为，用表示重伯努利试验中出现次的概率，9。例 11：有 5 个队伍参加了甲 A 联赛，两两之间进行循环赛两场,没有平局，试问总共输的场次是多少？例 1.2：到美利坚去，既可以乘飞机，也可以坐轮船，其中飞机有战斗机和民航，轮船有小鹰号和 Titanic号，问有多少种走法？例 1.3：到美利坚去，先乘飞机，后坐轮船

18、，其中飞机有战斗机和民航，轮船有小鹰号和Titanic号，问有多少种走法?例 1.4：10人中有 6 人是男性，问组成 4 人组，三男一女的组合数。例 1.5：两线段 MN和 PQ不相交，线段 MN上有 6 个点 A1,A2-,A6,线段 PQ上有 7 个点 B1,B2,B7O若将每一个 Ai和每一个 B j连成不作延长的线段 AiBj（i=1,2,6;尸 1,2,，7）,则由这些线段 AiBj相交而得到的交点（不包括 A1，A6,B1-,B7

19、13个点）最多有 A.315 个 B.316 个 C.317 个 D.318 个例 1.6：3 封不同的信，有 4 个信箱可供投递，共有多少种投信的方法？例 1.7：某市共有 10000辆自行车，其牌照号码从 00001到 10000,求有数字 8 的牌照号码的个数。例 1.8：3 白球，2 黑球，先后取 2 球，放回，至少一白的种数？（有序）例 1.9：3 白球，2 黑球，先后取 2 球，不放回，至少一白的种数？（有序）例 1.10：3 白球，2 黑球

20、，任取 2 球，至少一白的种数？（无序）例 1.11：化简(A+B)(A+)(+B)例 1.12：成立的充分条件为：(DC(2)C例 1.13：3 白球，2 黑球，先后取 2 球，放回，至少一白的概率？例 1.14：3 白球，2 黑球，先后取 2 球，不放回，至少一白的概率？例 1.15：3 白球，2 黑球，任取 2 球，至少一白的概率？例 1.16：袋中装有 a 个白球及 B 个黑球。从袋中任取 a+b个球，试求其中含 a 个白球，b 个黑球的概率(

21、aW a,b冬)o 从袋中任意地接连取出 k+1(k+1Wa+B)个球，如果取出后不放回，试求最后取出的是白球的概率。上两题改成“放回例 1.17：从 6双不同的手套中任取 4 只，求其中恰有一双配对的概率。例 1.18：有 5 个白色珠子和 4 个黑色珠子，从中任取 3 个，问其中至少有 1个是黑色的概率？例 1.19：设 0 为正方形 ABCD 坐标为(1,1),(1,-1),(-1,1),(-1,-1)中的一点，求其

22、落在 x2+y2W1的概率。例 1.20：某市共有 10000辆自行车，其牌照号码从 00001到 10000,求偶然遇到的一辆自行车，其牌照号码中有数字 8 的概率。例 1.21：一只袋中装有五只乒乓球，其中三只白色，两只红色。现从袋中取球两次，每次一只，取出后不再放回。试求：两只球都是白色的概率；两只球颜色不同的概率；至少有一只白球的概率。例 1.22：5 把钥匙，只有一把能打开，如果

23、某次打不开就扔掉,问以下事件的概率？第一次打开；第二次打开；第三次打开。例 1.23：某工厂生产的产品以 100件为一批，假定每一批产品中的次品最多不超过 3 件，并具有如下的概率：一批产品中的次品数 0123概率 0.10.20.30.4现在进行抽样检验，从每批中抽取 10件来检验，如果发现其中有次品，则认为该批产品是不合格的，求一批产品通过检验的概率。例 1.24：某

24、工厂生产的产品以 100件为一批，假定每一批产品中的次品最多不超过 3 件，并具有如下的概率：一批产品中的次品数 0123概率 0.10.20.30.4现在进行抽样检验，从每批中抽取 10件来检验，如果发现其中有次品，则认为该批产品是不合格的，求通过检验的一批产品中，恰有件次品的概率。例 1.25：A,B,C 相互独立的充分条件：(1)A,B,C 两两独立(2)A 与 BC独立例 1.

