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1、数学建模课程建设与竞赛辅导浙江大学数学系杨启帆（一）浙江大学开展数学建模教学和组织参加各种竞赛的情况简介n 1982-1995课程开设，数学系限定性选修课，教材建设，1990年出版“数学模型”n 1995-1999扩大受教育面，开设各种必修课、选修课：（1）竺可桢学院混合班必修课（今年起改为荣誉课程）（2）竺可桢学院工程高级班（3）理科基地班必修课修课（4）全校性选修课（5）数学系必修课（6）研究生学位课n 1999-2004创建名牌课程与数学建模实践基地国家理科基地创建精品课程项目（1999年）国家理科基地创建优秀课程项目（2001年）获浙江省教学成果一等奖（2000年）获国家级教学成果二等
2、奖（2001年）被浙江省教育厅授予首批省级精品课程（2003年）被教育部授予首批国家级精品课程（2004年）数学建模方法与实践被立项为国家级教学团队（2008）我们的教学方法n 普及教育：为新生举办讲座，激发学生的兴趣n 课堂教学：为二三年级学生开课（周学时4-5不等）n 课堂教学与学生建模实践活动相结合（SRTP项目，课外课题研究），荣誉课程建设（三个转变）n 数学建模教育与培训组织学生参加国内外大学生数学建竞赛相结合（校内竞赛，全国竞赛、国际竞赛等）n 教学内容改革与教材建设（包括教材建设、学生建模基地与建模网站建设、教改项目的执行等）n 兼顾创新性人才的培养与应用型人才的培养（竺可桢学院
3、-尖子学生的培养、全校选修-普及、独立二级学院-应用型人才培养、研究生研讨班）n 开设研究生学位课，开展较高层次的课题研究教学效果与教改收获n 学生综合素质与科研能力得到了有效提高（每年有上千名学生听课、提交科研论文或研究报告数十篇，300多个队参加学校数学建模竞赛，大约25-30个队参加全国竞赛、10个队参加美国竞赛，学生参与的积极性十分高涨，这些学生的素质与能力在科研实践中迅速提高）n 增强了学生学习数学知识和专业知识的兴趣（培养兴趣、提高能力、增长知识是大学教育的主要任务）n 为更高层次的人才培养输送了大批尖子学生（为国内外著名高校和科研机构提供了优秀生源，其中不少原先只是中等生）n 培
4、养了学生合作研究的习惯n 学生参赛获奖（1999年以来）美国竞赛：特等奖4项（99、03、10、11）其中INFORMS（美国运筹与管理学会）3项，国际一等奖52项（2000、2001全部一等奖），二等奖30项全国竞赛：一等奖34项（含高教社杯），二等奖46项n 出版教材：除较早期和边馥萍老师合作编写的“数学模型”外还有：（1）数学建模，1999（省重点建设教材），国家十五规划教材，2006年6月出版，浙江大学出版社（2）数学建模竞赛-浙江大学学生获奖论文点评，2005年7月出版，浙江大学出版社（3）数学建模，教育科学十五规划研究成果，2005年5月出版，高等教育出版社（4）数学建模案例集，2
5、006年7月出版，高等教育出版社另有几本正在编写中（二）教学中注意对学生能力的培养n 在介绍经典模型的同时，讲解基本技巧：经验方法、量纲分析、比例关系的利用、参数选取、房室系统、集中参数法与分布参数法、工程师原则、统计筹算率等等n 基本技巧的灵活应用与经典模型的推广：从人口模型到多种群生态系统模型从P-P模型到大鱼吃小鱼、小鱼吃虾米n 将课堂教学、课外实践、SRTP（毕业设计）等项目指导、研讨班、竞赛培训及组织竞赛有机结合起来，形成系列化教学体系。（春节后开课、5月初校竞赛、暑假后举办1次研讨班、暑假自行准备竞赛、美赛前举办1次研讨）n 加强学生实践环节的指导（鼓励学生研究自己感兴趣的问题，如
