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1、高等数学（专升本）-学习指南一、选择题1.函数Z =l n(%2+y2-2)+“Z下 二 了 的 定 义 域 为【D】A.x2+y2*2 B.x2+y2 4 C.x2+y2 2 D.2 x2+y2 2x2+y2 0 0(2 3 n y-2 n2 n2 n2 J一解：有题意，设通项为:n 2 n 2 n2一+一2 2n原极限等价于:-+-F,n-T 1 o 1c-1-n n4 .设 =1211匕，贝！Jdy=A A.2 ta n x s ec2 xdxB.2 s i n x co s2 xdxC.2 s ec x ta n2 xdxD.2 co s x s i n2 xdx解：对原式关于x求导,
2、并用导数乘以dx项即可，注意三角函数求导规则。所以，=2ta n xs ec2 xdx即 tfy=2 ta n xs ec2 xdx5.函数|y=(x-2)2|在区间四,4|上极小值是【D】A.-1 B.1 C.2 D.0解：对y关于x求一阶导，并令其为0,得至02(%2)=0解得x有驻点：x=2,代入原方程验证0为其极小值点。6.对于函数邑 的每一个驻点匹 创,令1 =忸=&(%0,%)c=1(x。,%)卜若|AC-B2 A xB.l i m /（/+.+缈）-/（/，%）A r i）A%c.H m /(*。，%+绿)一/(/。).i o A yD.l i m /+M%+）一 /（%。，%）
3、y-o Ay8.向量叵与向量回平行，则条件：其向量积a x4 =0是【B】充足非必要条件B.充足且必要条件必要非充足条件D.既非充足又非必要条件向量回、回垂直，则条件：向量回、回 的 数 量 积 反 亘 是【B】充足非必要条件B.充足且必要条件必要非充足条件D.既非充足又非必要条件10.已知向量回、回、回两两互相垂直，且帆=1|,帆=2|，*|=3 卜求|(a +力)x(a-b)卜 C 解：由于向量回与回垂直，所以卜 i n(a 1)=4 故而有：=axa-axb +bxa-bxb=2|Z x|二 2|6|-|df|-s i n(a,/)=2x2xl xl=411.下列函数中，不是基本初等函数
4、的是【B】A.b=0|B.多=1114 C.D.y=解：由于卜二十总是由=1nI 二总复合组成的,所以它不是基本初等函数。孙12 二重极限 1 J I PK 3A.等于0B.等于1D.不存在4 V +了 =4记与k 相关，因此该极限不存在。13.无穷大量减去无穷小量是【D】A.无穷小量 B.零 C.常量 D.未定式解：所谓的无穷大量，或者无穷小量只是指的是相对而言，变量的一种变化趋势,而非具体的值。所以，相对的无穷大量减去相对的无穷小量没有实际意义，是个未定式。1 -cos 2x _ _14.hm-=Ca。sin2 3x解：根据原式有:2sin2 xlim=-y(-4 sin3 x+3 sin
5、 x22-916sin4 x-24sin2 x+915.设 y=e*(sinx-xcosx),则|=|【D】A.e(sinx+xcosx)B.xex sin xC.ev(cosx-xsinx)D.ex(sin x-x cos x)+xex sin x解：对原式直接求导，注意乘积项的求导即可。了 =，(sin x-xcos x)=(e)(sinx-x cosx)+，(sinx-xcosx)r=(sin x-x cos x)+e(cos x-cos x+x sin x)=ex(sin x+x sin x-x cos x)yr=ex(sin x-xcos x)+xex sin x1 6.直 线 闻
6、上 的 一 个 方 向 向 量M =（小，直 线 回 上 的 一 个 方 向 向 量M =（牡，2，。2），若回与回平行，则【B】A.仍7吗+勺 2 +P 1 =1B.呵二_ _ _ _=Am2n2PiC.叫+吗 2 +2 =01 7.平 面 网 上 的 一 个 方 向 向 量=(4，综 可，则 C1 8.若无穷级数区 均收敛，而 区 间 发散，则 彳=1A.发散 B.收敛 C.条件收敛D.绝对收敛1 9.下面哪个是二次曲面中抛物柱面的表达式【A】B.%=ay-2 0 .设 是矩形：0 x W a,0 y W,则。力力=A D_A.ab B.|2 a/?|C.k(a+b)D.|上 出解：关于单
7、位1 对于一个矩形区域进行二重积分就是计算矩形区域的面积。由题意知：0 x a.0 y p =5,l,4 ,求向量 a =4/n+3p-在国轴上的投影及在团轴上的分量I A1A.2 7,51 B.2 5,2 7 C.2 5,51 D.2 7,2 5解：A =4 3,5,8 +5,1,4 -2,-4,-7=2 5,2 7,51 因此 P rjva =2 7,a.k=5 1 k2 7.向量回与因轴与国轴构成等角，与团轴夹角是前者的2倍，下面哪一个代表的是回的方向【口b-E3,EB E H设回的方向角为回、回、因，按题意有今 圆,0=2回由于c os2 a+c os2 0+c os2 y=1即由于叵
8、、圆、因都在o到团的范围里，因此可以通过解反三角函数得到:或者，y=7r28.己知向量回垂直于向量方=2，一3/+4和c =i-2 j+3k,且满足于a (i +2 j74)=1 0,求叵三【B】B.7i+5 j+kD.5 i+3j+k由于回垂直于向量回和回，故而回必然与匹平行，因此又由于。.（，+2/7左）=1 0a=4(xc)=2i j k2 -3 11 -2 3=4(-7 i-5 j)B P：/L(-7i-5j-J t)-(z +2/-7J t)=1 0解得|/1 =-1|,所以 a=7i+5 j+k2 9.若无穷级数区 又 收敛,且 区 同 收敛,则称称无穷级数WX【D】=1=1=1A
