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1、第四章第四章 控制系统的瞬态响应控制系统的瞬态响应 (时间响应）时间响应）数学模型-采用不同的分析方法来分析系统的性能。经典控制理论中常用的工程方法有经典控制理论中常用的工程方法有 时域分析法时域分析法-时间响应时间响应(动态性能）动态性能）根轨迹法根轨迹法 频率特性法频率特性法-频率响应频率响应分析内容分析内容vv 瞬态性能瞬态性能-快速性快速性vv 稳态性能稳态性能-准确性准确性vv 稳定性能稳定性能-稳定性稳定性 时时域域分分析析法法-系统在典型输入信号的作用下，其输出响应随时间变化规律的方法。对于任何一个稳定的控制系统，输出响应含有瞬态分量和稳态分量。瞬瞬态态分分量量 由于输入和初始条
2、件引起的，随时间的推移而趋向消失的响应部分，它提供了系统在过渡过程中的各项动态性能的信息。稳稳态态分分量量 过渡过程结束后,系统达到平衡状态，它反映了系统的稳态性能或误差。时域响应时域响应：系统在输入信号作用下，其输系统在输入信号作用下，其输出随时间的变化过程，即为系统的时域响应出随时间的变化过程，即为系统的时域响应。瞬态响应瞬态响应：系统在输入信号的作用下其系统在输入信号的作用下其 输出量从初始状态到稳定状态的响应过程输出量从初始状态到稳定状态的响应过程。稳稳态态响响应应：系系统统在在输输入入信信号号的的作作用用下下，系系统在时间趋于无穷时的输出状态统在时间趋于无穷时的输出状态。稳态响应稳态
3、响应也称也称静态静态，瞬态响应瞬态响应也称为也称为过渡过程过渡过程在分析时域响应时，选择典型输入信号的好处：在分析时域响应时，选择典型输入信号的好处：数数学学处处理理简简单单。给给定定典典型型系系统统下下的的性性能能指指标标，便便于分析、设计系统。于分析、设计系统。典典型型输输入入的的响响应应往往往往可可以以作作为为分分析析复复杂杂输输入入时时的的系统性能的依据。系统性能的依据。便于进行系统辨识，确定未知环节的传递函数。便于进行系统辨识，确定未知环节的传递函数。总总结结：选选择择哪哪种种函函数数作作为为典典型型输输入入信信号号，应应视不同系统的具体工作条件而定。视不同系统的具体工作条件而定。控
4、制系统的输入量随时间变化控制系统的输入量随时间变化斜坡函数斜坡函数 导弹发射导弹发射脉冲函数脉冲函数 往复运动往复运动正弦正弦 突然闭合断点突然闭合断点阶跃阶跃4-14-1、一阶系统的瞬态响应、一阶系统的瞬态响应 能能够够用用一一阶阶微微分分方方程程描描述述的的系系统统称称为为一一阶阶系统。它的典型形式是一阶惯性环节，即系统。它的典型形式是一阶惯性环节，即 T T为时间常数为时间常数，T0T0一、一阶系统的单位阶跃响应一、一阶系统的单位阶跃响应 进行拉氏反变换，得进行拉氏反变换，得txo(t)T5T斜率=1/T0.6322T3T4T0.6320.8650.950.9820.993当初始条件为零
5、时，单位阶跃响应的变化函数是单调上升的指数曲线；1为稳态分量，为瞬态分量 （衰减系数为 1/T）；当t时，瞬态分量衰减为零；不会超过稳态值1。-非周期响应。响应曲线的初始（t=0时）斜率为 .如果系统保持初始响应的变化速度不变，则当t=T时，输出量就能达到稳态值。响应曲线的斜率是不断下降的，t=T，输出量c(t)从零上升到稳态值的63.2%;t=3T4T，c(t)将分别达到稳态值的95%98%。-时间常数T反应了系统的响应速度，T越小，输出响应上升越快，响应过程的快速性也越好。斜率1C(t)0.95T3T0.632图图4-2 4-2 一阶系统的单位阶跃响应一阶系统的单位阶跃响应 由c(t)表达
