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1、对称结构承受对称荷载的简化计算All Rights Reserved 重庆大学土木工程学院对称结构承受对称荷载的简化计算 简化前提（结构对称）1.几何形状对称2.刚度对称关于对称轴对称的任一对杆段，刚度相等。3.约束形式对称包含支座的对称和结点的对称。坡屋面框架EI1EI1EI1EI1EI2EI2EI2EI2EI3EI3EI3EI3EI4EI4EI4EI4对称结构All Rights Reserved 重庆大学土木工程学院对称结构承受对称荷载的简化计算 对称荷载沿对称轴对折后，对称轴以左荷载的大小、方向和作用点，都完全与以右的荷载重合的一组荷载。坡屋面框架FP1FP1对称结构承受对称荷载FP2
2、FP2All Rights Reserved 重庆大学土木工程学院对称结构承受对称荷载的简化计算 简化思路力法计算的主要工作量在于求解典型方程。式中，主系数dii0，而尽量使副系数和自由项等于0，从而系数和自由项的计算工作量大副系数 自由项All Rights Reserved 重庆大学土木工程学院对称结构承受对称荷载的简化计算可以简化为独立方程和少元联立方程，以便求解。简化目标使典型方程中尽量多的副系数和自由项为0，以方便典型方程的求解。All Rights Reserved 重庆大学土木工程学院对称结构承受对称荷载的简化计算原结构FPFP基本结构之一对称的基本结构基本体系FPX2X2X3X
3、3X1X1FP按力法步骤推导简化方法超静定次数为3。选择对称的基本结构。使基本未知力满足对称性或反对称性。写出典型方程。着重研究副系数dij和自由项DiP的计算，找出其中为0者。All Rights Reserved 重庆大学土木工程学院对称结构承受对称荷载的简化计算求副系数：绘制 图反对称弯矩图与对称弯矩图的图乘结果为0。即X2=1图（对称）图（对称）X3=1X1=1X1=1图（反对称）All Rights Reserved 重庆大学土木工程学院对称结构承受对称荷载的简化计算求自由项：绘制MP图和 图MP图（对称）FPFPX1=1X1=1图（反对称）All Rights Reserved 重
4、庆大学土木工程学院对称结构承受对称荷载的简化计算原典型方程简化为其中，（a）是独立方程，（b）是少元联立方程。方程组（a）中主系数d11不为零，因此 X1=0。（a）（b）All Rights Reserved 重庆大学土木工程学院对称结构承受对称荷载的简化计算原典型方程最终简化为（b）All Rights Reserved 重庆大学土木工程学院对称结构承受对称荷载的简化计算叠加法绘内力图同理，最终变形也是对称的。X2（对称）+=M（对称）MP图（对称）FPFPX2=1图（对称）图（对称）X3=1+X3（对称）All Rights Reserved 重庆大学土木工程学院对称结构承受对称荷载的简
5、化计算【小结】对称结构承受反对称荷载时的特征1.内力和变形是对称的；2.对称轴截面上只有对称的内力（X2和X3），而反对称内力为零（X1）。All Rights Reserved 重庆大学土木工程学院对称结构承受对称荷载的简化计算 半结构法（进一步简化）奇数跨对称结构简化方法按结论1，只需取原结构一半的基本体系计算即可。这样，在对称轴截面上附加垂直于对称轴的定向支座，就能使半结构在受力和变形两方面都与原结构相符。奇数跨等效半结构原结构DH=0q=0DVFPFPl lFPFPX2X3DVDH=0q=0lFPDH=0q=0DVFR=X3MR=X2All Rights Reserved 重庆大学土木
6、工程学院对称结构承受对称荷载的简化计算 偶数对称跨结构的半结构取法DH=0DV=0q=0原结构FPFPFPFR xMFR y偶数跨等效半结构取一半，中柱去除对称轴截面加固定支座中柱仅有轴力。All Rights Reserved 重庆大学土木工程学院对称结构承受对称荷载的简化计算【例1】利用对称性简化图示结构，绘其弯矩图。已知各杆EI 相同，为常数。解：原结构n=2，取其等效半结构如图。半结构n=1，按力法计算其M 图。最后补全另一半，得原结构弯矩图。8kN 8kN3m 3m 3m 3m 3m 3mA B C DEEI EI8kN3m 3m 3mA BE半结构8kNX1基本体系1X1=1X1=
