《以三角形为载体的几何压轴问题（北京真题模拟共34题）-2023中考数学重难题型押题培优导练案（北京专用）【解析版】.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《以三角形为载体的几何压轴问题（北京真题模拟共34题）-2023中考数学重难题型押题培优导练案（北京专用）【解析版】.pdf（92页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、2023中考数学重难题型押题培优导练案（北京专用）专题02以三角形为载体的几何压轴问题（北京真题+模拟共34题）【方法归纳】题型概述，方法小结，有的放矢北京市中考的倒数第二道大题多数是己三角形为载体的几何综合问题，主要涉及特殊的三角形及相似三 角 形，这类问题的解决要熟知知各种图形的性质与判定，并且这类题目的解决有时还需要全等三角形和相似三角形、勾股定理、方程思想与分类讨论的相关知识，因此能熟练应用各种知识是解决此类问题的关一键.常用到的三角形的知识有：（1）涉及全等问题解题要领：探求两个三角形全等的条件：SSS,SAS,ASA,AAS及 H L,注意挖掘问题中的隐含等量关系，防止误用“SSA
2、”；掌握并记忆一些基本构成图形中的等量关系；把握问题中的关键，通过关键条件，发现并添加辅助线.（2）涉及到计算边的关系解题要领：线段的垂直平分线常常用于构造等腰三角形；在直角三角形中求边的长度，常常要用到勾股定理；根据三角形的三边长度，利用勾股定理的逆定理可判断其为直角三角形；已知直角三角形斜边的中点，考虑运用直角三角形斜边上中线的性质；直角三角形斜边上中线的性质存在逆定理.（3）涉及,角平分线问题的解题要领：已知角的平分线及角平分线上的点到角一边的垂线段，考虑用角平分线的性质；角平分线的性质常常与三角形的面积相结合.解题要领：（4）涉及到直角三角形方面的解题要领：已知直角三角形及其锐角求线段
3、长度时，运用锐角三角函数是最常用的方法；通过等腰三角形的性质，特殊平行四边形的性质及圆的性质构建直角三角形，再运用锐角三角函数求解；熟记特殊直角三角形的三边关系：30。角的直角三角形的三边的比为1 ：石：2,等腰直角三角形的三边关系为1 ：1 ：6；锐角三角函数也常常作为相似三角形中，求对应边的比值的补充.【典例剖析】典例精讲，方法提炼，精准提分【例 1】（2021北京中考真题）如图，在AABC中，48=4。484。=%”为8。的中点，点。在“。上，以点4为中心，将线段AC顺时针旋转a得到线段4 E,连接BE,DE.E,B M DC(1)比较4 B 4 E 与乙乙 4。的大小；用等式表示线段B
4、E,之间的数量关系，并证明；(2)过点M作A B 的垂线，交D E 于点N,用等式表示线段N E 与N D 的数量关系，并证明.【答案】(1)N B 4 E =4 C 4。，B M =B E+MD,理由见详解；(2)D N =E N,理由见详解.【解析】【分析】(1)由题意及旋转的性质易得4 B A C =Z.EA D=a,A E=A D,然后可证 4 B E 三 4 C D,进而问题可求解；(2)过点E 作垂足为点。，交AB于点H,由(1)可得B E=/.A CD,B E=C D,易证8H=B E=CD,进而可得H M =D M,然后可得 D M N D HE,最后根据相似三角形的性质可求证
5、.【详解】(1)证明：VZ.B A C=/.EA D=a,，乙B A E+乙 B A D=Z.B A D+Z.CA D=a,=Z.CA D,由旋转的性质可得4 E=A D,9：A B =A C,：.A B E 三 4 C 7)(S 4 S),：.B E=CD,点M 为 8 c的中点，：.B M =CM,V C M =M D +CD=M D +B E,：.B M =B E+MD；(2)证明：D N =E N,理由如下：过点E 作垂足为点Q,交 A 3 于点从 如图所示：Nf/jx?XB H M D c:乙EQB=乙 HQB=90,由（1）可得4B E三4CD,：.Z.ABE=LACD,BE=CD
6、,UAB=AC,/.乙48c=ZC=Z.ABE,*；BQ=BQ,：.BQE 8QH（4S4）,:.BH=BE=CD,；MB=MC,A HM=DM,:MN 1 48,:MN“EH,：.DMN fD H E,.-D-M-D-N 二 1DH DE 2：.DN=EN.【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定、相似三角形的性质与判定及等腰三角形的性质、旋转的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定、相似三角形的性质与判定及等腰三角形的性质、旋转的性质是解题的关键.6.（2022.北京中考真题）在AOC中,乙4cB=90。，6为A4BC内一点,连接BD,D C,延长2 c到点E,使得CE=DC.E F图1图
