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1、数学建模课程建设数学建模课程建设与竞赛辅导与竞赛辅导浙江大学数学系杨启帆浙江大学数学系杨启帆2011.7.2（一）（一）浙江大学开展数学建模教学和浙江大学开展数学建模教学和组织参加各种竞赛的情况简介组织参加各种竞赛的情况简介n1982-1995课程开设，数学系限定性选修课程开设，数学系限定性选修课，教材建设，课，教材建设，1990年出版年出版“数学模型数学模型”n1995-1999扩大受教育面，开设各种必修扩大受教育面，开设各种必修课、选修课课、选修课：（：（1）竺可桢学院混合班必修）竺可桢学院混合班必修课（今年起改为荣誉课程）（课（今年起改为荣誉课程）（2）竺可桢学院）竺可桢学院工程高级班工
2、程高级班（3）理科基地班必修课修课）理科基地班必修课修课（4）全校性选修课）全校性选修课（5）数学系必修课）数学系必修课（6）研究生学位课）研究生学位课n1999-2004创建名牌课程与数学建模实践基地创建名牌课程与数学建模实践基地国家理科基地创建精品课程项目（国家理科基地创建精品课程项目（1999年）年）国家理科基地创建优秀课程项目（国家理科基地创建优秀课程项目（2001年）年）获浙江省教学成果一等奖（获浙江省教学成果一等奖（2000年）年）获国家级教学成果二等奖（获国家级教学成果二等奖（2001年）年）被浙江省教育厅授予首批省级精品课程（被浙江省教育厅授予首批省级精品课程（2003年）年）
3、被教育部授予首批国家级精品课程（被教育部授予首批国家级精品课程（2004年）年）数学建模方法与实践被立项为国家级教学团队数学建模方法与实践被立项为国家级教学团队（2008）我们的教学方法我们的教学方法n普及教育：为新生举办讲座，激发学生的兴趣普及教育：为新生举办讲座，激发学生的兴趣n课堂教学：为二三年级学生开课（周学时课堂教学：为二三年级学生开课（周学时4-5不等）不等）n课堂教学与学生建模实践活动相结合（课堂教学与学生建模实践活动相结合（SRTP项目，课项目，课外课题研究），荣誉课程建设（三个转变）外课题研究），荣誉课程建设（三个转变）n数学建模教育与培训组织学生参加国内外大学生数学数学建模
4、教育与培训组织学生参加国内外大学生数学建竞赛相结合（校内竞赛，全国竞赛、国际竞赛等）建竞赛相结合（校内竞赛，全国竞赛、国际竞赛等）n教学内容改革与教材建设（包括教材建设、学生建模教学内容改革与教材建设（包括教材建设、学生建模基地与建模网站建设、教改项目的执行等）基地与建模网站建设、教改项目的执行等）n兼顾创新性人才的培养与应用型人才的培养（竺可桢兼顾创新性人才的培养与应用型人才的培养（竺可桢学院学院-尖子学生的培养、全校选修尖子学生的培养、全校选修-普及、独立二级学普及、独立二级学院院-应用型人才培养、研究生研讨班）应用型人才培养、研究生研讨班）n开设研究生学位课，开展较高层次的课题研究开设研
5、究生学位课，开展较高层次的课题研究教学效果与教改收获教学效果与教改收获n学生综合素质与科研能力得到了有效提高（每学生综合素质与科研能力得到了有效提高（每年有上千名学生听课、提交科研论文或研究报年有上千名学生听课、提交科研论文或研究报告数十篇，告数十篇，300多个队参加学校数学建模竞赛，多个队参加学校数学建模竞赛，大约大约25-30个队参加全国竞赛、个队参加全国竞赛、10个队参加美个队参加美国竞赛，学生参与的积极性十分高涨，这些学国竞赛，学生参与的积极性十分高涨，这些学生的素质与能力在科研实践中迅速提高）生的素质与能力在科研实践中迅速提高）n增强了学生学习数学知识和专业知识的兴趣增强了学生学习数
6、学知识和专业知识的兴趣（培养兴趣、提高能力、增长知识是大学教育（培养兴趣、提高能力、增长知识是大学教育的主要任务）的主要任务）n为更高层次的人才培养输送了大批尖子学生为更高层次的人才培养输送了大批尖子学生（为国内外著名高校和科研机构提供了优秀生（为国内外著名高校和科研机构提供了优秀生源，其中不少原先只是中等生）源，其中不少原先只是中等生）n培养了学生合作研究的习惯培养了学生合作研究的习惯n学生参赛获奖（学生参赛获奖（1999年以来）年以来）美国竞赛：特等奖美国竞赛：特等奖4项（项（99、03、10、11）其中）其中INFORMS（美国运筹与管理学会）（美国运筹与管理学会）3项项，国际一等奖，国
