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1、2022-2023学年北京市人大附中九年级（上）开学数学试卷一、选 择 题（本题共24分，每小题3 分）第 1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.1.（3分）把一次函数的图像），=3x+l向上平移4个单位长度，得到图象表达式是（）A.y=3 x+5B.y=3x+4C.y=3 x-4 D.y=3 x-52.（3分）如图，矩形A B C。中，对角线A C,8。交于点O,如果乙4。8=35 ,那么N A O BD.110 3.(3分)二次函数y=(x-1)2+2的最小 值 是()A.-2 B.-1 C.14.(3分)一元二次方程，-6 x-5=0配方后可变 形 为()A.(x+3)2=4 B
2、.(x-3)2=4 C.(x+3)2=14D.2D.(x-3)2=145.（3 分）己知 4（-2,yi）,8（-1,”），C （1,”）三点都在二次函数 y=2（x+1）2的图象上，则yi,2的大小关系为（）A.yy2 y3 B.yy3 y2 C.y2 yy3 D.y3 y的面积为8,菱形A EC F的面积为4,则E F的 长 是（）A.4 B.7 5 C.2 D.17.（3分）小兵在暑假调查了某工厂得知，该工厂20 20年全年某产品的产量为234万吨，经该厂的技术人员预计20 22年全年该产品的产量为345万吨，设20 20年至20 22年该产品的预计年平均增长率为x,根据题意列出方程得（
3、）A.234（1+x）2=345 B.234（1 -2%）=345C.234（l+2x）=345 D.234（1 -x）2=3458.（3分）如图，点E为正方形A B C。外一点，且E0=C ,连接A E,交 B D 于点、F.若A.7 1 B.7 2 C.81 D.82二、填 空 题（本题共18分，每小题2分）9.（2分）正比例函数）=日 经 过 点（1,3）,则=.10.（2分）在平行四边形A B C。中，ZA =80 ,则NB=.11.（2分）写出一个对称轴为y轴，且 过（0,-2）的二次函数的解析式.12.（2分）如图，在平行四边形A B C。中，8c=8,C D=5,B E平分/A
4、8 C交 于 点E,则D E的长为.13.（2分）一次函数y=x+2与x轴交于点A,与y轴交于点B,则 A O B的面积是.14.（2分）若关于x的一元二次方程/-2x+A=0有两个不相等的实数根，则上的取值范围是.15.（2分）如图，正方形A 8 C D在第一象限内，点A、B坐标分别为（1,1）,（3,1）,若直线y=2x+8把正方形A 8 C O分成面积相等的两部分，则匕的值是.16.（2 分）如图，线段4力为ABC的中线，点 P 为线段A 8上的动点（不与点A,8 重合）,PELAD于点E,PFLBD于点F,若 AB=AC=5,B C=8,则 E尸的最小值为.17.（2 分）已知二次函数
5、丫二苏+历也,的图象与x 轴交于A（-2,0）和 B（m,0）,其中2 m 4,与 y 轴交于正半轴上一 点.下列结论：a0；念 也一；若点C（-a1,y i）,D（2,y2）,E（4,”）均在二次函数图像上，则 c+8a0.其中 一 定 正 确 的 结 论 的 序 号 是.三、解 答 题（本题共58分，第 18-19题，每小题4 分，第 20-25题，每小题4 分，第 26题6 分，第 27-28题，每小题4 分）18.（4 分）计算：V4+IV 2-3 I+718.19.（4 分）解方程：?+4x-2=0.20.（5 分）如图，在AABC中，A B=A C,点。，分别是A8,AC的中点，延
6、长BC至点尸，使 C F,B 0 连接。&CD、E F.求证：四边形QCFE是平行四边形.21.（5 分）已知点A（a,2）为 二 次 函 数-2 x-4 图像上的点，求代数式3a（a-2）+(a-1)2 的值.22.(5分)在平面直角坐标系x O)，中，二次函数y=x 2+f c c+c的对称轴为x=l,且它经过点4(3,0),求该二次函数的解析式和顶点坐标.23.(5分)已知关于x的一元二次方程小+(k-2)x-2=0�).(1)求证：不论/为何值，这个方程都有两个实数根；(2)若此方程的两根均整数，求整数k的值.24.(5分)如 图，在平面直角坐标系x O y中，点A (a,4)在直