6、式可知，只有当t趋于无穷大时，响应的瞬态过程才能结束，在实际应用中，常以输出量达到稳态值的95%或98%的时间作为系统的响应时间（即调节时间），这时输出量与稳态值之间的偏差为5%或2%。系统单位阶跃响应曲线可用实验的方法确定，将测得的曲线与图4-2的曲线作比较，就可以确定该系统是否为一阶系统或等效为一阶系统。用实验的方法测定一阶系统的输出响应由零值开始到达稳态值的63.2%所需的时间，就可以确定系统的时间常数T。单位脉冲响应为由此可见，系统的单位脉冲响应就是系统闭环传递函数的拉氏变换。(t0(t0）(4-4)4-4)0.3680.368C(t)C(t)3T3T斜率斜率C(t)C(t)T T2T
7、2Tt t图图4-3 4-3 一阶系统的脉冲响应一阶系统的脉冲响应二、一阶系统的单位脉冲响应二、一阶系统的单位脉冲响应 设系统的输入为单位脉冲函数设系统的输入为单位脉冲函数r(t)=r(t)=(t),t),其拉氏变换为其拉氏变换为R(s)=1,R(s)=1,则输出的拉氏变换则输出的拉氏变换为为 一阶系统的单位脉冲响应是单调下降的指数曲线，曲线的初始斜率为 ，输出量的初始值为 。t时，输出量c()零，所以它不存在稳态分量。一般认为在t=3T4T时过渡过程结束，故系统过度过程的快速性取决于T的值，T越小，系统响应的快速性也越好。一阶系统的特权性由参数T来表述，响应时间为T；在t=0时，单位阶跃响应
8、的斜率和单位脉冲响应的幅值均为1/T 。式中，t-T为稳态分量 为瞬态分量，当t时，瞬态分量衰减到零。(t0(t0）(4-3)4-3)T Tt tT TC(t)C(t)r(t)=tr(t)=to o图图4-4 4-4 一阶系统的单位斜坡响应一阶系统的单位斜坡响应三、一阶系统的单位斜坡响应三、一阶系统的单位斜坡响应 设系统的输入为单位斜坡函数设系统的输入为单位斜坡函数r(t)=tr(t)=t，其拉氏变换为其拉氏变换为 则输出的拉氏变换为则输出的拉氏变换为系统的响应从t=0时开始跟踪输入信号而单调上升，在达到稳态后，它与输入信号同速增长，但它们之间存在跟随误差。可见，当t，误差T，即：系统在进入稳
9、态以后，在任一时刻，输出量c(t)将小于输入量r(t)一个T的值，时间常数T越小，系统跟踪斜坡输入信号的稳态误差也越小。由上可见，由上可见，系统对输入信号导系统对输入信号导数的响应，等于系统对输入信号响数的响应，等于系统对输入信号响应的导数应的导数。而系统对输入信号积分。而系统对输入信号积分的响应，等于系统对原输入信号响的响应，等于系统对原输入信号响应的积分。积分常数由初始条件确应的积分。积分常数由初始条件确定。这是定。这是线性定常系统线性定常系统的一个重要的一个重要特性。特性。4-3 4-3 二阶系统的瞬态响应二阶系统的瞬态响应 用二阶微分方程描述的系统称为二阶系统用二阶微分方程描述的系统称
10、为二阶系统。从物理上讲，二阶系统总包含两个贮能源，从物理上讲，二阶系统总包含两个贮能源，能量在两个元件间交换，引起系统具有往能量在两个元件间交换，引起系统具有往复振荡的趋势。当阻尼不够充分大时，系复振荡的趋势。当阻尼不够充分大时，系统呈现出振荡的特性，所以二阶系统也称统呈现出振荡的特性，所以二阶系统也称为二阶振荡环节。为二阶振荡环节。二阶系统的典型传函：二阶系统的典型传函：-阻尼比，阻尼比，-无阻尼自然频率无阻尼自然频率 二阶系统的典型传递函数形式二阶系统的典型传递函数形式：其中，其中，一、二阶系统的单位阶跃响应一、二阶系统的单位阶跃响应1 1、0 01 1，称为欠阻尼。，称为欠阻尼。-阻尼自
