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1、 第 1 页 共 10 页 整式的乘除与因式分解全章复习与巩固 要点一、幂的运算 1.同底数幂的乘法：(为正整数)；同底数幂相乘，底数不变，指数相加.2.幂的乘方：(为正整数)；幂的乘方，底数不变，指数相乘.3.积的乘方：(为正整数)；积的乘方，等于各因数乘方的积.4.同底数幂的除法：(0,为正整数，并且).同底数幂相除，底数不变，指数相减.5.零指数幂：即任何不等于零的数的零次方等于 1.要点诠释：公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式，还可以表示多项式；灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁 要点二、整式的乘法和除法 1.单项式乘以单项式 第 2 页 共 10 页 单项式与单项式相
2、乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.2.单项式乘以多项式 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即(都是单项式).3.多项式乘以多项式 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.要点诠释：运算时，要注意积的符号，多项式中的每一项前面的“”“”号是性质符号，单项式乘以多项式各项的结果，要用“”连结，最后写成省略加号的代数和的形式根据多项式的乘法，能得出一个应用比较广泛的公式：.4.单项式相除 把系数、相同字母的幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里出现的字母
3、，则连同它的指数一起作为商的一个因式 要点三、乘法公式 1.平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.要点诠释：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.2.完全平方公式：；整数并且同底数幂相除底数不变指数相减零指数幂即任何不等于零的数的零次方等于要点诠释公式中的字母可以表示项式乘以单项式第页共页单项式与单项式相乘把他们的系数相同字母分别相乘对于只在一个单项式里含有的字母则连的积相加即都是单项式多项式乘以多项式多项式与多项式相乘先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一
4、项再把 第 3 页 共 10 页 两数和(差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的 2 倍 要点四、因式分解 把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.因式分解的方法主要有:提公因式法,公式法,分组分解法,十字相乘法,添、拆项法等.要点诠释：落实好方法的综合运用：首先提取公因式，然后考虑用公式；两项平方或立方，三项完全或十字；四项以上想分组，分组分得要合适；几种方法反复试，最后须是连乘式；因式分解要彻底，一次
5、一次又一次 因式分解 专题过关 1将下列各式分解因式（1）3p26pq；（2）2x2+8x+8 分析：（1）提取公因式 3p 整理即可；（2）先提取公因式 2，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解 2将下列各式分解因式（1）x3yxy （2）3a36a2b+3ab2 分析：（1）首先提取公因式 xy，再利用平方差公式进行二次分解即可；（2）首先提取公因式 3a，再利用完全平方公式进行二次分解即可 整数并且同底数幂相除底数不变指数相减零指数幂即任何不等于零的数的零次方等于要点诠释公式中的字母可以表示项式乘以单项式第页共页单项式与单项式相乘把他们的系数相同字母分别相乘对于只在一个单项式里含有的
6、字母则连的积相加即都是单项式多项式乘以多项式多项式与多项式相乘先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项再把 第 4 页 共 10 页 3分解因式（1）a2（xy）+16（yx）；（2）（x2+y2）24x2y2 分析：（1）先提取公因式（xy），再利用平方差公式继续分解；（2）先利用平方差公式，再利用完全平方公式继续分解 4分解因式：（1）2x2x；（2）16x21；（3）6xy29x2yy3；（4）4+12（xy）+9（xy）2 分析：（1）直接提取公因式 x 即可；（2）利用平方差公式进行因式分解；（3）先提取公因式y，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解；（4）把（xy）看作整体
7、，利用完全平方公式分解因式即可 5因式分解：（1）2am28a；（2）4x3+4x2y+xy2 分析：（1）先提公因式 2a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解；（2）先提公因式 x，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解 6将下列各式分解因式：（1）3x12x3 （2）（x2+y2）24x2y2 分析：（1）先提公因式 3x，再利用平方差公式继续分解因式；（2）先利用平方差公式分解因式，再利用完全平方公式继续分解因式 整数并且同底数幂相除底数不变指数相减零指数幂即任何不等于零的数的零次方等于要点诠释公式中的字母可以表示项式乘以单项式第页共页单项式与单项式相乘把他们的系数相同字母分别相乘
8、对于只在一个单项式里含有的字母则连的积相加即都是单项式多项式乘以多项式多项式与多项式相乘先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项再把 第 5 页 共 10 页 7因式分解：（1）x2y2xy2+y3；（2）（x+2y）2y2 分析：（1）先提取公因式 y，再对余下的多项式利用完全平方式继续分解因式；（2）符合平方差公式的结构特点，利用平方差公式进行因式分解即可 8对下列代数式分解因式：（1）n2（m2）n（2m）；（2）（x1）（x3）+1 分析：（1）提取公因式 n（m2）即可；（2）根据多项式的乘法把（x1）（x3）展开，再利用完全平方公式进行因式分解 9分解因式：a24a+4b2 分