7、际一等奖52项项（2000、2001全部一等奖），二等奖全部一等奖），二等奖30项项全国竞赛：一等奖全国竞赛：一等奖34项（含高教社杯），二等奖项（含高教社杯），二等奖46项项n出版教材：出版教材：除较早期和边馥萍老师合作编写的除较早期和边馥萍老师合作编写的“数学模型数学模型”外还有：外还有：（1）数学建模，）数学建模，1999（省重点建设教材），国家十五规划（省重点建设教材），国家十五规划教材，教材，2006年年6月出版，浙江大学出版社月出版，浙江大学出版社（2）数学建模竞赛）数学建模竞赛-浙江大学学生获奖论文点评，浙江大学学生获奖论文点评，2005年年7月出版，浙江大学出版社月出版，浙江大
8、学出版社（3）数学建模，教育科学十五规划研究成果，）数学建模，教育科学十五规划研究成果，2005年年5月月出版，高等教育出版社出版，高等教育出版社（4）数学建模案例集，）数学建模案例集，2006年年7月出版，高等教育出版社月出版，高等教育出版社另有几本正在编写中另有几本正在编写中（二）教学中注意对学生能力的培养（二）教学中注意对学生能力的培养n在介绍经典模型的同时，讲解基本技巧：在介绍经典模型的同时，讲解基本技巧：经验方法、量纲分析、比例关系的利用、经验方法、量纲分析、比例关系的利用、参数选取、房室系统、集中参数法与分参数选取、房室系统、集中参数法与分布参数法、工程师原则、统计筹算率等布参数法
9、、工程师原则、统计筹算率等等等n基本技巧的灵活应用与经典模型的推广：基本技巧的灵活应用与经典模型的推广：从人口模型到多种群生态系统模型从人口模型到多种群生态系统模型从从P-P模型到大鱼吃小鱼、小鱼吃虾米模型到大鱼吃小鱼、小鱼吃虾米n将课堂教学、课外实践、将课堂教学、课外实践、SRTP（毕业设（毕业设计）等项目指导、研讨班、竞赛培训及计）等项目指导、研讨班、竞赛培训及组织竞赛有机结合起来，形成系列化教组织竞赛有机结合起来，形成系列化教学体系。（春节后开课、学体系。（春节后开课、5月初校竞赛、月初校竞赛、暑假后举办暑假后举办1次研讨班、暑假自行准备竞次研讨班、暑假自行准备竞赛、美赛前举办赛、美赛前
10、举办1次研讨）次研讨）n加强学生实践环节的指导（鼓励学生研加强学生实践环节的指导（鼓励学生研究自己感兴趣的问题，如：蝉的共鸣、究自己感兴趣的问题，如：蝉的共鸣、紫金港校区路灯优化设计、杭州黄金周紫金港校区路灯优化设计、杭州黄金周旅游接待等）旅游接待等）n注意对学生综合素质的培养（冰冻注意对学生综合素质的培养（冰冻三尺，非一日之寒，功夫在平时）三尺，非一日之寒，功夫在平时）（观察与发现能力），如：（观察与发现能力），如：（例）数字的黑洞现象（例）数字的黑洞现象任取一个能被任取一个能被3整除的数，如整除的数，如213按如下运算：按如下运算：猜测自然也有可能猜错，例如欧拉方，费马数猜测自然也有可能猜
11、错，例如欧拉方，费马数（3，5，17，257,65537）等被猜错）等被猜错-猜测须证明猜测须证明（例（例1）某人平时下班总是按预定时间到达某处，然某人平时下班总是按预定时间到达某处，然然后他妻子开车接他回家。有一天，他比平时提早然后他妻子开车接他回家。有一天，他比平时提早了三十分钟到达该处，于是此人就沿着妻子来接他了三十分钟到达该处，于是此人就沿着妻子来接他的方向步行回去并在途中遇到了妻子，这一天，他的方向步行回去并在途中遇到了妻子，这一天，他比平时提前了十分钟到家，问此人共步行了多长时比平时提前了十分钟到家，问此人共步行了多长时间？间？发散性思维能力的培养发散性思维能力的培养 似乎条件不够
12、哦似乎条件不够哦 。换一种想法，问题就迎刃而换一种想法，问题就迎刃而解了。假如他的妻子遇到他后仍解了。假如他的妻子遇到他后仍载着他开往会合地点，那么这一载着他开往会合地点，那么这一天他就不会提前回家了。提前的天他就不会提前回家了。提前的十分钟时间从何而来？十分钟时间从何而来？显然是由于节省了从相遇点到显然是由于节省了从相遇点到会合点，又从会合点返回相遇点这一会合点，又从会合点返回相遇点这一段路的缘故，故由相遇点到会合点需段路的缘故，故由相遇点到会合点需开开5分钟。而此人提前了三十分钟到分钟。而此人提前了三十分钟到达会合点，故相遇时他已步行了二十达会合点，故相遇时他已步行了二十五分钟。五分钟。请