25、26：甲，乙两个射手彼此独立地射击同一目标各一次，甲射中的概率为 0.9,乙射中的概率为 0.8,求目标被射中的概率。例 1.27：有三个臭皮匠独立地解决一个问题，成功解决的概率分别为 0.45,0.55,0.6 0,问解决该问题的能力是否赶上诸葛亮（成功概率为 0.9）?例 1.28：假设实验室器皿中产生 A类细菌与 B类细菌的机会相等，且每个细菌的产生是相互独立的，若某

26、次发现产生了个细菌,则其中至少有一个 A类细菌的概率是。例 1.29：袋中装有 a 个白球及 B 个黑球，从袋中任取 a+b次球,每次放回，试求其中含 a个白球，b 个黑球的概率（a W a,b W B）。例 1.30：有 4 组人，每组一男一女，从每组各取一人，问取出两男两女的概率？例 1.31：进行一系列独立的试验，每次试验成功的概率为，则在成功 2 次之前已经失败 3 次的概率为：A.B

27、C D.E.第二节重点考核点事件的运算、概率的定义（古典概型和几何概型）、条件概率和乘法公式、全概和贝叶斯公式、独立性和伯努利概型第三节常见题型 1、事件的运算和概率的性质例 1.32：（AB）-C=（A-C）B 成立的充分条件为：AB=？（2）C二?例 1.33：A,B,C 为随机事件，“A 发生必导致 B、C 同时发生”成立的充分条件为：(1)AABAC二 A AUBUC二 A例 1.34：设 A,B 是任意

28、两个随机事件，贝 k o例 1.35：假设事件 A 和 B 满足 P(B|A)=1,贝 U(A)A 是必然事件。(B)o(C)o(D)o 2、古典概型和几何概型例 1.36：有两组数，都是 1,2,3,4,5,6),分别任意取出一个，其中一个比另一个大 2 的概率？例 1.37：52张扑克牌，任取 5 张牌，求出现一对、两对、同花顺的概率。例 1.38：设有 n 个质点，每个以相同的概率落入 N 个盒子中。设 A二“指定的 n 个盒子中

29、各有 1个质点”，对以下两种情况，试求事件 A 的概率。(1)(麦克斯威尔-波尔茨曼统计)假定 N 个质点是可以分辨的,还假定每个盒子能容纳的质点数不限。(2)费米-爱因斯坦统计)假定 n 个质点是不可分辨的，还假定每个盒子至多只能容纳一个质点。例 1.39：袋中有 10个球，其中有 4 个白球、6 个红球。从中任取 3 个，求这三个球中至少有 1个是白球的概率。例 1.40：侯车问

30、题：某地铁每隔五分钟有一列车通过，在乘客对列车通过该站时间完全不知道的情况下，求每个乘客到站等车时间不多于 2 分钟的概率。例 1.41：会面问题：甲乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头，它们在一昼夜内到达的时间是等可能的，如果甲船和乙船停泊的时间都是两小时，求它们会面的概率是多少？3、条件概率和乘法公式例 1.42：从 0 到 9 这

31、10个数中任取一个数并且记下它的值，放回，再取一个数也记下它的值。当两个值的和为 8 时，出现 5的概率是多少？例 1.43：一个家庭有两个孩子，已知至少一个是男孩，问另一个也是男孩的概率？4、全概和贝叶斯公式例 1.44：在盛有 10只螺母的盒子中有。只，1只，2 只，10 只铜螺母是等可能的，今向盒中放入一个铜螺母，然后随机从盒中取出一个螺母，则这个螺母为铜螺

32、母的概率是 A.6/11 B.5/10 C.5/11 D.4/11例 1.45：有 5 件产品，次品的比例为 20%,从中抽查 2 件产品,没有次品则认为合格，问合格的概率？例 1.46：有 5 件产品，每件产品的次品率为 20%,从中抽查 2件产品，没有次品则认为合格，问合格的概率？例 1.47：发报台以概率 0.6 和 0.4 发出信号“-”和“一”，由于通信系统存在随机干扰，当发出信号为“-”和“一”时,收报台分别以

33、概率 0.2 和 0.1收到信号“一”和“-求收报台收到信号“-(”时，发报台确实发出信号“-(”的概率。例 1.48：100个球，40个白球，60个红球，先后不放回取 2 次,问第 2 次取到白球的概率？例 1.49：袋中有 4 个白球、6 个红球，先从中任取出 4 个，然后再从剩下的 6 个球中任取一个，则它恰为白球的概率是 O例 1.50：设有来自三个地区的各 10名、15名和 25名考生的报名表，其中女生

