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1、第一章绪论一本章的学习要求(1)会求有效数字。(2)会求函数的误差及误差限。(3)能根据要求进行误差分析。二本章应掌握的重点公式(1)绝对误差：设x为精确值，X*为x的一个近似值，称e*=x*-x为X*的绝对误差。*(2)相对误差：e*=ox(3)绝对误差限：*=k*|=卜*一耳。(4)相对误差限：*=匕W。卜*|卜*|(5)一元函数的绝对误差限：设一元函数/(x)=0,则(/*)=(6)一元函数的相对误差限:w卜由圉虫办二元函数的绝对误差限：设一元函数x,y)=O,则(/*)=导 .()(8)二元函数的相对误差限:三本章习题解析1.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值，（1）试指出它们有几位
2、有效数字，（2）分别估计A =x；x;x3,及4=互 的相对误差限。X 4x；=1.10 21,=0 0 3 1,x；=3 85.6,%*=5 6.4 3 0解：（1）再*有5位有效数字，声*有2 位有效数字，；有 4位有效数字，；有 5 位有效数字。（2）劣二士马心四二马知画 二司与皂二片 由题可知：A；为4的近似值,dx dx2 dx3X；,X2 X*分别为斗,九 2，工 3 近似值。所以匕r(M ldAr a02I;7 X2*X3*xX 10-4+X *%3*x X 10-3 +xi*X2*X X IO-1x x2 x3 _ 2 2 2=0.215则有丝1=_ L,也=_ 上,同 理 有
3、 A,*为 4 的近似值，X；,5*为 ，-X,dx2 x4 8X4 J%的近似值，代入相对误差限公式：xl xl O-3+-2,xl xl O 3X：2(X,7 22.正方形的边长大约为10 0 c m,怎样测量才能使其面积误差不超过l e n?d、解：设正方形的边长为x,则面积为S =x2,=2 x,在这里设x*为边长的近似值，S*为面积的近似值：由题可知：()=(2)即：2x*(x*)wl 推出：,(x*)2003.测得某房间长约L=4.32m,宽约为6=3.12m,且长与宽的误差限均为0.01m,试问房解:间面积S=Ld的误差限和相对误差限分别为多少？=3.1 2 x0.0 1+4.3
4、 2 x0.0 1 =0.0744CM2(1,S的近似值:4.下列公式如何计算才比较准确:(1)当X的绝对值充分小时，计 算 空(2)当N的绝对值充分大时，计 算 占 公；(3)当x的绝对值充分大时，计 算 辰-R。(3x-x x(2x-2x2(e+e)2(e+e)(2)当 网-8 时,严 市i 邛,=arggxN+TN=argfg(N+1)-arg，gN25 .歹 帅，“满足递推关系匕=10 兄 I n=l,2,，若 方=0引.4 1,计算到九时误差有多大？这个计算数值稳定吗？解：已知准确值=痣，近 似 值 =1 4 1，设他们的误 差 为?=,-可，则有：；=|yy卜（10 一1）一（1）
5、。-1）=1.。一升1%。.T 几工|=|（1。乂-1）-（1。1-1 卜 1。瓦-习=1。%以此类推所以8。=|九-习=|（1。儿-1）-（五 叶1 0 血-41 0%=101|/2-1,41|3 2。=急.鬻。6.09 2 叱9 .设 x 的相对误差限为3,求 ”的相对误差限。解：由题意可知：设/（x）=”,则有尸（x）=100X”在这里设x*为 X 的近似值，/*为了的近似值，由已知X的相对误差限为6。所 以：（/*）100 X*99(x*)*)iooz；(r)|/,|lx1=1005X1 0.已知三角形面积S=：absinc,其 中c为弧度，满 足0cM,且a,b,c,的 误 差 分
6、别 为ba,bb,22AvA co证明面积误差A s满 足 一 ITUT+Ac解：由误差定义：As W竺8gdadsdedsdbds似|+|A c|,又 因 为 噜da-Z?sinc,=-a s in c2db 21 abcosc,代入上式可得：A5 Z?sinc22i+a sine2+-abcosc2两 边 同 除 以s可 得：T-1 ,.osin c2_1 ,.-absme21a sine_2_1 ,.a/?sine2一1 a。,cose2_1 ,.a/?sine2Av约分可得：sAc所 以 命 题 空4aaa+a丝bb因为:成 立。JI0cc0.,第二章插值法一 本章的学习要求(1)会用