13、思考一下，本题解答中隐含了哪些假设请思考一下，本题解答中隐含了哪些假设请思考一下，本题解答中隐含了哪些假设请思考一下，本题解答中隐含了哪些假设？例例2 2 交通灯在绿灯转换成红灯时，有交通灯在绿灯转换成红灯时，有一个过渡状态一个过渡状态亮一段时间的黄灯。亮一段时间的黄灯。请分析黄灯应当亮多久。请分析黄灯应当亮多久。设想一下黄灯的作用是什么，不难看设想一下黄灯的作用是什么，不难看出，黄灯起的是警告的作用，意思是出，黄灯起的是警告的作用，意思是马上要转红灯了，假如你能停住，请马上要转红灯了，假如你能停住，请立即停车。停车是需要时间的，在这立即停车。停车是需要时间的，在这段时间内，车辆仍将向前行驶一
14、段距段时间内，车辆仍将向前行驶一段距离离L。这就是说，在离街口距离为。这就是说，在离街口距离为L处处存在着一条停车线（尽管它没被画在存在着一条停车线（尽管它没被画在地上），见图地上），见图1-4。对于那些黄灯亮时。对于那些黄灯亮时已过线的车辆，则应当保证它们仍能已过线的车辆，则应当保证它们仍能穿过马路。穿过马路。马路的宽度马路的宽度D是容易测得是容易测得的，问题的关键在的，问题的关键在于于L的确定。为确定的确定。为确定L，还应当将，还应当将L划分为两段：划分为两段：L1和和L2，其中其中L1是司机在发现黄灯亮及判断应当是司机在发现黄灯亮及判断应当刹车的反应时间内驶过的路程刹车的反应时间内驶过的
15、路程，L2为刹车制动为刹车制动后车辆驶过的路程。后车辆驶过的路程。L1较容易计算，交通部门对较容易计算，交通部门对司机的平均反应时间司机的平均反应时间t1早有测算，反应时间过早有测算，反应时间过长将考不出驾照），而此街道的行驶速度长将考不出驾照），而此街道的行驶速度v也也是交管部门早已定好的，目的是使交通流量最大，是交管部门早已定好的，目的是使交通流量最大，可另建模型研究，从而可另建模型研究，从而L1=v*t1。刹车距离。刹车距离L2既可用曲线拟合方法得出，也可利用牛顿第二既可用曲线拟合方法得出，也可利用牛顿第二定律计算出来定律计算出来（留作习题）留作习题）。黄灯究竟应当亮多久现在已经变得清楚
16、多了。第黄灯究竟应当亮多久现在已经变得清楚多了。第一步，先计算出一步，先计算出L应多大才能使看见黄灯的司机应多大才能使看见黄灯的司机停得住车。第二步，黄灯亮的时间应当让已过线停得住车。第二步，黄灯亮的时间应当让已过线的车顺利穿过马路，即的车顺利穿过马路，即T至少应当达到至少应当达到（L+D）/v。DL例例3 3 将形状质量相同的砖块一一向右往外将形状质量相同的砖块一一向右往外叠放，欲尽可能地延伸到远方，问最远可叠放，欲尽可能地延伸到远方，问最远可以延伸多大距离。以延伸多大距离。设砖块是均质的，长度与重量均设砖块是均质的，长度与重量均 为为1 1，其，其 重重心在中点心在中点1/21/2砖长处，
17、现用砖长处，现用归纳法归纳法推导。推导。Zn(n1)n(n1)由第由第n块砖受到的两个力的力矩相等，有：块砖受到的两个力的力矩相等，有：1/2-Zn=(n1)Zn故故Zn=1/(2n)，从而上面，从而上面n块砖向右推出块砖向右推出的总距离为的总距离为，故砖块向右可叠至故砖块向右可叠至故砖块向右可叠至故砖块向右可叠至 任意远任意远任意远任意远 ，这一结果多少，这一结果多少，这一结果多少，这一结果多少有点出人意料。有点出人意料。有点出人意料。有点出人意料。发散性思维要有意义，科研要有目的，要尽量应用发散性思维要有意义，科研要有目的，要尽量应用已有的学科知识已有的学科知识，但学科知识的应用有时是意，
