《与过定点的直线相关的最值-2023年高考数学核心压轴题（新高考地区专用）.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《与过定点的直线相关的最值-2023年高考数学核心压轴题（新高考地区专用）.pdf（9页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、专 题 4 1 与 过 定 点 的 直 线 相 关 的 最 值【方 法 点 拨】1.选 择 直 线 方 程 的 适 当 形 式，若 设 为 截 距 式，实 质 是 引 入 了 双 元；若 设 为 斜 截 式，则 是 引 入 了 单 元.无 论 那 种 形 式，都 有 注 意 参 数 的 范 围.2.当 求 线 段 被 定 点 分 成 两 条 线 段 之 积 的 最 值 时，转 化 为 向 量 的 数 量 积 的 坐 标 形 式 求 解 较 简 单，也 可 引 入 角 为 变 量，建 立 关 于 角 的 目 标 函 数，利 用 三 角 函 数 的 有 界 性 求 解.【典 型 题 示 例】例 1
2、 已 知 直 线/过 定 点 P（-2,l）,且 交 X轴 负 半 轴 于 点 A、交 y轴 正 半 轴 于 点 3,点。为 坐 标 原 点，则 O A+OB取 得 最 小 值 时 直 线/的 方 程 为.【答 案】x-2 y+4=0【解 析 一】设 直 线/的 方 程 为 2+2=1（其 中。0）a b2 1直 线/过 点 尸 一 一+-=1a b|OA|+|O 5|=a,：.OA+O B=b-a=（b-a-+-=3+3+22,a b）b-a当 且 仅 当 a=_ 0 _ 2，6=1+短 时 取 等 号，所 以 直 线/的 方 程 为 x-近 y+2+0=O.【解 析 二】设 直 线/的 方
3、 程 为 丁 一 1=*+2）（其 中 k 0）令 X=0,y=2 k+1；令 y=0,x=-2kI I+I OB 1=2k+1|+_；_2=2Z+J+323+2夜，.当 且 仅 当 2Z=L,即 k=立 时 取 等 号，所 以 直 线/的 方 程 为 x 拒 y+2+J 5=0.k 2例 2 已 知 直 线/过 定 点。（-2,1）,且 交 x轴 负 半 轴 于 点 A、交 了 轴 正 半 轴 于 点 3,则|PA|-PB取 得 最 小 值 时 直 线/的 方 程 为.【答 案】x-y+3=O【解 析】（截 距 式+向 量+基 本 不 等 式 中 的“1”的 代 换）设 直 线/的 方 程
4、为 二+上=1（其 中。0）a b2|直 线/过 点 P（2,l）,-+-=1,a bV A-P，B三 点 共 线，：.PAPB=A P P B=（-2-a,1）-（2,b-l）=-2 a+b-5/（c2.c i+Zi?）（-2-1 1 1|-5=-2-b-2-a-F 4.+.1 5c=-2-b-2-a、4人,y a b J a b a b当 且 仅 当。=-3，b=3时 取 等 号，所 以 直 线/的 方 程 为 x-y+3=0.【解 析 二】（斜 截 式+向 量+基 本 不 等 式）设 直 线/的 方 程 为 y-l=-x+2）（其 中 左 0）令 x=0,y=2k+i；令 y=0,x=-
5、2k.,.西 而=（2,2&）V A.P，8 三 点 共 线，：.PA-PB=-PA-PB=-,-2,2 k）=+2k 4,2当 且 仅 当 7=2&,即 2=1时 取 等 号，所 以 直 线/的 方 程 为 x-y+3=0.k【解 析 三】（作 垂 线，利 用 直 角 三 角 形 边 角 关 系，三 角 函 数 有 界 性）过 点 P 分 别 向 X轴、y 轴 作 垂 线，设 NB4O=a（其 中 0 4sin a cos a sin 2a兀 当 且 仅 当 sin2c=l,即 a=一 时 取 等 号，此 时 直 线 的 斜 率 为 14.直 线/的 方 程 为 x-y+3=0.例 3 已