7、拉格朗11插值和牛顿插值求低阶插值多项式。(2)会应用插值余项求节点数。(3)会应用均差的性质。二 本章应掌握的重点公式(1)线 性 插 值:L (x)=/0(x)y0+lt(x)y,(2)抛物插值：L,(x)=l0(x)y0+lA(x)yt+12(x)y2(3)次插值：L“(x)=/*(x)y。=0(4)拉格朗日插值余项:R“(x)=/(x)-Ln(x)=+1(x)。n 4-1!(5)牛顿插值公式:N(X)=Xo)+/xo,X(x-Xo)+-H xo，x/f(x-Xo)(x-xJ.Y x-x,i)。(6)f x()，X|,f =Z7=1_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
8、_ _ _ h)_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _(x-x)(x-xj (x-x,)(7)n!(8)牛顿插值余项：/?(%)=/(%)-Nn(x)=fx0,xt-xnn+1(x)三本章习题解析1.给定(xj(x)的一系列离散点(1,0),(2,5),(3,6),(4,3),试求 L a gr a n ge插值多项试。解：设所求插值多项式为p(X)=L 3(X)=/o(x)Jo+/I(xy+/2(Xy2，且已知：x()=1,y()=0,x,=2,弘二-5,x2=3,y2=-6,x3=4,y3=3,代入插值基函数公式:可 得：/o W=/仆)=卜 一%)一 工 2)
9、卜 _羽)_(x_ 2)(x_ 3)(x_ 4)(Xo-Xi)(Xo-X2)(Xo-X3)(-l x-2x-3)卜一羽)1 一r)卜一13)(1)(1)卜一4)/2(x)=2 K x 厂无)(l x-l x-2)卜 一00)卜 一%)卜 一03)(x-l)(x 2)(x 4)(X2 一 人)(2 一 笛)(左 一 工3)(2 x 1 x 7)化简代入p(x)得：p(x)=x3-4 x2+32,若/(月=2%6 一3%5+/+1,求/303.36,/3。,31.37。解：由/(6)(x)=2 x 6!,所以：/=2x6!,/)=/(7)=0.由均差的性质(三)可知：/3,3-36=/2x6!6!
10、6!=2，/3(3 37 =，；，=()3.给定函数表工012345/(X),-7-452665128(1)试用L a gr a n ge插值 法 求 一个三次插值多项式4(X)，并由此求/(0.5)的近似值。(2)试用New ton 插值公式求一个三次插值多项式N j X)，并由此求“0.5)的近似值。解：=3,取。5 附近的 4 个点为宜。故取，X。=0,y0=-7,xt=1,y,=-4,x2=2,y2=5 七=3,%=26。则 乙(X)=/(x).y 0 +/仆)/+按照习题1 求出插值基函数。代入(X)。可得：乙(x)=/+2 x-7,所以：“0.5)+2 x 1-7 =-5.8 7
11、5(2)设牛顿插值多项式为N 3（x）=/（%。）+/L（X-X。）+/（x -（X -%）列差商表:Xi一阶插商二阶插商三阶插商0-71-43259332 62 161所以：M（x）=7 +3（x 0）+3（x 0）（x l）+（x 0）（x l）（x 2）=/+2X-7=-5.8 754.设七为互异节点(j=0,l,2,n)求证:E x，。)三 J，女=0,1,2,“其中为六。1 1n次插值基函数。证明：根据题意：设 x)=x ,所 以 有 匕=/(%)=%：,结合上式所以有：%(x)=/(%)/j(x)=/j(x)y =L.(%j，j=0 j=0 J=0 J由余项定理可知T(“=4(%,
12、)+R(力且由定理二可知，当0W/Y时，/?“(勺)=0 所 以 就 有/(勺)=4(勺)=勺、在这里令变量缶=x,所以命题：x，(x)三，成立。0 J J5.设/(x)e c、2 a,可且 a)=/(b)=0,求证：m ax|/(x)|i(/?-a)2 n ax|/(x)|0证明：由题可知：x0=a,y0=Q,玉=6,y=0,故可构造线性插值多项式即为下式：乙。)=/。(3(尤)+/0)/)，记 为 式，因为x)=L(X)+R(x)，记 为 式，其中记为式，将(1)(3)代 入(2)整理：af(x)=L/X)+R/x)=f(a)+f(b)+R =x-a)(x-b)C l D D C l Zl