18、但学科知识的应用有时是意想不到的。想不到的。（例）循环图的连通性与（例）循环图的连通性与gcd(a,n)=1之间之间的关系）。举例的关系）。举例gcd(2,7)=1，gcd(2,6)=2希尔密码设计希尔密码设计古典密码不能改变字母出现的频率古典密码不能改变字母出现的频率利用矩阵与向量相乘运算利用矩阵与向量相乘运算困难：逆矩阵不能用于解密困难：逆矩阵不能用于解密想办法克服困难。想办法克服困难。（实（实例例）取取A=则则 (具体求法见具体求法见后后),用用A加密加密THANK YOU,再用再用 对密文解密对密文解密 用矩阵用矩阵A左乘各向量加密（关左乘各向量加密（关 于于26取余）得取余）得 得到
19、密文得到密文 JXCPI WEK 解解:(希尔密码加希尔密码加 密密)用相应数字代替字符，划分为两个元素一用相应数字代替字符，划分为两个元素一 组并表示为向量：组并表示为向量：（希尔密码解密希尔密码解密）用用A-1左乘求得的向量，即可还原为原来的向量。左乘求得的向量，即可还原为原来的向量。(自行验证自行验证)希尔密码是以希尔密码是以矩阵矩阵 法法为基础的，明文与密文的对为基础的，明文与密文的对 应由应由n阶矩阶矩阵阵A确定。矩阵确定。矩阵A的阶数是事先约定的，与明文分组时每组字的阶数是事先约定的，与明文分组时每组字母的字母数量相同，如果明文所含字数母的字母数量相同，如果明文所含字数 与与n不匹
20、配，则最后不匹配，则最后几个分量可任意补足。几个分量可任意补足。A-1的求法的求法方法方法1 利用公式利用公式 ，例如，若取，例如，若取 ，则则 ,(mod26)，即，即 方法方法2 利用高斯消去法。将矩利用高斯消去法。将矩 阵阵(A,E)中的矩阵中的矩阵A消为消为E，则原先的则原先的E即被消成了即被消成了A-1，观察观察猜测猜测证明，科学研究的重要证明，科学研究的重要途径之一途径之一（例（例1）设有一个半径为）设有一个半径为 r 的圆形湖，圆心为的圆形湖，圆心为 O。A、B 位于湖的两侧，位于湖的两侧，AB连线过连线过O，见图。，见图。现拟从现拟从A点步行到点步行到B点，在不得进入湖中的限点
21、，在不得进入湖中的限 制下，问怎样的路径最近。制下，问怎样的路径最近。ABOrEFEF逻辑推理与证明能力逻辑推理与证明能力猜测证明如下：猜测证明如下：（方法一）（方法一）显然，显然，由由AE、EF、FB及及AE，EF，FB围成围成的区域的区域 R是一凸集。利用是一凸集。利用分离定理分离定理易证最短径不可能经过易证最短径不可能经过R外的点，若不然，设外的点，若不然，设 为最短路径，为最短路径，过过R外的一点外的一点M，则，则必存在直必存在直 线线l分离分离M与与R，由于路径，由于路径是连续曲线，由是连续曲线，由A沿沿到到M，必交，必交l于于M1，由，由M沿沿到到B又必交又必交l于于M2。这样，直
22、线。这样，直线 段段M1M2的长度必小于路的长度必小于路 径径M1MM2的长度，与的长度，与是是A到到B的的最短路径矛盾，至此，我们已证明最短路径必在凸集最短路径矛盾，至此，我们已证明最短路径必在凸集R内。内。不妨设路径经湖的上方到达不妨设路径经湖的上方到达B点，则弧点，则弧EF必在路径必在路径F上，又上，又直线段直线段AE是由是由A至至E的最短路径，直线的最短路径，直线FB是由是由F到到B的最短的最短路径，猜测得证。路径，猜测得证。ABOrEFEFM1M2Ml（例（例2）（交换座位）（交换座位奇偶数校验）奇偶数校验）n（问题的提出）一位老师正在上英语课，教室里共（问题的提出）一位老师正在上英
23、语课，教室里共有九排座位，每排有有九排座位，每排有7把椅子，座位上坐满了学生。把椅子，座位上坐满了学生。为了增加口语练习机会，老师要求学生变换一下座为了增加口语练习机会，老师要求学生变换一下座位，但该老师要求每位同学在交换以后必须坐在原位，但该老师要求每位同学在交换以后必须坐在原先座位的前后左右先座位的前后左右4个座位之一上，问学生应当怎个座位之一上，问学生应当怎样交换座位？样交换座位？n（解答）这一问题是无解的，教室里共有（解答）这一问题是无解的，教室里共有63个座个座位，如果你给座位编一下号（要连续编号），你会位，如果你给座位编一下号（要连续编号），你会发现原先坐在奇数号上的学生交换以后必