6、知 直 线/过 点 M（2），且 分 别 与 x轴 的 正 半 轴、y轴 的 正 半 轴 交 于 A,B两 点,。为 原 点，当 A AOB面 积 最 小 时，则 直 线/的 方 程 是.【答 案】x+24=0【解 析 一)设 直 线/的 方 程 为 y1=A(x2)(其 中 2V0)则 可 得 A.)J,0),8(0,12r).5008=/1。川 一|0 8|=；.”厂 1-2电=如 一/-4。巳 4+2(一 0-软)=4当 且 仅 当 一(=4 k,即 上=-g时，4 4 0 8面 积 有 最 小 值 为 4,此 时，直 线/的 方 程 为 y1=一；(x2),即 x+2 y4=0.【解
7、析 二】设 所 求 直 线/的 方 程 为 1(。0,心 0)，则 又.)2+庐 1 2 yn 7 n 呼 1应 2 1 1 1当 且 仅 当=g=g,即=4,方=2 时，A4O 3面 积 S=i仍 有 最 小 值 为 4.此 时，直 线/的 方 程 是 今+1=1,即 x+2y4=0.【解 析 三】过 点 尸 分 别 向 X轴、V轴 作 垂 线，垂 足 分 别 是 C、D7T设 N E 4O=a(其 中 0 a 2 J 2 tan a+2=4“os,PHD VAC 2 tan a Y 2 tan a当 且 仅 当 一 1一=2 t a n a,即 tana=时 取 等 号，此 时 直 线 的
8、 斜 率 为 2 tan a 2 2.直 线/的 方 程 是 x+2 y-4=0.例 4 已 知 直 线/:y=Z(x-2)+3,且/与 x轴、y 轴 分 别 交 于 A、B 两 点、.若 使 AAO8的 面 积 为 机 的 直 线/共 有 四 条，则 正 实 数 m 的 取 值 范 围 是.【答 案】m12【分 析】由 于 宜 线/：y=A(x-2)+3过 定 点(2,3),故 直 线/与 第 二、四 象 限 围 成 的 AAOB的 面 积 可 以 取 任 意 实 数，换 言 之，当“给 定 一 正 实 数 时，直 线/与 第 二、四 围 成 的 面 积 为 m 的 直 线 有 且 仅 有
9、两 条，故 只 需 考 虑/与 第 一 象 限 围 成 的 AAO3的 面 积 为 m 的 直 线 有 两 条 即 可，由 于/与 第 一 象 限 围 成 的 AAO3的 面 积 有 最 小 值，根 据 对 称 性，大 于 该 最 小 值 的 直 线 有 两 条，故 问 题 转 化 为 求/与 第 一 象 限 围 成 的 AAO8的 面 积 的 最 小 值.【解 析 一】,直 线 y=A(x-2)+3与 x 轴，y 轴 交 点 的 坐 标 分 别 是 A(2-J 0),以 0,3-2外.kS=-x|2-|x|3-2)l|=lx(-2/-3)-2 k 2|%|业，。1 4*-12k+9 1“，9
10、 l 4 0 HJ,S x-=x(4&H-12),2 k 2 kQ I-4,.4发+己.2/=12,当 口.仅 当 A:=三 时 取 等 号.k 2.当 S,=机 0时，在&0时，氏 有 两 值；当*左，C0 时 H，SC=1 x-(-2-Z-3-)-2=-1 x-4-/-1-2-k-+-9-=1 xr(z-44Z,+9)、+12,2|左|2-k 2-k/+.2V49=12.当 且 仅 当 欠=9 时 取 等 号.-k 2当 加=0 时,仅 有 一 条 直 线 使 A AOB的 面 积 为=；当 0 根 12时，仅 有 两 条 直 线 使 A4O3的 面 积 为 加；当 机=12时，仅 有 一