7、2(1)如 图 1,延长B C 到点尸，使得C F =B C,连接4 F,E F,若A F _ L E F,求证：B D 1 A F；(2)连接A E,交B C 的延长线于点H,连接C H,依题意补全图2,AB2=AE2+B D2,用等式表示线段C D 与C H 的数量关系，并证明.【答案】(1)见解析(2)C D=C H；证明见解析【解析】【分析】(1)先利用已知条件证明A F C E WABCD(SAS)，得出/C F E=4 C B D,推出EF|BC,再由A F 1 E F 即可证明R D J L 4 F；(2)延长B C 到点M,使 CM=C8,连接EM,AM,先证 M E C三 8
8、0C(SAS)，推出M E =BD,通过等量代换得到4M 2 =AE2+ME2,利用平行线的性质得出Z B HE=A E M=90。，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半即可得到C O =CH.(1)证 明:在 Z i/TE和A B C。中,CE=CD乙FCE=乙B CD,CF=CB FCE=BCD(SAS)，:.4 CFE=LCB D,：.EF I I B D,A F 1 EF,：.B D LA F.解：补全后的图形如图所示，CD=C H,证明如下:延长8C 到点M,使 C M=C B,连接EM,AM,*：LACB=90,CM=CB,：.4 c 垂直平分BM,：.AB=AM,在MEC和BDC中
9、，(CM=CBlMCE=乙BCD,(CE=CD MEC=BDC(SAS)，ME=B D,乙CME=cCBD,*：AB2=毋+如，J AM2=AE2 4-ME2,:.AEM=90,VzCME=乙 CBD,：.BH|EM,：.Z-BHE=Z.AEM=9 0 ,即4DUE=90。，V CE=CD=-D E,2：.CH=-D E,2：.CD=CH.【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，平行线的判定与性质，勾股定理的逆用，直角三角形斜边中线的性质等，第二问有一定难度，正确作辅助线，证明ZDHE=9O。是解题的关键.【真题再现】必刷真题，关注素养，把握核心1.(2013北京 中考真题)
10、在 B C 中，AB=AC,ZBAC=a(00 a 6 0 ),将线段8 c 绕点B逆时针旋转60。得到线段BD.(1)如 图1,直接写出/A B。的大小(用含a的式子表示)；(2)如图2,Z B C E=1 5 0,ZABE=60,判断BE的形状并加以证明;(3)在(2)的条件下，连接。E,若乙DEC=4 5。，求a的值.【答案】(1)3 0-i a (2)见 解 析(3)a =3 0【解析】【分析】(1)利用三角形内角和为1 80。，求出/A 8 C的度数，即可求出答案;(2)连接 A。，CD,E D,根据旋转性质得出 B C=B Q,Z Z)B C=60,求出NA 8)=/B C=3 0
11、。-),且CD为等边三角形，证4 8。4 A C D,推出求出NB EC=，=/B A O,证AABD丝 EBC,推出A B=8E即可:(3)求出NO C E=90。，AOEC为等腰直角三角形，推出DC=CE=BC,求出NE8C=I5。，得出方程3 0。-3=1 5。,求出即可.【详解】(1)解：AB=AC,NA=a,；.NABC=NACB,Z ABC+Z ACB=1 80-Z 4,A ZABC=ZACB=-(1 80-Z/4)=90 -a,2 2：/ABD=NABC-NDBC,ZDBC=60,即 ZABD=30-a;(2)AABE为等边三角形.证明：如图，连接A。，CD,ED,.线段8 c绕
12、点B逆时针旋转60。得到线段BD,：.BC=BD,NDBC=60.X V ZABE=60,：.Z.ABD=60-/.DBE=乙EBC=30-1a且 为等边三角形.在 8。与 C D中，：AB=AC,AD=AD,BD=CD,：./XABDACD(SSS).：.BAD=/.CAD=-BA C =-a.22V ZBCE=150,IcB E C =180-(30-1 a)一 150=|a.，乙 BEC=乙 BAD.在 /)和E 8C中，V z5E C=/.B A D,乙EBC=CABD,BC=BD,:ABD 4A E B C (A45).:.AB=BE.A 5E为等边三角形.A(3)V ZBCD=60