24、定坐在偶发现原先坐在奇数号上的学生交换以后必定坐在偶数位上，反之，原先坐在偶数位的同学交换后必定数位上，反之，原先坐在偶数位的同学交换后必定坐在奇数位上，但奇数位椅子和偶数位椅子数量坐在奇数位上，但奇数位椅子和偶数位椅子数量不一样，所以无法交换。不一样，所以无法交换。（例（例3）拟将一批尺寸为拟将一批尺寸为124的的商品装入尺寸为的的商品装入尺寸为666的正方体包装箱中，问是否存在一种装法，使装入的正方体包装箱中，问是否存在一种装法，使装入的该商品正好充满包装箱。的该商品正好充满包装箱。解解 将正方体剖分成将正方体剖分成27个个222的小正方体，并的小正方体，并 按下图所示黑白相间地染色。按下
25、图所示黑白相间地染色。再将每一再将每一222的小正方体剖分成的小正方体剖分成111的小正的小正方体。方体。易见，易见，27个个222的正方体中，有的正方体中，有14个是黑的，个是黑的，13个是白的（或个是白的（或13黑黑14白），故经两次剖分，白），故经两次剖分，共计有共计有112个个111的黑色小正方体和的黑色小正方体和104个个111的白色小正方体。的白色小正方体。虽然包装箱的体积恰好是商品体积的虽然包装箱的体积恰好是商品体积的27倍，但倍，但容易看到，不论将商品放置在何处，它都将占容易看到，不论将商品放置在何处，它都将占据据4个黑色和个黑色和4个白色的个白色的111小正方体的位置，小正方
26、体的位置，故商品不可能充满包装箱。故商品不可能充满包装箱。例如圆周率的计算（可以有多种方法：古典方法、例如圆周率的计算（可以有多种方法：古典方法、分析方法、其他方法分析方法、其他方法算法设计、计算速度，有算法设计、计算速度，有效数字的概念等等，具体从略）效数字的概念等等，具体从略）（计算能力（计算能力）要求学生会建模必须让他们掌握建模基本技巧要求学生会建模必须让他们掌握建模基本技巧n在介绍经典模型的同时，讲解基本技巧：经验在介绍经典模型的同时，讲解基本技巧：经验方法（数据处理）、量纲分析、比例关系的利方法（数据处理）、量纲分析、比例关系的利用、参数选取、房室系统、集中参数法与分布用、参数选取、
27、房室系统、集中参数法与分布参数法、工程师原则、统计筹算率等参数法、工程师原则、统计筹算率等n基本技巧的灵活应用与经典模型的推广：基本技巧的灵活应用与经典模型的推广：从人口模型到多种群生态系统模型从人口模型到多种群生态系统模型建模基本技巧的掌握建模基本技巧的掌握（三种基本的双种群模型说明）（三种基本的双种群模型说明）从从P-P模型到大鱼吃小鱼、小鱼吃虾米模型到大鱼吃小鱼、小鱼吃虾米（三）竞赛准备及注意事项（供参考）（三）竞赛准备及注意事项（供参考）n组队应体现取长补短，准备应有分工组队应体现取长补短，准备应有分工（数学、算法、编程、软件使用等）。（数学、算法、编程、软件使用等）。做题不在多而在精
28、（我校一般要求每类至少各做做题不在多而在精（我校一般要求每类至少各做2题）。题）。不同基础的学生应当用不同方法培训不同基础的学生应当用不同方法培训在做题过程中培养快速掌握未学过的知识的能力在做题过程中培养快速掌握未学过的知识的能力（MCM99C)n分析对比获奖论文的各种做法：分析对比获奖论文的各种做法：（1）找出每一篇的闪光点）找出每一篇的闪光点（2）学习论文写作方法（各队可养成自己的写作习惯）学习论文写作方法（各队可养成自己的写作习惯）n善于随时总结，找出出本队弱点，及时弥补盲点。善于随时总结，找出出本队弱点，及时弥补盲点。（四）指导竞赛的几点经验教训（四）指导竞赛的几点经验教训1.认真选题
29、认真选题（例（例1）CMCM97(零件参数设计与截断切割）零件参数设计与截断切割）（例（例2）MCM2004（quickpass与校园网与校园网)（例（例3）MCM2010（A棒球杆、棒球杆、B系列犯罪预系列犯罪预测、测、C太平洋污染）太平洋污染）*有时题目本身有一定的局限性：登机问题，有时题目本身有一定的局限性：登机问题，SARS的预防等，基础较好的队应尽量避免的预防等，基础较好的队应尽量避免做这种题目。做这种题目。2.充分查阅资料充分查阅资料（例（例1）MCM2000A题（自行车竞赛资料、题（自行车竞赛资料、自行车资料及赛场资料等）自行车资料及赛场资料等）（例（例2）MCM2004A题（指