11、:条 直 线 使 AAO8的 面 积 为?；当 相 12时，仅 有 四 条 直 线 使 AAOB的 面 积 为？.故 答 案 是：加 12.【解 析 二】直 线/:y=Z(x-2)+3过 定 点(2.3),先 求 直 线/与 第 一 象 限 围 成 的 AA08的 面 积 的 最 小 值，则 所 求，大 于 该 最 小 值 时，满 足 题 后、V A(2-,0),8(0,3-2Q(k 0)ki 3 i(24-3)2 i a i I g.S.=-x|2一 一|x|3 2上|=-x-=_x(4攵+一 x(2j4h3 12)=122 k 2|左|2 k 2 V A当 且 仅 当 妹=2,即 左=3
12、时 取 等 号 k 2当 相 12时，仅 有 四 条 直 线 使 AAO8的 面 积 为 机.故 答 案 是：?12.【巩 固 训 练】I.直 线+-m+=0(m,n G R 且 以 不 同 时 为 0)经 过 定 点 2.过 点 P(2,3)且 与 两 坐 标 轴 围 成 的 三 角 形 面 积 为 12的 直 线 共 有 条.3.已 知 直 线/过 点 M(2)，且 与 x 轴、y 轴 的 正 半 轴 分 别 相 交 于 A,B 两 点,O 为 坐 标 原 点,则 当|宓 卜|标 I 取 得 最 小 值 时，直 线/的 方 程 为.4.已 知 直 线/：kx-y+1+2k=0（ZC R）,
13、若 直 线 l交 x 轴 负 半 轴 于 A,交 y 轴 正 半 轴 于 B,/XAOB的 面 积 为 S（0 为 坐 标 原 点），则 S 取 得 最 小 值 时 直 线/的 方 程 是.5.一 直 线 过 点 A（2,2）且 与 x轴、y 轴 的 正 半 轴 分 别 相 交 于 3、C 两 点，O 为 坐 标 原 点.则 1031+1 OC|-18cl 的 最 大 值 为.6.已 知 直 线（2?+l）x+（l m）y 3（l+m）=0,m e 与 两 坐 标 轴 分 别 交 于 A、8 两 点.当 A Q 4 8 的 面 积 取 最 小 值 时（。为 坐 标 原 点），则 加 的 值 为
14、 A.-B.-C.-D.-3 3 5 57.（多 选 题）已 知 直 线/i：avy+l=0/2：x+ay+l=0,“W R,以 下 结 论 正 确 的 是（）A.不 论。为 何 值 时，人 与/2都 互 相 垂 直 B.当 a 变 化 时，/i与/2分 别 经 过 定 点 40,1）和 8（-10）C.不 论。为 何 值 时，八 与/2都 关 于 直 线 x+y=0 对 称 D.如 果/i与/2交 于 点 M，则|MO|的 最 大 值 是 血【答 案 或 提 示】1.【答 案】（一 1,1）【解 析】直 线 过 定 点，则 意 味 着 定 点 坐 标 使 得 参 数“失 去 作 用”一 一
15、即 无 论 参 数 取 何 值，不 会 影 响 表 达 式 的 值，能 够 达 到 此 功 效 的 只 有 让 参 数 与“0”相 乘，所 以 考 虑 将 已 知 直 线 进 行 变 形，将 含 根 的 项 与 含 的 项 分 别 归 为 一 组，可 得：根（x+2y+y+2）=0,若 要 让 以“失 去 作 用”，则 x+2 y-l=0、八，解 得%一 y+2=0 x=-3=1即 定 点 为（一 1,1）.2.【分 析 一】宜 接 设 点 斜 式 或 截 距 式 求 出.【解 析 一】设 过 点 P(2,3)且 与 两 坐 标 轴 围 成 的 三 角 形 面 积 为 12的 直 线 的 斜