11、然频率。阻尼自然频率。即 t0t0当当0 01 1时时，二二阶阶系系统统的的单单位位阶阶跃跃响响应应是是以以d d为为角角频频率率的的衰衰减减振振动动。随随着着的的减减小小，其振荡幅值加大。其振荡幅值加大。2 2、当、当=1=1时，称为时，称为临界阻尼临界阻尼。此时，二阶系统的极点是二重根。可表示为：此时，二阶系统的极点是二重根。可表示为：进行拉氏反变换得：t0 可见，系统没有超调。txo(t)3 3、当、当11时，称为过阻尼。时，称为过阻尼。此时，二阶系统的极点是两个负实根。可此时，二阶系统的极点是两个负实根。可表示为：表示为：进行拉氏反变换得：其响应曲线如图：其响应曲线如图：系统没有超调，
12、且过渡过程时间较长。系统没有超调，且过渡过程时间较长。txo(t)4 4、当、当=0=0时，称为零阻尼时，称为零阻尼 二阶系统的极点为一对共轭虚根。其传递函数可二阶系统的极点为一对共轭虚根。其传递函数可表示为：表示为：t0t0 其响应曲线如图。其响应曲线如图。系统称为等幅振荡（无阻尼的结果）。系统称为等幅振荡（无阻尼的结果）。0125 5、当、当01)对上式进行拉氏反变换：二阶系统的脉冲响应也可由二阶系统的单位阶跃响应求导后得到。4-44-4、二阶系统的瞬态响应指标、二阶系统的瞬态响应指标 一、一、瞬态响应指标瞬态响应指标 评评价价一一个个系系统统的的优优劣劣，总总是是用用一一定定的的性性能能
13、指指标标来来衡衡量量的的。性性能能指指标标可可以以在在时时域域里里提提出出，也也可可以以在在频频域域里里提提出出。时时域域里里的的性性能能指指标标比比较较直直观观。对对于于具具有有贮贮能能元元件件的的系系统统（即即大大于于或或等等于于一一阶阶的的系系统统）受受到到输输入入信信号号作作用用时时，一一般般不不是是立立即即反反应应，总总是是表现出一定的过渡过程。表现出一定的过渡过程。瞬瞬态态响响应应指指标标是是在在欠欠阻阻尼尼二二阶阶系系统统单单位阶跃响应的波形基础上给出的位阶跃响应的波形基础上给出的。tXo(t)1 1、定义：、定义：上上升升时时间间 ：响响应应曲曲线线从从零零时时刻刻到到首首次次
14、到到达达稳稳态态值值所所需需的的时时间间，即即响响应应曲曲线线从从零零上上升升到稳态值所需的时间到稳态值所需的时间。有有些些系系统统没没有有超超调调，理理论论上上到到达达稳稳态态值值时时间间需需要要无无穷穷大大。因因此此，人人们们也也将将上上升升时时间间 定定义义为为响响应应曲曲线线从从稳稳态态值值的的10%10%上上升升到到稳稳态态值值的的90%90%所需要的时间。所需要的时间。峰值时间峰值时间 ：响应曲线从零时刻上升到第一：响应曲线从零时刻上升到第一个峰值所需要的时间。个峰值所需要的时间。tXo(t)最大超调量 ：响应曲线的最大峰值与稳态值的差,即或 用百分数表示的最大超调量 有时也用%表
15、示。调整时间 ：响应曲线达到并永远保持在误差范围%内所需的时间。振荡次数N：在调整时间 内响应曲线振荡的次数。在以上各性能指标中：、和 反应系统快速性；和 N反应系统的平稳性。2、二阶系统的瞬态响应指标研究二阶系统最重要的是研究欠阻尼情况。二阶系统：其极点：求上升时间 ：将 代入上式得：(n=0，1,2)n=1,求峰值时间 ：响应曲线从零时刻上升到第一个峰值所需要的时间。即 (n=0，1，2)因为 ，且峰值时间为第一次到达峰值所需时间，故：求最大超调量 ：响应曲线的最大峰值与稳态值的差。将 代入 求调整时间 ：响应曲线达到并永远保持在误差范围%内所需的时间。则曲线 为其包络线。欲使系统的误差进
