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1、.第二十六章二次函数 本章知识重点1 .探索具体问题中的数量关系和变化规律.2 .结合具体情境体会二次函数作为一种数学模型的意义，并了解二次函数的有关概念.3 .会用描点法画出二次函数的图象，能通过图象和关系式认识二次函数的性质.4 .会运用配方法确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴.5 .会利用二次函数的图象求一元二次方程(组)的近似解.6 .会通过对现实情境的分析，确定二次函数的表达式，并能运用二次函数及其性质解决简单的实际问题.2 6.1 二次函数 本课知识重点通过具体问题引入二次函数的概念，在解决问题的过程中体会二次函数的意义.MM及创新思维(1)正方形边长为a (c m),它的面
2、积s (c m2)是多少？(2)矩形的长是4厘米，宽是3厘米，如果将其长与宽都增加x厘米，则面积增加y平方厘米，试写出y与x的关系式.请观察上面列出的两个式子，它们是不是函数？为什么？如果是函数，请你结合学习一次函数概念的经验，给它下个定义.实践与探索例1.m取哪些值时，函数y=_ ni)x2+m x +(m+1)是以x为自变量的二次函数？分析 若函数 了 =(小 一6)尤2+?x +5+i)是 二 次 函 数，须 满 足 的 条 件 是：m?-m W 0.解 若函数y=(m2)/+优工+(m+1)是二次函数，则一机 w 0 解得 沈。0 ,且m。1.因此，当且加时，函数y=(/一加)/+优尤
3、+(?+1)是二次函数.回顾与反思 形如y=a/+以+。的函数只有在。o的条件下才是二次函数.探索 若函数y=(m 2 一 小+机1+(加+1)是 以X为自变量的一次函数，则m取哪些值？例2.写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数.(1)写出正方体的表面积S (c n f)与正方体棱长a (c m)之间的函数关系：(2)写出圆的面积y(c m2)与它的周长x (c m)之间的函数关系；(3)某种储蓄的年利率是1.9 8%,存 入1 0 0 0 0元本金，若不计利息，求本息和y(元)与所存年数x之间的函数关系；(4)菱形的两条对角线的和为2 6 c m,求菱形的面积S (c m2)与一对
4、角线长x (c m)之间的函数关系.解(1)由题意，得 S =6 a 2 g 0),其 中S是a的二次函数；x2(2)由题意，得 y=(x 0),其中y是x的二次函数；4万(3)由题意，得 y=1 0 0 0 0+1.9 8%x-1 0 0 0 0 (x 2 0且是正整数)，其中y是x的一次函数；(4)由题意，得 S=1 x(2 6-x)=-1 x2+1 3 x(0%2 6),其中 S 是x 的二次函数.例3.正方形铁片边长为1 5 c m,在四个角上各剪去一个边长为x (c m)的小正方形，用余下的部分做成一个无盖的盒子.(1)求盒子的表面积S (c m2)与小正方形边长x (c m)之间的
5、函数关系式；(2)当小正方形边长为3c m时，求盒子的表面积.解(1)S =15?4x 2=225 4/(0%=伏+2)/+4是二次函数，且当0时，y随x的增大而增大.(1)求k的值；(2)求顶点坐标和对称轴.解(1)由题意，得1 ，解得k=2.Z+2 0(2)二次函数为y=4 x2,则顶点坐标为(0,o),对称轴为y轴.例3.已知正方形周长为C em,面积为S c m2.(1)求S和C之间的函数关系式，并画出图象；(2)根据图象，求出S=l c m)时，正方形的周长；(3)根据图象，求出C取何值时，S4 c m 2.分析此题是二次函数实际应用问题，解这类问题时要注意自变量的取值范围；画图象时
6、,自变量C的取值应在取值范围内.解(1)由题意，得列表:C2468 S=C21641944 描点、连线，图象如图2 6.2.2.(2)根据图象得S=1 c n?时，正方形的周长是4 c m.(3)根据图象得,当C 2 8 c m时,S4 c m 2.回顾与反思(1)此图象原点处为空心点.(2)横轴、纵轴字母应为题中的字母C、S,不要习惯地写成x、y.(3)在自变量取值范围内，图象为抛物线的一部分.当堂课内练习1.在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象，并分别写出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标.(1)y=3 x2(2)y=-3 x2(3)y=x22.(1)函数y2=一一的开口_ _ _ _ _
7、 _ _,对称轴是_ _ _ _ _ _ _ _,顶点坐标是_ _ _ _ _ _ _ _ _:3(2)函数y=1 1-/的开口_ _ _ _ _ _,对称轴是_ _ _ _ _ _ _ _,顶点坐标是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _.43.已知等边三角形的边长为2 x,请将此三角形的面积S表示成x的函数，并画出图象的草图.本课课外作、叼A组1.在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象.(1)y=-4 x2(2)y=2 .填空：(1)抛物线y=5 x2,当*=时，y有最 值，是.(2)当1 =时，抛物线y=(L l)j开口向下.(3)已知函数)，=(6+八/2 1是二次函数，它 的 图 象