16、率 为 鼠 则 有 直 线 的 方 程 为 y3=A(x+2),即 依 一 y+2k+3=0,它 与 坐 标 轴 的 交 点 分 别 为 M(0,2&+3)、2彦，0).再 由 12=ToM.ON=；|2%+3|X|2一%,可 得|4 k+/12|=24,即 4/+.+12=24,或 以+1+1 2=-2 4.解 得 仁|或 仁 二 守 住 或 二 但，故 满 足 条 件 的 直 线 有 3 条.【分 析 二】求 出 与 x 轴 负 方 向、)，轴 正 方 向 所 围 成 三 角 形 面 积 的 最 小 值，若 大 于 12,满 足 条 件 的 直 线 有 二 条；若 小 于 12,满 足 条
17、 件 的 直 线 有 四 条；若 大 于 12,满 足 条 件 的 直 线 有 三 条.3.【答 案】尤+y-3=0【解 析】设 A(a,0),8(0,b),则 AO,b0,直 线/的 方 程 为 计/1,所 以 计 1=1.MA-MB=-MA-MB=-(a-2,一 1(-2,b)=2(a-2)+b-1=2a+b5=(2/竭+。-5=+与*当 且 仅 当 a=b=3 时 取 等 号，此 时 直 线/的 方 程 为 x+)，一 3=0.4.【答 案】x-2y+4=0【解 析】由 题 意 可 知 Z H 0,再 由/的 方 程，得 人(一 匕 空，0)，仅 0,1+2%).1+2*0,S=OA O
18、B=-|1+2i|=T-7-=zf4/:+T+4)-X(2X2+4)=:4,乙 Z K Z K Z K J Z.“=”成 立 的 条 件 是 Q 0 且 以=4，即 k=J,.Smin=4,此 时 直 线 l的 方 程 为 X-2)，+4=0.5.【答 案】8-4夜【解 析】设 B(b,O),C(O,c),b0,c0,则 直 线 方 程 的 截 距 式 为 2+上=1，b c由 42,2)在 直 线 上 可 得：-+-=1,即 历=2c+给，b c因 为 1=*+：.2后,所 以 应.24,当 且 仅 当 b=4,c=6时 取 等 号，所 以|OB|+|O C T 8 C|i+c-衍 亚 5b
19、+c+Jb2+c2_ 2bc _ 2bcb+c+b+c-2bc he+I(be)24-4bchc+y(hc)2-She故 答 案 为：8-4 0.6.【答 案】C【解 析】由 直 线（2机+l）x+（l-加）一 3（1+机）=0,可 得 A（小 型,0）,8（0,独 处）.2m+1X1-2.当 aaAB的 血 枳 s3(1+tri)3(l+/w)9 I+2tn+m_ x_ x_2m+1 2-2m2+m+1令 1+M=f 54X-；-t-2-=-9 X-1-2厂+5,2 2 o/l 5-2 93 厂/+.当 t=d,即%=一.时，S 取 得 最 小 值.5 5故 选 C.7.【答 案】ABD【解
20、 析】对 于 A,axl+（l）xa=0恒 成 立，/|与/2互 相 垂 直 恒 成 立，故 A 正 确;对 于 B,直 线/i：axy+l=0,当 a 变 化 时，x=0,y=l 恒 成 立，所 以/恒 过 定 点 A（0,l）；in x+a y+l=0,当 变 化 时，x=,y=0 恒 成 立，所 以，2恒 过 定 点 坑 一 1,0）,故 B 正 确.对 于 C,在/i上 任 取 点（x,ax+1）,关 于 直 线 x+y=0 对 称 的 点 的 坐 标 为（一，优-1,%）,代 入，2：x+a）,+l=0,则 左 边 不 等 于 0,故 C 不 正 确；X寸 于 D,联 立 ax-y+1=0,.r+ay+I=0,f-ax=+r解 得 a+1J a2+1 rln即 忆(耳 a TT-7a+l7A/所 以|M 0尸 所 以|MO|的 最 大 值 是 巾，故 D 正 确.故 选 ABD.