34、的报名表分别为 3份、7份和 5 份。随机地取一个地区的报名表，从中先后抽出两份，(1)求先抽到的一份是女生表的概率 P；(2)已知后抽到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率 q。5、独立性和伯努利概型例 1.51：设两两相互独立的三事件 A,B,C,满足：，并且，求事件 A 的概率。例 1.52：设 P(A)0,P(B)0,证明(1)若 A 与 B 相互独立，则 A 与 B 不互斥；(2)若 A 与

35、B 互斥，则 A 与 B 不独立。例 1.53：对行任意二事件 A 和 B,(A)若 ABW，则 A,B 一定独立。(B)若 ABW，则 A,B 有可能独立。(C)若 AB二，贝 IJA,B 一定独立。(D)若 AB二，则 A,B 一定不独立。例 1.54：“A,B,C为随机事件，A-B与 C 独立”的充分条件：(1)A,B,C 两两独立(2)P(ABC)=P(A)P(B)P(C)例 1.55：设 A,B,C 是三个相互独立的随机事件，且 0P(C)1O则在下列给定的四对事件中不

36、相互独立的是(A)与 C。(B)与。(C)与。(D)与。例 1.56：将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：二掷第一次出现正面,二掷第二次出现正面,二正、反面各出现一次,二正面出现两次,则事件(A)相互独立。(B)相互独立。(C)两两独立。(D)两两独立。例 1.57：某班车起点站上车人数是随机的，每位乘客在中途下车的概率为 0.3,并且它们下车与否相互独立。求在发车时有 10个乘客的条

37、件下，中途有 3 个人下车的概率。例 1.58：某种硬币每抛一次正面朝上的概率为 0.6,问连续抛 5 次，至少有 4 次朝上的概率。例 1.59：A 发生的概率是 0.6,B 发生的概率是 0.5,问 A,B都不发生的最大概率？例 1.60：两只一模一样的铁罐里都装有大量的红球和黑球，其中一罐（取名“甲罐”）内的红球数与黑球数之比为 2：1,另一罐（取名“乙罐”）内的黑球数与红球数之比为

38、2：1 o 今任取一罐并从中取出 50只球，查得其中有 30只红球和 20只黑球，则该罐为“甲罐”的概率是该罐为“乙罐”的概率的（A）154倍 254倍（0 798倍 1024倍第四节历年真题数学一：1（87,2 分）设在一次试验中 A 发生的概率为 p,现进行 n次独立试验，则 A 至少发生一次的概率为；而事件 A 至多发生一次的概率为。2（87,2）三个箱子，第一个箱子中有 4 个黑球 1 个白球，第二

39、个箱子中有 3个黑球 3个白球，第三个箱子中有 3 个黑球 5 个白球。现随机地取一个箱子，再从这个箱子中取出 1个球,这个球为白球的概率等于。已知取出的球是白球，此球属于第二个箱子的概率为。3（88,2 分）设三次独立试验中，事件 A 出现的概率相等,若已知 A 至少出现一次的概率等于，则事件 A 在一次试验中出现的概率为。4（88,2 分）在区间（0,1）中随机地取两个

40、数，则事件“两数之和小于”的概率为。5（89,2 分）已知随机事件 A 的概率 P（A）=0.5,随机事件 B 的概率 P（B）=0.6及条件概率 P（B|A）=0.8,则和事件AB的概率 P(A B)二 6(89,2 分)甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为 0.6和 0.5,现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为。7(90,2 分)设随机事件 A,B 及其和事件 A B的概率分别是 0.4,0.3和 0.6,若表

41、示 B 的对立事件，那么积事件 A 的概率 P(A)=o8(91,3 分)随机地向半圆 0y(a为正常数)内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与该区域的面积成正比。则原点与该点的连线与 x 轴的夹角小于的概率为。9(92,3 分)已知 P(A)=P(B)二 P(C)二，则事件 A、B、C全不发生的概率为。10(93,3 分)一批产品有 1 0个正品和 2 个次品，任意抽取两次，每次抽一个，抽出后不再放回，则