13、4)/一 /所以：=乙、Z!0 。）（犬 同|这 里 取 苫=下 代“Mx S乙入,可推出：1/（刈“词所“再放缩得m ax2!4axb豳/(x)|6.若f （x）=anxn+an_xn+.+/+旬 有n个 不 同 实 零 点 否，与，证 明：0,0 k n-2,T证明：由题可知：x）有个不同实零点，故/（X）还可以表示成根形式的多项式，即:/(x)=a (x-xl)(x-x2)-(x-x);由导数的定义可知：力x-X jlim/W“（%一 1）（工 厂工2）,（九厂/（%产川）,（工厂,）在此设：，（）=/;nz;=l%,/(有)=J _ 支 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
14、_ _ _ _ _ _ f W _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _aa N(x；-x,),()-%/(%尸 )(厂“)/r-l=4 r 丫 =，返记为（1）式Q,心小%,（1）!当/=刀一 1 时,T(x)=(l)!,则(1)变为；ax当0W女一2,贝 i j（1）式变为0,综上所述：与X,0,0k n-2a：，k=T7.给定函数表X,-2-10123/(“-511172 5已知以上数据取自一个多项式，试确定这个多项式的次数；并求出这个多项式。解：用牛顿法：N(X)=/(X o)+/X o，X (X-X J +/X o，X ,X 2，(X-X 0)(X X
15、)+/x0,xl,x2,x3,x4,x5(x-x0)(x-x1)(x-x2)(x-x3)(x-x4),列插商表:菁f(x.)一阶插商二阶插商三阶插商四阶插商五阶插商-2-5-116010-31100127631032 51 86100N (X)=5 +6(x +2)3(x +2)(x +1)+(x +2)(x +l)(x 0)=x +1,为二次。8.对函数 x）,g（x）及任意常数a,b,证明:+饭工马,4=4上,斗,X +0 g X o，X ,X/。证明：由高等数学的知识，我们构造函数尸（X）=q/（x）+b g（x）,于是就有下式成立：W（x）+b g（x）x,须,相 =b（x）x o，X
16、 ,X,=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _六。（工厂 工（）（%广.（羽-%”）（工 加）=汽_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 一（%）+%（羽）_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _由分式法则：这-（-/）-+/电-虫】-X（x厂 X o）（x广 X）（Xj-XH）（X 二 网）,内（J-X o）（x广 X）（%一%”）=a/x o，x x“+b g x,）,%（，%,所以命题成立。1 0.给定函数
17、表X,0.00.20.40.60.8/(X,)1.0 0 0 0 01.2 2 1 4 01.4 9 1 821.82 2 1 22.2 2 5 5 4试分别用N e w t o n 前插值公式和N e w t o n 后插值公式计算/（0.0 5）的近似值。分析：基于本题内容为教材中的选讲部分，考试不做任何要求。故只给出习题结果，有兴趣的 同 学 可 自 行 解 答，分 别 代 入 N e w t o n 前 插 值 公 式 和 N e w t o n 后 插 值 公 式 可 得“0.0 5)=1.0 5 1 2 6.1 1 .若要给出/.(x)=c o s x,x e 0,擀一的一张按等距
18、步长h分布的函数表，并按线性插值计算任何x G 0,工 的c o s x的值。问当h取多大才能保证其截断误差的绝对值不超过_ 2 _|x l 040分析：基于本题内容为教材中的选讲部分，考试不做任何要求。故只给出习题结果，有兴趣的同学可自行解答，代入余项公式，即可求出 4 0.0 2。1 2 .设1,采用L a g r a n g e 插值余项的证明方法，证明：埃尔米特插值余项R(x)=/(x)一 凡 二(%)=%+?现+G)。分析：基于本题内容为教材中的选讲部分，考试不做任何要求。故只给出习题结果，有兴趣的同学可自行解答，将定理2代入余项公式即可求得，在此不做说明。1 3 .求不超过3次的多
