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1、第四章 控制系统的瞬态响应(时间响应）数学模型-采用不同的分析方法来分析系统的性能。经典控制理论中常用的工程方法有经典控制理论中常用的工程方法有 时域分析法时域分析法-时间响应时间响应(动态性能）动态性能）根轨迹法根轨迹法 频率特性法频率特性法-频率响应频率响应分析内容分析内容v v 瞬态性能瞬态性能-快速性快速性v v 稳态性能稳态性能-准确性准确性v v 稳定性能稳定性能-稳定性稳定性 时域分析法-系统在典型输入信号的作用下，其输出响应随时间变化规律的方法。对于任何一个稳定的控制系统，输出响应含有瞬态分量和稳态分量。瞬态分量 由于输入和初始条件引起的，随时间的推移而趋向消失的响应部分，它提
2、供了系统在过渡过程中的各项动态性能的信息。稳态分量 过渡过程结束后,系统达到平衡状态，它反映了系统的稳态性能或误差。时域响应：系统在输入信号作用下，其输出随时间的变化过程，即为系统的时域响应。瞬态响应：系统在输入信号的作用下其 输出量从初始状态到稳定状态的响应过程。稳态响应：系统在输入信号的作用下，系统在时间趋于无穷时的输出状态。稳态响应也称静态，瞬态响应也称为过渡过程在分析时域响应时，选择典型输入信号的好处：数学处理简单。给定典型系统下的性能指标，便于分析、设计系统。典型输入的响应往往可以作为分析复杂输入时的系统性能的依据。便于进行系统辨识，确定未知环节的传递函数。总结：选择哪种函数作为典型
3、输入信号，应视不同系统的具体工作条件而定。控制系统的输入量随时间变化斜坡函数 导弹发射脉冲函数 往复运动正弦 突然闭合断点阶跃4-1、一阶系统的瞬态响应 能够用一阶微分方程描述的系统称为一阶系统。它的典型形式是一阶惯性环节，即 T为时间常数，T0一、一阶系统的单位阶跃响应 进行拉氏反变换，得txo(t)T5T斜率=1/T0.6322T 3T 4T0.6320.8650.950.9820.993当初始条件为零时，单位阶跃响应的变化函数是单调上升的指数曲线；1为稳态分量，为瞬态分量（衰减系数为 1/T）；当t时，瞬态分量衰减为零；不会超过稳态值1。-非周期响应。响应曲线的初始（t=0时）斜率为.如
4、果系统保持初始响应的变化速度不变，则当t=T时，输出量就能达到稳态值。响应曲线的斜率是不断下降的，t=T，输出量c(t)从零上升到稳态值的63.2%;t=3T4T，c(t)将分别达到稳态值的95%98%。-时间常数T反应了系统的响应速度，T越小，输出响应上升越快，响应过程的快速性也越好。斜率1C(t)0.95T 3T0.632图 图4-2 4-2 一阶系统的单位阶跃响应 一阶系统的单位阶跃响应 由c(t)表达式可知，只有当t趋于无穷大时，响应的瞬态过程才能结束，在实际应用中，常以输出量达到稳态值的95%或98%的时间作为系统的响应时间（即调节时间），这时输出量与稳态值之间的偏差为5%或2%。系
5、统单位阶跃响应曲线可用实验的方法确定，将测得的曲线与图4-2的曲线作比较，就可以确定该系统是否为一阶系统或等效为一阶系统。用实验的方法测定一阶系统的输出响应由零值开始到达稳态值的63.2%所需的时间，就可以确定系统的时间常数T。单位脉冲响应为由此可见，系统的单位脉冲响应就是系统闭环传递函数的拉氏变换。(t0(t0）(4-4)(4-4)0.368 0.368C(t)C(t)3T 3T斜率 斜率C(t)C(t)T T 2T 2Tt t图 图4-3 4-3 一阶系统的脉冲响应 一阶系统的脉冲响应二、一阶系统的单位脉冲响应二、一阶系统的单位脉冲响应 设系统的输入为单位脉冲函数设系统的输入为单位脉冲函数