7、线/i：y=2 x 过点A的直线/2与x轴交于点B (-6,0).与y轴交于点C.(1)求直线/2的解析式；(2)已知点P的坐标为(0,)，过点P的作y轴的垂线与/I,/2分别交于点。、E(点25.(5分)如图，Z A B C中，A B=B C,过A点作B C的平行线与N A 8 C的平分线交于点。,连接C D.(1)求证：四边形A B C。是菱形；(2)过 点。作A C的平行线交直线8 c于点E,连接/)E,C E,点P是线段8。上的动点，若A D=5,A C=27 5,请直接写出P C+P E的最小值.26.(6分)在平面直角坐标系x O y中，抛 物 线 产-2办+3 (a WO)与y轴
8、交于点A.(1)求点A的坐标以及抛物线的对称轴；(2)抛物线与直线y=2交于点8 (x i,j i),C (%2,”)，其中x ix 2.当8 c=4时，求抛物线的表达式；当3X I+5X2W 12时，请直接写出a的取值范围.27.(7分)如 图1,点E为正方形4 8 C。边4 B上的一点，连接E C,点尸是线段E C上的一个动点(不与点E,C重合)，直 线 交 直 线B C于点G.(1)如 图1,当。G J _ E C时，用等式表示B E,G C之间的数量关系，并证明;(2)如图2,当C F=C Z)时，补全图形;用等式表示B E,E C,C G之间的数量关系，并证明.28.(7分)在平面直
9、角坐标系x O y中，已知点用(。，b),对于点P给出如下定义：将点P向 右(a 20)或 向 左(a 0)或 向 下(/?=(x -1)2+2的最小值是()A.-2 B.-1 C.1 D.2【分析】根据二次函数的性质求解.【解答】解：y=(x -1)+2,.当x=l 时，函数有最小值2.故选：D.【点评】本题考查了二次函数的最值：当。0时，抛物线在对称轴左侧，y随 x的增大而减少；在对称轴右侧，y随 x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当 =一 互，函数最小值y=4ac-b；当。()时，抛物线在对称轴左侧，y随 x的增2a 4a大而增大；在对称轴右侧，y随 x的增大而减少，因
10、为图象有最高点，所以函数有最大值，2当x=-,函数最大值y=4ac-b.2a 4a4.(3 分)一元二次方程*-6 x-5=0 配方后可变形为()A.(JC+3)2=4 B.(x -3)2=4 C.(x+3)2=1 4 D.(x -3)2=1 4【分析】先移项，再根据完全平方公式配方，即可得出选项.【解答】解：6 x 5 0,X2-6 x=5,x2-6 x+9=5+9,(x -3)2=1 4,故选：D.【点评】本题考查了用配方法解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键.5.(3 分)已知 A(-2,y i),B(-l,”)，C (1,”)三点都在二次函数 y=2(x+1)2的图象上，则 y
11、i,*,*的大小关系为()A.y i y 2 y 3 B.y i y?y 2 C.y 2 y i y 3 D.y 3 y i y 2【分析】由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，根据A,B,C三点到对称轴的距离大小关系求解.【解答】解：；y=2(x+l)2,.抛物线开口向上，对称轴为直线x=-1,-1 -(-1)-1 -(-2)1 -(-1),.y 2 y i 3，故选：C.【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系.6.（3 分）如图，正方形ABC。的面积为8,菱形AECF的面积为4,贝“E F 的 长 是（）A.4 B.V5 C.2 D.1【
12、分析】连接A C,根据正方形ABCQ的面积为8,求得A C=4,根据菱形的面积，即可得到结论.【解答】解：连接AC,:正方形ABC。的面积为8,：.AC=4,.菱形AECF的面积为4,.E f=X9=2,4故选：C.【点评】此题考查正方形的性质，关键是根据正方形和菱形的面积进行解答.7.（3 分）小兵在暑假调查了某工厂得知，该工厂2020年全年某产品的产量为234万吨，经该厂的技术人员预计2022年全年该产品的产量为345万吨，设 2020年至2022年该产品的预计年平均增长率为x,根据题意列出方程得（）A.2 3 4 (1+x)2=3 4 5 B.2 3 4 (1 -2 x)=3 4 5C.
