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1、向 量 的 数 乘 运 算学 习 目 标1.了解向量数乘的概念.2.理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘的运算律 进行向量运算.3.理解并掌握向量共线定理及其判定方法向量的数乘运算1狗、猫和老鼠狗、猫和老鼠老鼠由B处以6 m/s的速度向正东奔跑，狗由A处以6 m/s的速度向正西奔跑，猫由A处以5 m/s的速度向正东奔跑，问：老鼠和狗能否相遇？猫和老鼠能否相遇？可以用向量解决这个问题吗？已知非零向量a，作出aaa和(a)(a)(a)它们的长度和方向分别是怎样的？向量的加法问题一提示：aaa的长度是a长度的3倍，与a的方向相同，(a)(a)(a)是a长度的3倍，与a的方向相反分别记作：3a和
2、-3aaaaa a a a知 识 梳 理一般地，我们规定实数与向量a的积是一个 ，这种运算叫做向量的 ，记作 ，其长度与方向规定如下：(1)|a|.(2)a(a0)的方向：特别地，当0时，a .当1时，(1)a .向量当 时，与a的方向相同；当 时，与a的方向相反.数乘a|a|000a(1)数乘向量与实数的乘法的区别，前者的结果是一个向量，后者的结果是一个实数(2)要注意实数与向量可以求积，但是不能进行加减运算.注意aaa例1(多选)已知，R，且a0，则在以下各命题中，正确的命题是A.0时，a的方向与a的方向一定相同方向的规定0与a是共线向量|a|a|方向的规定的正负决定向量a(a0)的方向，
3、的大小决定a的模.反思感悟跟踪训练1向量的模向量的线性运算2类比实数乘法的运算律，你能猜想向量的数乘有哪些运算律？问题二提示：结合律，分配律知 识 梳 理1.数乘运算的运算律设，为实数，那么(1)(a).(2)()a .(3)(ab).特别地，()aa ，(ab).()aaaab(a)ab(1)结合律是指实数的结合；(2)分配率有两种形式.注意2.向量的线性运算向量的 、运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a，b，以及任意实数，1，2，恒有(1a2b).加减数乘1a2b(1)若a2bc，则化简3(a2b)2(3bc)2(ab)等于A.a B.bC.c D.以上都不对解析原式3a6b6b2c2
4、a2ba2b2c2bc2b2cc.例2运算律例2(2)若3(xa)2(x2a)4(xab)0，则x_.解析由已知，得3x3a2x4a4x4a4b0，所以x3a4b0，所以x4b3a.运算律4b3a反思感悟方程法向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解方程的方法求解，同时在运算过程中多注意观察，恰当的运用运算律，简化运算.向量线性运算的基本方法向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，例如，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”、“公因式”是指向量，实数看作是向量的系数.类比法跟踪训练2计算：(1)6(3a2b)9(2
5、ab)；解原式18a12b18a9b3b.(2)6(abc)4(a2bc)2(2ac).解原式6a6b6c4a8b4c4a2c(6a4a4a)(8b6b)(6c4c2c)6a2b.用已知向量表示其他向量3例3如图所示，在正方形ABCD中，E为BC的中点，F为AE的中点，则 等于解析 利用向量的三角形法则，可得E为BC的中点，F为AE的中点，则反思感悟用已知向量表示其他向量的两种方法直接法方程法当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程.跟踪训练3解析如图，ABC的三边BC，CA，AB的中点分别是D，E，F，向量共线
6、定理4知 识 梳 理(1)向量共线定理中规定a0；(2)的值是唯一存在的；(3)向量共线定理可分为判定定理与性质定理.注意向量共线定理向量a(a0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使 .baWhy?例4设a，b是不共线的两个向量.(1)若 2ab，3ab，a3b，求证：A，B，C三点共线；A，B，C三点共线.向量共线定理的判定定理例4(2)若8akb与ka2b共线，求实数k的值.解8akb与ka2b共线，存在实数，使得8akb(ka2b)，即(8k)a(k2)b0，解得2，k24.向量共线定理的性质定理证明A，B，C三点共线，令x1，y，xy1.延伸探究反思感悟向量共线定理的应用三点共线求参数已知向量共线求，常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解.判定A，B，C三点是否共线，只需看是否存在实数，使得 (或 等)即可.跟踪训练41.知识清单：(1)向量的数乘及运算律.(2)向量共线定理.(3)三点共线的常用结论.2.方法归纳：数形结合、分类讨论.3.常见误区：忽视零向量这一个特殊向量.课堂小结