6、r(t)=r(t)=(t),(t),其拉氏变换为其拉氏变换为R(s)=1,R(s)=1,则输出的拉氏变换则输出的拉氏变换为为 一阶系统的单位脉冲响应是单调下降的指数曲线，曲线的初始斜率为，输出量的初始值为。t时，输出量c()零，所以它不存在稳态分量。一般认为在t=3T4T时过渡过程结束，故系统过度过程的快速性取决于T的值，T越小，系统响应的快速性也越好。一阶系统的特权性由参数T来表述，响应时间为T；在t=0时，单位阶跃响应的斜率和单位脉冲响应的幅值均为1/T。式中，t-T为稳态分量 为瞬态分量，当t时，瞬态分量衰减到零。(t0(t0）(4-3)(4-3)T Tt tT TC(t)C(t)r(t
7、)=t r(t)=to o图 图4-4 4-4 一阶系统的单位斜坡响应 一阶系统的单位斜坡响应三、一阶系统的单位斜坡响应三、一阶系统的单位斜坡响应 设系统的输入为单位斜坡函数设系统的输入为单位斜坡函数r(t)=tr(t)=t，其拉氏变换为其拉氏变换为 则输出的拉氏变换为则输出的拉氏变换为系统的响应从t=0时开始跟踪输入信号而单调上升，在达到稳态后，它与输入信号同速增长，但它们之间存在跟随误差。可见，当t，误差T，即：系统在进入稳态以后，在任一时刻，输出量c(t)将小于输入量r(t)一个T的值，时间常数T越小，系统跟踪斜坡输入信号的稳态误差也越小。由上可见，系统对输入信号导数的响应，等于系统对输
8、入信号响应的导数。而系统对输入信号积分的响应，等于系统对原输入信号响应的积分。积分常数由初始条件确定。这是线性定常系统的一个重要特性。4-3 二阶系统的瞬态响应 用二阶微分方程描述的系统称为二阶系统。从物理上讲，二阶系统总包含两个贮能源，能量在两个元件间交换，引起系统具有往复振荡的趋势。当阻尼不够充分大时，系统呈现出振荡的特性，所以二阶系统也称为二阶振荡环节。二阶系统的典型传函：-阻尼比，-无阻尼自然频率 二阶系统的典型传递函数形式：其中，一、二阶系统的单位阶跃响应1、01，称为欠阻尼。-阻尼自然频率。即 t0当01时，二阶系统的单位阶跃响应是以d为角频率的衰减振动。随着的减小，其振荡幅值加大
9、。2、当=1时，称为临界阻尼。此时，二阶系统的极点是二重根。可表示为：进行拉氏反变换得：t0 可见，系统没有超调。txo(t)3、当1时，称为过阻尼。此时，二阶系统的极点是两个负实根。可表示为：进行拉氏反变换得：其响应曲线如图：系统没有超调，且过渡过程时间较长。txo(t)4、当=0时，称为零阻尼 二阶系统的极点为一对共轭虚根。其传递函数可表示为：t0 其响应曲线如图。系统称为等幅振荡（无阻尼的结果）。0125、当0时，称为负阻尼。其分析方法与以上类似，只是其响应表达式的各指数相均变为正指数，故随时间t，其输出xo(t)，其单位阶跃响应是发散。txo(t)txo(t)总结：单位阶跃系统的响应曲
10、线与特征方程根的关系。阻尼比：由大到小到零到负。对根的影响：左半平面的从左到右直到虚轴，直到右半平面。对响应曲线影响：无振荡 振荡 等幅振荡 发散由图P49可知：二阶系统的单位阶跃响应随着阻尼比的减小，其振荡特性愈剧烈,但仍为衰减振荡。当=0时，达到等幅振荡。二、二阶系统的单位脉冲响应 输入为单位脉冲：R(s)=1 根据的值的不同有不同的输出：（1）欠阻尼情况（01）对 于 上 式 进 行 拉 氏 反 变 换,可 得 系 统 的 单 位脉冲响应为：（2）临界阻尼情况(=1)对上式进行拉氏反变换：（3）过阻尼情况(1)对上式进行拉氏反变换：二阶系统的脉冲响应也可由二阶系统的单位阶跃响应求导后得到
11、。4-4、二阶系统的瞬态响应指标 一、瞬态响应指标 评价一个系统的优劣，总是用一定的性能指标来衡量的。性能指标可以在时域里提出，也可以在频域里提出。时域里的性能指标比较直观。对于具有贮能元件的系统（即大于或等于一阶的系统）受到输入信号作用时，一般不是立即反应，总是表现出一定的过渡过程。瞬态响应指标是在欠阻尼二阶系统单位阶跃响应的波形基础上给出的。tXo(t)1、定义：上升时间：响应曲线从零时刻到首次到达稳态值所需的时间，即响应曲线从零上升到稳态值所需的时间。有些系统没有超调，理论上到达稳态值时间需要无穷大。因此，人们也将上升时间 定义为响应曲线从稳态值的10%上升到稳态值的90%所需要的时间。