8、 开 口,当x 时，y随X的增大而增大.3 .已知抛物线y=M+T。中，当X 0时，y随X的增大而增大.(1)求k的值：(2)作出函数的图象(草图).4 .已知抛物线y=a/经 过 点(1,3),求当y=9时，x的值.B组5 .底面是边长为x的正方形，高为0.5 c m的长方体的体积为yen?.(1)求y与x之间的函数关系式；(2)画出函数的图象：(3)根据图象，求出y=8 c n?时底面边长x的值；(4)根据图象，求出x取何值时，y2 4.5 c m3.6 .二次函数y=a x?与直线 =2%-3交于点P (1,b).(1)求a、b的值；(2)写出二次函数的关系式，并指出x取何值时，该函数的
9、y随x的增大而减小.7 .一个函数的图象是以原点为顶点，y轴为对称轴的抛物线，且过M(-2,2).(1)求出这个函数的关系式并画出函数图象；(2)写出抛物线上与点M关于y轴对称的点N的坐标，并求出/MON的面积.本课学习体会2 6.2二次函数的图象与性质(2)本课知识重点会画出y=a/+后这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质.MM及创新思维同学们还记得一次函数y=2 x与y=2 x+1的图象的关系吗？,你能由此推测二次函数y=/与y=/+1的图象之间的关系吗？,那么=2与=/-2的图象之间又有何关系？_ 实践与探索例 1.在同一直角坐标系中，画出函数y=2/与 y=2 x?+2 的图象
10、.解 列 表.X -3-2-10123.y=2x2 188202818 y-lx2+220104241020描点、连线,回顾与反思 当自变量X取同一数值时，这两个函数的函数值之间有什么关系？反映在图象上，相应的两个点之间的位置又有什么关系？探索 观察这两个函数，它们的开口方向、对称轴和顶点坐标有那些是相同的？又有哪些不同？你能由此说出函数y=2,与 y=2/-2 的图象之间的关系吗？例 2.在同一直角坐标系中，画出函数y=+1 与 y=1的图象，并说明，通过怎样的平移，可以由抛物线y=-X2+1 得到抛物线y=-x2-1.解 列 表.X.-3-2-10123 y=-x2 4-1 -8-3010
11、-3-8 y=-x2-l -10-5-2-1-2-5-10描点、连线，画出这两个函数的图象，如图2 6.2.4所示.图 2 6.2.4可以看出，抛物线y=-x2-是由抛物线y=-丁+1向下平移两个单位得到的.回顾与反思 抛物线y=+l和抛物线=1分别是由抛物线y=向上、向下平移一个单位得到的.探索 如果要得到抛物线y=-/+4,应将抛物线y=-一1作怎样的平移？例3.一条抛物线的开口方向、对 称 轴 与 相 同，顶点纵坐标是一2,且抛物线经过点（1,1）,求这条抛物线的函数关系式.解 由题意可得，所求函数开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标为（0,-2）,因此所求函数关系式可看作y=a x2-2（
12、a 0），又抛物线经过点（1,1）,所以，l =a 1 2 2,解得a =3.故所求函数关系式为y=3 2.回 顾 与 反 思y a x2+k（a、k是常数，a W O）的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标归纳如下:y-a x2+k开口方向对称轴顶点坐标a 0a 0G =/1 (X 1),2?3 .函数y =3(x+l)2,当X 时，函数值y随X的增大而减小.当x 时，函数取得最值，最值产.4 .不画出图象，请你说明抛物线y=5/与y =5(x 4)2之间的关系.B组5.将抛物线y =向左平移后所得新抛物线的顶点横坐标为-2,且新抛物线经过点(1,3),求a的值.本课学习体会2 6.2二次函数的
13、图象与性质(4)本课知识重点1 .掌握把抛物线y =a x2平移至y=a(x-/i)2+k的规律；2 .会画出y =a(x-/)2+k这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质.MM及创新思维由前面的知识，我们知道，函数y =2Y的图象，向上平移2个单位，可以得到函数y =2 x 2 +2的图象;函数y =2 x 2的图象，向右平移3个单位，可以得到函数y=2(x-3)2的图象，那么函数y =2/的图象，如何平移，才能得到函数y =2(x 3 +2的图象呢？实践与探索例1.在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象.y =g(x _ )2,),=g(x _ i)2 _ 2,并指出它们的开口方向、
14、对称轴和顶点坐标.解 列 表.X -3-2-10123 1 2922J _20!2292y =g(x 1尸.8922220_22 y =g(x-l)2 -2 6550_32-2_32 0 描 点、它们的开口方向都向,对称轴分别为坐标分别为间的关系.、,顶点.请同学们完成填空，并观察三个图象之回顾与反思 二次函数的图象的上下平移，只影响二次函数y =a(x-)2+k中k的值;左右平移，只 影 响h的值，抛物线的形状不变，所以平移时，可根据顶点坐标的改变，确定平移前、后 的 函 数 关 系 式 及 平 移 的 路 径.此 外，图象的平移与平移的顺序无关.探索 你 能 说 出 函 数y =a(x 人