19、项式(x),使其满足”(-1)=9,”(-1)=1 5,”=1,=-1。分析：基于本题内容为教材中的选讲部分，考试不做任何要求。故只给出习题结果，有兴趣的同学可自行解答，设所求多项式为：H(x)=a0+alx+aix2+aix 代入条件，即可求得:H(x)=x3 4 x2+4 x。1 4 .求 不 超 过 4次的多项式P(X),使其满足尸(0)=P(0)=0，P(1)=P(1)=1 ,P(2)=l 分析：基于本题内容为教材中的选讲部分，考试不做任何要求。故只给出习题结果，有兴趣的同学可自行解答，设所求多项式为分析p (x)=g+。/+a2x2+a3x3+a4x4,代入条件，即可求得：p(x)=
20、；x 2(x 3)2。1 5.给定函数表Xi0123小,)00.521.5(1)在边界条件/(0)=02,/=-1 下求三次样条插值函数S(X)；(2)在边界条件/=-0.3,/=3.3 下求三次样条插值函数S(X)。分析：基于本题内容为教材中的选讲部分，考试不做任何要求。故只给出习题结果，有兴趣的同学可自行解答，代入样条插值函数公式，即可求得，在此不做说明。0.48X3-0.18x2+0.2x,xe0,1 结果为：（1）s（x）=-1.04（x-l）3+1.25（x-l）2+1.28（x-l）+0.5,xel,20.68（x-2）3-1.86（X-2）2+0.68（x-2）+2.0,x e
21、2,30.5x3-0.15x2+0.15x,xe0,l（2）s（x）=-1.2（x-l）3+1.35（x-l）2+1.35（x-l）+0.5,xel,21.3（X-2）3-2.2 5（X-2）2+0.4 5（X-2）+2,XG 2,3 第三章函数逼近及最小二乘法一 本章的学习要求（1）会用最小二乘法求拟合曲线。（2）会将非线性函数转化成线性函数。二 本章应掌握的重点公式线性曲线拟合公式：（耙。）=4之（力。（乙 （媒，伪）=（册媒）=的媒伍）r=0i=G（。劭）=公。伍）”（力，=0（媒 J）这 劭 媒。）y/（。=勿 亿）y。1=0f=O三 本章习题解析1.设 媒（x）,“（x）必卜）是区间
22、 0,1 上带权0 3 =的最高项系数为1 的正交多项式序列，其中o（x）=l,求么（x）dx 及）和）。分析：基于本题内容为教材中的选讲部分，考试不做任何要求。故只给出习题结果，有兴趣的同学可自行解答，在这里只给出结果。结果为：h M（x）dx =/x|/?-/(-/?)+1/2-/(0)+1/f/(/?),对于/(x)=d,代入上式验证，左边=右边，继续令/(x)=/,代入上式验证，i =A +4)/38 4,解得：4=4=h9 A =h,-3 3代入原式整理得：/(-/I)-1A-/(X,)+|/7-/(/?),对于 X)=X 3,代入上式验证，左边=右边，继续令 X)=x 4,代入上式
23、验证，左边w右边，即所构造的求积公式具有3次代数精度。,.f 2/?=4+A1(4)设 x)=l,x,求积公式准确成立，代 入(4)式可得4 飞 1解得：x.=,A.=,A.=h,3 2 3代入原式整理得：J (犬 1+对于/(x)=f,代入上式验证，左边=右边。继续令/(%)=k 3,代入上式验证，左边W 右边，即所构造的求积公式具有3次代数精度。3.证 明：1 4/一 苴/(0)+1)-/(1)-0)具有3次代数精度。证明：当 x)=l 时，左边=1,右边=；1+1-看()-0 =1，左边=右边。当 J(x)=x 时,左边二L i i=0 +1-1-1 =左边二右边。当/(1)=/时，左边
24、二:，右边=，0 +1 2 0 =左边=右边。3 2 12 3当 f(X)=d 时,左 边=,右边=,左边=右边。4 4当/(x)=d 时，左边=1，右 边=工，左 边 工 右 边。5 6故所求积公式具有3次代数精度。4.用 复 化 Si m p so n 公式S,计算积分p si n x dx ,要使误差不超过;x l O 7,问应将区间nTT0,-分为多少等份？若改用复化梯形公式时，要达到同样精度问应将区间0,-分2 j L 2.为多少等份?解:复 化Si m p so n公式的余项的绝对值为：困（/）卜-富3兴由此可将原问题转代 _ X4 5化为R（小襦j m a沏心康6 741。解得3
25、 6。同理若应用复化梯形公式，则有工_ 、2庆,（小-等。f m a x卜 叱 匆0 解得：-2 55。12%兀吟 25.求积公式。（x H r A J（）+A J +4尸（），已知其余项表达式为刈/）=信）。试确定求积公式中的待定参数A），A，4,使其代数精度尽量高，并指出求积公式所具有的代数精度及余项表达式。/1 =4+A +4解：设/（x）=l,x,/求积公式准确成立，代入原式可得：1 n,4,4）5=O+A+AZ、g =A解得：Ao=|A =？4 =，所以原式变为:p（x /x|/（o）+|/（i）+ir（o）,当/（x）=x 3时，代入原式，左边=；,右边=；,左边H 右边，in i
