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1、数学类考研浙江大学概率论与数理统计考研真题与复习笔记 第一部分 考研真题精选 一、选择题 1 设 A，B，C 为三个随机事件，且 P（A）P（B）P（C）1/4，P（AB）0，P（AC）P（BC）1/12，则 A，B，C 中恰有一个事件发生的概率为（）。数一 2020 研 A3/4 B2/3 C1/2 D5/12【答案】D 查看答案【解析】只发生 A 事件的概率：只发生 B 事件的概率：只发生 C 事件的概率：A，B，C 中恰有一个事件发生的概率：故选择 D 项。2 设 A，B 为随机事件，则 P（A）P（B）的充分必要条件是（）。数一 2019研 AP（AB）P（A）P（B）BP（AB）P（
2、A）P（B）CP（AB）P（BA）D【答案】C 查看答案【解析】选项 A 只能说明事件 A 与事件 B 不相容，选项 B 只能说明事件 A与事件 B 相互独立，并不能说明 P（A）P（B），对选项 D 来说，若令 BA，等式恒成立，亦不能说明 P（A）P（B），故选 C。3 若 A，B 为任意两个随机事件，则（）。数一、数三 2015 研 AP（AB）P（A）P（B）BP（AB）P（A）P（B）CP（AB）（P（A）P（B）/2 DP（AB）（P（A）P（B）/2【答案】C 查看答案【解析】由于 ABA，ABB，按概率的基本性质，有 P（AB）P（A）且 P（AB）P（B），从而 P（AB）（
3、P（A）P（B）/2，故选 C 项。4 设事件 A，B 相互独立，P（B）0.5，P（AB）0.3 则 P（BA）（）。数一、数三 2014 研 A0.1 B0.2 C0.3 D0.4【答案】B 查看答案【解析】P（AB）0.3P（A）P（AB）P（A）P（A）P（B）P（A）0.5P（A）0.5P（A），故 P（A）0.6，P（BA）P（B）P（AB）0.50.5P（A）0.2。5 设随机变量 X 与 Y 相互独立，且都服从正态分布 N（，2），则 P|XY|1（）。数一 2019 研 A与无关，而与2有关 B与有关，而与2无关 C与，2都有关 D与，2都无关【答案】A 查看答案【解析】因为
4、 X，Y 相互独立且都服从 N（，2），记 ZXY，则 Z 服从 N（0，22）分布，P|Z|1只与2有关，因此 P|XY|1与无关，而与2有关，故选 A。6 设随机变量 X 的概率密度 f（x）满足 f（1x）f（1x），且 则 PX0（）。数一 2018 研 A0.2 B0.3 C0.4 D0.5【答案】A 查看答案【解析】由 f（1x）f（1x），知 f（x）的图像关于 x1 对称，利用特殊值法：将 f（x）看成随机变量 XN（1，2）的概率密度，根据正态分布的对称性，PX00.2。7 设随机变量 XN（，2）（0），记 pPX2，则（）。数一2017 研 Ap 随着的增加而增加 Bp
5、随着的增加而增加 Cp 随着的增加而减少 Dp 随着的增加而减少【答案】B 查看答案【解析】因为 pPX2P（X）/（），所以 p 的大小与无关，随着的增大而增大。8 设 X1，X2，X3是随机变量，且 X1N（0，1），X2N（0，22），X3N（5，32），PiP2Xi2（i1，2，3），则（）。数一、数三 2013 研 AP1P2P3 BP2P1P3 CP3P1P2 DP1P3P2【答案】A 查看答案【解析】由 X1N（0，1），X2N（0，22），X3N（5，32），知 P1P2X12P|X1|22（2）1 P2P2X22P1X2/21P|X2/2|12（1）1 故 P1P2，由 X3
6、N（5，32）及概率密度的对称性知，P1P2P3。9 设随机变量 X 的分布函数为，则 PX1（）。数一，数三 2010 研 A0 B1/2 C1/2e1 D1e1【答案】C 查看答案【解析】PX1F（1）F（10）1e11/21/2e1。10 设随机变量（X，Y）服从二维正态分布 N（0，0；1，4；1/2），下列随机变量中服从标准正态分布且与 X 独立的是（）数三 2020 研 A B C D【答案】C 查看答案【解析】由二维正态的性质知 XYN（，2），因 E（XY）E（X）E（Y）0 故 又服从二维正态分布，而 故与 X 不相关，由二维正态的性质知，与 X 独立。故应选 C 项。11