13、2 3 4 (l+2 x)=3 4 5 D.2 3 4 (1 -x)2=3 4 5【分析】根据该工厂2 0 2 0 年全年某产品的产量为2 3 4 万吨，经该厂的技术人员预计2 0 2 2年全年该产品的产量为3 4 5 万吨，列方程即可.【解答】解：根据题意,得2 3 4 (1+x)2=3 4 5,故选：A.【点评】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意并根据题意建立等量关系是解题的关键.8.(3 分)如 图，点 E为正方形4 8 C D 外一点，且 ED=CC,连接AE,交 B D 于点、F.若A.7 1 B.7 2 C.81 D.82【分析】根据正方形的性质可得A D=C D,Z A D
14、C =90,Z A D B=ZCDB=45 ,再根据已知条件可知A D=E D,可得/ZM E,再证明/丝C F (SAS),根据全等三角形的性质即可求出N DCF,进而解答即可.【解答】解：在正方形 A 8C。中，A D=C D,NA D C=9 0 ,NADB=NCDB=45 ,V Z C =3 8 ,；.NADE=90+4 0 =1 2 8,：ED=CD,：.AD=ED,：.Z D A E=(1 80 -1 2 8 )+2=2 6 ,在A。尸和 8 尸中，AD=CD,ZADB=ZCDB)DF=DFA A D F /X C D F (SAS),:.N D C F=NDAF=26 ,A Z
15、B C F=9 0 -2 6 =6 4 ,.NB F C=1 80 -4 5 -6 4 =7 1 ,故选：A.【点评】本题考查了正方形的性质，涉及全等三角形的性质和判定，三角形的内角和，等腰三角形的性质等，熟练掌握这些性质是解题的关键.二、填 空 题（本题共18分，每小题2 分）9.（2分）正比例函数y=匕 经 过 点（1,3）,则 k=3 .【分析】把点的坐标代入函数解析式，求解即可得到的值.【解答】解：正比例函数丫=区经过点（1,3）,：.k=3.故答案为：3.【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式，将点的坐标代入解析式，利用方程求解即可.1 0.（2分）在平行四边形A B C。中，Z
16、A =80 ,则N B=1 0 0 .【分析】在平行四边形A B C。中，因为/A和N B是一组相邻的内角，由平行四边形的性质可知，Z 4+Z B=1 80 ,代值求解.【解答】解：；四边形A B C。是平行四边形，J.BC/AD,：.Z A+Z B=1 80 ,，N B=1 8 0 -乙 4=1 8 0 -8 0 =1 0 0 .故答案为1 0 0 .【点评】本题利用了平行四边形中邻角互补的性质.运用平行四边形的性质可解决以下问题，如求角的度数、线段的长度，证明角相等或互补，证明线段相等或倍分等.1 1.（2分）写出一个对称轴为），轴，且 过（0,-2）的二次函数的解析式 y=f-2 .【分
17、析】二次函数的解析式是y=/+公+c （。、b、c 为常数，。0）,根据对称轴为y轴得。=0,根据与y轴的交点坐标为（0,-2）得出c=-2,写出一个符合的二次函数即可.【解答】解：答案不唯一，如：y=7-2,故答案为：y x2-2.【点评】本题考查了二次函数的性质，能熟记二次函数的性质内容是解此题的关键.12.（2 分）如图，在平行四边形ABCD中，BC=8,C D=5,BE平分NA8C交 AO于点E,则 的 长 为 3.B C【分析】根据四边形A B CD为平行四边形可得AE/BC,根据平行线的性质和角平分线的性质可得出继而可得A 8=A E,然后根据已知可求得O E的长度.【解答】解：.