9、析：本题有四项，应该考虑运用分组分解法观察后可以发现，本题中有 a 的二次项 a2，a 的一次项4a，常数项 4，所以要考虑三一分组，先运用完全平方公式，再进一步运用平方差公式进行分解 10分解因式：a2b22a+1 分析：当被分解的式子是四项时，应考虑运用分组分解法进行分解本题中有 a 的二次项，a 的一次项，有常数项所以要考虑 a22a+1 为一组 11把下列各式分解因式：（1）x47x2+1；（2）x4+x2+2ax+1a2 （3）（1+y）22x2（1y2）+x4（1y）2 （4）x4+2x3+3x2+2x+1 整数并且同底数幂相除底数不变指数相减零指数幂即任何不等于零的数的零次方等于
10、要点诠释公式中的字母可以表示项式乘以单项式第页共页单项式与单项式相乘把他们的系数相同字母分别相乘对于只在一个单项式里含有的字母则连的积相加即都是单项式多项式乘以多项式多项式与多项式相乘先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项再把 第 6 页 共 10 页 分析：（1）首先把7x2变为+2x29x2，然后多项式变为 x42x2+19x2，接着利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可求解；（2）首先把多项式变为 x4+2x2+1x2+2axa2，然后利用公式法分解因式即可解；（3）首先把2x2（1y2）变为2x2（1y）（1y），然后利用完全平方公式分解因式即可求解；（4）首先把多项式变为 x
11、4+x3+x2+x3+x2+x+x2+x+1，然后三个一组提取公因式，接着提取公因式即可求解 12把下列各式分解因式：（1）4x331x+15；（2）2a2b2+2a2c2+2b2c2a4b4c4；（3）x5+x+1；（4）x3+5x2+3x9；（5）2a4a36a2a+2 分析：（1）需把31x 拆项为x30 x，再分组分解；（2）把 2a2b2拆项成 4a2b22a2b2，再按公式法因式分解；（3）把 x5+x+1 添项为 x5x2+x2+x+1，再分组以及公式法因式分解；（4）把 x3+5x2+3x9 拆项成（x3x2）+（6x26x）+（9x9），再提取公因式因式分解；（5）先分组因式
12、分解，再用拆项法把因式分解彻底 整数并且同底数幂相除底数不变指数相减零指数幂即任何不等于零的数的零次方等于要点诠释公式中的字母可以表示项式乘以单项式第页共页单项式与单项式相乘把他们的系数相同字母分别相乘对于只在一个单项式里含有的字母则连的积相加即都是单项式多项式乘以多项式多项式与多项式相乘先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项再把 第 7 页 共 10 页 13x2y3xy6y 2 m(n 2)m2(2 n)3(m23m)48(m23m)216 4x27x60 53x22xy8y2 6a28ab33b2 7 x43x22 8 x2axbxab 9 9x212xy 36y2 10a42a2
13、b2b4a2b2 119(x y)212(x2y2)4(x y)2 12(2y 3x)22(3x 2y)1 13(a b)24(a2b2)4(a b)2 14a2(b c)22ab(a c)(b c)b2(a c)2 15 3a2x4b2y3b2x4a2y 162a24ab2b28c2 17m2(p q)pq；18(x22x)22x(x 2)1；19(x y)212(y x)z 36z2；整数并且同底数幂相除底数不变指数相减零指数幂即任何不等于零的数的零次方等于要点诠释公式中的字母可以表示项式乘以单项式第页共页单项式与单项式相乘把他们的系数相同字母分别相乘对于只在一个单项式里含有的字母则连的积
14、相加即都是单项式多项式乘以多项式多项式与多项式相乘先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项再把 第 8 页 共 10 页 20 x24ax8ab4b2；21(x 1)29(x 1)2；224a2b2(a2b2c2)2；23ab2ac24ac4a；24x24xy3y2；25x2y218xy144；26x42x28；27m418m217；28x52x38x；29x819x5216x2；30(x27x)(x27x)+10 24；31(x2x)(x2x1)2；32x2y2x2y24xy1；33(x 1)(x 2)(x 3)(x 4)48；34x2y2xy；35ax2bx2bxax2a2b；36a2
15、b22acc2；37a3ab2ab；38625b4(a b)4；38x24xy4y22x4y35；40m2a24ab4b2；415m 5nm22mn n2 整数并且同底数幂相除底数不变指数相减零指数幂即任何不等于零的数的零次方等于要点诠释公式中的字母可以表示项式乘以单项式第页共页单项式与单项式相乘把他们的系数相同字母分别相乘对于只在一个单项式里含有的字母则连的积相加即都是单项式多项式乘以多项式多项式与多项式相乘先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项再把 第 9 页 共 10 页 1(p q)(m 1)(m 1)8(x 2b)(x 4a2b)114(2x 1)(2 x)20(x 3y)(x
16、 y)21(x 6)(x 24)整数并且同底数幂相除底数不变指数相减零指数幂即任何不等于零的数的零次方等于要点诠释公式中的字母可以表示项式乘以单项式第页共页单项式与单项式相乘把他们的系数相同字母分别相乘对于只在一个单项式里含有的字母则连的积相加即都是单项式多项式乘以多项式多项式与多项式相乘先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项再把 第 10 页 共 10 页 27(3 2a)(2 3a)31(x y)(x y1)38(x 2y7)(x 2y5)整数并且同底数幂相除底数不变指数相减零指数幂即任何不等于零的数的零次方等于要点诠释公式中的字母可以表示项式乘以单项式第页共页单项式与单项式相乘把他们的系数相同字母分别相乘对于只在一个单项式里含有的字母则连的积相加即都是单项式多项式乘以多项式多项式与多项式相乘先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项再把