30、纹鉴定与题（指纹鉴定与DNA鉴定鉴定)指纹鉴定的原理、指纹的收集等指纹鉴定的原理、指纹的收集等（例（例3）小行星撞击地球）小行星撞击地球陨石坑形状、南极的地貌与环境、地震与陨石坑形状、南极的地貌与环境、地震与海啸、南极附近海域的生态状况等，在此海啸、南极附近海域的生态状况等，在此基础上找出解决问题的主攻方向基础上找出解决问题的主攻方向3.解答要符合题意，要有清晰的思路，解答要符合题意，要有清晰的思路，要有总体安排要有总体安排（例（例1）MCM2004B(quickpass)（例（例2）上海世博会的影响力（）上海世博会的影响力（1.如何采集数据，如何采集数据，2.如何通过对比加强说服力）如何通过
31、对比加强说服力）4.要找准突破口，使研究步步深入要找准突破口，使研究步步深入例例1：MCM99C题（污染物传播方式题（污染物传播方式地地下水水平面方程下水水平面方程数值解，关于打井方数值解，关于打井方法的建议）法的建议）例例2：小行星撞击地球：陨石坑形状、南极的：小行星撞击地球：陨石坑形状、南极的地貌与环境、地震与海啸、南极附近海域地貌与环境、地震与海啸、南极附近海域的生态状况等，在此基础上找出解决问题的生态状况等，在此基础上找出解决问题的主攻方向的主攻方向例例3：蝉的共鸣：蝉的共鸣怎样步步深入怎样步步深入（一个简单实例）崖高的估算（一个简单实例）崖高的估算假如你站在崖顶且身上带着一只具有跑表
32、功假如你站在崖顶且身上带着一只具有跑表功 能的计算器，你也许会出于好奇心想用扔下能的计算器，你也许会出于好奇心想用扔下 一块石头听回声的方法来估计山崖的高度，一块石头听回声的方法来估计山崖的高度，假定你能准确地测定时间，你又怎样来推算假定你能准确地测定时间，你又怎样来推算 山崖的高度呢，请你分析一下这一问题。山崖的高度呢，请你分析一下这一问题。我有一只具有跑我有一只具有跑 表功能的计算器。表功能的计算器。方法一方法一假定空气阻力不计，可以直接利用自由落体运动的公式假定空气阻力不计，可以直接利用自由落体运动的公式来计算。例如，来计算。例如，设设t=4秒，秒，g=9.81米米/秒秒2，则可求得，则
33、可求得h78.5米。米。我学过微积分，我可以做我学过微积分，我可以做 得更好，呵呵。得更好，呵呵。除去地球吸引力外，对石块下落影响最大的当除去地球吸引力外，对石块下落影响最大的当 属属空气阻力空气阻力。根据流体力学知识，此时可设空气阻力正比于石块下落的根据流体力学知识，此时可设空气阻力正比于石块下落的速度，阻力系速度，阻力系 数数K为常数，因而，由牛顿第二定律可得：为常数，因而，由牛顿第二定律可得：令令k=K/m，解得解得 代入初始条件代入初始条件 v(0)=0，得，得c=g/k，故有，故有 再积分一次，得：再积分一次，得：若设若设k=0.05并仍设并仍设 t=4秒，则可求秒，则可求 得得h7
34、3.6米。米。听到回声再按跑表，计算得到的时间中包含了听到回声再按跑表，计算得到的时间中包含了 反应时间反应时间 进一步深入考虑进一步深入考虑进一步深入考虑进一步深入考虑不妨设不妨设平均反应时间平均反应时间 为为0.1秒秒，假如仍，假如仍 设设t=4秒，扣除反秒，扣除反应时间后应应时间后应 为为3.9秒，代入秒，代入 式式，求得，求得h69.9米。米。多测几次，取平均值多测几次，取平均值再一步深入考虑再一步深入考虑再一步深入考虑再一步深入考虑代入初始条代入初始条 件件h(0)=0，得到计算山崖高度的公式：，得到计算山崖高度的公式：将将e-kt用泰勒公式展开并用泰勒公式展开并 令令k 0+，即可
35、得，即可得出前面不考虑空气阻力时的结果。出前面不考虑空气阻力时的结果。还应考虑还应考虑回声回声传回来所需要的时间。为此，令石块下落传回来所需要的时间。为此，令石块下落 的真正时间的真正时间 为为t1，声音传回来的时间记，声音传回来的时间记 为为t2，还得解一个，还得解一个方程组：方程组：这一方程组是这一方程组是非线性非线性的，求的，求解不太容易，解不太容易，为了估算崖高为了估算崖高竟要去解一个竟要去解一个非线性主程组非线性主程组似乎不合情理似乎不合情理 相对于石块速度，声音速度要快得多，我们可相对于石块速度，声音速度要快得多，我们可 用方法二先求一次用方法二先求一次 h，令，令t2=h/340