16、入5%的误差范围解：得当 较小时，同理，欲使欠阻尼二阶系统进入2%的误差范围，则由上可见：当阻尼比 一定时，无阻尼自然频率n越大，则调整时间 越小，即系统响应越快。当n一定时，对 求极值。则 =0.707时，响应最快。求求振振荡荡次次数数：在在调调整整时时间间内内，响响应应曲曲线线振振荡的次数。荡的次数。若取若取=0.02=0.02时，可得时，可得 由由以以上上两两式式可可知知，振振荡荡次次数数N N仅仅 与与有有关关。越越大大，N N越越小小,系系统统的的平平稳稳性性越越好好。所所以以N N也也反映了系统的阻尼特性反映了系统的阻尼特性.由由以以上上讨讨论论可可以以看看出出：二二阶阶系系统统的
17、的特特征征参参量量n n和和 与与系系统统过过渡渡过过程程的的性性能能有有着着密密切切的的关关系系。要要使使二二阶阶系系统统具具有有满满意意的的动动态态性性能能，必必须须选选取取合合适适的的无无阻阻尼尼固固有有频频率率n n和阻尼比和阻尼比 。例：例：有一位置控制系统，其方块图如图所示，当系有一位置控制系统，其方块图如图所示，当系统输入单位阶跃函数时，要求统输入单位阶跃函数时，要求Mp=5%Mp5%)因此，该系统不满足本题要求因此，该系统不满足本题要求（2）由（b）所示系统的闭环传递函数为由得：为了满足题目要求为了满足题目要求Mp=5%Mp=5%从本题看出：当系统加入微分负反馈，相当于增大了系
18、从本题看出：当系统加入微分负反馈，相当于增大了系统的阻尼比，改善了系统的相对稳定性，即减小了统的阻尼比，改善了系统的相对稳定性，即减小了MpMp但但没有改变系统的无阻尼自然频率没有改变系统的无阻尼自然频率WnWn 。4-6 4-6、具有闭环零点的二阶系统的响应分析、具有闭环零点的二阶系统的响应分析 具具有有零零点点的的二二阶阶系系统统，闭闭环环传传递递函函数数的的典典型型形式为：形式为：其中，零点：其中，零点：当当 时，时，-p-p1 1,-p,-p2 2为一对共轭复极点。为一对共轭复极点。这里，零极点在S平面的分布如图：P1P2-zjS在输入单位阶跃信号时,可见其输出包括两部分：可见其输出包
19、括两部分：第一部分为典型二阶系统的单位阶跃响应；第一部分为典型二阶系统的单位阶跃响应；第二部分为附加零点引起的分量，它使系统第二部分为附加零点引起的分量，它使系统 的上升加快，超调量增大。的上升加快，超调量增大。4-74-7、高阶系统的阶跃响应高阶系统的阶跃响应 实际控制系统大多数是高阶系统，它实际控制系统大多数是高阶系统，它的动态性能指标的确定比较困难。如果能的动态性能指标的确定比较困难。如果能将二阶系统的分析结果与分析方法应用于将二阶系统的分析结果与分析方法应用于高阶系统的分析，那么，高阶系统动态性高阶系统的分析，那么，高阶系统动态性能指标确定又变得十分简单了。这就是应能指标确定又变得十分
20、简单了。这就是应用用主导极点主导极点及忽略及忽略偶极子偶极子的影响的概念。的影响的概念。一、闭环主导极点：一、闭环主导极点：如如果果高高阶阶系系统统中中，所所有有其其它它极极点点的的实实部部比比距距离离虚虚轴轴最最近近的的闭闭环环极极点点的的实实部部大大5 5 倍倍以以上上，并并且且在在该该极极点点附附近近不不存存在在闭闭环环零零点点。则则这这种种离离虚虚轴轴最最近近的的闭闭环环极极点点将将对对系系统统的的瞬瞬态态响响应应起起主主导导作作用用，称称之之为为闭闭环环主主导极点导极点。用用闭环主导极点闭环主导极点代替全部闭环极点来分析代替全部闭环极点来分析系统的动态性能，而非主导极点产生的动系统的