26、n 1由 题 意 知 误 差 为:=且/（X）=3!=6,所以求得人=七，即刈/）=_ /，管）为所求，上式求积公式具有3次代数精度。6.若用复化Si m p so n公式计算f/si n xd x,要使误差不超过10，问需要计算多少个节点上的函数值？解：f（x）=-4 e si n x ,在这里取复化Si m p so n公 式 余 项 的 绝 对 值（/）|=b-a418 0代入已知条件得:七si n 4进行放缩得：R 归 焉(J 要闸4/4441 0解得：2 2 6。7.推导下列三种矩形求积公式，其中z/e(a力)(1)/(x)J =(fe-a)/(a)+1/(7 7)(/?-a)2 /
27、(x)Jx =(/?-a),/(/?)-1/(7)(&-)2。(x g =(。-(。-4证明：将“X)在/处展开成一阶泰勒公式，即：f(x)=f(a)+f )(x-a)上式两边在 a,b积分，得：/(犬 加=f/(。9+1/(彳)(-9=/(a)(b-a)+f/(4)(x-g x，这里我们应用广义积分中值定理：/(x)g(x Rx =8何)f/(x*x ,e(a,Z?),于是上式中第二项就化简为如下形式：f/管)(犬一4四=/何)/一4如，”(a,b),积分整理得到：7(x*r =e _ a)/(a)+g r()e a)2。(2)将/(x)在/()处展开成一阶泰勒公式，即：/(x)=/(b)+
28、/，(4)(x 3上式两边在 a,b 积分，得：“x.x =f/e)(/x+工/(g)(x-b)t/x=f(b)(b-a)+f)(x-b)d x,上式中第二项应用广义积分中值定理化简代入即可得：l f(x)d x=(b-a)f(b)-f,()(b-a)2o(3)将/(X)在/(岁)处 展 开 成 二 阶 泰 勒 公 式，即：上式两边在 a,b 积分得:。(浜力仁9+m学人与,+f华仆审由广义积分中值定理 f/(x)g(x*x =g()f f(x)d x,，代入上式第三项化简，然后对上式整体积分即可得：门(加=伍 a)/(早卜4/何)(b 炉8 .对积分/(xg构造一个至少具有三次代数精度的数值
29、求积公式。解：将 0,3三等分，即取节点0,1,2,3.构造求积公式：【：g=4,/()+4 1)+/1)(2)+4 33)，令 )=1，/，X，求积公式准确成立，代入公式得:3=A+A+4+4nA(1=|5=O+A+2 4+3 4,92 解得：Ai =o27O+A+44+9A、A2=18 11 =0+A +84+2 7 44 31 4五所以所构造的求积公式至少具有三次代数精度，即：。(3也+Q +Q(2)+9(3),R o o o o9 .用高斯-勒让德求积公式，取n=2计算定积分f/e Z x。分析：基于本题内容为教材中的选讲部分，考试不做任何要求。故只给出习题结果，有兴趣的同学可自行解答
30、，代入高斯勒让德求积公式：f即可求出:“k=0=0.7 119 4 18 oQ 110.用龙贝格求积公式计算定积分f -d x o小x解：代入复化梯形递推化公式，求得：丁 丁?/(1)+/(3)=(，1)+?川-5)gc，7 丁=J2,-T=,c=3T=竺 羽37 2 37 1 9 02 37 4 31 2 27 04 37 8 3八 9 4 5r =16 =7 9 6,=16 _ J_ _ 28 5 4 8 ,C记 记3而。2-5)4 15 214 17 5c 6 3 1 17 9 9 212R -2.014 7 38 6 7 八 6 4 2 6 4 8 9 302511.若/（）0,证明用
31、梯形公式计算积分几何意义。证明：已知梯形公式为所得的结果比准确值大，并说明其由已知f（x）0及余项公式R,=_色/_/卷）0,也就是/一 /.0即/I造成结果比准确值大。几何意义：由/（X）（）可知曲线为向下凸函数，梯形面积大于曲边梯形面积。第五章常微分方程的数值解法一 本章的学习要求(1)能够熟练的应用欧拉公式求初值问题。(2)掌握龙格库塔方法。二 本章应掌握的重点公式 欧 拉 公 式：=+后退的欧拉公式：l=%+(3)梯形公式：九=%+。三 本章习题解析1.对 初 值 问 题(oj，在 0,1 区间内取步长力=01，分别用欧拉公式、改进的欧拉公式及经典的四阶R ung e-Kut t a
