数值分析课后题答案.pdf

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1、我尽一杯，与君发三愿：一愿世清平，二愿身强健，三愿临老头，数与君相见。白居易勿以恶小而为之，勿以善小而不为。刘备 数值分析 第二章 2当1,1,2x 时，()0,3,4f x,求()f x的二次插值多项式。解：0120121200102021101201220211,1,2,()0,()3,()4;()()1()(1)(2)()()2()()1()(1)(2)()()6()()1()(1)(1)()()3xxxf xf xf xxxxxl xxxxxxxxxxxl xxxxxxxxxxxl xxxxxxx 则二次拉格朗日插值多项式为 220()()k kkL xy lx 0223()4()14

2、(1)(2)(1)(1)23537623l xl xxxxxxx 6设,0,1,jxjnL为互异节点，求证：（1）0()nkkjjjx l xx (0,1,);knL（2）0()()0nkjjjxx l x (0,1,);knL 证明（1）令()kf xx 若插值节点为,0,1,jxjnL，则函数()f x的n次插值多项式为0()()nknjjjL xx l x。插值余项为(1)1()()()()()(1)!nnnnfR xf xL xxn 又,knQ 以铜为镜，可以正衣冠；以古为镜，可以知兴替；以人为镜，可以明得失。旧唐书魏征列传一寸光阴一寸金，寸金难买寸光阴。增广贤文(1)()0()0nn

3、fR x 0()nkkjjjx l xx (0,1,);knL 00000(2)()()()()()()nkjjjnnjik ikjjjinnik iikj jijxx l xC xxl xCxx l x 0in Q又 由上题结论可知 0()nkijjjx l xx 0()()0nik iikikCxxxx原式 得证。7 设2(),f xCa b且()()0,f af b求证：21max()()max().8a x ba x bf xbafx 解：令01,xa xb，以此为插值节点，则线性插值多项式为 10101010()()()xxxxL xf xf xxxxx =()()xbxaf af

4、babxa 1()()0()0f af bL xQ又 插值余项为1011()()()()()()2R xf xL xfx xxxx 011()()()()2f xfx xxxx 好学近乎知，力行近乎仁，知耻近乎勇。中庸忍一句，息一怒，饶一着，退一步。增广贤文012012102()()1()()21()41()4xxxxxxxxxxbaQ又 21max()()max().8a x ba x bf xbafx 8在44x 上给出()xf xe的等距节点函数表，若用二次插值求xe的近似值，要使截断误差不超过610，问使用函数表的步长 h 应取多少 解：若插值节点为1,iixx和1ix，则分段二次插值

5、多项式的插值余项为 2111()()()()()3!iiiR xfxxxxxx 211441()()()()max()6iiixR xxxxxxxfx 设步长为 h，即11,iiiixxh xxh 43432123().6273 3R xehe h 若截断误差不超过610，则 62436()10310270.0065.R xe hh 9若442,.nnnnyyy求及，解：根据向前差分算子和中心差分算子的定义进行求解。2nny 44(1)nnyEy 百川东到海，何时复西归？少壮不尽力，老大徒伤悲。汉乐府长歌行老当益壮，宁移白首之心；穷且益坚，不坠青云之志。唐王勃 44044044044(1)4(

6、1)4(1)2(2 1)2jjnjjnjjjjnjnnnEyjyjyjyy 114422()nnyEEy 14422422()(1)2nnnnEEyEyy 1674()31,f xxxx求0172,2,2F L及0182,2,2F L。解：Q74()31f xxxx 若2,0,1,8iixiL 则()01(),!nnff x xxnL(7)017()7!,17!7!ff x xxL(8)018(),08!ff x xxL 19 求 一 个 次 数 不 高 于4次 的 多 项 式P（x），使 它 满 足(0)(0)0,(1)(1)0,(2)0PPPPP 解法一：利用埃米尔特插值可得到次数不高于