13、,ZBCE=150,D C E =150-60=90.又/OEC=45。，O CE为等腰直角三角形.：.DC=CE=BC.ZBCE=150,：.EBC=(18Q-15O)=15.2而NEBC=30-J a =15.：.a=30.【点睛】本题考查了旋转的性质、全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，等腰直角三角形的判定和性质的应用，其中，理解与掌握相关概念并能正确运用作辅助线构造全等三角形与等边三角形是解决本题的关键，本题综合性较强，对学生的能力要求较高.2.(2017北京中考真题)在等腰直角AABC中，ZACB=90,P 是线段BC上一动点(与点8、C 不重合),连接A P,延长8 c
14、 至点Q,使得C Q=CP,过点。作于点H,交 A 3于点M(1)若N P 4C=a,求NAM。的大小(用含a 的式子表示).(2)用等式表示线段MB与 PQ之间的数量关系，并证明.A【答案】(I)ZAMQ=45+a;(2)线段例8 与 PQ之间的数量关系：P Q M B,理由见解析.【解析】【分析】(1)由直角三角形性质，两锐角互余，可得/AMQ=180。一,解得/4 朋0=45。+(1：由题意得AP=AQ=QM,再证.全等三角形对应边相等得出PC=M E,得出AMEB为等腰直角三角形，则尸。=鱼 BM.【详解】(1)/4。=45。+01.理由如下：ZPAC=a,4C 8是等腰直角三角形，：
15、.ZPA B=45-a,ZAHM=90,：.ZAMQ=180-NAHM-N=45+a；(2)线段MB与 PQ之间的数量关系：P Q 5 M B.理由如下：连接A Q,过点M 作：ACQP,CQ=CP,：.ZQACZPAC=a,：.NQAM=a+45=NAMQ,：.AP=AQ=QM,在 RtAPC 和 RMQME 中，NMQE=PAC/.ACP=E M,AP=Q M：.RlAPCR.QME,:.PC=ME,MEB是等腰直角三角形,：.PQ：.PQ=y/2MB.3.(2019北京 中考真题)已知乙408=30。，H 为射线OA上一定点，。=遮+1，P 为射线OB上一点，M 为线段OH上一动点，连接
16、P M,满足4OMP为钝角，以点P 为中心，将线段PM 顺时针旋转150。，得到线段P N,连接ON.(1)依题意补全图1:(2)求证：Z.OMP=4 O P N；(3)点 M 关于点H 的对称点为Q,连接Q P.写出一个O P的值，使得对于任意的点M 总有ON=QP,并证明.BB图1备用图【答案】(D 如图所示见解析；(2)见解析；(3)OP=2.证明见解析.【解析】【分析】(1)根据题意画出图形即可.(2)由旋转可得NMPN=150。，故N0PN=15(T-N0PM；由NAOB=30。和三角形内角和180。可得/OMP=180。-30。-/OPM=150-ZOPM,得证.(3)根据题意画出
17、图形，以ON=QP为已知条件反推O P的 长 度.由(2)的结论/O M P=/O P N 联想到其补角相等，又因为旋转有PM=PN,已具备一边一角相等，过点N 作 NCLOB于点C,过点P 作 PDLOA于点D,即可构造出 P D M 04N C P,进而得PD=NC,DM=CP.此时加上O N=Q P,则易证得 O C N 04Q D P,所以 OC=QD.再设 DM=CP=x,所以 OC=OP+PC=2+x,MH=MD+DH=x+l,由于点 M、Q 关于点 H对称，得出DQ=DH+HQ=l+x+l=2+x,得出O C=D Q,再利用SAS得出 OCNgAQDP即可【详解】解：(1)如 图
18、 1所示为所求.(2)设NOPM=a,.线段PM 绕点P 顺时针旋转150。得到线段PN二 NMPN=150,PM=PNZOPN=ZMPN-ZOPM=150-aNAOB=30，ZOMP=180。-ZAOB-ZOPM=18O-3O-a=150-aAZOMP=ZOPN(3)OP=2时，总有ON二 Q P,证明如下：过点N 作 NC_LOB于点C,过点P 作 PD1_OA F 点 D,如图2图2 Z NCP=Z PDM=Z PDQ=90VZAOB=30,OP=21 PD=OP=1 OD=OP2-P D2=A/3v OH=V3 4-1.DH=OH-OD=1：ZOMP=ZOPN:.180-ZOMP=18