7、1图8kN12图M 图(kN m)123.6原结构M 图(kN m)12 123.6All Rights Reserved 重庆大学土木工程学院对称结构承受对称荷载的简化计算【思考题】1.如何处理对称轴经过结构铰结点的情况？FP思考题1图FP等效半结构FPAll Rights Reserved 重庆大学土木工程学院对称结构承受反对称荷载的简化计算All Rights Reserved 重庆大学土木工程学院对称结构承受反对称荷载的简化计算 简化前提（结构对称）1.几何形状对称；2.刚度对称；3.约束形式对称。反对称荷载在绕对称轴对折后，其大小相等，作用点重合，但方向相反的荷载。坡屋面框架EI1E
8、I1EI1EI1EI2EI2EI2EI2EI3EI3EI3EI3EI4EI4EI4EI4FP1FP2FP1对称结构承受反对称荷载FP2All Rights Reserved 重庆大学土木工程学院对称结构承受反对称荷载的简化计算 简化目标使典型方程中尽量多的副系数和自由项为0，以方便典型方程的求解。All Rights Reserved 重庆大学土木工程学院对称结构承受反对称荷载的简化计算 按力法步骤推导简化方法超静定次数为3。选择对称的基本结构。使基本未知力满足对称性或反对称性。写出典型方程。着重研究副系数dij和自由项DiP的计算，找出其中为0者。原结构FPFP对称的基本结构基本体系FPX2
9、X2X3X3X1X1FPAll Rights Reserved 重庆大学土木工程学院对称结构承受反对称荷载的简化计算求副系数：绘制 图反对称弯矩图与对称弯矩图的图乘结果为0。即X2=1图（对称）图（对称）X3=1X1=1X1=1图（反对称）All Rights Reserved 重庆大学土木工程学院对称结构承受反对称荷载的简化计算求自由项：绘制MP图和 图X2=1图（对称）图（对称）X3=1MP图（反对称）FPFPAll Rights Reserved 重庆大学土木工程学院对称结构承受反对称荷载的简化计算原典型方程简化为其中，（a）是独立方程，（b）是少元联立方程。方程组（b）为线性齐次方程组
10、，可证明系数行列式不为零，于是X2=0，X3=0。（a）（b）All Rights Reserved 重庆大学土木工程学院对称结构承受反对称荷载的简化计算原典型方程最终简化为（a）All Rights Reserved 重庆大学土木工程学院对称结构承受反对称荷载的简化计算叠加法绘内力图同理，最终变形也是反对称的。X1=1X1=1图（反对称）MP图（反对称）FPFP X1（反对称）+=M（反对称）All Rights Reserved 重庆大学土木工程学院对称结构承受反对称荷载的简化计算【小结】对称结构承受反对称荷载时的特征1.内力和变形是反对称的；2.对称轴截面上只有反对称的内力（X1），而对
11、称内力为零（X2和X3）。All Rights Reserved 重庆大学土木工程学院对称结构承受反对称荷载的简化计算 半结构法（进一步简化）奇数跨对称结构简化方法按结论1，只需取原结构一半的基本体系计算即可。这样，在对称轴截面上附加沿对称轴的活动铰支座，就能使半结构在受力和变形两方面都与原结构相符。奇数跨等效半结构原结构FPFPl lDHqDV=0X1FPFPX1DHqDV=0lFPFR=X1DHqDV=0All Rights Reserved 重庆大学土木工程学院对称结构承受反对称荷载的简化计算 偶数对称跨结构简化方法(a)原结构EIFPFPC(b)中柱看作双柱EI/2 EI/2FPFPC
12、(c)按奇数跨取半结构EI/2 EI/2FPFPC CFQ C(d)偶数跨等效半结构FPEI/2C取一半，中柱刚度折半还原时，中柱M、FQ乘2All Rights Reserved 重庆大学土木工程学院对称结构承受反对称荷载的简化计算【例1】利用对称性简化图示结构，绘其弯矩图。已知各杆EI 相同，为常数。解：原结构n=1，取其等效半结构如图。该半结构为静定！直接按静力平衡条件计算，绘其弯矩图。最后，补全另一半，得原结构弯矩图。FPFPl lC2lFPlC等效半结构半结构M 图FPlC2FPl2FPl2lM 图2FPl2FPl2FPlAll Rights Reserved 重庆大学土木工程学院对称结构承受反对称荷载的简化计算【思考题】1.如何处理对称轴经过结构铰结点的情况？2.如何处理对称轴上有支杆和链杆的情况？FP思考题1图FP等效半结构FP思考题2图FPFPEAFPFPn=6FPn=1等效半结构n=3All Rights Reserved 重庆大学土木工程学院