15、尸+卜(a、h、k是常数，a W O)的图象的开口方向、对称轴 和 顶点坐标吗？试填写下表.y-a(x-/?)2+k开口方向a 0a ,y =-3(x +2)2-1,并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标.2 .将抛物线y =-+2 x +5先向下平移1个单位，再向左平移4个单位，求平移后的抛物线的函数关系式.1 .3 1 ,3.将抛物线丁 =一/+2如何平移，可得到抛物线 =一/1+2 x +3?B组4 .把抛物线y =V+云+。向 右 平 移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线y-X2-3 x +5,贝 i j 有()A.b=3,c=7 B.b=-9,c=-1 5 C.b=3,c=3
16、D.b=-9,c=2 15.抛物线y =-3/+b x +c是由抛物线y =-32-云+1向上平移3个单位，再向左平移2个单位得到的，求b、c的值.6.将抛物线 =以25。()向左平移问个单位，再向上平移网个单位，其中h 0,k +1的图象，可以由函数y =2/的图象先向平移一 个单位，再向 平移一 个单位得到，因此，可以直接得出：函数y =2(x-3)2+1的开口,对称轴是，顶点坐标是.那么，对于任意一个二次函数，如y =/+3 x 2,你能很容易地说出它的开口方向、对称轴和顶点坐标，并画出图象吗？实践与探索例1.通过配方，确定抛物线 =一2无2+4 X +6的开口方向、对称轴和顶点坐标，再
17、描点画图.解 y=-2x2+4 x +6=-2(x2-2x)+6=-2(x2-2x +l-l)+6=-Q(x-l +6=-2(x-l)2+8因此，抛物线开口向下，对称轴是直线x=l,顶点坐标为(1,8).回顾与反思(1)列表时选值，应以对称轴x=l为中心，函数值可由对称性得到，.(2)描点画图时，要根据已知抛物线的特点，一般先找出顶点，并用虚线画对称轴，然后再对称描点，最后用平滑曲线顺次连结各点.探索 对于二次函数y=a x2+b x+c,你能用配方法求出它的对称轴和顶点坐标吗？请你完成填空：对称轴，顶点坐标.例2.已知抛物线y =V g+2)x +9的顶点在坐标轴上，求。的值.分析 顶点在坐
18、标轴上有两种可能：(1)顶点在x轴上，则顶点的纵坐标等于0；(2)顶点在y轴上，则顶点的横坐标等于0.解 y=x2(a +2)x +9 =(x -)2+9-+则抛物线的顶点坐标是 让2,9 _(+2厂.2 4当顶点在x轴上时，有-2 =0,2解得 =2.当顶点在y轴上时，有9-(Q +2)-=0,4解得。=4或。=一8.所以，当抛物线)，=/一(4 +2)尤+9的顶点在坐标轴上时，。有三个值，分 别 是-2,4,8.当堂课内练习1.(1)二次函数y =-x2-2x的对称轴是.(2)二次函数y =2/2x 1的图象的顶点是,当x 时，y随x的增大而减小.(3)抛物线y =a Y -4 x 6的顶
19、点横坐标是-2,则。=.2.抛物线y =a x 2+2+。的顶点是(；,一1),则。、c的值是多少？本课课外作业A组1.已知抛物线y =L x 2 3x +*,求出它的对称轴和顶点坐标，并画出函数的图象.2 22.利用配方法，把下列函数写成y =a(x-/i)2+k的形式，并写出它们的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.(1)y=-x2+6 x +1 (2)y-2x2-3x +42(3)y=-x/+n、x 2(4)y=x px+q3.已知 =伙+2)/“2卜6是二次函数，且当x 0时，y随X的增大而增大.(1)求k的值；(2)求开口方向、顶点坐标和对称轴.B组4 .当。=r+2仆+1 +24 2
20、的顶点所在的象限.5 .已知抛物线y =2 一4犬+的顶点A在直线y =-4 x-l上，求抛物线的顶点坐标.本课学习体会26.2二次函数的图象与性质(6)本课知识重点1.会通过配方求出二次函数y a x2+bx+c(a*0)的最大或最小值；2.在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用，会利用二次函数的性质求实际问题中的最大或最小值.M M 及创新思维在实际生活中，我们常常会碰到一些带有“最”字的问题，如问题：某商店将每件进价为80元的某种商品按每件100元出售，一天可销出约100件.该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润.经过市场调查，发现这种商品单价每降 低 1元，其销售量可增
21、加约10件.将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大？在这个问题中，设每件商品降价x 元，该商品每天的利润为y 元，则可得函数关系式为二次函数y=-1 0/+100X+2 0 0 0.那么，此问题可归结为：自变量x 为何值时函数y 取得最大值？你能解决吗？实践与探索例 1.求下列函数的最大值或最小值.(1)y=2x2-3 x-5 ；(2)y=-x2-3x+4.分析 由于函数y=2 2 -3 x-5 和)，=-/-3 工+4 的自变量x 的取值范围是全体实数,所以只要确定它们的图象有最高点或最低点，就可以确定函数有最大值或最小值.解(1)二次函数y=2/一3%一5 中的二次项系数20,因此抛