19、0-ZOPN即 NPMD=NNPC在 D M 与ANCP中Z.PDM=(NCP乙 PMD=Z.NPC,PM=NP.,.PDMANCP(AAS)APD=NC,DM=CP设 DM=CP二 x,则 OC=OP+PC=2+x,MH=MD+DH=x+l丁点M 关于点H 的对称点为Q.*.HQ=MH=x+lJ DQ=DH+HQ=l+x+l=2+xAOC=DQ在OCN与AQDP中OC=QD乙 OCN =乙 QDP=90N C=P D/.OCNAQDP（SAS），ON=QP【点睛】本题考查了根据题意画图，旋转的性质，三角形内角和180,勾股定理，全等三角形的判定和性质，中心对 称 的 性 质.第（3）题的解题
20、思路是以ON=QP为条件反推O P的长度，并 结 合（2）的结论构造全等三角形；而证明过程则以OP=2为条件构造全等证明ON=QP.4.（2020.北京中考真题）在ABC中，ZC=90,A O B C,D 是 A B的中点.E 为直线上一动点，连接DE,过点D 作 DF_LDE,交直线BC于点F,连接EF.（1）如 图 1,当 E 是线段A C的中点时，设4E=a,BF=b,求 E F的 长（用含a,b 的式子表示）；（2）当点E 在线段C A 的延长线上时，依题意补全图2,用等式表示线段AE,EF,BF之间的数量关系,并证明.图1图2【答案】（1）Va2+b2；（2）图见解析，EF2=AE2
21、+B F2,证明见解析.【解析】【分析】（1）先根据中位线定理和线段中点定义可得DEBC,DE=B C,CE=A E=a,再根据平行四边形的性质、矩形的判定与性质可得DE=C F,从而可得CF=B F=b,然后利用勾股定理即可得；（2）如 图（见解析），先根据平行线的性质可得NEA。=NGBD,A DEA =A D G B,再根据三角形全等的判定定理与性质可得EO=GD,A E=B G,然后根据垂直平分线的判定与性质可得EF=F G,最后在Rt B GF中，利用勾股定理、等量代换即可得证.【详解】(1)Y D是A B的中点，E是线段A C的中点，DE为ABC的中位线，且CE=AE=Q:DE“B
22、C,DE=BCVzC=90 D E C =180-ZC=90*：DF 1 DE：.Z.EDF=90 四边形DECF为矩形：.DE=CF1 1CF=-C =-(F F +CF)CF=BF=b则在Rt CEF中，EF=yJCE2+CF2=Va2 4-h2;(2)过点B作A C的平行线交ED的延长线于点G,连接FG :BG“AC/.Z.EAD=乙GBD,乙DEA=乙DGB D是A B的中点：,AD=BDZ.EAD=Z.GBD在EAD和GBD中，/.DEA=/.DGB.AD=BD：.EAD=GBDAAS)：.ED=GD,AE=BG又:DF LDE D F是线段EG的垂直平分线：.EF=FGVzC=90
23、,BG“AC：.Z.GBF=Z.C=90在尸中，由勾股定理得：FG2=BG2B F2：.EF2=AE2+BF2.【点睛】本题考查了中位线定理、矩形的判定与性质、三角形全等的判定定理与性质、垂直平分线的判定与性质、勾股定理等知识点，较难的是题(2),通过作辅助线，构造全等三角形和直角三角形是解题关键.1模拟精练】押题必刷，巅峰冲刺，提分培优一、解答题1.(2022北京市广渠门中学模拟预测)如图，等腰RtAABC中，484c=90。,48=A C,点 P 为射线BC上一动点(不与点B、C重合)，以点P 为中心，将线段PC逆时针旋转a角，得到线段尸Q,连接4P、B Q、M为线段BQ的中点.若点尸在线
24、段BC上，且 M 恰好也为AP的中点，依题意在图1 中补全图形：求出此时a的值和费的值；(2)写出一个a的值，使 得 对 于 任意线段延长线上的点尸，总有言的值为定值，并证明;【答案】(1)见解析；/1(2)a=90。，理由见解析【解析】【分析】(1)由题意，画出图形即可；连接A Q,证四边形ABPQ是平行四边形，得 A B=P C,再根据 ABC是等腰三角形即可求解.(2)令a=90。，延长P M至N,使得连接BN、AN、Q N,证四边形BNQP是矩形，根据S4S证ACP=/A B N,得出AAN P为等腰直角三角形，即可求解.(1)如图所示，即为所求,为AP、BQ的中点，：.AM=PM,B
25、M=QM,四边形ABPQ是平行四边形,：.AB=PQ,AB/PQ,：.a =乙 QPC=4 ABC=45,:PC=PQ,：.AB=PC,ABC为等腰直角三角形，AB：ACt BC=1:1：V2,三空=近一 1.PC PCa=90。，延长PM至N,使得M N=P M,连接BN、AN、QN,如图所示：A /为线段BQ的中点，：.B M=QM,又,：M N=P M,.四边形B N Q P 是平行四边形，又./。尸。=9 0 ,四边形8 A Q P 是矩形，B N/P Q,B N=P Q,乙 N B P=18 0-a =9 0 ,A B C 为等腰直角三角形，乙A B N=4 5 0 +9 0 =13