32、公式作数值计算。解：(1)由欧拉公式可知:匕+1=/+/(%“，y j=匕+0*(-)=0.9”(2)由改进的欧拉公式可知:匕=%+/矿卜，%)上=%+妙(%，+广匕)将已知代入化简可得:y/北+Jx(%)=09“儿=儿+h(-几)=0 9 1 匕V =(0.9 V +0.9 1 y )=0.9 0 5 y 。v M+1 2 ，n 1(3)由经典的四阶Runge-Kutta公式可知：-=/(%“，“),/h h .鼠=/%”+5，匕+万人1,A h h ,%3=/1%,+5,匕+%2鼠=/(%,+儿匕+恢3)h公 式 为:+=y“+(占+2&+2/+&J记 为(1)，所以有：6&=一%+0.0
33、5以，k3=%+0.()5)，“一 0.0025yzi，勺=0.1(-x,+0.0 5,-0.0025y).代入到 得:yn+1=y+(-5.70975)=0.9048375yl i.602.用欧拉公式解初值问题4d aaxX+b 证明其整体截断误差为y(%)-y =-a nh-(0)=0“2证明：将已知代入欧拉公式y,=y+_L/(%“,y ),化简为y“M =%+/?%“展开得：匕 匕+痴，+/5应用递推关系可得._小，+浙以此类推：y =y +h ax +h b y+h aXi+h b .yi =y+h aX f)+h b ,然后迭代得：y=皿 二 1 2/2+协，九 2由题可知，对原定
34、解问题积分得：y(x)=+法，故可得+加/?，所以有 y(x“)-y 成乂。3.用欧拉公式计算积分：/)在 x=0-5,1，1 5 2 点的近似值。解：设 力=1 3%,则/卜)=1,且“0)=。,故原问题转化为卜,(”=短 的 定解条件在尤=0，X1=().5,尤=1,尤=1.5,x4=2 时的定解问题。由欧拉公式匕/+%(%,，%)可知：乂=儿+。=0.5,y,=y +0.5e=0.5+0.5e=1.142,、=,+0.54=0.5+0.5e+().5e=2.501,”=y、+().5/=0.5+0.5e+0.54+0.5,=7.245。y+1 0 y =04.用欧拉公式计算初值问题 z/
35、,04 X4 2,取步长 =0.3时，计算结果稳I 。)=1定吗？解：几=1 0,/?=0.3,/1/1 =-3不 在 2 4/1 4 0内，所以计算结果不稳定。5 .对初值问题证明梯形公式求得的近似解为此=(马型丫，并证明当步长y(O)=l 2+h)-o 时，证明:由梯形公式：九=3+(无”上 年,“用，代入y =-y化简可得：v=工+笠-匕一匕/合并同类项，整理可得：、，_ 5、,y,=hy1 +-2由已知y 0 =1，化简得:12+/J”于 是 上 式 化 为/汐 丫，即入“2+h)2-/丫 成立。仪 2+/J由极限定义:2-hlim y=lim/1 O /io12+nI =limI/f
36、 0(2+/?2丫I 2+/ilimh-02+h,-2万 八 万1 +-2hn2+h.-2hnlim-R i。2+/J2+h由斗=Mi代 入，所 以 原 式=脚 2=ex。2+h6 .对初值问题”=i 0 y,如果取，证明欧拉公式求得的近似解为y =(i+W 2。y(O)=l n I n J证明：由欧拉公式：yn+l=y +-/(x,y);将已知代入可得：X l+i=K +-1 0 0 n n=%(1 +岑，迭代可得：y“M=y,i(l+j，同理，以此类推得：加=%(1+等】由可。)=1有 加f+等H+IB t 1.1 0 0即 y“=1 1+8.取步长=0.2,试用经典的四阶龙格一库塔公式求
37、初值问题I君;的“。孙y（0 4）的近似值。解：0=匕+佐+2七+2七+女4），其中怎=7（%,，）=%“+%，攵2=/（%“+g，y +j=x“+y“+代k3=fx+y+k=x+y+0A+0Ak2七=/（x“+/7，y“+侬 3）=%“+y“+2+o%，将 鼠，3,匕，鼠，代入原式:九=%+乩6.74（%.+%）+0.74+0.244卜 +%）+0.24,取节点：Xo=0,X1=0-2,X2=0,4,于是有:x=y+6.984300.764、。+30=1.2428,兀=乂 +6.984300.764+-301.5836359。V10.解初值问题V=1 0 y-t，lK x 九=必7-卢+卷/