22、物线y=2/3x 5有最低点，即函数有最小值.3 c 49因为 y=2厂 3x 5=2(x ),349所以当x=3 时，函数y=2,一3%一5有最小值是.48(2)二次函数y=-3x+4 中的二次项系数-1V0,因此抛物线y=-3 1+4 有最高点，即函数有最大值.3 c 25因为 y=-x2-3 x +4=-(x +)2+,所以当x =1时，函数y =V 3 X +4有最大值是亍.回顾与反思 最大值或最小值的求法，第一步确定a的符号，a 0有最小值，a 0有最大值；第二步配方求顶点，顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值.探索 试一试，当2.5 W x W 3.5时，求二次函数？=2一2一3的
23、最大值或最小值.例2.某产品每件成本是1 2 0元，试销阶段每件产品的销售价x (元)与产品的日销售量y(件)之间关系如下表:X (元)1 3 01 5 01 6 5y (件)7 05 03 5若日销售量y是销售价x的次函数，要获得最大销售利润，每件产品的销售价定为多少元？此时每日销售利润是多少？分析 日销售利润=日销售量X每件产品的利润，因此主要是正确表示出这两个量.解 由表可知x+y=2 0 0,因此，所求的一次函数的关系式为y =x +2 0 0.设每日销售利润为s元，则有s-y(x 1 2 0)=-(x-1 6 0产 +1 6 0 0.因为 x+2 0 0 N 0,x 1 2 0 2
24、0,所以 1 2 0 4 x 4 2 0 0.所以，当每件产品的销售价定为1 6 0元时，销售利润最大，最大销售利润为1 6 0 0元.回顾与反思解决实际问题时，应先分析问题中的数量关系，列出函数关系式，再研究所得的函数，得出结果.例 3.如图 2 6.2.8,在 R t/A B C 中，Z C=9 0 ,B C=4,A C=8,点 D 在斜边 A B 匕分别作D E _ L A C,D F 1 B C,垂足分别为E、F,得四边形D E C F,设D E=x,D F=y.(3)S -xy-x(8-2 x)=-2x2+8 x =-2(尤-2)2+8 ,(1)用含y的代数式表示A E：(2)求y与
25、x之间的函数关系式，并求出x的取值范围；(3)设四边形D E C F的面积为S,求S与x之间的函数关系,S的最大值.解(1)由题意可知，四边形D E C F为矩形，因此AEAC-DF8-y.(2)由 W-，即 =B C A C 4 8所以，y =8 2 x,x的取值范围是0 x 4.A并求出/B F C图 2 6.2.8所以，当x=2时，S有最大值8.当堂课内练习1 .对于二次函数y =r 2 x +？，当*=时，y有最小值.2.已知二次函数y =a(x +。有最小值-1,则a与b之间的大小关系是()A.a b D.不能确定3.某商场销售一批衬衫，平均每天可售出2 0件，每件盈利4 0件，为了
26、扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经过市场调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件.(1)若商场平均每天要盈利12 0 0元，每件衬衫应降价多少元？(2)每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？本课课外作业A组1.求下列函数的最大值或最小值.(1)y x 2 x；(2)y=2 x lx+1.2 .已知二次函数y =x?-6x +机的最小值为1,求m的值.，3.心 理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x (单位：分)之间满足函数关系：y =-0.l x2+2.6x +4 3(0 x 3 0).y值越大，表示接受能力越强.(l)x
27、在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？x在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？(2)第10分时，学生的接受能力是多少？(3)第几分时，学生的接受能力最强？B组4 .不论自变量x取什么数，二次函数y =2/-6 x +机 的函数值总是正值，求m的取值范围.5 .如图，有长为2 4 m的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度a为10 m),围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃.设花圃的宽AB为xm,面积为S m2.(1)求S与x的函数关系式；(2)如果要围成面积为4 5 m 2的花圃，AB的长是多少米？(3)能围成面积比4 5 m 2更大的花圃吗？如果能，请求出最大面枳，并说明围法；如果不能，请说明理由.