26、 5,乙4 c p=18 0。_4 5。=13 5。，即乙1C P=B N,又 A B A C,A CP 三 4 A B N (S A S),A N =A P,/.CA P =乙B A N,4CA P +/.CA N =4B A N +MAN,即/N A P =Z.B A C=9 0 ,即A A N P 为等腰直角三角形，.”=乌PN 2又.PM=P N,空=&PM即含的值为定值，当a 一 9 0。时，震 的值为定值.【点睛】本题是几何变换综合题，考查了等腰直角三角形、平行四边形的判定及性质、旋转的性质以及全等三角形的判定及性质，熟练利用辅助线构造平行四边形是解题的关键.2.(2 0 2 2北
27、京房山二模)如图1,在四边形4 B C 0中，/.ABC=/.BCD,过点4作4 E|D C交B C边于点E,过点E作E F|4 B交C D边于点巴 连接4F,过点C作C H|2 F交4 E于点H,连接B H.图1图2(1)求证：AABH 三 EAF；(2)如图2,若B H的延长线经过4 F的中点M,求普的值.E C【答案】(1)证明见解析(2)1+V2【解析】【分析】(1)由4 A B e =乙BCD,AE|O C可证明 AB=AE,再根据E F|4 B证得N 8 A H=N A E R NABC=NFEC,进而得至l j E F=b,再证明四边形A H C F是平行四边形得到A H=C F
28、=E F,再利用S A S证明两三角形全等即可；(2)设 CF=EF=AH=a,=k,证明 A B E s/X f E C得出 再证明AABM四F GM(A 4 S)证得C EAB=GF=ak,贝UGE=a Z+a,再证明 BH sAEG H得到若=誓即;=白,解方程求出k值即可解答.E G EH k+1 k-1(1)证明：U：Z-ABC=乙BCD,AE|DC,：./AEB=/BCD=/ABC,：.AB=EA,：EF|AB,:NBAH=NAEF,NABC=NFEC,:.EF=CF,W E/CD,CH/AF,四边形AHC厂是平行四边形，:CF=AH,B|J AH=EFt在 43”和中，AB=EA
29、乙BAH=Z.AEF,、AH=EF:、ABHQXEAF(SAS)；(2)解：延长8M、M交于点G,:AB/EF、AE/CD,:/ABE=/FEC,/AEB=NFCE,NABM=/FGM,LABEs N E C,.B E A B A E =,EC FE CF由(1)知 CF=EF=AH,AB=AE,设 CF=EF=AH=a,=k,贝ij AB=4E=a氏，E C,点M为A尸的中点,：.AM=MF,在AABM和 FGM中，Z.ABM=Z.FGM乙4MB=乙FMG,.AM=MF：.FGM(AAS),:AB=GF=ak,则 GE=ak+a,9：AB/EFf：NABH=/EGH,NBAH二NGEH,：.
30、AABHSAEGH,.A B _ A H -，EG EH.a k a nn k 1 U|J-1，a k+a a k-a k+1 k-1解得：k=l+V2C=1-V2(舍去)，经检验，仁1+或 是所列方程的解，【点睛】本题考查平行线的性质、等腰三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、解分式方程等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键.3.(2 0 2 2 北京东城二模)如图，在AABC中，A B =A C,A C A B =2 a,在AABC的外侧作直线4 P(9 0。一 a /.P A C=AC,结合AB=AC,求出AQ=AB,则可求
31、得/A B E=N A Q E,然后根据垂直平分线的性质和角的和差关系推出/A O E=/A C E,则可得出结论；(3)线段BE,2EF,DE之间的数量关系为：B E+2EF=DE；作A G L8。于G,根据等腰三角形的性质推出B E+2GE=DE,然后利用“4 W证明 G E丝 A F E,得出G E=G F,则可得出结论.(1)解：如图，(2)证明：如图,由题意得：A P是。的垂直平分线,：.A D=A Cf又 TAB 二 AC,：.A D=A B,：.Z A B E=Z A D EfT A P是CO的垂直平分线，:CE=DE,DA=CAfA ZCDE=ZDCE,ZCDA=ZDCA,：.