42、第二次抽出的是次品的概率为。1 1(94,3 分)已知 A、B 两个事件满足条件 p(A B)二 P(),且 P(A)=p,贝 ij P(B)=o12(96,3 分)设工厂 A和工厂 B的产品的次品率分别为 1%和 2%,现从由 A厂和 B厂的产品分别占 60%和 40%的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，则该次品是 A厂生产的概率是 13(97,3 分)袋中有 50个乒乓球，其中 20个是黄球,3 0 个是白球。今有两人依

44、都不发生的概率为，A 发生 B 不发生的概率与 B 发生 A 不发生的概率相等，贝 i j P(A)=o17(06,4 分)设为随机事件，且，则必有(A)(B)(C)(D)数学三：1(87,2 分)若二事件 A 和 B 同时出现的概率 P(AB)=0,则(A)A 和 B 不相容(互斥)。(B)AB是不可能事件。（C）AB未必是不可能事件。（C）P（A）二 0或 P（B）二 02（87,8 分）设有两箱同种零件：第一箱内装 50件，其中 10件一等品；第二

45、箱内装 30件，其中 18件一等品。现从两箱中随机挑出一箱，然后从该箱中先后随机取出两个零件（取出的零件均不放回）。试求（1）先取出的零件是一等品的概率 P；（2）在先取出的是一等品的条件下，后取出的零件仍然是一等品的条件概率 q。3（88,2 分）设 P（A）=0.4,那么（1）若 A 与 B互不相容，则 P（B）=；（2）若 A 与 B相互独立，则 P（B）=o4（88,2 分）（是非题）若事件 A,B,C

46、满足等式，则 A二 B（）。5（88,7 分）玻璃杯成箱出售，每箱 20只，设各箱含 0,1,2 只残次品的概率分别为 0.8,0.1和 0.1。一顾客欲购买一箱玻璃杯，由售货员任取一箱，而顾客开箱随机地察看 4 只；若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回。试求：（1）顾客买此箱玻璃杯的概率；（2）在顾客买的此箱玻璃杯中，确实没有残次品的概率。6(89,3 分)以 A 表示事件“甲种产品畅销，乙

47、种产品滞销”,则其对立事件为：(A)“甲种产品滞销，乙种产品畅销”。(B)“甲、乙两种产品均畅销”。(C)“甲种产品滞销(D)“甲种产品滞销或乙种产品畅销”。7(90,3 分)一射手对同一目标独立地进行 4 次射击，若至少命中一次的概率为，则该射手的命中率为。8(90,3 分)设 A、B 为二随机事件，且，则下列式子正确的是(A)(B)(C)(D)9(90,4 分)从 0,1,2,，9 等 10个数字中任意

48、选出 3个不同的数字，求下列事件的概率：A1=三个数字中不含。和 5；A2二三个数字中不含。或 5。10(91,3 分)设 A 和 B 是任意两个概率不为零的互不相容事件，则下列结论中肯定正确的是：(A)不相容。(B)相容。(C)o(D)11(92,3 分)将 C,C,E,E,I,No S 这七个字母随机地排成一行，则恰好排成 SCIENCE的概率为 12(92,3 分)生，贝 I(A)(C)13(93,3 分)设当事件 A 与 B 同时

49、发生时，事件 C 必发(B)(D)设两事件 A 与 B 满足，则(A)A 是必然事件。(B)o(C)o(D)o14(94,3 分)设，则事件 A 和 B(A)互不相容。(B)互相对立。(C)不独立。(D)独立。15(95,8 分)某厂家生产的每台仪器，以概率 0.7可以直接出厂，以概率 0.3需进一步调试，经调试后以概率 0.8可以出厂，以概率 0.2定为不合格产品不能出厂。现该厂新生产了台仪器(假设各台仪器的生产过程相

50、互独立)，求(1)全部能出厂的概率 a；(2)恰有两台不能出厂的概率 B；(3)至少有两台不能出厂的概率。16(96,3 分)已知且，则下列选项成立的是(A)(B)(C)(D)17(96,6 分)考虑一元二次方程其中 B、C 分别是将一枚骰子连掷两次先后出现的点数，求该方程有实根的概率 P 和有重根的概率 q。18(98,9 分)设有来自三个地区的各 10名、15名和 25名考生的报名表，其中女

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