18、四边形A8CD为平行四边形，J.AE/BC,AD=BC,：.N A E B=N E B C,：BE 平分/ABC,N A B E=N E B C,：.N A B E=NAE B,：.AB=AE,V BC=8,C D=5,：.D E=A D-A E S -5=3.故答案为：3.【点评】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，解答本题的关键是根据平行线的性质和角平分线的性质得出NA8E=NAEB.13.（2 分）一次函数y=x+2与 x 轴交于点4,与 y 轴交于点8,则AOB的面积是 2【分析】根据一次函数图象上的点的坐标特征解决此题.【解答】解：如图.当 y=0,贝 U x
19、=-2,此时 A (-2,0).：.OA=2,OB=2.,.,S AAO B1 AO B=t1X 2X 2=2-故答案为：2.【点评】本题主要考查一次函数图象上的点的坐标特征，熟练掌握一次函数图象上的点的坐标特征是解决本题的关键.1 4.(2 分)若关于x的一元二次方程;？-2%+%=0 有两个不相等的实数根，则 Z的取值范围是 k 0,然后解不等式即可.【解答】解：根据题意得 =(-2)2-4 X 0 0,解得上 1.故答案为：k0时，方程有两个不相等的实数根；当A=0时，方程有两个相等的实数根；当 0 8,2 2：.D P=H,5使得最小值为9.5【点评】本题考查轴对称的性质，等腰三角形的
20、性质，矩形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会利用转化的思想思考问题，属于中考常考题型.1 7.(2 分)已知二次函数丁=公?+力 x+c 的图象与x轴交于A (-2,0)和 8 (旭，0),其中,22 V m 4,与 y 轴交于正半轴上一点.下列结论：4 V 0；4 c 也一；若点C(-a1,y i),D(2,*),E(4,7 3)均在二次函数图像上，则 c+8 4 V o.其中一定正确的结论的序号是 .【分析】根据与坐标轴的交点判断出。0,V a.2 _,故正确；a.,图象与x轴交于A （-2,0）和8（m,0）,其中2 机 4,.0 -且 1,2 aA y l与 的大小不能判
21、断，故错误；:抛 物线与x轴的交点有一个为（-2,0）,/.4a-2 0+c=0,.4/;=8+2 c,当尢=4时,y V O,4a+4b+c0,，1 4。+8+2。+。0,.c+S aE=CF,即可2得出结论.【解答】证明：点。，E 分别为A8,AC的中点，是A8C的中位线，：.D E/BC,DE=XBC,2；C F=U c,2：.DE=CF,又,：DECF,二四边形OCFE是平行四边形.【点评】本题考查了平行四边形的判定以及三角形中位线定理，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键.2 1.(5分)已 知 点A (a,2)为二次函数y=W-2 x-4图像上的点，求代数式3 a(-2)+(a-1
22、)2 的值.【分析】将点A坐标代入解析式，化简代数式3 a(a-2)+(。-1)2通过整体思想求解.【解答】解：将(a，2)代入)，=/-2厂4得2=。2-2。-4,整理得a2-2 a=6,3 a(a-2)+(0,方程有两个不相等的实数根；当=(),方程有两个相等的实数根：当,故答案为：2或6.【点评】本题考查了一次函数的综合应用，涉及一次函数的交点问题，待定系数法求解析式等，求n的值时注意分情况讨论是关键.25.（5分）如图，z M B C中，过4点作B C的平行线与N A 8 C的平分线交于点）,连 接C D.（1）求证：四边形A B C C是菱形；（2）过点。作A C的平行线交直线3 c
23、于点E,连接D E,C E,点P是线段8。上的动点，若A D=5,A C=2遥，请直接写出PC+PE的最小值.【分析】（1）两条全等三角形的性质证明A O=8 C,推出四边形A 8 C D是平行四边形，可得结论；（2）延长8 4交 的 延 长 线 于 点T,连接C 7,P T,过点T作7 H _ L B E于点H,利用面积法求出T H,再利用勾股定理求出CT,由P C+P E=P T+P C C T,可得结论.【解答】（1）证明：3A=2C,3 0平分N A B C,；.A 0=0C,C AD/C B,：.Z O A D=Z O C B,在A。和COB中，Z D A 0=Z B C 0 A O