38、于,=y：，将以上四式代回原方程得：y 尤+/+*_ 始+打 石+。仇 了现 将y 在y处进行三阶泰勒公式展开:J n+1 J nll III匕+匕+1）y J 记 为（1）式，将v，f ，A在y处分别展开成三阶，二阶，二阶泰勒公式，即：J -1 J +1 J M-1 ，”/7/7/4 r 1 n h 111（3%T=y J?匕+生匕-净匕+。依卜 九d.+Q,+。（万 卜/,：_”：+色 y111+o仇），将上面三式代入式化简可得：匕 尤+”：+知：-（2 3）号y：+W），记 为 式，再 将y 在y处展开成三阶泰勒公式，v=v +h y+lL +IL+O（,记为（3）式，将（2）式与（3）
39、式对比，要想具有三阶精度则：丝 史=,，即卜=一1,6 6当匕工一1时，生虫具有二阶精度。6 613.求系数a，b,c,d使 公 式 九 f +1有 乂）。.卜解：将V，f ，f ，在y处分别展开成四阶，三阶，三阶泰勒公式，即：J n-l J n-l J n+l n+/n=yn/I/?+o1/4人/+on2-I2-!yA-2A-2人一3九T+-/A/”y/yf =V-h y +J n-l n n将以上儿式代入原式，整理可得:yy=ay n+h(-a+c+b+d)y+b-d h y y +h y y +-h4y y对照Jv M+I 在Jy n处的四阶泰勒公式展开式的各阶系数，即可求出相应的未知数
40、，1 4解得。=1,b=d=,c=o3 314.对于初值问题的模型方程y=Ay(A Y 0),求二阶Runge-Kutta方法yn+i=X,+|(+2)8时，l i m k =lim0,则称该迭代过程具有p阶收敛。三 本章习题解析1 .用二分法求方程/-8-1 =0 在 1,2 内的近似根，准确到I O，分析：基于本题内容为教材中的选讲部分，考试不做任何要求。故只给出习题结果，有兴趣的同学可自行解答，在这里只给出结果。结果为：无 9 =132 5。2.证明用二分法得到的序列 xk为线性收敛。分析：基于本题内容为教材中的选讲部分，考试不做任何要求。故只给出习题结果，有兴趣的同学可自行证明。提示：
41、,一 炉 卜 景,旧 川 7“归皆。3 .设有方程/=/一 /一 1 =0 ,(1)证明该方程在区间 1,2 上有唯一根V。(2)证 明 迭 代 公 式=板 石 优=0,1,2,)对于任意初值与e l,2 都是收敛的，并用此迭代公式求其近似根直到有8 位有效数字。证明：(1)由题可知：/(1)=-1 0,/(2)=30,且/(2)/(1)0,即/(x)单调递增，原命题成立。(2)证明：已知,即(x)=m,由“(x)=；(一+-2x =3J：康 1 所以对任意初值x(,6 1,2 都收敛。同学们可以任选初值进行8次迭代，或上机操作完成。4.对于e(x)=x +a(f5),要使迭代公式=局部收敛到
42、x*=6,求 a 的取值范围。解：由(x)=x +a(X2-5),可知，(x)=l +2 ex,由收敛定理：,(石)卜 1,即卜+2 a 闽 1,解 得:_ 与 。0。5,用迭代法尸(羽)求方程x)=d，_xT=0的根，求，使迭代序列 x,具有局部平方收敛。证 明:已 知 乂 广 乂 故 可 得:(x)=x T(x)x),对。(x)求导得：“(x)=l-/(x)“x)+X(x)尸(叫，设*是 x)=0 的根,即：/(%)=0,所以上式化简为:=，由题可知原式具有平方收敛，故由/(x*)=0,可求得:1L 仆)3(x*)-2x*-1一般化为：A/M=3(4=_，记 为(1)式,-2x-l3，现
43、将(1)式代入(x)=x-4(x)/(x)可得：(x)=x-X -X -x-l3X2-2X-对(x)求二阶导，将“X)的根X*代入得：0(x*)=6 厂2_,由于3(x*)-2x-l 3所以。由 收 敛 定 理 知，原命题成立。6 .给定函数/(X)设对一切X,尸(x)都存在，月。证明对烹的任意常数2,迭代法乂T =乂 _可(1)均收敛于方程f(x)=O的根。证明：由羽T=尤-火 羽)，即：0(x)=x-A/(x),所以：口=犷,又因为：0 c m 4/(x)4 M，所以可放缩为：0 A m A fr(x)AM.又因为：0 4 一,代入上式，继续放缩：0 力舞/1/1)/1知=2,Mv 7 M
44、两边取负号：-2 -2/z(x)-A m 0 H-l 1-2M l-2/z(x)l-2A n 0，即：”4/等价于W(x)|l,由收敛定理知方程收敛。7.用N ew t on法求下列方程的根，准确到四位有效数字。(1)/(工)=工3一3工 一1 =0在%=2附近的根；(2)/(1)=%2-3%一屋+2=0在工0 =1附近的根。解：本题为上机题。提示：(1)由牛顿迭代公式：(X=X-1 LL,代入化简可得:)fM6)=心 4-3元-1,在此任取4 =1附的值进行迭代即可。(2)同理。34-38.求方程/-2 x-5=0在%=2附近的一个根，将方程改写成下列等价形式，并建立相应的迭代公式：(1)x