6、：蝉的共鸣、紫金港校区路灯优化设计、杭州黄金周旅游接待等）n 注意对学生综合素质的培养（冰冻三尺，非一日之寒，功夫在平时）（观察与发现能力），如：（例）数字的黑洞现象任取一个能被3整除的数，如213按如下运算：猜测自然也有可能猜错，例如欧拉方，费马数（3，5，17，257,65537）等被猜错-猜测须证明（例1）某人平时下班总是按预定时间到达某处，然然后他妻子开车接他回家。有一天，他比平时提早了三十分钟到达该处，于是此人就沿着妻子来接他的方向步行回去并在途中遇到了妻子，这一天，他比平时提前了十分钟到家，问此人共步行了多长时间？发散性思维能力的培养 似乎条件不够哦。换一种想法，问题就迎刃而解了。
7、假如他的妻子遇到他后仍载着他开往会合地点，那么这一天他就不会提前回家了。提前的十分钟时间从何而来？显然是由于节省了从相遇点到会合点，又从会合点返回相遇点这一段路的缘故，故由相遇点到会合点需开5 分钟。而此人提前了三十分钟到达会合点，故相遇时他已步行了二十五分钟。请思考一下，本题解答中隐含了哪些假设请思考一下，本题解答中隐含了哪些假设？例2 交通灯在绿灯转换成红灯时，有一个过渡状态亮一段时间的黄灯。请分析黄灯应当亮多久。设想一下黄灯的作用是什么，不难看出，黄灯起的是警告的作用，意思是马上要转红灯了，假如你能停住，请立即停车。停车是需要时间的，在这段时间内，车辆仍将向前行驶一段距离L。这就是说，在
8、离街口距离为L 处存在着一条停车线（尽管它没被画在地上），见图1-4。对于那些黄灯亮时已过线的车辆，则应当保证它们仍能穿过马路。马路的宽度D 是容易测得 的，问题的关键在 于L的确定。为确定L，还应当将L 划分为两段：L1和L2，其中L1 是司机在发现黄灯亮及判断应当刹车的反应时间内驶过的路程，L2 为刹车制动后车辆驶过的路程。L1 较容易计算，交通部门对司机的平均反应时间t1 早有测算，反应时间过长将考不出驾照），而此街道的行驶速度v 也是交管部门早已定好的，目的是使交通流量最大，可另建模型研究，从而L1=v*t1。刹车距离L2 既可用曲线拟合方法得出，也可利用牛顿第二定律计算出来（留作习题
9、）。黄灯究竟应当亮多久现在已经变得清楚多了。第一步，先计算出L 应多大才能使看见黄灯的司机停得住车。第二步，黄灯亮的时间应当让已过线的车顺利穿过马路，即T 至少应当达到（L+D）/v。DL例3 将形状质量相同的砖块一一向右往外叠放，欲尽可能地延伸到远方，问最远可以延伸多大距离。设砖块是均质的，长度与重量均 为1，其 重心在中点1/2砖长处，现用归纳法推导。Zn(n 1)n(n 1)由第 n 块砖受到的两个力的力矩相等，有：1/2-Zn=(n 1)Zn故Zn=1/(2 n)，从而上面n 块砖向右推出的总距离为，故砖块向右可叠至 故砖块向右可叠至 任意远 任意远，这一结果多少，这一结果多少有点出人
10、意料。有点出人意料。发散性思维要有意义，科研要有目的，要尽量应用已有的学科知识，但学科知识的应用有时是意想不到的。（例）循环图的连通性与gcd(a,n)=1之间的关系）。举例gcd(2,7)=1，gcd(2,6)=2希尔密码设计古典密码不能改变字母出现的频率利用矩阵与向量相乘运算困难：逆矩阵不能用于解密想办法克服困难。（实例）取A=则(具体求法见后),用A加密THANK YOU,再用 对密文解密 用矩阵A左乘各向量加密（关 于26取余）得 得到密文 JXCPI WEK 解:(希尔密码加 密)用相应数字代替字符，划分为两个元素一 组并表示为向量：（希尔密码解密）用A-1左乘求得的向量，即可还原为