12、峰值时间：响应曲线从零时刻上升到第一个峰值所需要的时间。tXo(t)最大超调量：响应曲线的最大峰值与稳态值的差,即或 用百分数表示的最大超调量 有时也用%表示。调整时间：响应曲线达到并永远保持在误差范围%内所需的时间。振荡次数N：在调整时间 内响应曲线振荡的次数。在以上各性能指标中：、和 反应系统快速性；和 N反应系统的平稳性。2、二阶系统的瞬态响应指标研究二阶系统最重要的是研究欠阻尼情况。二阶系统：其极点：求上升时间：将 代入上式得：(n=0，1,2)n=1,求峰值时间：响应曲线从零时刻上升到第一个峰值所需要的时间。即(n=0，1，2)因为，且峰值时间为第一次到达峰值所需时间，故：求最大超调
13、量：响应曲线的最大峰值与稳态值的差。将 代入 求调整时间：响应曲线达到并永远保持在误差范围%内所需的时间。则曲线 为其包络线。欲使系统的误差进入5%的误差范围解：得当 较小时，同理，欲使欠阻尼二阶系统进入2%的误差范围，则由上可见：当阻尼比 一定时，无阻尼自然频率n越大，则调整时间 越小，即系统响应越快。当n一定时，对 求极值。则=0.707时，响应最快。求振荡次数：在调整时间内，响应曲线振荡的次数。若取=0.02时，可得 由以上两式可知，振荡次数N仅 与有关。越大，N越小,系统的平稳性越好。所以N也反映了系统的阻尼特性.由以上讨论可以看出：二阶系统的特征参量n和 与系统过渡过程的性能有着密切
14、的关系。要使二阶系统具有满意的动态性能，必须选取合适的无阻尼固有频率n和阻尼比。例：有一位置控制系统，其方块图如图所示，当系统输入单位阶跃函数时，要求Mp=5%，试：（1）校核该系统的各参数是否满足要求；（2）在原系统中增加一阶微分环节负反馈如图 求满足要求时的微分反馈时间常数。R(s)C(s)aR(s)C(s)b解：（1）将系统的闭环传递函数写成 标准形式：可知，此二阶系统的由得：MP=35%(5%)因此，该系统不满足本题要求（2）由（b）所示系统的闭环传递函数为由得：为了满足题目要求Mp=5%从本题看出：当系统加入微分负反馈，相当于增大了系统的阻尼比，改善了系统的相对稳定性，即减小了Mp但
15、没有改变系统的无阻尼自然频率Wn。4-6、具有闭环零点的二阶系统的响应分析 具有零点的二阶系统，闭环传递函数的典型形式为：其中，零点：当 时，-p1,-p2为一对共轭复极点。这里，零极点在S平面的分布如图：P1P2-zj S在输入单位阶跃信号时,可见其输出包括两部分：第一部分为典型二阶系统的单位阶跃响应；第二部分为附加零点引起的分量，它使系统 的上升加快，超调量增大。4-7、高阶系统的阶跃响应 实际控制系统大多数是高阶系统，它的动态性能指标的确定比较困难。如果能将二阶系统的分析结果与分析方法应用于高阶系统的分析，那么，高阶系统动态性能指标确定又变得十分简单了。这就是应用主导极点及忽略偶极子的影
16、响的概念。一、闭环主导极点：如果高阶系统中，所有其它极点的实部比距离虚轴最近的闭环极点的实部大5 倍以上，并且在该极点附近不存在闭环零点。则这种离虚轴最近的闭环极点将对系统的瞬态响应起主导作用，称之为闭环主导极点。用闭环主导极点代替全部闭环极点来分析系统的动态性能，而非主导极点产生的动态过渡分量很快衰减。如：拉氏反变换：其中，指数项 是由闭环极点s1=-10产生的，余弦项 是由共轭复数极点 产生的。两者比较可知：指数项迅速衰减且幅值很小，可忽略。所以，其中 称为闭环主导极点。一般说来，在S平面上最靠近虚轴的闭环极点是闭环主导极点。这种情况就可用二阶系统或一阶系统来分析。二、偶极子 一对相距很近
