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1、2022-2023学年北京市人大附中九年级（上）开学数学试卷一、选择题（本题共24分，每小题3分）第18题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.1.（3分）把一次函数的图像y=3x+l向上平移4个单位长度，得到图象表达式是（）A. y=3x+5y=3x+4y=3x - 4y=3x - 52.（3分）如图，矩形A5C。中，对角线AC, BD交于点、O,如果NAO5=35。，那么NAOB454545C. 70D.1103.（3分）二次函数），=（x- 1） 2+2的最小值是（）A. - 2A. - 2A. - 2B.C. 1D.4.（3分）一元二次方程x2 - 6%-5 = 0配方后可变形为（A.
2、 (x+3) 2=4B. (x+3) 2=4C. (x+3) 2=4D. (%- 3) 2=4E. (x+3) 2=14D.(x - 3) 2= 145.(3 分)已知 A (- 2, yi), B ( - 1, ”)，C (1, ”)三点都在二次函数 y=2 (x+1) 2的图象上，则yi, 2, ”的大小关系为（A. yiy2y3A. yiy2y3A. yiy2y3B. yiy3y2C. y2yy3D. y3yy26.6.菱形AEC厂的面积为4,则石歹的长是（）（3分）如图，正方形ABC。的面积为8,A. 4B. V5C. 2D. 17.（3分）小兵在暑假调查了某工厂得知，该工厂2020年
3、全年某产品的产量为234万吨,经该厂的技术人员预计2022年全年该产品的产量为345万吨，设2020年至2022年该产品的预计年平均增长率为无根据题意列出方程得（）A. 234 (1+x) 2 = 345A. 234 (1+x) 2 = 345A. 234 (1+x) 2 = 345B. 234 (1 - 2%) =345A. 234 (1+x) 2=345A. 234 (1+x) 2=345A. 234 (1+x) 2=345B. 234 (1 - 2x) =345C. 234 (l+2x) =345D. 234 (1 -x) 2 = 345【分析】根据该工厂2020年全年某产品的产量为23
4、4万吨，经该厂的技术人员预计2022 年全年该产品的产量为345万吨，列方程即可.【解答】解:根据题意,得234 (1+x) 2=345,故选:A.【点评】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意并根据题意建立等量关系是解题的 关键.8. (3分)如图，点石为正方形ABC。外一点，且ED=C。，连接AE,交BD于点F.若【分析】根据正方形的性质可得ADCD, ZADC=90 , ZADB ZCDB45 ,再 根据已知条件可知AD=ED,可得ND4E,再证明尸(SAS),根据全等三 角形的性质即可求出NOCF,进而解答即可.【解答】解：在正方形 A5CQ 中，AD=CD, ZADC=9Q , ZA
5、DB= ZCDB=45 ,VZCDE= 38 ,A ZAZ)E= 90 +40 =128。,9：ED=CD,:AD=ED,：.ZDAE= (180 - 128 ) 4-2 = 26 ,在A。b和COb中，fAD=CD ZADB=ZCDB，Idf=dfA AADFACDF (SAS),：.ZDCF=ZDAF=26 ,：.ZBCF= 90 - 26 =64 ,A ZBFC= 180 -45 - 64 =71 , 故选：A.【点评】本题考查了正方形的性质，涉及全等三角形的性质和判定，三角形的内角和， 等腰三角形的性质等，熟练掌握这些性质是解题的关键.二、填空题（本题共18分，每小题2分）（2分）正比
6、例函数=日经过点（1, 3）,贝lj k= 3.【分析】把点的坐标代入函数解析式，求解即可得到攵的值.【解答】解：.正比例函数 =日经过点（1, 3）, ：.k=3.故答案为：3.【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式，将点的坐标代入解析式，利用方程求解 即可.9. （2分）在平行四边形ABC。中，ZA = 80 ,则NB= 100。.【分析】在平行四边形ABC。中，因为NA和是一组相邻的内角，由平行四边形的 性质可知，ZA+ZB=180 ,代值求解.【解答】解：四边形ABCD是平行四边形，:.bc/ad9：.ZA+ZB=180 , .-.ZB=180 - NA = 180 - 80 =10
7、0 .故答案为100。.【点评】本题利用了平行四边形中邻角互补的性质.运用平行四边形的性质可解决以下 问题，如求角的度数、线段的长度，证明角相等或互补，证明线段相等或倍分等.10. （2分）写出一个对称轴为y轴，且过（0, -2）的二次函数的解析式 y=?-2.【分析】二次函数的解析式是y=ax1+bx+c （、b、c为常数，W0）,根据对称轴为v 轴得b=0,根据与y轴的交点坐标为（0, -2）得出。=-2,写出一个符合的二次函数 即可.【解答】解：答案不唯一，如：=/-2, 故答案为：=/-2.【点评】本题考查了二次函数的性质，能熟记二次函数的性质内容是解此题的关键.11. （2分）如图，