11、原来的向量。(自行验证)希尔密码是以矩阵 法为基础的，明文与密文的对 应由n阶矩阵A确定。矩阵A的阶数是事先约定的，与明文分组时每组字母的字母数量相同，如果明文所含字数 与n不匹配，则最后几个分量可任意补足。A-1的求法方法1 利用公式，例如，若取，则,(mod26)，即 方法2 利用高斯消去法。将矩 阵(A,E)中的矩阵A消为E，则原先的E即被消成了A-1，观察猜测证明，科学研究的重要途径之一（例1）设有一个半径为 r 的圆形湖，圆心为 O。A、B 位于湖的两侧，AB连线过O，见图。现拟从A点步行到B点，在不得进入湖中的限 制下，问怎样的路径最近。ABOrE FEF逻辑推理与证明能力猜测证明
12、如下：（方法一）显然，由AE、EF、FB及AE，EF，FB围成的区域 R是一凸集。利用分离定理易证最短径不可能经过R外的点，若不然，设 为最短路径，过R外的一点M，则必存在直 线l分离M与R，由于路径是连续曲线，由A沿到M，必交l于M1，由M沿到B又必交l于M2。这样，直线 段M1M2的长度必小于路 径M1MM2的长度，与是A到B的最短路径矛盾，至此，我们已证明最短路径必在凸集R内。不妨设路径经湖的上方到达B点，则弧EF必在路径F上，又直线段AE是由A至E的最短路径，直线FB是由F到B的最短路径，猜测得证。ABOrE FEFM1M2Ml（例2）（交换座位奇偶数校验）n（问题的提出）一位老师正在
13、上英语课，教室里共有九排座位，每排有7把椅子，座位上坐满了学生。为了增加口语练习机会，老师要求学生变换一下座位，但该老师要求每位同学在交换以后必须坐在原先座位的前后左右4个座位之一上，问学生应当怎样交换座位？n（解答）这一问题是无解的，教室里共有63个座位，如果你给座位编一下号（要连续编号），你会发现原先坐在奇数号上的学生交换以后必定坐在偶数位上，反之，原先坐在偶数位的同学交换后必定坐在奇数位上，但奇数位椅子和偶数位椅子数量不一样，所以无法交换。（例3）拟将一批尺寸为124的的商品装入尺寸为666的正方体包装箱中，问是否存在一种装法，使装入的该商品正好充满包装箱。解 将正方体剖分成27个222
14、的小正方体，并 按下图所示黑白相间地染色。再将每一222的小正方体剖分成111的小正方体。易见，27个222的正方体中，有14个是黑的，13个是白的（或13黑14白），故经两次剖分，共计有112个111的黑色小正方体和104个111的白色小正方体。虽然包装箱的体积恰好是商品体积的27倍，但容易看到，不论将商品放置在何处，它都将占据4个黑色和4个白色的111小正方体的位置，故商品不可能充满包装箱。例如圆周率的计算（可以有多种方法：古典方法、分析方法、其他方法算法设计、计算速度，有效数字的概念等等，具体从略）（计算能力）要求学生会建模必须让他们掌握建模基本技巧n 在介绍经典模型的同时，讲解基本技巧
15、：经验方法（数据处理）、量纲分析、比例关系的利用、参数选取、房室系统、集中参数法与分布参数法、工程师原则、统计筹算率等n 基本技巧的灵活应用与经典模型的推广：从人口模型到多种群生态系统模型建模基本技巧的掌握（三种基本的双种群模型说明）从P-P模型到大鱼吃小鱼、小鱼吃虾米（三）竞赛准备及注意事项（供参考）n 组队应体现取长补短，准备应有分工（数学、算法、编程、软件使用等）。做题不在多而在精（我校一般要求每类至少各做2题）。不同基础的学生应当用不同方法培训在做题过程中培养快速掌握未学过的知识的能力（MCM99C)n 分析对比获奖论文的各种做法：（1）找出每一篇的闪光点（2）学习论文写作方法（各队可