17、的闭环极点和闭环零点称为偶极子。例如：式中 0。系统有一对复数极点和一个偶极子，极点为-a 零点为-(a+)输入单位阶跃响应：0 即偶极子影响可忽略，阶跃响应主要由极点-1j1所决定。三、结论 闭环零、极点之间的距离比它们本身的模值小一个数量级，则这对零极点就构成了偶极子。略去偶极子和比闭环主导极点距虚轴达5倍以上的零极点，这样在全部闭环零极点中，选留最靠近虚轴，而又不十分靠近闭环零点的一个或几个闭环极点作为闭环主导极点。在实际应用中，比主导极点距离虚轴达23倍的闭环零极点，也可考虑为略去。4-8、稳态误差分析与计算 评价一个系统的性能包括瞬态性能和稳态性能两大部分。瞬态响应的性能指标可以评价
18、系统的快速性和平稳性。系统的准确性要用误差来衡量。一、稳态误差的基本概念 误差信号e(t)：希望输出信号 与实际输出信号 之差。稳态误差：t时，系统的误差。即：偏差信号：输入信号 与反馈信号 之差。而 在控制系统中，是用输入信号去控制输出信号的变化规律，即它们之间存在理想的函数关系:当时，即控制对的控制达到理想状态。此时，即由上式得：这便是偏差与误差之间的关系式,如果求出了稳态偏差也就求出了稳态误差。如果，即系统为单位反馈时二、稳态误差的计算1、单位反馈系统：偏差传函=误差传函：或根据终值定理：G(s)Xi(s)Xo(s)2、对于非单位反馈系统，偏差与误差而偏差：G(s)H(s)三、输入信号作
19、用下的稳态误差与系统结构的关系 图示为一反馈控制系统：其中开环传函为：式中，、都不含s=0的因子，且分母的阶次高于分子的阶次。G(s)H(s)定义：当=0时，称系统为0型系统。当=1时，称系统为型系统。当=2时，称系统为型系统。下面分析单位阶跃、单位斜坡和单位加速度三种信号输入时系统的稳态误差。以进行讨论。以下假定：（1）输入阶跃函数时,表示信号的幅值，是常数。则稳态误差为：上述表示：在阶跃输入下，系统消除误差的条件是：即：开环传函中至少要有一个积分环节。（2）输入速度信号（斜坡函数）其中，常数表示输入信号速度的大小，系统的稳态误差为：上式表明，斜坡信号输入下系统消除误差的条件是：（3）输入等
20、加速信号（抛物线函数）常数是加速度的大小，则则系统的稳态误差为：这种情况下，系统消除误差的条件是：即：开环传函中至少要有三个积分环节。将三种典型信号输入下的稳态误差与系统型别的关系列于下表：系统型别 阶跃输入 斜坡输入 抛物线函数输入 0 0 0 0 0 0 0 从表中可看出，在主对角线上，稳态误差是有值的；在对角线以上，稳态误差为无穷大；在对角线以下，稳态误差为零。另外，增加系统开环传递函数中的积分环节和增大开环增益K是消除和减少系统稳态误差的途径，但增大r和K都会造成稳定性的变坏。因此，需合理选择参数。例：控制系统方块图如图所示。今欲保持 且在单位斜坡信号下的稳态误差 求其中的参数kf 和
21、 kA。kAKf sXi(s)Xo(s)得：Ka=200 Kf=18解：例：某系统如图所示，求：（1）该系统的阻尼比；（2）调整时间（3）写出系统在单位阶跃信号作用下的输出 2(3s+1)1/(9s2)_Xi(s)Xo(s)解（1）（2）（3）例题：某单位负反馈系统的传函当输入单位阶跃信号时，输出达到0.98的时间为20秒，问当输入信号R(t)=4t时，系统的误差为多少？解法一：当 时，代入上式即可求得T,解法二：例题：已知某二阶系统在单位阶跃信号作用下，其输出 求该系统的时域性能参数、解法一：解法二：例题：某单位负反馈系统的闭环传函为：求当单位速度信号输入时系统的稳态误差。解：（1）此系统为二阶系统，故对单位速度信 号的误差为0（2）例题：某二阶系统在单位阶跃信号作用时的输出为：求：（1）峰值时间；（2）系统的解法一：解法二：例题：控制系统如图所示，其中输入，证明当时，稳态时系统的输出能无误差地跟踪单位斜坡输入信号。解：图 控制系统的方块图 闭环传递函数只要令，就可以实现系统在稳态时无误差地跟踪单位斜坡输入。