8、在平行四边形A8C。中，BC=8, CD=5, BE平分NA3C交AO于点E,则DE的长为 3.【分析】根据四边形A8CD为平行四边形可得AE3C,根据平行线的性质和角平分线 的性质可得出NA8E=NAEB,继而可得A8=AE,然后根据已知可求得DE的长度.【解答】解： 四边形ABCD为平行四边形，C.AE/BC, AD=BC,Z. /AEB=/EBC,丁 BE 平分 NA8C,Z. ZABE= ZEBC,：.ZABE= /AEB,：.AB=AE,VBC=8, CZ）=5,ADE=AD- AES - 5 = 3.故答案为：3.【点评】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，
9、解答本题 的关键是根据平行线的性质和角平分线的性质得出NA3E= ZAEB.12. （2分）一次函数y=x+2与x轴交于点4与y轴交于点3,则A03的面积是 2 .【分析】根据一次函数图象上的点的坐标特征解决此题.【解答】解：如图.当 y=0,则 x= - 2,此时 A ( - 2, 0).AOA = 2, OB=2. 1 1saaobApOB=7X2X2=2-故答案为：2.【点评】本题主要考查一次函数图象上的点的坐标特征，熟练掌握一次函数图象上的点 的坐标特征是解决本题的关键.13. (2分)若关于x的一元二次方程/-2/攵=0有两个不相等的实数根，则攵的取值范围 是 k .【分析】根据根的
10、判别式的意义得到(-2) 2-4Q0,然后解不等式即可.【解答】解：根据题意得= (-2)2-4XQ0,解得攵1.故答案为：k。时，方程有两个不相等的实数根；当=()时，方程有两个相等的 实数根；当AV0时，方程无实数根.上面的结论反过来也成立.14. (2分)如图，正方形A3CO在第一象限内，点A、B坐标分别为(1, 1), (3, 1),若 直线y=2x+8把正方形A3CO分成面积相等的两部分，则b的值是 -2 .【分析】连接AC BD交于点K.求出点K的坐标，再利用待定系数法求出b的值.A8=2,;四边形A8CZ)是正方形，：.C (3, 3),: AK=KC,：.K (2, 2),当直
11、线y=2x+经过点K时,2=4+。，：.b= - 2,故答案为：-2.【点评】本题考查中心对称，一次函数的性质，正方形的性质等知识，解题的关键是求 出点K的坐标，属于中考常考题型.15. （2分）如图，线段为A3C的中线，点P为线段A3上的动点（不与点4 3重合）, PEJ_A。于点E, PFLBD于点F,若A8=AC=5, BC=8,则尸的最小值为 理 .A【分析】如图，连接EF. PD.证明四边形。石是矩形，推出EF=DP,当DPLAB时，户的值最小.【解答】解：如图，连接立PD.9：AB=AC=59 BC=8, AO 是中线，：.ADBC, CD=BD=4,/md=VaB2-BD2=75
12、2-42=39：PE.LAD 于点 E, PFLBD 于点 F,：.ZPED= ZPFD= ZEDF=90 ,四边形DEPF是矩形,:EF=PD,当DPLAB时,DP的值最小，即EF的值最小,此时22，。尸=,5石/使得最小值为卫.5【点评】本题考查轴对称的性质，等腰三角形的性质，矩形的判定和性质，垂线段最短 等知识，解题的关键是学会利用转化的思想思考问题，属于中考常考题型.17. (2分)已知二次函数y=/+/zx+c的图象与x轴交于A ( - 2, 0)和3 (加，0),其中 2m4,与y轴交于正半轴上一点.下列结论：。上二；若点C(- a1, ji), D (2, ”)，E (4, ”)
13、均在二次函数图像上，则c+Sa0.其中一定正确的结论的序号是【分析】根据与坐标轴的交点判断出。0,根据图象与X轴交于两点判断，根据对 称轴和开口方向即可判断，根据图象过点.【解答】解：:抛物线与龙轴的交点为（-2, 0）和（m, 0）,与y轴交于正半轴，：.a0,VO,4c，故正确； a;图象与x轴交于A （-2, 0）和0）,其中2根4,：.0 -上1, 2a yi与”的大小不能判断，故错误； 抛物线与x轴的交点有一个为（-2, 0）,/. 4a - 2/?+。=0,/ 4b=8a+2c,:当 =4 时，y0, 14。+4人+。0,二 14Q+8a+2c+c0,/. c+8tz0,方程有两个
14、不相等的实数根；当=(),方程有两个相等的实数根；当AV0,方程没有实数根.也考查了一元二次方程的定义.24. (5分)如图，在平面直角坐标系尤0y中，点A (4)在直线小y=2x上，过点A的直线/2与x轴交于点8 ( - 6, 0).与y轴交于点C.(1)求直线/2的解析式；(2)已知点P的坐标为(0, n),过点P的作y轴的垂线与/i, /2分别交于点。、石(点。和点E不重合)，当OE=OC时，则的值是 2或6.C. 234 (l+2x) =345D. 234 (1 -x) 2 = 345.（3分）如图，点为正方形ABC。外一点，且EO=CD 连接A,交3。于点？若C. 81C. 81D.