7、4 的多项式 0101010,10,10,1xxyymm 丈夫志四方，有事先悬弧，焉能钧三江，终年守菰蒲。顾炎武以铜为镜，可以正衣冠；以古为镜，可以知兴替；以人为镜，可以明得失。旧唐书魏征列传11300201001012()()()()(1 2)()(12)(1)jjjjjjHxyxmxxxxxxxxxxx x 210110102()(1 2)()(32)xxxxxxxxxx x 2021()(1)()(1)xx xxxx 22323()(32)(1)2Hxx xxxxx 设22301()()()()P xHxA xxxx 其中，A 为待定常数 3222(2)1()2(1)PP xxxAxx

8、Q 14A 从而221()(3)4P xxx 解法二:采用牛顿插值，作均差表：ix)(ixf 一阶均差 二阶均差 0 1 2 0 1 1 1 0 -1/2,)(,)()()(210101000 xxxfxxxxxxfxxxpxp)()()(210 xxxxxxBxA)2)(1()()2/1)(1(0 xxxBxAxxx 又由,1)1(,0)0(pp 得,41,43BA 所以.)3(4)(22xxxp 常将有日思无日，莫待无时思有时。增广贤文万两黄金容易得，知心一个也难求。曹雪芹第四章 1.确定下列求积公式中的特定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度：1012101

9、2112120(1)()()(0)();(2)()()(0)();(3)()(1)2()3()/3;(4)()(0)()/2(0)();hhhhhf x dxA fhA fA f hf x dxA fhA fA f hf x dxff xf xf x dxh ff hahff h 解：求解求积公式的代数精度时，应根据代数精度的定义，即求积公式对于次数不超过 m 的多项式均能准确地成立，但对于 m+1 次多项式就不准确成立，进行验证性求解。（1）若101(1)()()(0)()hhf x dxA fhA fA f h 令()1f x，则1012hAAA 令()f xx，则110A hAh 令2(

10、)f xx，则3221123hh Ah A 从而解得011431313AhAhAh 令3()f xx，则 3()0hhhhf x dxx dx 101()(0)()0A fhA fA f h 故101()()(0)()hhf x dxA fhA fA f h成立。令4()f xx，则4551012()52()(0)()3hhhhf x dxx dxhA fhA fA f hh 故此时，101()()(0)()hhf x dxA fhA fA f h 我尽一杯，与君发三愿：一愿世清平，二愿身强健，三愿临老头，数与君相见。白居易百川东到海，何时复西归？少壮不尽力，老大徒伤悲。汉乐府长歌行故101(

11、)()(0)()hhf x dxA fhA fA f h 具有 3 次代数精度。（2）若21012()()(0)()hhf x dxA fhA fA f h 令()1f x，则1014hAAA 令()f xx，则110A hAh 令2()f xx，则32211163hh Ah A 从而解得011438383AhAhAh 令3()f xx，则 22322()0hhhhf x dxx dx 101()(0)()0A fhA fA f h 故21012()()(0)()hhf x dxA fhA fA f h成立。令4()f xx，则 22452264()5hhhhf x dxx dxh 51011

12、6()(0)()3A fhA fA f hh 故此时，21012()()(0)()hhf x dxA fhA fA f h 因此，21012()()(0)()hhf x dxA fhA fA f h 具有 3 次代数精度。（3）若1121()(1)2()3()/3f x dxff xf x 令()1f x，则1121()2(1)2()3()/3f x dxff xf x 令()f xx，则 120123xx 令2()f xx，则 22122123xx 从而解得120.28990.5266xx 或120.68990.1266xx 百川东到海，何时复西归？少壮不尽力，老大徒伤悲。汉乐府长歌行志不强

13、者智不达，言不信者行不果。墨翟令3()f xx，则 11311()0f x dxx dx 12(1)2()3()/30ff xf x 故1121()(1)2()3()/3f x dxff xf x不成立。因此，原求积公式具有 2 次代数精度。（4）若20()(0)()/2(0)()hf x dxh ff hahffh 令()1f x，则 0(),hf x dxh 2(0)()/2(0)()h ff hahffhh 令()f xx，则 200221()21(0)()/2(0)()2hhf x dxxdxhh ff hahffhh 令2()f xx，则 23002321()31(0)()/2(0)