36、，校正，校正t，求石，求石块下落时间块下落时间 t1t-t2将将t1代入式代入式再算一次，得出再算一次，得出崖高的近似值。例如，崖高的近似值。例如，若若h=69.9米，则米，则 t20.21秒，故秒，故 t13.69秒，求得秒，求得 h62.3米。米。所谓的魔方是指由所谓的魔方是指由1n2这这n2个正整数按一定个正整数按一定规则排列成的一个规则排列成的一个n行行n列的正方形列的正方形。n称为此称为此魔方的阶魔方的阶。Drer魔方魔方：4阶，每一行之和为阶，每一行之和为34，每一，每一列之和为列之和为34，对角线（或反对角线）之和是，对角线（或反对角线）之和是34，每个小方块中的数字之和是，每个
37、小方块中的数字之和是34，四个，四个角上的数字加起来也是角上的数字加起来也是34一个数学游戏的研究一个数学游戏的研究（一）（一）Drer魔方魔方多么奇妙的魔方！多么奇妙的魔方！铜币铸造时间：铜币铸造时间：15141514年年 构造魔方是一个古老的数学游戏，起初它还构造魔方是一个古老的数学游戏，起初它还和神灵联系在一起，带有深厚的迷信色彩。传和神灵联系在一起，带有深厚的迷信色彩。传说四千二百多年前（公元前说四千二百多年前（公元前2200年），因治水年），因治水出名皇帝大禹就构造了三阶魔方（被人们称出名皇帝大禹就构造了三阶魔方（被人们称“洛书洛书”），至今还有人把它当作符咒用于某些），至今还有人把
38、它当作符咒用于某些迷信活动，大约在十五世纪时，魔方传到了西迷信活动，大约在十五世纪时，魔方传到了西方，著名的科尼利厄斯方，著名的科尼利厄斯阿格里帕（阿格里帕（1486-1535）先后构造出了）先后构造出了39阶的魔方阶的魔方。如何构造魔方如何构造魔方 奇数（不妨奇数（不妨n=5）阶的情况）阶的情况Step1:在第一行中间写在第一行中间写1Step2:每次向右上方移一格依次填按由小到大排列的下一个数，向上移每次向右上方移一格依次填按由小到大排列的下一个数，向上移出界时填下一列最后一行的小方格；向右移出界时填第一列上一行的小方出界时填下一列最后一行的小方格；向右移出界时填第一列上一行的小方格。若下
39、面想填的格已填过数或已达到魔方的右上角时，改填刚才填的格格。若下面想填的格已填过数或已达到魔方的右上角时，改填刚才填的格子正下方的小方格，继续子正下方的小方格，继续Step2直到填完直到填完12345678910111213141516171819202122232425偶数阶的情况偶数阶的情况偶数阶的魔方可以利用奇数阶魔方拼接偶数阶的魔方可以利用奇数阶魔方拼接而成，拉尔夫而成，拉尔夫斯特雷奇给出了一种拼接的方斯特雷奇给出了一种拼接的方法法，这里不作详细介绍，这里不作详细介绍五阶五阶没人知道有多少个！没人知道有多少个！三阶三阶1个个反射和中心旋转生成反射和中心旋转生成8个个四阶四阶880个个反
40、射和中心旋转生成反射和中心旋转生成7040个个魔方数量随阶数魔方数量随阶数n增长的速度实增长的速度实在是太惊人了！在是太惊人了！同阶魔方的个数同阶魔方的个数允许构成魔方的数取任意实数允许构成魔方的数取任意实数 允许取实数允许取实数n n阶魔方阶魔方A A、B B，任意实数，任意实数、A+B A+B是是n n阶魔方阶魔方 具有指定性质的魔方全体构成一个线性空间具有指定性质的魔方全体构成一个线性空间 问题已发生了实质性变化问题已发生了实质性变化 注：刻画一个线性空间只需指出它的维数并求出此线性空间的一注：刻画一个线性空间只需指出它的维数并求出此线性空间的一注：刻画一个线性空间只需指出它的维数并求出
41、此线性空间的一注：刻画一个线性空间只需指出它的维数并求出此线性空间的一组基底组基底组基底组基底 松驰问题的讨论松驰问题的讨论显然，显然，Drer空间（简称空间（简称D空间）中任何一个元素都可以用空间）中任何一个元素都可以用Q1，Q2，Q8来线性表示，但它们能否构成来线性表示，但它们能否构成D空间的一组基呢？空间的一组基呢？容易看出：容易看出：Q1，Q8这这8个基本方是线性相关的，即至少存在一个个基本方是线性相关的，即至少存在一个Qj，可以通过其它，可以通过其它7个基个基本方的线性组合得到。这本方的线性组合得到。这8个基本方的地位是等同的，故可不妨设个基本方的地位是等同的，故可不妨设j=8。下面