32、Z CDE-Z CDA=Z DCE-Z DCA,即NACE=NABE；（3 ）线段B E,2 E F,D E之间的数量关系为：BE+2EF=DE,理由如下:如图：作4 G L 8。于G,由（2）得 A B=A O,：.GD=GB,：.DE-GE=BE+EG,：.BE+2GE=DE,由（2）得 ED=EC,又E P是CD的垂直平分线，：.ZDEP=ZCEP（三线合一），：AGED,AFEC,：.AG=AF,：.A A G E A A F E （A 4 S）,:.GE=GF,：.BE+2EF=DE.【点睛】本题考查了作对称图形，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形全等的判定和性质，角平分线的
33、性质，解题的关键是根据题意作出辅助线，把E F转化为GE.4.（2 0 2 2北京二模）在中，ACB=9 0 ,CD是A B边的中线，O E _ L B C于E,连接CD,点P在射线C B上（与B,C不重合）图 3(1)如果 NA=30如图1,D E与BE之间的数量关系是如图2,点 P 在线段CB上，连接。P,将线段Q P绕点。逆时针旋转60。，得到线段。F,连接B F,补全图 2 猜想CP、BF之间的数量关系，并证明你的结论.(2)如图3,若点尸在线段CB的延长线上，且NA=a()o a 90。.图1图2(1)如 图1,当点E与点C重合时，A。与CB的 位 置 关 系 是,若BC=a,则CD
34、的长为；(用含a的式子表示)(2)如图2,当点E与点C不重合时，连接。E.用等式表示NB4C与ND4E之间的数量关系，并证明；用等式表示线段BE,CD,OE之间的数量关系，并证明.【答案】A O,CB，；p(2)N B A C=2 N D A E,理由见解析；B E=C D+D E,理由见解析【解析】【分析】(1)先证明NAQC=90。，再过点A作A F LBC于点凡 根据角平分线的性质，证明AAQC好A A F aH L),即可求解；(2)Z A C B =Z A C B=a=Z B,利用三角形内角和定理得到a=90。祗N 8 A C,再由ND4E+NACQ=90。，推出NACD=9(r-N
35、 D 4E=a,进一步计算即可求解；在8 c上截取BG=CQ,先后证明ABGgAACO(SAS),GAEG AD 4E(S AS),即可求解.(1)解：点E与点C重合，且N D4E+/4C)=90。，二 Z A DC=90,：.A DCB ；过点4作A FLBC于点凡BA/D/I /1 /I /B F C(E)：AB=AC,：.CF=BF=|fiC=|,V ZACB=ZACB,AF1.BC,ADLCB,：.AF=AD,：.AADCAAFC(HL),：.CD=CF=,故答案为:ADLCBi p(2)解：ZBA C=2ZD AE,理由如下：设 NACB，=ZACB=a=ZB,：.ZACB+ZB=1
36、800-Z B A C,即 a=90-ZBAC,：ZDAE+ZACD=90,：.ZACD=90-ZDAE=a,：.90-ZBAC=900-ZDAE,2：.ZBAC=2ZDAE；3E=CD+DE,理由如下：在 BC上截取BG=CD,BA/D/9 /，/B G E CA B =A C在4BG 和ACO 中，Z.A B G=Z.A CD,.B G=CD：.AA B G AA C D C S A S),:.AG=AD9 NBAG=NCAD,V Z B A C=Z B A G+Z G A Cf Z G A D=Z C A D+Z G A C,：./B A C=/G A D,V Z B A C=2 Z D
37、 A Ef：.Z G A D=2 Z D A Ef：.Z GA E=Z DA E,A G=A D在ZkGAE 和OAE 中，z.GA E=Z.DA E,.A E=A E.,.G A E AD A E(S A S),:.GE=DE,：.B E=B G+GC=CD+DE.【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，作出合适的辅助线，构造全等三角形是解题的关键.7.(2022.北京门头沟.二模)如图，在ZkABC中，NAC8=90。，。是B C的中点，过点。作C E L A O,交4。于 点E,交A 8于点用 作点关于直线A C的对称点G,连接AG和G C,过点8作8 M LG C交G