28、6.如图，矩形A B C D中，A B=3,B C=4,线段E F在对角线A C上，E G 1A D,F H 1 B C,垂足分别是 G、H,且 E G+FH=E F.BHC(1)求线段E F的长；(2)设E G=x,/A G E与/C F H的面积和为S,写出S关于x的函数关系式及自变量x的取值范围,并求出S的最小值.本课学习体会2 6.2 二次函数的图象与性质(7)本课知识重点会根据不同的条件，利用待定系数法求二次函数的函数关系式.MM及创新思维一般地，函数关系式中有几个独立的系数，那么就需要有相同个数的独立条件才能求出函数关系式.例如：我们在确定一次函数y =H +伙*0)的关系式时，通
29、常需要两个独立的条件：确定反比例函数y =(k H 0)的关系式时，通常只需要一个条件：如果要确定二次函数y =a x2+b x+c(a+0)的关系式，又需要几个条件 实践与探索例1.某涵洞是抛物线形，它的截面如图2 6.2.9所示，现测得水 方、面 宽1.6 m,涵洞顶点O到水面的距离为2.4 m,在图中直角坐标/系内，涵洞所在的抛物线的函数关系式是什么？/分析 如图，以A B的垂直平分线为y轴，以过点O的y轴的垂线为x轴，建立了直角坐标系.这时，涵洞所在的抛物线的顶点在原/I-点，对 称 轴 是y轴，开口向下，所以可设它的函数关系式是 图2 6.2.9y =a x2(a 0).此时只需抛物
30、线上的一个点就能求出抛物线的函数关系式.解 由题意，得点B的坐标为(0.8,-2.4),又因为点B在抛物线上，将它的坐标代入了=公2(。一2,即可求出a的值.解(1)设二次函数关系式为y=ax2+云+c,由已知，这个函数的图象过(0,-1),可以得到c=-l.又由于其图象过点(1,0)、(-1,2)两点，可以得到a+b=1a-b =3解这个方程组，得a=2,b=-1.所以，所求二次函数的关系式是y=2/2x-l.(2)因为抛物线的顶点为(1,-3),所以设二此函数的关系式为y=a(x l)2-3,又由于抛物线与y轴交于点(0,1),可以得到l =a(0-1-3解 得 a=4.所以，所求二次函数
31、的关系式是y=4(x-3=4x2 8x+l.(3)因为抛物线与x 轴交于点M (-3,0)、(5,0),所以设二此函数的关系式为y=a(x+3)(x-5).又由于抛物线与y轴交于点(0,3),可以得到-3=a(0+3)(0-5).解得ii 2所以，所求二次函数的关系式是y=(x +3)(x 5)=,x 2 1 x 3.(4)根据前面的分析，本题已转化为与(2)相同的题型，请同学们自己完成.回顾与反思确定二此函数的关系式的般方法是待定系数法，在选择把二次函数的关系式设成什么形式时，可根据题目中的条件灵活选择，以简单为原则.二次函数的关系式可设如下三种形式：(1)一般式：y=a x2+b x+c(
32、a O),给出三点坐标可利用此式来求.(2)顶点式：y=a(x-h)2+k(a O),给出两点，且其中一点为顶点时可利用此式来求.(3)交点式：y =a(x X)(x -X2)(a H 0),给出三点，其中两点为与x轴的两个交点(x”0)、(x2,0)时可利用此式来求.当堂课内练习1 .根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式.(1)已知二次函数的图象经过点(0,2)、(1,1)、(3,5)；(2)已知抛物线的顶点为(-1,2),且 过 点(2,1)；(3)已知抛物线与x轴交于点M (-1,0)、(2,0),且经过点(1,2).2 .二次函数图象的对称轴是x=-l,与y轴交点的纵坐标是-6
33、,且经过点(2,1 0),求此二次函数的关系式.本课课外作业A组1 .已知二次函数y =2+8 x +c的图象经过点A(-1,1 2)、B (2,-3),(1)求该二次函数的关系式；(2)用配方法把(1)所得的函数关系式化成y =a(x-/?)2 +k的形式，并求出该抛物线的顶点坐标和对称轴.2 .已知二次函数的图象与一次函数y =4 x-8的图象有两个公共点P (2,m)、Q (n,-8),如果抛物线的对称轴是x=-l,求该二次函数的关系式.9 3.某工厂大门是一抛物线型水泥建筑物，如图所示，大门地面宽AB=4 m,顶部C离地面高度为4.4 m.现有一辆满载货物的/汽车欲通过大门，货物顶部距