16、养成自己的写作习惯）n 善于随时总结，找出出本队弱点，及时弥补盲点。（四）指导竞赛的几点经验教训1.认真选题（例1）CMCM97(零件参数设计与截断切割）（例2）MCM2004（quickpass与校园网)（例3）MCM2010（A棒球杆、B系列犯罪预测、C太平洋污染）*有时题目本身有一定的局限性：登机问题，SARS的预防等，基础较好的队应尽量避免做这种题目。2.充分查阅资料（例1）MCM2000A题（自行车竞赛资料、自行车资料及赛场资料等）（例2）MCM2004A题（指纹鉴定与DNA鉴定)指纹鉴定的原理、指纹的收集等（例3）小行星撞击地球陨石坑形状、南极的地貌与环境、地震与海啸、南极附近海域
17、的生态状况等，在此基础上找出解决问题的主攻方向3.解答要符合题意，要有清晰的思路，要有总体安排（例1）MCM2004B(quickpass)（例2）上海世博会的影响力（1.如何采集数据，2.如何通过对比加强说服力）4.要找准突破口，使研究步步深入例1：MCM99C题（污染物传播方式地下水水平面方程数值解，关于打井方法的建议）例2：小行星撞击地球：陨石坑形状、南极的地貌与环境、地震与海啸、南极附近海域的生态状况等，在此基础上找出解决问题的主攻方向例3：蝉的共鸣怎样步步深入（一个简单实例）崖高的估算假如你站在崖顶且身上带着一只具有跑表功 能的计算器，你也许会出于好奇心想用扔下 一块石头听回声的方法
18、来估计山崖的高度，假定你能准确地测定时间，你又怎样来推算 山崖的高度呢，请你分析一下这一问题。我有一只具有跑 表功能的计算器。方法一假定空气阻力不计，可以直接利用自由落体运动的公式来计算。例如，设t=4秒，g=9.81米/秒2，则可求得h78.5米。我学过微积分，我可以做 得更好，呵呵。除去地球吸引力外，对石块下落影响最大的当 属空气阻力。根据流体力学知识，此时可设空气阻力正比于石块下落的速度，阻力系 数K为常数，因而，由牛顿第二定律可得：令k=K/m，解得 代入初始条件 v(0)=0，得c=g/k，故有 再积分一次，得：若设k=0.05并仍设 t=4秒，则可求 得h73.6米。听到回声再按跑
19、表，计算得到的时间中包含了 反应时间 进一步深入考虑 进一步深入考虑不妨设平均反应时间 为0.1秒，假如仍 设t=4秒，扣除反应时间后应 为3.9秒，代入 式，求得h69.9米。多测几次，取平均值再一步深入考虑 再一步深入考虑代入初始条 件h(0)=0，得到计算山崖高度的公式：将e-kt用泰勒公式展开并 令k 0+，即可得出前面不考虑空气阻力时的结果。还应考虑回声传回来所需要的时间。为此，令石块下落 的真正时间 为t1，声音传回来的时间记 为t2，还得解一个方程组：这一方程组是非线性的，求解不太容易，为了估算崖高竟要去解一个非线性主程组似乎不合情理 相对于石块速度，声音速度要快得多，我们可 用
20、方法二先求一次 h，令t2=h/340，校正t，求石块下落时间 t1t-t2将t1代入式再算一次，得出崖高的近似值。例如，若h=69.9米，则 t20.21秒，故 t13.69秒，求得 h62.3米。所谓的魔方是指由1n2这n2个正整数按一定规则排列成的一个n 行n 列的正方形。n 称为此魔方的阶。Drer 魔方：4 阶，每一行之和为34，每一列之和为34，对角线（或反对角线）之和是34，每个小方块中的数字之和是34，四个角上的数字加起来也是34一个数学游戏的研究（一）Drer 魔方多么奇妙的魔方！铜币铸造时间：1514年 构造魔方是一个古老的数学游戏，起初它还和神灵联系在一起，带有深厚的迷信