38、 C的延长线于点M.A根据题意，补全图形；比 较/B C F 与NBCM的大小，并证明.(2)过点B作 5 N L C 尸交C F 的延长线于点N,用等式表示线段A G,EN与 8M的数量关系，并证明.【答案】(1)N B C F=B C M,见解析；(2)2EN2 A G-B M【解析】【分析】(1)根据轴对称的性质及垂线的定义补图即可；利用余角的定义解答；(2)过点B作 8 N _ L C F 交 C F 的延长线于点N,连接EW得到r W=8 =C Z),证明Z k B C N 丝 B C M (H L),推出C M=C N=2 E N,由轴对称得A G=A E,Z C A G=Z C
39、A E,再证 A E C s a C M B,得到皆=g，即普=%,CE BM EN BM求出 2 E N?=AG BM.如图,A(2)V ZACB=90,：.ZACG+ZBCM=ZACE+ZDCM=90,.点G 与点E 对称，ZACEZACG,：.NBCF=BCM；如图，过点B 作BN L C 尸交C F 的延长线于点N,连接。MA C/V，3 M点D为8C的中点,:.DN=CD=BD,VCEAD,:CE=NE,：ZBCF=BCM,BNLCN,BMtCM,:,BN=BM,：BC=BC,:,/BCN乌ABCM（HL）,:CM=CN=2EN,由轴对称得 AG=AE,ZCAG=ZCAE,/ZACG
40、i-ZBCM=ZACG+Z CAE=90,：.ZCAE=ZBCMf/AEC=/BMC,：./AECs4CMB,.AE _ CM 即 AG _ ZEN*C E BM1 EN-BM：.2EN2=AG-BM.【点睛】此题考查了轴对称作图，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边中线性质，熟记各知识点并应用是解题的关键.8.（2022北京顺义二模）如图，在48C中，Z-ACB=90,AC=BC,P,O为射线A3上 两 点（点。在点尸的左侧），且P0=8 C,连接C P.以P为中心，将线段尸。逆时针旋转几。（0八180）得线段PE.图1图2 如 图1,当四边形ACPE
41、是平行四边形时，画出图形，并直接写出的值;（2）当几=135。时，M为线段AE的中点，连接PM.在图2中依题意补全图形；用等式表示线段C P 与P M之间的数量关系，并证明.【答案】(1)画图见解析，n 的值为4 5；(2)画图见解析：用等式表示线段C P与PM之 间 的 数 量 关 系CP =2 P M,证明见解析.【解析】【分析】(1)根据题意画出图形，根据平行四边形的性质即可求得n 的值；(2)根据题意补全图形，延 长PM至 点 F,使F M =P M.连 接A F,CF、EF,C F交AP于 点0,证明四边形APE F是平行四边形，证明4 C。WAA F O(S A S)，进而可得4
42、P _ L C F,即 有AP垂直平分CF,根据尸M =P M =P,即可求解.(1)当四边形A C PE是平行四边形时，画出图形，如图在 4 A B e 中，Z.A CB =90Q,A C=B C A C A B =A A CB=4 5 v四边形AC PE是平行四边形Z.A P E=乙 CA B=4 5 ,即n的值为4 5 当 n =1 3 5 时，M为线段AE的中点，在图2中依题意补全图形如下:c用等式表示线段C P与P M之间的数量关系CP=2PM,证明如下:延 长P M至 点F,使FM=PM,连 接AF.CF、EF,CF交A P于 点。，如图,M为 线 段A E的中点，四边形APEF是
43、平行四边形,:,AFPE,AF=PE,Z.PAF+Z.APB=180,而 Z.APE=n=135,AC=BC=PD=PE,APAF=180-Z.APB=45,AC=AF,:.Z.CAO=z.F/40=45,在4 C 0和A F O中，AC=AF/-CAO=Z.FAO，.AO=AO/.ACO 三4/0(SAS),OC=OF,乙40C=乙40F=-%180=90,2A P 1 C F,即 有AP垂直平分CF,CP =FP,而 FM=P M =FP,CP =2P M【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，垂直平分线的性质与判定，三角形全等的性质与判定，综合运用以上知识是解题的关键.9.（2022北
44、京北京 二模）在力BC中，LA CB =90,CA =C B,。是力B的中点，E 为边4C上一 动 点（不与点 A,C 重合），连接D E,将线段B4绕点8 逆时针旋转90。得到线段B F,过点尸作F JL OE于点从 交射线B C于点G.（1）如 图 1,当4 E E C 时，依题意补全图2,用等式表示线段DE,CG,AC之间的数量关系.【答案】（DZ4DE=NBFG,BG=24E；证明见解析（2）图见解析，A C2+CG2=4 D E2【解析】【分析】（1）在线段EC上取点尸，使得PE=4 E,连接8 P,由四边形内角和360。及乙4BF=90。，4DH F=90。,得至 ijNACE=乙