34、地面2.8 m,装货宽度为2.4 m.请 A/B判断这辆汽车能否顺利通过大门.4 .已知二次函数y =a/+云+c ,当x=3时，函数取得最大值1 0,且它的图象在x轴上截得的弦长为4,试求二次函数的关系式.B组5 .已知二次函数y =x?+6 x +c的图象经过（1,0）与（2,5）两点.（1）求这个二次函数的解析式；（2）请你换掉题中的部分已知条件，重新设计一个求二次函数y =/+x +c解析式的题目，使所求得的二次函数与（1）的相同.6 .抛物线y =/+2犹+过点（2,4）,且其顶点在直线y =2 x +1上，求此二次函数的关系式.本课学习体会2 6.3实践与探索（1）本课知识重点会结
35、合二次函数的图象分析问题、解决问题，在运用中体会二次函数的实际意义.MM及创新思维生活中，我们常会遇到与二次函数及其图象有关的问题，比如在2 0 0 4雅典奥运会的赛场上，很多项目，如跳水、铅球、篮球、足球、排球等都与二次函数及其图象息息相关.你知道二次函数在生活中的其它方面的运用吗？实践与探索例1.如图2 6.3.1,一位运动员推铅球，铅球行进高度y （m）与水平距离x （m）之间的1 ,2 5关系是了=一-/+W苫+巳，问此运动员把1 2 3 3铅球推出多远？解 如图，铅球落在x轴上，则尸0,因此，-X H-X H =0 .1 2 3 3解方程，得 王=1 0,它=-2 （不合题意，舍去）
36、.所以，此运动员把铅球推出了 1 0米.探索此题根据已知条件求出了运动员把铅球推出的实际距离，如果创设另外一个问题情境：一个运动员推铅球，铅球刚出手时离地面2m,铅球落地点距铅球刚出手时相应的地3面上的点1 0 m,铅球运行中最高点离地面3 m,已知铅球走过的路线是抛物线，求它的函数关系式.你能解决吗？试一试.例2.如图2 6.3.2,公园要建造圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子0 A,水流在各个方向沿形状相同的抛物线路线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在离0A距离为1 m处达到距水面最大高度2.2 5 m.（1）若不计其他因素，那么水池的半径至少要多少米，才能 厂、厂
37、、使喷出的水流不致落到池外？/A/（2）若水流喷出的抛物线形状与（1）相同，水池的半径为/3.5 m,要使水流不落到池外，此时水流最大高度应达多少米？,-Q-、（精确到0.1 m）图2 6.3.2分析这是一个运用抛物线的有关知识解决实际问题的应用题，首先必须将水流抛物线放在直角坐标系中，如图2 6.3.3,Ty B我们可以求出抛物线的函数关系式，再利用抛物线的性质即可解决问题.AK 解（1）以。为原点，OA为y轴建立坐标系.设抛物线顶点|、为B,水流落水与x轴交点为C（如图2 6.3.3）.（C x由题意得，A （0,1.2 5）,B （1,2.2 5）,图2 6.3.3因此，设抛物线为y=a
38、（x-i y+2.2 5.将 A(0,1.2 5)代入上式，得1.2 5 =。(0-1)2+2.2 5,解得 a=-1所以，抛物线的函数关系式为y=（x +2.2 5.当y=0时，解 得x=-0.5 （不合题意，舍去），x=2.5,所以C（2.5,0）,即水池的半径至少要2.5 m.（2）由于喷出的抛物线形状与（1）相同，可设此抛物线为y=（x 力）2+k.由抛物线过点（0,1.2 5）和（3.5,0）,可求得h=-l.6,k=3.7.所以，水流最大高度应达3.7 m.当堂课内练习1 .在排球赛中，一队员站在边线发球，发球方向与边线垂直，球开始飞行时距地面1.9米，当球飞行距离为9米时达最大高
39、度5.5米，已知球场长1 8米，问这样发球是否会直接把球打出边线？2 .在一场篮球赛中，队员甲跳起投篮，当球出手时离地高2.5米，与球圈中心的水平距离为7米，当球出手水平距离为4米时到达最大高度4米.设篮球运行轨迹为抛物线，球圈距地面3米，同此球是否投中？本课课外作业A组1.在一场足球赛中，一球员从球门正前方1 0米处将球踢起射向球门，当球飞行的水平距离是6米时，球到达最高点，此时球高3米，己知球门高2.44米，问能否射中球门？2.某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到赢利的过程.下面的二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润s （万元）与销售时间t （月）