15、 82二、填空题（本题共18分，每小题2分）.（2分）正比例函数 =日经过点（1, 3）,则仁.8 . （2分）在平行四边形A3CD中，ZA = 80 ,则N3=.9 .（2分）写出一个对称轴为y轴，且过（0, -2）的二次函数的解析式 .10 . （2分）如图，在平行四边形A3C。中，BC=8, CD=5, BE平分/ABC交AD于点E, 则DE的长为. （2分）一次函数yx+2与x轴交于点A,与y轴交于点B,则AOB的面积是. （2分）若关于x的一元二次方程/-21+左=。有两个不相等的实数根，则Z的取值范围.（2分）如图，正方形ABC。在第一象限内，点A、3坐标分别为（1, 1）, （3
16、, 1）,若直线y=2x+b把正方形ABCD分成面积相等的两部分，则b的值是Ay【分析】(i)先求出点a坐标，然后待定系数法求解析式即可；(2)根据点P坐标，表示出点。和点E坐标，再根据DE=OC列方程|2-6-匚| = 3, 2求解即可.【解答】解：(1)将点A (m 4)代入直线/i： y=2x,得 2(7=4,解得。=2, 点 A (2, 4),设直线/2的解析式为 =履+。(AWO),将点 A (2, 4), B ( - 6, 0)代入 了=依+。，得俨+b=4 ,-6k+b=0g解得 2,b=3 直线/2解析式为产Lx+3；2(2)当 x=0 时，产工乂+3=3, 点C坐标为(0,
17、3), OC=3,丁点。的坐标为(0, )，根据题意，点。和点石的纵坐标都为,将。点纵坐标代入直线4： y=2x,得2x=，解得x=21, 2，点D坐标为(二，)，2将E点纵坐标代入直线/2： y=x+?2得春x+3二n， 乙解得 x=2n - 6,，点石坐标为(2/1-6, /1),：.DE=2n - 6- 2*. DE= 0C,.|2-6-8| = 3, 2解得n=2或=6,故答案为：2或6.【点评】本题考查了一次函数的综合应用，涉及一次函数的交点问题，待定系数法求解析式等，求的值时注意分情况讨论是关键.25.(5分)如图，ZVIBC中，AB=BC,过A点作8C的平行线与NABC的平分线交
18、于点O,连接CD(1)求证：四边形A3CD是菱形；(2)过点。作AC的平行线交直线于点E,连接。石，。，点P是线段BD上的动点，若AD=5, AC=2a/5,请直接写出PC+PE的最小值.【分析】(1)两条全等三角形的性质证明AO=8C,推出四边形A3CQ是平行四边形， 可得结论；(2)延长84交的延长线于点T,连接CT, PT,过点T作7HL8E于点儿 利用面 积法求出77/,再利用勾股定理求出CT,由尸C+P=PT+PCNCT,可得结论.【解答】(1)证明：9：BA=BC, 3。平分NABC,：.AO=OC,: AD CB,：.ZOAD=ZOCB,在AOO和C03中， fZDA0=ZBC0
19、 AO=CO ，zaod=zcobA(AW,：,AD=BC,: AD/CB,：.四边形ABCD是平行四边形，9：AB=BC,，四边形A8CO是菱形；(2)解：延长区4交 皮 的延长线于点T,连接CT, PT,过点T作THLBE于点H.四边形A8CZ)是菱形，：.ACLBD, OA = OC=泥,：.OD=OB=VaD2-A02=7b2-(V5)2=2 点，9：AC/ET, BO=OD,l：.BA=AT, BC=CT,：.BE=BT=1Q, DT=DE=2娓,：.TE=4 娓,9： THA.BE,：.SaBET= -lx BEX 777=Ax ETX BD, 22.7H= 4遍 X4/ =g i
20、o ， EH= VeT2-TH2=7 (4V5)2-82=4:CH=CE- EH=1,CT= 7cH2+TH2=712 + 82=V65，：BD_LTE, DT=DE,PE=PT,：.PC+PE= PT+PC2 CT= V65，LPC+PE的最小值为T【点评】本题考查轴对称-最短问题，等腰三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判 定和性质，菱形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题.26. (6分)在平面直角坐标系尤0y中，抛物线(a#0)与y轴交于点A.(1)求点A的坐标以及抛物线的对称轴；(2)抛物线与直线y=2交于点B (xi, ji), C(X2, ”)，其中xix2