7、设随机变量 X 与 Y 相互独立，且分别服从参数为 1 与参数为 4 的指数分布，则PXY（）。数一 2012 研 A1/5 B1/3 C2/5 D4/5【答案】A 查看答案【解析】已知 XE（1），YE（4），故概率密度 从而（X，Y）联合概率密度为 则 12 设随机变量 X，Y 不相关，且 EX2，EY1，DX3，则 EX（XY2）（）。数一 2015 研 A3 B3 C5 D5【答案】D 查看答案【解析】随机变量 X，Y 不相关，因此 E（XY）E（X）E（Y），进而得 EX（XY2）E（X2XY2X）E（X2）E（XY）2E（X）D（X）E2（X）E（X）E（Y）2E（X）322212
8、25 故选 D 项。13 设总体 XB（m，），X1，X2，Xn为来自该总体的简单随机样本，X为样本均值，则（）。数三 2015 研 A（m1）n（1）Bm（n1）（1）C（m1）（n1）（1）Dmn（1）【答案】B 查看答案【解析】根据样本方差的性质，有 E（S2）D（X）m（1）。从而 故选 B 项。14 设连续型随机变量 X1，X2相互独立，且方差均存在，X1，X2的概率密度分别为f1（x），f2（x），随机变量 Y1的概率密度为，随机变量Y2（X1X2）/2，则（）。数一 2014 研 AEY1EY2，DY1DY2 BEY1EY2，DY1DY2 CEY1EY2，DY1DY2 DEY1E
9、Y2，DY1DY2【答案】D 查看答案【解析】15 设 X1，X2，Xn（n2）为来自总体 N（，2）（0）的简单随机样本，令 则（）。数三 2018 研 A B C D【答案】B 查看答案【解析】因为 所以 根据抽样定理得：又X与 S2相互独立，所以 16 设 X1，X2，Xn（n2）为来自总体 N（，1）的简单随机样本，记，则下列结论中不正确的是（）。数一 2017 研 A服从2分布 B2（XnX1）2服从2分布 C服从2分布 Dn（X）2服从2分布【答案】B 查看答案【解析】A 项，XiN（0，1），故 B 项，即（XnX1）2/22（1）。C 项，由 D 项，（X）N（0，1/n），则
10、，所以 n（X）22（1）。17 设 X1，X2，X3为来自正态总体 N（0，2）的简单随机样本，则统计量服从的分布是（）。数三 2014 研 AF（1，1）BF（2，1）Ct（1）Dt（2）【答案】C 查看答案【解析】由题意知，X1X2N（0，22），X3N（0，2），所以 X3/N（0，1），X32/22（1），且与 X3/相互独立，故 第 1 章 概率论的基本概念 1.1 复习笔记 一、随机事件 1 事件间的关系（见表 1-1-1）表 1-1-1 事件间的关系 2 事件的运算 设 A，B，C 为事件，则有：（1）交换律：ABBA；ABBA；（2）结合律：A（BC）（AB）C；A（BC）（
11、AB）C；（3）分配律：A（BC）（AB）（AC）；A（BC）（AB）（AC）；（4）德摩根律：；。二、频率与概率 概率的性质 （1）若 AB，则 P（BA）P（B）P（A）与 P（B）P（A）（2）（逆事件的概率）P（A）1P（A）；（3）（加法公式）P（AB）P（A）P（B）P（AB）；推广：对于任意 n 个事件 A1，A2，An，三、等可能概型（古典概型）计算公式 四、条件概率 1 乘法定理（1）乘法公式：若 P（A）0，则 P（AB）P（B|A）P（A）。（2）若 P（A1A2An1）0，则有 2 全概率公式和贝叶斯公式（1）全概率公式 P（A）P（A|B1）P（B1）P（A|B2）P（B2）P（A|Bn）P（Bn）（2）贝叶斯公式 注：全概率公式和贝叶斯公式的最简单形式 五、独立性 1 两个事件独立（1）P（AB）P（A）P（B）（2）两个定理 若 P（A）0，A，B 相互独立，则 P（B|A）P（B），反之同样。若事件 A 与 B 独立，则 A 与B独立，A与 B 独立，A与B独立。2 三个事件独立 设 A，B，C 是三个事件，如果满足等式 则称 A，B，C 两两独立，若也成立，则 A，B，C 相互独立。3n 个事件独立 设 A1，A2，An是 n（n2）个事件，1ijkn，则 A1，A2，An相互独立