21、动态性能，而非主导极点产生的动态过渡分量很快衰减。态过渡分量很快衰减。如：拉氏反变换：其中，指数项 是由闭环极点s1=-10产生的，余弦项 是由共轭复数极点 产生的。两者比较可知：指数项迅速衰减且幅值很小，可忽略。所以，其中 称为闭环主导极点。一一般般说说来来，在在SS平平面面上上最最靠靠近近虚虚轴轴的的闭闭环环极极点点是是闭闭环环主主导导极极点点。这这种种情情况况就就可可用二阶系统或一阶系统来分析。用二阶系统或一阶系统来分析。二、偶极子二、偶极子 一对相距很近的闭环极点和闭环零点称为偶极子。例如：式中 0。系统有一对复数极点和一个偶极子，极点为-a 零点为-(a+)输入单位阶跃响应：0 即偶
22、极子影响可忽略，阶跃响应主要由极点-1j1所决定。三、结论三、结论 闭闭环环零零、极极点点之之间间的的距距离离比比它它们们本本身身的的模模值值小小一一个个数数量量级级，则则这这对对零零极极点点就就构构成了成了偶极子偶极子。略略去去偶偶极极子子和和比比闭闭环环主主导导极极点点距距虚虚轴轴达达5 5倍倍以以上上的的零零极极点点，这这样样在在全全部部闭闭环环零零极极点点中中，选选留留最最靠靠近近虚虚轴轴，而而又又不不十十分分靠靠近近闭闭环环零零点点的的一一个个或或几几个个闭闭环环极极点点作作为为闭闭环主导极点。环主导极点。在在实实际际应应用用中中，比比主主导导极极点点距距离离虚虚轴轴达达2323倍倍
23、的闭环零极点，也可考虑为略去。的闭环零极点，也可考虑为略去。4-8 4-8、稳态误差分析与计算、稳态误差分析与计算 评价一个系统的性能包括瞬态性能和评价一个系统的性能包括瞬态性能和稳态性能两大部分。瞬态响应的性能指稳态性能两大部分。瞬态响应的性能指标可以评价系统的快速性和平稳性。系标可以评价系统的快速性和平稳性。系统的准确性要用误差来衡量。统的准确性要用误差来衡量。一、稳态误差的基本概念一、稳态误差的基本概念 误差信号误差信号e(t)e(t)：希望输出信号希望输出信号 与实际输出与实际输出信号信号 之差。之差。稳态误差稳态误差：t t时，系统的误差。时，系统的误差。即：偏差信号偏差信号：输入信
24、号：输入信号 与反馈信号与反馈信号 之差。之差。而 在在控控制制系系统统中中，是是用用输输入入信信号号去去控控制制输输出出信信号号的的变变化化规规律律，即即它它们们之之间间存存在在理想的函数关系理想的函数关系:当当时，即控制时，即控制对对的控的控制达到理想状态。制达到理想状态。此时，此时，即即由上式得：由上式得：这便是偏差与误差之间的关系式这便是偏差与误差之间的关系式,如果如果求出了稳态偏差也就求出了稳态误差。求出了稳态偏差也就求出了稳态误差。如果如果，即系统为单位反馈时即系统为单位反馈时二、二、稳态误差的计算稳态误差的计算1、单位反馈系统：、单位反馈系统：偏差传函偏差传函=误差传函：误差传函
25、：或或根据终值定理：根据终值定理：G(s)Xi(s)Xo(s)2、对于非单位反馈系统，偏差与误差、对于非单位反馈系统，偏差与误差而偏差：而偏差：G(s)H(s)三三、输输入入信信号号作作用用下下的的稳稳态态误误差差与与系系统统结结构构的的关系关系 图示为一反馈控制系统：图示为一反馈控制系统：其中开环传函为：其中开环传函为：式中，式中，、都不含都不含s=0s=0的因子，且分的因子，且分母的阶次高于分子的阶次。母的阶次高于分子的阶次。G(s)H(s)定义：定义：当当=0时，称系统为时，称系统为0型系统。型系统。当当=1时，称系统为时，称系统为型系统。型系统。当当=2时，称系统为时，称系统为型系统。