21、.当BC=4时: 求抛物线的表达式;当3xi+5x2W12时，请直接写出4的取值范围.【分析】(1)令x=0,可得y=3,可得A (0, 3),根据对称轴为直线x=-也，求解2a即可；(2)利用根与系数的关系，构建方程求解；利用求根公式，求出方程的解，分两种情形，构建不等式求解即可.【解答】解：(1)令x=0,贝ijy=3,点A的坐标为(0, 3)；对称轴为直线x=-二1;2a（2）二抛物线与直线y=2交于点8 （xi, yi）, C（X2, ”）, /. ax1 - 2ox+3 = 2,整理得：ax2, - 2ax+l =0,-Oo1.xi+X2= - -=- = 2, XleX2 = ,
22、aaVBC=x2 - xi =4,/. （X2 - XI ） 2= （+x2）之 - 4切12=16,A22-4X-1=16,a解得。=-，3抛物线的表达式为y=-工2+&+3；33抛物线与直线y=2交于点3 （xi, yi）, C（X2, ”）, tzx2 - 2qx+3 = 2,整理得：ax1 - 2ax+1 =0,.、=2a J4a - -4a =1 ,4. v -a2aa: 3%i+5x2 W12,: 3%i+5x2 W12,.3 - 3X Va2-a +5+5x Va2-a ?, aa化简得，一产2公2 a -a/. 3cz2+tzo 且 - Q0,当 a：.a (3a+1) 20,
23、V0,3a+lV0,*.a1或qV-Jl3【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法、一次函数的性质，二次函数与x轴的交点等知识，解题的关键是灵活运用待定系数法，学会用分类讨论的思想思考问题.27. （7分）如图1,点石为正方形A3CO边AB上的一点，连接EC点尸是线段EC上的一个动点（不与点, C重合），直线。尸交直线8c于点G.（1）如图1,当。GJ_EC时，用等式表示3E, GC之间的数量关系，并证明;（2）如图2,当。尸=CO时,补全图形;用等式表示5, EC, CG之间的数量关系，并证明.【分析】（1）结论：BE=CG.证明C3E之ADCG （ASA）,可得结论；（2）根据要求作
24、出图形即可；结论：BE+CE=CG.如图2中，过点。作O7J_EC交CB于点7；贝1JZXCBE丝OCT,证明TG=TD=CE, BE=CT,可得结论.【解答】解：(1)结论：BE=CG.理由：如图1中，图I;四边形A8CO是正方形，:.CB=CD, /CBE=/DCG=90 ,: DG1CE,：/ECB+/CGD=90 , ZCGZ)+ZCZ)G=90 ,:/BCE=/CDG,在ACBE和DCG中，fZBCE=ZCDG BC=CD ，zcbe=zdcgAACBEADCG (ASA),：.BE=CG；(2)图形如图2所示:图2结论：BE+CE=CG.理由：如图2中，过点。作。匚LEC交于点T,
25、则C3E也OCT,:CE=DT, BE=CT,: CF=CD,：.ZCFD=ZCDF,Z. NG+/FCG = /CDT+/FDT,； /FCG=NCDT, :./G=/TDG, ：.GT=DT=EC,：.CG=GT+CT= CE+BE,即 BE+CE=CG.【点评】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等 腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解 决问题.28.(7分)在平面直角坐标系X。)，中，已知点M(g b),对于点P给出如下定义：将点P 向右(。0)或向左(tz0)平移同个单位长度，再向上(人20)或向下7.(3)已知正
26、方形A8CO的边长为2,各边与x轴平行或者垂直，其中心为(4, 4),点P (c, d)为正方形ABCO上的动点.当=人=。时，在点尸运动过程中，点0形成的图形的面积是 1 ；当点M(e b)在直线/： y=2x上，在点P运动过程中，若存在点。在正方形ABC。 的边上或者内部，则。的取值范围是.24一7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -4 3 -2-2-347 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -iiii111111A一4一3 - 2m1 2 3 4 5 6 12 -3 -4 -【分析】(1)由定义可求