45、 B F G,再证明力BP d B F G,得至ijBG=2A E.（2）依据题意补全图，在 AE延长线上取一点尸，使得A E=EP,连接B P,按照（1）中的方法证明 A B P 珏 B FG,再运用勾股定理及中位线性质得到，A C2+CG2=4DE2.W：乙ADE=LBFG,BG=2A E,理由如下：证明：如图，在线段EC上取点P,使得PE=4 E,连接BP.丁。是48中点，PE=AE,：.DE|BP.C.Z.ADE=乙ABP.,线段8/绕 点3逆时针旋转90。得到线段8凡：.BF=BA,/.ABF=90.在四边形BD”产中，Z.DHF=90,工4 BDH+4F=180.:乙 BDH+乙
46、ADE=180,C.Z.ADE=Z.F.ZLADE=Z.ABP,:乙ABP=ZF.9：ACB=90,CB=CA,：./-A=乙 ABC=45,*：ABF=90,FBG=45。，：.A=乙 FBG.：.LABP WABFG.：.AP=BG.：PE=AE,：.AP=2AEt：.BG=2AE.(2)解：补全图形，如图.AC2+CG2=4DE2,理由如下：证明：如图，在AE延长线上取一点P,使得AE=P,连接5P,线段84绕点3逆时针旋转90。得到线段8凡：.BF=BAf Z,ABF=90.又=90。，CB=CA,：./-A=Z-ABC=45,:乙 GBF=45.在四边形BD”产中，Z.DHF=90,
47、Z.ABF=90,，乙 BDH+4F=180.:乙 BDH+乙 ADE=180,：.Z.ADE=乙F.）是AB中点，PE=AE,：.DE|BP,：.Z.ADE=Z.ABP,：.Z.ABP=ZF.在4BP与BFG中,/.A=乙 GBFV AB=BF,Z.ABP=NF.,./IBP三BFGQ4S4),：.AP=BG,：AC=BC,：.AP-AC=BG-B C,即 PC=GC.：4BCP=90,：.BC2+CP2=BP2.。是4B中点，PE=AE,：.2DE=BP,：CB=CA,PC=GC,：.AC2+CG2=(2DE)2,即a(?2+C G2=4 D E2【点 睛】本题考查了中位线性质，勾股定理以
48、及全等三角形的证明，其中构造中位线从而证明相关三角形全等是解题的关键.10.(2022北京四中 模 拟 预 测)已 知，点B是射线4P上一动点，以4B为边作A4BC,/.BCA=90,ZA=60,图I图2(1)如 图1,若BE=B C,求CE的 长(用 含m的式子表示)；(2)如 图2,点F在线段4B上,连接CF、EF.添加一个条件：4尸、8(；、8满 足 的 等 量 关 系 为，使得EF=CF成 立，补全图形并证明.【答 案】(1浮m;(2)V3XF=BC+B E,补全图形及证明见解析.【解 析】【分 析】(1)如图，连接C E,过点B作BH J.CE于点H,由等腰三角形的三线合一的性质可得
49、到CH=EH=：CE,CBH=Z.EBH=C B E =6 0 ,再根据条件可得到BE=BC=1，然后在R taB C H 中，利用三角函数可求得C H=3/n,最后可得到CE的长；4(2)添加条件为V4F=BC+B E.如图，延长CB到点G,使BG=B E,连接尸G,过点尸分别作FM 1B C于点M、F N 14C 于点N,可证明四边形CMFN是矩形，由矩形的性质得到CM=F N,然后在在RtAHFN中，利用三角函数求得CM=FN=-A F 2 2 4:.CE=2CH=m.2点尸在线段AB上，连接CF、EF.添加一个条件：AF.BC、BE满足的等量关系为遮4 尸=BC+8 E,使得EF=CF
50、成立，补全图形如下，证明如下：延长CB到点G,使BG=B E,连接F G,过点尸分别作FM 1 BC于点M、FN 1A C于点N，：.AFMC=NFNC=乙 FNA=90,.在AA B C 中，/.BCA=90,LA=60,：.A.ABC=90-60=30。，:.乙FBG=180-乙ABC=150,乙FBE=4CBE+乙ABC=120 4-30=150,.四边形CMFN是矩形，乙FBG=4FBE,.CM=FN,在RM 4FN中，AA=60,.FN=AF-sinA=AF,2A CM=FN=AF2在FBG和FBE中，BG=BEZ-FBG=Z-FBE，BF=BF：.LFBG 三FBE(SAS),:G