26、型系统。下下面面分分析析单单位位阶阶跃跃、单单位位斜斜坡坡和和单单位位加加速速度度三三种种信信号号输输入入时时系系统统的的稳稳态态误误差差。以进行讨论。以进行讨论。以下假定：以下假定：（1）输入阶跃函数时）输入阶跃函数时,表示信号的幅值，是常数。表示信号的幅值，是常数。则稳态误差为：则稳态误差为：上上述述表表示示：在在阶阶跃跃输输入入下下，系系统统消消除除误误差差的条件是：的条件是：即：即：开环传函中至少要有一个积分环节开环传函中至少要有一个积分环节。（2）输入速度信号（斜坡函数）输入速度信号（斜坡函数）其其中中，常常数数表表示示输输入入信信号号速速度度的的大大小小，系系统统的的稳态误差为：稳
27、态误差为：上上式式表表明明，斜斜坡坡信信号号输输入入下下系系统统消消除除误误差差的的条条件是：件是：（3）输入等加速信号（抛物线函数）输入等加速信号（抛物线函数）常数常数是加速度的大小，是加速度的大小，则则则系统的稳态误差为：则系统的稳态误差为：这种情况下，这种情况下，系统消除误差的条件是：系统消除误差的条件是：即：开环传函中至少要有三个积分环节即：开环传函中至少要有三个积分环节。将三种典型信号输入下的稳态误差与系统将三种典型信号输入下的稳态误差与系统型别的关系列于下表：型别的关系列于下表：系统型别 阶跃输入 斜坡输入 抛物线函数输入 0 0 00 000 从从表表中中可可看看出出，在在主主对
28、对角角线线上上，稳稳态态误误差差是是有有值值的的；在在对对角角线线以以上上，稳稳态态误误差差为无穷大；在对角线以下，稳态误差为零。为无穷大；在对角线以下，稳态误差为零。另另外外，增增加加系系统统开开环环传传递递函函数数中中的的积积分分环环节节和和增增大大开开环环增增益益K K是是消消除除和和减减少少系系统统稳稳态态误误差差的的途途径径，但但增增大大r r和和K K都都会会造造成成稳定性的变坏。因此，稳定性的变坏。因此，需合理选择参数需合理选择参数。例：控制系统方块图如图所示。今欲保持 且在单位斜坡信号下的稳态误差 求其中的参数kf 和 kA。kAKf sXi(s)Xo(s)得：Ka=200 K
29、f=18解：例：某系统如图所示，求：（1）该系统的阻尼比；（2）调整时间 （3）写出系统在单位阶跃信号作用下的输出 2(3s+1)1/(9s2)_Xi(s)Xo(s)解（1）（2）（3）例题：某单位负反馈系统的传函当输入单位阶跃信号时，输出达到0.98的时间为20秒，问当输入信号R(t)=4t时，系统的误差为多少？解法一：当 时，代入上式即可求得T,解法二：例题：已知某二阶系统在单位阶跃信号作用下，其输出 求该系统的时域性能参数 、解法一：解法二：例题：某单位负反馈系统的闭环传函为：求当单位速度信号输入时系统的稳态误差。解：（1）此系统为二阶系统，故对单位速度信 号的误差为0（2）例题：某二阶系统在单位阶跃信号作用时的输出为：求：（1）峰值时间；（2）系统的解法一：解法二：例题：控制系统如图所示，其中输入 ，证明当时，稳态时系统的输出能无误差地跟踪单位斜坡输入信号。解：图 控制系统的方块图 闭环传递函数只要令，就可以实现系统在稳态时无误差地跟踪单位斜坡输入。