42、验证。下面验证Q1，Q2，Q7是否线性相关。是否线性相关。令：令：，即，即=5.要区分问题与实例要区分问题与实例（例）灾情巡视（例）灾情巡视（Multi-TSP近似算近似算法？）法？）6.算法要好算法要好例例（整理问题）给定（整理问题）给定n个实数个实数a1,a2,an，要求将它整理成由小到大排列，要求将它整理成由小到大排列（或由大到小排列）的顺序：（或由大到小排列）的顺序：b1,b2，bn，b1b2bn。（算法比较）多项式算法与指数算法，（算法比较）多项式算法与指数算法，P问题与问题与NP难题，（计算量的估计）。难题，（计算量的估计）。7.算法思想的叙述应注意简单清晰算法思想的叙述应注意简单
43、清晰（例）（例）CMCM99A（自动化机床管理）（自动化机床管理）8.论文是研究成果，要反复修改论文是研究成果，要反复修改写论文要早开始写论文要早开始论文要写得像论文论文要写得像论文论文的各部分都要注意到论文的各部分都要注意到9.赛后要反思，认真总结本队参赛的经验教训。赛后要反思，认真总结本队参赛的经验教训。（阅卷中常见的一些问题）（阅卷中常见的一些问题）（1）假设提得不好（）假设提得不好（CMCM96B洗衣机节水洗衣机节水的阅卷，餐馆洗碗）的阅卷，餐馆洗碗）（2）论文摘要未包含主要研究结果；）论文摘要未包含主要研究结果；有头无尾有头无尾（3）问题重述变成重抄题目）问题重述变成重抄题目（4）建
44、模部分变成模型罗列（）建模部分变成模型罗列（Malthus等模等模型各有各的用处）型各有各的用处）（5）算法叙述混乱、不精炼（对比）算法叙述混乱、不精炼（对比TSP）（6）文章杂乱无章、错字连篇，一看就知道）文章杂乱无章、错字连篇，一看就知道未好好组织，未留有充分时间仔细修改未好好组织，未留有充分时间仔细修改n据不完全统计，每年都有据不完全统计，每年都有五六五六十名我们指导的学生十名我们指导的学生进入欧美名校深造，更多的学生被保研或考取研究进入欧美名校深造，更多的学生被保研或考取研究生，其中已涌现出一批出色人才，开始显示出该课生，其中已涌现出一批出色人才，开始显示出该课程教学的人才培养效益。程
45、教学的人才培养效益。n（附）学生能力提高的一些实例（附）学生能力提高的一些实例（例（例1）2003年毕业的混合班学生吴嘉之担任世界顶年毕业的混合班学生吴嘉之担任世界顶尖级编程竞赛裁判，尖级编程竞赛裁判，2002年成为年成为TopCoder兼职兼职雇员，雇员，2007年被聘为年被聘为TopCoder中国部技术副总中国部技术副总裁，被公司评为裁，被公司评为“有史以来最多产而最成功的成员有史以来最多产而最成功的成员之一之一”。（例（例2）2004年参赛学生年参赛学生刘若鹏，刘若鹏，毕业后到杜克大学毕业后到杜克大学留学，留学，26岁任美国某研究院院长，岁任美国某研究院院长，率队成功研制出率队成功研制出
46、“隐形衣隐形衣”，被，被“科学科学”杂志刊登，引起全杂志刊登，引起全球关注球关注（例（例3）彭伊莎同学获得了中国青少年科技创新）彭伊莎同学获得了中国青少年科技创新奖、宝钢优秀学生特等奖、数学建模奖、宝钢优秀学生特等奖、数学建模美国美国和和全全国两项一等奖。在顶级国际会议上发表国两项一等奖。在顶级国际会议上发表3篇学篇学术论文，获术论文，获UCLACross-disciplinaryScholarsinScienceandTechnology,ColumbiaFellow等学术荣誉，等学术荣誉，获获斯坦佛最斯坦佛最高奖学金高奖学金（获青少年科技创新奖的还有陈圆、（获青少年科技创新奖的还有陈圆、赵晓楠等赵晓楠等）（例（例4）2003年参赛学生年参赛学生杨靓媛杨靓媛（当年为一年（当年为一年级学生）级学生），2010年年获获Whitney奖奖。青年学生有很大的创新潜力，教师的任务就是最青年学生有很大的创新潜力，教师的任务就是最大限度地激发出他们的创新意愿和创新能力大限度地激发出他们的创新意愿和创新能力TheEnd谢谢观看！谢谢观看！