24、=C O，ZAOD=ZCO B.A O D dC O B (ASA),：.AD=BC,：AD/CB,四边形A8CD是平行四边形，；AB=BC,四边形ABC。是菱形；(2)解：延长BA交 的 延 长 线 于 点 7,连接CT,P T,过 点 T 作 777_LBE于点，.四边形ABC。是菱形，J.ACLBD,OA=OC=通,二。=OB=7AD2-A02=V 52-(V 5)2=2 娓：AC/ET,BO=OD,：.BA=AT,BC=CT,：.BE=BT=IO,D T=D E=2 8:.TE=4疾,:TH工 BE,：.S&BET=-l x BEX TH-XETX BD,2 2 TH 4 5 X 一
25、g一 io-/=VET2-TH2=V(47 5)2-82=4,；.CH=CE-EH=1,CT=VCH2+TH2=V l2+82=65，：BDYTE,DT=DE,：.PE=PT,PC+PE=PT+PC CT=V 65，C.PC+PE的 最 小 值 为 屈.【点评】本题考查轴对称-最短问题，等腰三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题.26.(6分)在平面直角坐标系*0)，中，抛物线-2or+3(a r 0)与y轴交于点A.(1)求点A的坐标以及抛物线的对称轴；(2)抛物线与直线y=2交于点8 (x i,yi),C(%2,”)，
26、其中x i2）,.ax1-2 ax+3 2,整理得：ax2-2 ax+=0,-Oo 1/.X+X2=-=2,X1-X2=,a aV BC=X2-x i=4,:.（X2-Xl）2=（X1+X2）2-4xi*X2=16,.22-4XA=16,a解得q=-1,3.抛物线的表达式为y=-2+&+3：3 3 抛物线与直线y=2 交于点8 （x i,yi）,C（X 2,”），/ax2,-2x+3=2,整理得：ax2-2 ax+=0,.0=2a 4 4a2-4a=1 4g/-a）2a aJ 2_ J 2_当 4 0 时，x i=l -,X 2=l+,a a,:3 x i+5 x 2 1 2,J 2 _ J
27、2 _.3 _ 3 X X 5 _ L.+5+5 X 1 2,a a化简得，v d 4d2 m.3Q2+2 0 且2 _ o,a 1.J 2 _ J 2 _当 V 0 时，K =l+X X2=l _ 士,a aV3XI+5X212,J 2_ J 2_ 3+3xNa-a+5 _ 5x v a a 2,a aW a 2-a W 3/.a2-a42,3 2+Q20,:.a(3a+1)20,*V O,3Q+1V0,:a 1 或3【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法、一次函数的性质，二次函 数 与 X轴的交点等知识，解题的关键是灵活运用待定系数法，学会用分类讨论的思想思考问题.27.(7 分)
28、如 图 1,点 E 为正方形ABC。边 AB上的一点，连接E C,点 F 是线段C 上的一个动点(不与点E,C 重合)，直线。F 交直线BC于点G.(1)如 图 1,当 OGLEC时，用等式表示BE,GC之间的数量关系，并证明；(2)如图2,当 CF=CD时，补全图形；用等式表示BE,EC,CG之间的数量关系，并证明.图I【分析】(1)结论：B E=C G.证明C8E好OCG(A S A),可得结论；(2)根据要求作出图形即可；结论：BE+CE=CG.如图2 中，过点。作。兀LEC交 C8于点T,则C8E丝OCT,证明T G=T D=C E,B E=C T,可得结论.【解答】解：(1)结论：B