14、()22hhf x dxx dxhh ff hahffhhah 故有 33211232112hhaha 令3()f xx，则 340024441()41111(0)()/2(0)()12244hhf x dxx dxhh ff hhffhhhh 令4()f xx，则 450025551()51111(0)()/2(0)()12236hhf x dxx dxhh ff hhffhhhh 故此时，云路鹏程九万里，雪窗萤火二十年。王实甫以家为家，以乡为乡，以国为国，以天下为天下。管子牧民201()(0)()/2(0)(),12hf x dxh ff hhff h 因此，201()(0)()/2(0)

15、()12hf x dxh ff hhff h 具有 3 次代数精度。7。若用复化梯形公式计算积分10 xIe dx，问区间0,1应多少等分才能使截断误差不超过610 解：采用复化梯形公式时，余项为 2()(),(,)12nbaRfh fa b 又10 xIe dxQ 故(),(),0,1.xxf xefxe ab 221()()1212neRfhfh 若 610fRn，则 当对区间0,1进行等分时，1,hn 故有12106en 因此，将区间 476 等分时可以满足误差要求 第五章 2.用改进的欧拉方法解初值问题,1)0(;10,yxyxy 取步长 h=计算，并与准确解xexy21相比较。近似解

16、 准确解 近似解 准确解 3、解：改进的欧拉法为 1112(,)(,(,)nnnnnnnnyyh f xyf xyhf xy 将2(,)f x yxxy代入上式，得 好学近乎知，力行近乎仁，知耻近乎勇。中庸百学须先立志。朱熹 2111111221nnnnnnhhhxxx xyhy 同理，梯形法公式为 211122(1)(1)hhnnnnnnhhyyxxxx 将00,0.1yh代入上二式，计算结果见表 95 表 95 nx 改进欧拉ny|()|nny xy 梯形法ny|()|nny xy 01 02 03 04 05 0005500 00 00 00 07 30.33741803610 30.6

17、5825307810 30.96260818210 20.12507167210 20.15229166810 0005238095 00 00 00 08 40.75513278110 30.13664877810 30.18545965310 30.22373844310 30.25304808710 可见梯形方法比改进的欧拉法精确。4、用梯形方法解初值问题,1)0(;0yyy 证明其近似解为,22nnhhy 并证明当0h时，它原初值问题的准确解xey。证明：梯形公式为 111(,)(,)2nnnnnnhyyf xyf xy 代(,)f x yy 入上式，得 112nnnnhyyyy 大丈

18、夫处世，不能立功建业，几与草木同腐乎？罗贯中我尽一杯，与君发三愿：一愿世清平，二愿身强健，三愿临老头，数与君相见。白居易解得 21110222()()()222nnnnhhhyyyyhhh 因为01y，故 2()2nnhyh 对0 x，以 h 为 步 长 经 n 步 运 算 可 求 得()y x的 近 似 值ny，故,xxnh nh代入上式有 2()2xhnhyh 22220000222limlim()lim(1)lim(1)222xxhh xxhhhhhnhhhhhhhyehhh 10.证明解),(yxfy 的下列差分公式)34(4)(211111nnnnnnyyyhyyy 是二阶的，并求出

19、截断误差的首项。23(1)(2)(3)31()26nnnnnhhyyhyyyo h，2(1)(2)(3)21()2nnnnhyyhyyo h，23(1)(2)(3)31()26nnnnnhhyyhyyyo h，2(1)(2)(3)21()2nnnnhyyhyyo h，代入得3(3)325()()8nh yo ho h，截断误差首项为3(3)58nh y。12.将下列方程化为一阶方程组：1）;1)0(,1)0(,023 yyyyy (1),32yz zzy，其中(0)1,(0)1yz。2）;0)0(,1)0(,0)1(1.02 yyyyyy(2)2,0.1(1)yz zyzy，其中(0)1,(0

20、)0yz。其身正，不令而行；其身不正，虽令不从。论语人人好公，则天下太平；人人营私，则天下大乱。刘鹗第六章 1、用二分法求方程210 xx 的正根,要求误差小于.解 设2()1,(1)10,(2)10f xxxff ,故1,2为()f x的有根区间.又()21fxx,故当102x时,()f x单增,当12x 时()f x单增.而15(),(0)124ff ,由单调性知()0f x 的惟一正根*(1,2)x.根据二分法的误差估计式知要求误差小于,只需110.052k,解得15.322k ,故至少应二分 6 次.具体计算结果见表 7-7.表 7-7 k ka kb kx()kf x 的符号 0 1