21、色彩。传说四千二百多年前（公元前2200年），因治水出名皇帝大禹就构造了三阶魔方（被人们称“洛书”），至今还有人把它当作符咒用于某些迷信活动，大约在十五世纪时，魔方传到了西方，著名的科尼利厄斯阿格里帕（1486-1535）先后构造出了39阶的魔方。如何构造魔方 奇数（不妨n=5）阶的情况Step1:在第一行中间写1Step2:每次向右上方移一格依次填按由小到大排列的下一个数，向上移出界时填下一列最后一行的小方格；向右移出界时填第一列上一行的小方格。若下面想填的格已填过数或已达到魔方的右上角时，改填刚才填的格子正下方的小方格，继续Step2 直到填完12345678910111213141516
22、171819202122232425偶数阶的情况 偶数阶的魔方可以利用奇数阶魔方拼接而成，拉尔夫 斯特雷奇给出了一种拼接的方法，这里不作详细介绍五阶 没人知道有多少个！三阶1 个 反射和中心旋转生成8 个四阶880 个 反射和中心旋转生成7040 个魔方数量随阶数n 增长的速度实在是太惊人了！同阶魔方的个数允许构成魔方的数取任意实数 允许取实数n阶魔方A、B，任意实数、A+B是n阶魔方 具有指定性质的魔方全体构成一个线性空间 问题已发生了实质性变化 注：刻画一个线性空间只需指出它的维数并求出此线性空间的一 注：刻画一个线性空间只需指出它的维数并求出此线性空间的一组基底 组基底 松驰问题的讨论
23、显然，Drer 空间（简称D 空间）中任何一个元素都可以用Q1，Q2，Q8来线性表示，但它们能否构成D 空间的一组基呢？容易看出：Q1，Q8这8 个基本方是线性相关的，即至少存在一个Qj，可以通过其它7 个基本方的线性组合得到。这8 个基本方的地位是等同的，故可不妨设j=8。下面验证Q1，Q2，Q7是否线性相关。令：，即=5.要区分问题与实例（例）灾情巡视（Multi-TSP近似算法？）6.算法要好例（整理问题）给定n个实数a1,a2,an，要求将它整理成由小到大排列（或由大到小排列）的顺序：b1,b2，bn，b1b2bn。（算法比较）多项式算法与指数算法，P问题与NP难题，（计算量的估计）。
24、7.算法思想的叙述应注意简单清晰（例）CMCM99A（自动化机床管理）8.论文是研究成果，要反复修改写论文要早开始论文要写得像论文论文的各部分都要注意到9.赛后要反思，认真总结本队参赛的经验教训。（阅卷中常见的一些问题）（1）假设提得不好（CMCM96B洗衣机节水的阅卷，餐馆洗碗）（2）论文摘要未包含主要研究结果；有头无尾（3）问题重述变成重抄题目（4）建模部分变成模型罗列（Malthus等模型各有各的用处）（5）算法叙述混乱、不精炼（对比TSP）（6）文章杂乱无章、错字连篇，一看就知道未好好组织，未留有充分时间仔细修改n 据不完全统计，每年都有五六十名我们指导的学生进入欧美名校深造，更多的学
25、生被保研或考取研究生，其中已涌现出一批出色人才，开始显示出该课程教学的人才培养效益。n（附）学生能力提高的一些实例（例1）2003年毕业的混合班学生吴嘉之担任世界顶尖级编程竞赛裁判，2002年成为TopCoder兼职雇员，2007年被聘为TopCoder中国部技术副总裁，被公司评为“有史以来最多产而最成功的成员之一”。（例2）2004年参赛学生刘若鹏，毕业后到杜克大学留学，26岁任美国某研究院院长，率队成功研制出“隐形衣”，被“科学”杂志刊登，引起全球关注（例3）彭伊莎同学获得了中国青少年科技创新奖、宝钢优秀学生特等奖、数学建模美国和全国两项一等奖。在顶级国际会议上发表3篇学术论文，获UCLACross-disciplinaryScholarsinScienceandTechnology,ColumbiaFellow等学术荣誉，获斯坦佛最高奖学金（获青少年科技创新奖的还有陈圆、赵晓楠等）（例4）2003年参赛学生杨靓媛（当年为一年级学生），2010年获Whitney奖。青年学生有很大的创新潜力，教师的任务就是最大限度地激发出他们的创新意愿和创新能力TheEnd谢谢观看！