29、E=CG.理由：如图1中，图1.四边形A B C。是正方形，：.CB=CD,ZCBE=ZDCG=90,DGCE,；.NECB+NCGD=90,NCGD+NCDG=9Q,:.NBCE=NCDG,在A C B E和aoCG中，rZ B C E=Z C D G B C=C D ，Z C B E=Z D C G/.C B F A D C G (A S A),:.BE=CG；(2)图形如图2所示:图2结论：BE+CE=CG.理由：如图2中，过点。作D 7 L E C交C B于点T,则C B E之Q C T,：.CE=DT,BE=CT,:CF=CD,:.N C F D=N C D F,：.Z G+ZF C
30、G=Z C D T+Z FDT,Z F C G=Z C D T,:.N G=N T D G,：.GT=DT=EC,：.C G=G T+C T=CE+BE,即 BE+CE=CG.【点评】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题.2 8.(7分)在平面直角坐标系x O y中，已知点用(a,b),对于点尸给出如下定义：将点P向 右(心0)或 向 左(a 0)平移个单位长度，再 向 上(后0)或 向 下(b -l .(3)已知正方形4 B C 的边长为2,各边与x轴平行或者垂直，其中心为(4,
31、4),点P(c,d)为正方形A B C。上的动点.当4=6=0时，在点P运动过程中，点。形成的图形的面积是 1；当点M(a,b)在直线/：y=2 x上，在点尸运动过程中，若存在点Q在正方形A B C D的边上或者内部，则“的取值范围是 上WaW工.2 4【分析】(1)由定义可求P(3,7),再由中点坐标公式求出Q(2,5)即可；根据P的横坐标可建立方程2+a=2机-a,从而可求m；(2)求出尸(c+1,2c+l),Q(.212,c+1),由题意可得 2=0,求出即可求解；2 2由可得工2 0,。+1 0,即可求c的范围；2(3)求 出 产(c,d),Q(,旦)，由此可知。点形成的正方形边长为1
32、,则点Q形2 2成的图形的面积是1；由题意可知 M(a,2 a),则尸(c+a,d+2 a),。(a+,2a+旦)，再由 3WcW5,3Wd-2 2W 5,当a+=3时，可得3W 6-2aW 5,则时，存在点。在正方形ABC。的2 2、2边上或者内部；当2 旦=5时，可得3W 10-4aW 5,则SWaW工时，存在点Q在正方2 4 4形ABCO的边上或者内部，即可求a的范围.【解答】解：(1)尸(2,4)向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度得到P(3,7),.P与M的中点Q(2,5),故答案为：(2,5)；c=2,：.P(2,d),点。的横坐标为的横坐标为2 m-a.VM(a,b),.
33、P的横坐标为2+a,2m-4=2+，m=a+1 f故答案为：a+；(2),点尸在直线/：y=2无上，P(c+1,2c+l),：.Q(记,c+1),2 点。在 y 轴上，.,-.12=0,2；.c=-2,：.P(-2,-4),故答案为：(-2,-4)；点。在第一象限，；.5 (),c+l0,2.*.c-1；(3)当。=。=0 时，M(0,0),:P(c,d),：.P(c,d),：.Q(,&),2 2;尸点在正方形ABC。上，.Q点的运动形成的图形也是正方形 正方形A8C。的边长为2,；.Q 点形成的正方形边长为1,.点。形成的图形的面积是1；.点M(a,b)在直线/：y=2x上,M(a,2a)f:点 P(a d),AP,(c+a,d+2a),：.Q(a+,2 a+旦)，2 2 正方形的中心是(4,4),边长为2,；.3 W c W 5,3 W d 5,当“+=3 时，c=6-2 a,2；.3 W 6-2 a W 5,.尹 尚 时，存在点。在正方形ABC。的边上或者内部;当 2 a+旦=5 时，d=10 -4 a,2.3 W 10-4W 5,工时，存在点。在正方形ABC。的边上或者内部；4 4综上所述：工工时，存在点。在正方形A8CD的边上或者内部.【点评】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，理解定义,灵活应用中点坐标公式，数形结合解题是关键.