40、之间的关系（即前t个月的利润总和s与t之间的关系）.根据图象提供的信息，解答下列问题：（1）由已知图象上的三点坐标，求累积利润S（万元）与时间t （月）之间的函数关系式；（2）求截止到几月末公司累积利润可达到3 0万元；（3）求第8个月公司所获利润是多少万元？3 .如图，一位运动员在距篮下4 m处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5m时，达到最大高度3.5 m,然后准确落入篮圈，已知篮圈中心到地面的距离为3.0 5 m.（1）建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的函数关系式；（2）该运动员身高1.8 m,在这次跳投中，球在头顶上方0.2 5 m处出手，问：球出手时，他跳离地
41、面的高度是多少？B组4.某公司草坪的护栏是由5 0段形状相同的抛物线组成的，为牢固起见，每段护栏需按间距0.4 m加设不锈钢管（如图a）做成的立柱,为了计算所需不锈钢管立柱的总长度，设计人员利用图b所示的坐标系进行计算.（1）求该抛物线的函数关系式；（2）计算所需不锈钢管立柱的总长度.5.某跳水运动员在进行1 0 m跳台跳水训练时,身 体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示的一条抛物线.在跳某个规定动作时，正常情况2下，该运动员在空中的最高处距水面1 0 m,入水处距3池边的距离为4 m,同时运动员在距水面高度5 m以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势时，否则就会出现失误.（1）求
42、这条抛物线的函数关系式；（2）在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是（1）3中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离为3 m,问此次跳水会不会失误？并通过计算说明理由.本课学习体会26.3实践与探索(2)本课知识重点让学生进一步体验把实际问题转化为有关二次函数知识的过程.MM及创新思维二次函数的有关知识在经济生活中的应用更为广阔，我们来看这样一个生活中常见的问题：某广告公司设计一幅周长为1 2 米的矩形广告牌，广告设计费为每平方米1 0 0 0 元，设矩形一边长为x 米，面积为S平方米.请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并求出这个费用.你能解决它吗？类似的问题，我们
43、都可以通过建立二次函数的数学模型来解决.实践与探索例 1.某化工材料经销公司购进了一种化工原料共7 0 0 0 千克，购进价格为每千克3 0 元。物价部门规定其销售单价不得高于每千克7 0 元，也不得低于3 0 元。市场调查发现：单价定为7 0 元时，日均销售6 0 千克；单价每降低1 元，日均多售出2 千克。在销售过程中，每天还要支出其他费用5 0 0 元(天数不足一天时，按整天计算)。设销售单价为x 元，日均获利为y 元。(1)求 y 关于x 的二次函数关系式，并注明x 的取值范围；(2)将(1)中所求出的二次函数配方成y=a(x+2)2+处 土 的 形 式，写出顶点2a 4 a坐标；在直
44、角坐标系画出草图；观察图象，指出单价定为多少元时日均获利最多，是多少？分析 若销售单价为x 元，则每千克降低(7 0-x)元，日均多售出2(7 0-x)千克，II均销售量为 6 0+2(7 0-x)千克，每千克获利为(x-3 0)元，从而可列出函数关系式。解(1)根据题意，得y=(x-3 0)6 0 +2(7 0 -%)-5 0 0=-2x2+26 0 x-6 5 0 0 (3 0 W xW 7 0)。(2)y=2x2+2 6()X_ 6 5 0 0 =2(x-6 5)2+1 9 5 0。顶点坐标为(6 5,1 9 5 0)o二次函数草图略。经观察可知，当单价定为6 5 元时，日均获利最多，是