27、P(3, 7),再由中点坐标公式求出。(2, 5)即可；根据P的横坐标可建立方程2+47=2m - a,从而可求m；(2)求出P (c+1, 2c+l), Q (W2, c+1),由题意可得2=0,求出即可求解； 22由可得工型0, c+l0,即可求c的范围；2(3)求出P (c, d), Q (,且)，由此可知。点形成的正方形边长为1,则点。形 2 2成的图形的面积是1；由题意可知 M (。，2a),则 PYc+q, d+2a), 0 (+, 2a+旦)，再由 3WcW5, 3Wd 22W5,当q+=3时，可得3W6-2a - 1；(3)当 =/?=0 时，M (0, 0),P (c, d)
28、.P (c, d),Q (工，旦), 2 2P点在正方形ABC。上,Q点的运动形成的图形也是正方形。点形成的正方形边长为1,点。形成的图形的面积是1;二点例（。，b）在直线/： y=2x上,M （。，2。）,点 P (c, d),P (c+“，d+2a),（2分）如图，线段AQ为ABC的中线，点P为线段48上的动点（不与点A, 8重合）,P_LA。于点, PFLBD于点F,若AB=AC=5, BC=8,则尸的最小值为 .（2分）已知二次函数y=a?+乐+c,的图象与x轴交于A （ -2, 0）和8 （m, 0）,其中2m也一；若点C（- a1, yi）, D （2, ”），E （4, *）均在
29、二次函数图像上，则VyiV”；c+84Vo.其中一定正确的结论的序号是.三、解答题（本题共58分，第1819题，每小题4分，第2025题，每小题4分，第26题6分，第2728题，每小题4分）（4 分）计算：V4 + IV2-3 I +/18.16. （4分）解方程：/+44-2 = 0.17. （5分）如图，在ABC中，AB=AC,点。，E分别是AB, AC的中点，延长8C至点F,使CFBC，连接CD、EF.求证：四边形。CEE是平行四边形. 218. （5分）已知点A （a, 2）为二次函数y=-2x-4图像上的点，求代数式3a （a-2）：.Q （+, 2。+卫），22;正方形的中心是（4
30、, 4）,边长为2,，3WcW5, 3Wd5,当。+工=3 时，c=6 - 2a, 23W6-2aW5,时，存在点。在正方形ABC。的边上或者内部;22当 2+g=5 时，d= 10 - 4（7,23W10-4W5,J旦工时，存在点。在正方形ABC。的边上或者内部; 44【点评】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，理解定义,灵活应用中点坐标公式，数形结合解题是关键.22. （5分）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=/+bx+c的对称轴为x=l,且它经过点 A （3, 0）,求该二次函数的解析式和顶点坐标.23. （5分）已知关于x的一元二次方程依2+（攵-2） x
31、- 2 = 0 （攵W0）.（1）求证：不论为何值，这个方程都有两个实数根；（2）若此方程的两根均整数，求整数人的值.24. （5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A （4）在直线/1： y=2x上，过点A的 直线/2与x轴交于点3 （ - 6, 0）.与y轴交于点C.（1）求直线/2的解析式；（2）已知点P的坐标为（0, ），过点P的作y轴的垂线与人，Z2分别交于点D、 （点（5分）如图，/XABC中，AB=BC,过A点作的平行线与NA3C的平分线交于点。, 连接CD（1）求证：四边形A3CO是菱形；（2）过点。作AC的平行线交直线3C于点E,连接DE, CE,点P是线段3。上的动 点，
32、若AD=5, AC=275,请直接写出PC+PE的最小值.（6分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线- 2qx+3 （W0）与y轴交于点A.（1）求点A的坐标以及抛物线的对称轴；（2）抛物线与直线y=2交于点8 （xi, yi）, C（X2, ”），其中xix2.当8C=4时，求抛物线的表达式；当3xi+5x2W12时，请直接写出的取值范围.25. (7分)如图1,点为正方形A3CO边A3上的一点，连接EC,点尸是线段EC上的一个动点(不与点E,。重合)，直线。尸交直线于点G.(1)如图1,当Z)GJ_EC时，用等式表示BE, GC之间的数量关系，并证明；(2)如图 2,当 CF=CD9补全图形；用等式表示5E, EC, CG之间的数量关系，并证明.(7分)在平面直角坐标系宜”中，已知点M(，b),对于点P给出如下定义：将点尸 向右(q20)或向左(0)平移同个单位长度，再向上(bO)或向下(b0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，2