21、 2 3 4 5 1 2 2 -+-即5*1.609375xx.3、为求3210 xx 在01.5x 附近的一个根,设将方程改写成下列等价形式,并建立相应的迭代公式:(1)211xx,迭代公式1211kkxx;(2)321xx,迭代公式1231(1)kkxx;(3)211xx,迭代公式111kkxx.试分析每种迭代公式的收敛性,并选取一种公式求出具有四位有效数字的近似根.解 取01.5x 的邻域,来考察.(1)当1.3,1.6x时,233122()11.3,1.6,|()|11.3xxLxx ,故迭代公式丹青不知老将至，贫贱于我如浮云。杜甫一寸光阴一寸金，寸金难买寸光阴。增广贤文1211kkx

22、x 在1.3,1.6上整体收敛.(2)当1.3,1.6x时 2 1/3222233()(1)1.3,1.6221.6|()|0.522133(1)(1 1.3)xxxxLx 故1231(1)kkxx在,上整体收敛.(3)3/2111(),|()|12(1)2(1.61)1xxxx故111kkxx发散.由于(2)的 L 叫小,故取(2)中迭代式计算.要求结果具有四位有效数字,只需 311|*|1012kkkLxxxxL 即 33111|100.5 102kkLxxL 取01.5x 计算结果见表 7-8.表 7-8 k k 1 2 3 4 5 6 由于3651|102xx,故可取 7、用下列方法求

23、3()310f xxx 在02x 附近的根.根的准确值*1.87938524.x,要求计算结果准确到四位有效数字.(1)用牛顿法;(2)用弦截法,取012,1.9xx;(3)用抛物线法,取0121,3,2xxx.解 22(1)0,(2)0,()333(1)0,()60fff xxxfxx,对1,2.x (1)取02x,用牛顿迭代法 kxkx百川东到海，何时复西归？少壮不尽力，老大徒伤悲。汉乐府长歌行人不知而不愠，不亦君子乎？论语 331223121333(1)kkkkkkkxxxxxxx 计算得312211.888888889,1.879451567,|*|102xxxx,故2*1.87945

24、1567xx.(2)取212,1.9xx,利用弦截法 111()()()()kkkkkkkxxf xxxf xf x 得,3234411.981093936,1.880840630,1.879489903,|*|102xxxxx,故取4*1.879489903xx.(3)0121,3,2xxx.抛物线法的迭代式为 121211212()()4(),()kkkkkkkkkkkkkkf xxxwsign wwf xf xxxwf xxf xxxxx 迭代结果为:3451.953967549,1.87801539,1.879386866xxx已达四位有效数字.12.应用牛顿法于方程03ax，导出求立

25、方根3a的迭代公式，并讨论其收敛性。令axxf3)(，迭代公式为 23231323)()(kkkkkkkkkxaxxaxxxfxfxx。2332)(xaxx，则3)2(332)(xax，所以0)(a，又 42)(axx，所以02)(3/1 aa，因此迭代格式为线性收敛。15、证明迭代公式 212(3)3kkkkxxaxxa 是计算a的三阶方法.假定初值0 x充分靠近根*xa,求 我尽一杯，与君发三愿：一愿世清平，二愿身强健，三愿临老头，数与君相见。白居易人不知而不愠，不亦君子乎？论语 12lim()kkkaxax 证明 记22(3)()3x xaxxa,则迭代式为1()kkxx且()aa.由()x的定义,有 22(3)()(3)xaxx xa 对上式两端连续求导三次,得 22226()(3)()336()12()(3)()618()18()(3)()6xxxaxxaxxxxaxxxxxxax 代xa依次入上三式,并利用()aa,得 3()0,()0,()02aaaa 所以由定理知,迭代公式是求a的三阶方法且 12131lim3!24()kkkaxaaaxg