45、 1 9 5 0 元。例 2。某公司生产的某种产品，它的成本是2 元，售价是3元，年销售量为1 0 0 万件.为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告.根据经验，每年投入的广告费是x（十万元）时，产品的年销售量将是原销售量的y倍，且y是x的二次函数，它们的关系如下表：X（十万元）012 y11.51.8（1）求y与x的函数关系式；（2）如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费，试写出年利润S（十万元）与广告费x（十万元）的函数关系式；（3）如果投入的年广告费为1030万元，问广告费在什么范围内，公司获得的年利润随广告费的增大而增大？解（1）设二次函数关系式为y=a/+云c=1由表中数
46、据，得(a +8 +c =1.54 a +2b +c =1.81a =-1 03解得5c=11 .3所以所求二次函数关系式为y=x2+-x+k1 0 5(2)根据题意，得S =1 0)，(3 2)x=+5%+1 0。（3）5 =-x2+5 x+1 0 =-U-）2+2 4由于1XW 3,所以当1 0(。H 0)或 a x?+b x+c =2一2一3的图象，根据图象回答下列问题.(1)图象与x轴、y轴的交点坐标分别是什么？(2)当x取何值时，y=0?这里x的取值与方程F 2 x 3 =0有什么关系？(3)x取什么值时，函数值y大 于0?x取什么值时，函数值y 4 y小于0?I s i I解 图
47、象 如 图2 6.3.4,；/(1)图象与x轴的交点坐标为(-1,0)、(3,0),与y轴的 4 /交点坐标为(0,-3).4/(2)当x=-1或x=3时，尸0,x的取值与方程X：-2 x-3 =0的.,/,一J-3 -2 -i 01 1 2 h A 5 x解相同./(3)当 x V-1 或 x 3 时，y 0；当-1VXV3 时，y 0.(2)二次函数y =(a 1)/+2以+3”2的图象的最低点在x轴上，也就是说，方程(a-l)x2+2 a x +3 a -2 =0的两个实数根相等，即4=0.(3)已知抛物线y =/-/一1)一3左一2与x轴交于两点A(a ,0),B (B ,0),即a、
48、B是 方 程/一仪一 )x 3 4 2 =0的 两 个 根，又 由 于4+42=7,以及a-供=(a +0)2-2a 0,利用根与系数的关系即可得到结果.请同学们完成填空.回顾与反思二次函数的图象与x轴有无交点的问题，可以转化为一元二次方程有无实数根的问题，这可从计算根的判别式入手.例3.已知二次函数y =-/+(z-2)x +?+l,(1)试说明：不论m取任何实数，这个二次函数的图象必与x轴有两个交点；(2)m为何值时，这两个交点都在原点的左侧？(3)m为何值时，这个二次函数的图象的对称轴是y轴？分析(1)要说明不论m取任何实数，二次函数y =-2+(wi-2)x +/+l的图象必与轴有两个
49、交点，只要说明方程一%2+(加一2口+加+1 =0有两个不相等的实数根，即/0.（2）两个交点都在原点的左侧，也就是方程-/+（?-2）x +?+1 =0有两个负实数根,因而必须符合条件 /0,/+工2 0.综合以上条件，可解得所求m的值的范围.（3）二次函数的图象的对称轴是y轴，说明方程一一+（加一2 +m+1 =0有一正-负两个实数根，且两根互为相反数，因而必须符合条件 /0,%+/=0.解(1)A =m-2)2-4 x(-l)x(/?z+1)=m2+8,由加 z N O,得/+8 0,所以4 0,即不论m取任何实数，这个二次函数的图象必与x轴有两个交点.（2）由 X +%2 =2 一2
50、0,得机 0,得 0,因此，当 机 0的解集是,不等式x2-3 x-4 0.5 .你能否画出适当的函数图象，求方程?=x +2的解？B组6 .函数？=机/+工 一2%（m是常数）的图象与x轴的交点有（）A.0个 B.1个 C.2个 D.1个或2个7 .已知二次函数y =J+a x +a-2 .（1）说明抛物线y =/+ax +a-2与x轴有两个不同交点；（2）求这两个交点间的距离（关于a的表达式）；（3）a取何值时，两点间的距离最小？（本课学习体会2 6.3实践与探索（4）本课知识重点掌握一元二次方程及二元二次方程组的图象解法.MM及创新思维上节课的作业第5题：画图求方程x?=-x +2的解，