45、 =j2x+5,迭代公式X k+i=2Xk+5(2)x =迭代公式工“=(2+V X k,.3(3)x =x -x-5,迭 代 公 式=-1*-5试分析每种迭代公式的收敛性；并选取一种收敛最快的迭代公式求出具有五位有效数字的近似根。解：(1)经验证取有根区间为 2,3 ,由已知可得。(x)=#2x +5,从而:/(v)-2-在有根区间 2,3 内/卜)|1，即迭代公式收敛。(2)(3)同理。9.用弦截法求下列方程的根，准确到四位有效数字。(1)/()=*3 +10 _20 =0在区间口.5,2 内的根；(2)f(x)=x 3 3 x l =0 在 7 =2 附近的根。分析：基于本题内容为教材中
46、的选讲部分，考试不做任何要求。故只给出习题结果，有兴趣的同学可自行解答，在此只给出结果:(1)x 1.59 45621 o (2)1.879 10 .方程/-4x 2+4=0 有二重根/=行，用 N ew t on 法和为1网-加 毕&分 别 迭 代 三卜 f M次，比较其结果。解:应用 N ew t on 法，设/(x)=x4-4/+4=0 ,可得：f(x)=4x3-8x 1.代入牛顿迭代公式：r ,=r -4 即得：(X)=X-一 +4,现取初值I *r(x j -4X3-8Xx =l,进行迭代：。=1.25,=1.3 1464,0(%)=1.42547619。应 用 迭 代 公 式 4-
47、机 华 4,则机=2,即0(x)=x 2止 当 士 X4,同样f(4)4x -8x取初值 x =l 进行迭代：)=1.5,=1.421254,(x2)=1.414213 5 11.应 用 N ew t on 法 于 方 程 a=0,导出求标的迭代公式，并由此计算1 画的具有四位有效数字的近似值。解：设“x)=x 3-“=0,所以：/(x)=3f,由N ew t on 迭代公式x*+1=z 一 半)，即：0(x)=x-慢，整理得：0(x)=x _.，此即为所求的迭代公式。八 尸(x)、)3 x2卜面求画，由已知可知，此时a =1 2 0,代入迭代公式0(x)=x-取初值0=4 进行迭代：夕(o)
48、=5.1666,0)=4.9 4423，0(%,)=4.9 3 24415。13.解:应用N ew t on 法于方程尤-a =0 ,导出求标的迭代公式，并求l i m 而 2(标 T2(1)由x-a =0,设/(尤)=x -a =0 ,/(x)=n x T。建立牛顿迭代公式:=_伞!，代入整理：=记为我的迭代公式。f(玉)n)n由定理2.定理3.可知：.幺虫=l i m&匚-一 线 3(4 打门)=得，将。(力代入上式X最终化简为：I(-。2/Z(x )(2)所以原证明=-li mi Ja-Xk*-8Xk+近I=l im-=1F ，这里:2线2/(x)/(x)=x -a,/卜*)=(标 广。
49、/(x*)=n(乂 而J,代入上式即可求得原式二段春1 4.设/(x)具有二阶连续导数，/(x*)=O j/(x*)o O,证明迭代公式x _ _ _ _ _ _ _r E)_ _ _ _ _ _ 是二阶收敛的。%*/(4+/伍)-/()分析：基于本题内容为教材中的选讲部分，考试不做任何要求。故只给出习题结果，有兴趣的同学可自行证明，提示：将/(%+/()在 点 做T a r lo r展开到二阶，再将公式两边同时减去乙，求极限li m 。i -X*)第七章解线性方程组的直接解法一本章的学习要求（1）会求各种向量范数和矩阵范数。（2）会求普半径和条将数。（3）能够将不同类型的矩阵分解成LU形式并
50、能解该方程组。二 本章应掌握的重点公式矩阵的各种范数:“=鳖孤，Ml卜 曙 珈,|，|A卜府硒。向 量 的 各 种 范 数 小 卜噌I#II#轲II#瓯。（3）当系数矩阵为对称矩阵时，普半径等于二范数。三 本章习题解析1.用高斯消去法解线性方程组7 x,+x2-x3=32xj+4X2+2X3=1-X 1 +x2+3X3=2、(3=1解：将其写成矩阵形式为:形式:7 12 41-1233、12)72-1-123-14112-1-2、13 ,现对其增广矩阵进行初等变换化为如下-16-382 8T-2531,将其还原，此时求解141x3 7 1 2,=2、7000原方程组的问题就变为解:H期1 2,