9、.发散B.收敛 C.条件收敛D.绝对收敛30.设 D 是方形域：0 x l,0 y l ,D A.1B 1 C，lD.7解:Dx3 1.若/(x)=；._；),|x =0|为无穷间断点,x =l为可去间断点，则叵三 C A.EB.回 C.0 D.0解：由于|x =0|为无穷间断点,所以(-双=(0,故国。若|a=0|,则 亘 也是无穷间断点。由区氢为可去间断点得叵三，故选C。3 2.设函数|/(数,g(6|是大于零的可导函数,且|/(x)g(x)-x)g，(x)0则当|a x /(份g(x)B.f(x)g(a)f(a)g(x)C.7(x)g(x)/(b)gS)D.f(x)g(x)f(d)ga解
10、：考虑辅助函数即有f (x)g(b)g(x)/3).应选(4).则F(x)严格单调减少函数.当尤 殁,g(x)g-3 3.函数函数y =j+5也许存在极值的点是B A.|x =5|B.|x =0|C.|x =l|D.不存在解：由作图知道，函数在第二象限是减函数，在第一象限是增函数。当x=0时，函数取得最小值y=5 o3 4.y =x tan x-3 s e c x,则|y=|D A.|tan x-3 s e c x tan xB.tan x+x s e c2 x(c o s-s in-)6/xX X X(c o s-+-s in-)6/xX X XC.x s e c 2 x-3 s e c x
11、 tan x D.tan x+x s e c 2 x-3 s e c x tan x解：/=(x tan x-3 s e c x)=(x tan x)-(3 s e c x)=tan x+x s e c2x-3 s e c x tan x3 5 .设丁=4/，则|-=|C B.D.解：对y关于x求一阶导有：/=f x s in 1=(s in -c o s )=I x J x x x dx所以，dy-(s in -c o s )dxx x x3 6 .设直线r =；=：与平面 x-9 y +3 z-10与1平行，则用等于A 3 KA.2 B.6 C.8 D.10解：直线的方向向量为叵可，平面的
12、法向量为|(2,-9,3)。由于直线和平面平行，所以两个向量的内积为0。即：|3 x 2 9 x：+3 x 4 =()得到：k23 7.若|F(x,y)=2 f +y|,则7,(l,0)=|A A.4 B.0 C.2 D.E H解:由于/A；,y)=(2 x?+y).=4 x所以|/：(l,0)=4 x l =43 8.7 1（羽田和/：（工,）在点（%,0）连续是国工2 3在点（“。,。）可 微 分 的【人】A.充足条件 B.必要条件 C.充要条件 D.无关条件解：由定理直接得到：假如函数|-z-=-7x-,-y-r）i|的 偏 导 数d列z 司dz 在 点 卜-，-刈-7 1连续,则函数在
13、该点的全微分存在。3 9.在巨切面上求一个垂直于向量a=5,-3,4,且与叵 等长的向量匹|【D】A.2LJLnB.丽2 5 赤15叶D.15 2 5历，屈解：由题意设向量匠 “。|,由于回垂直于团且瓯 闻,所以有:1 b=0|户-3-=0“2 +9+02 =心+（3）2+4?：在+2=5 015 2 5由以上方程解得X =诟，）=而，国，国同号B 8 Tl.1 15 2 5 nA 15 2 5 .1故而所求向里 =（-/=,-/=,（）卜或者8 /=,/=,（）V 17 V 17 J （V 17 V 17 J4 0.微分方程x?=y +d的通解是B ax解：x =y+x3 y-=x2dx x
14、令P（x）=一，鼠力二片由一阶线性非齐次微分方程的公式有:二、判断题I .|%，必|是齐次线性方程的解,则|G+C2 y 2 1也是。（H）2 .|y =/（y,y）|（不显具有因），令卜=P|,则|y =|。（区）解：根据微分方程解的性质得到）=当。3 .对于无穷积分，有 J：/（%）公=也 ”/（%）公。（。）4 .|/（刈 在 加 的邻域内可导，且7 Mo）=。|,若：当k o|；当 叵 工时，|r（x）0,当且仅当y=0 时，取到极小值0。所以，函数的极小值点位于（0,0）7.设 z =a r c t a n（肛），其中 y =e 则|亨=卜。（X）解：直接求微计算:dz d(a r
15、c t a n )dxy-1+(孙)1 +(孙)28.设M由|O W x W l|,|0 y 0,y 0 （0 ）解:由对数定义得到（x,y）|x O,y 0。1 0 .设|z =x e”,则 包=（1 +孙）叫（0）1 1 .必，乃是齐次线性方程的线性无关的特解，则G y+G%是方程的通解。(0)齐次型微分方程?o（0）1 3 .对于瑕积分，有=其中回为瑕点。（囱）1 4 .7（可在飞 的邻域内可导，且|（与）=0 1若：当匠时，巨 丞 可，当叵工时，|r（x）p|o则同为极大值点。（区）解：根据极值鉴定定理第一充足条件，闻为极小值点。1 5 .设|y =/（x）|在区间团上连续,同 是 国
16、 的内点，假如曲线”=/网 通过点口。,/（豌）|时,曲线的凹凸性改变了，则称点巨巫 可 为 曲线的拐点。（0）1 6 .设 是矩形区域|(x,y)|0 W x W l,0“3”,则 炉 加 曰(0 )D解：显然该积分表达长为3,宽为1的矩形面积，值应为3。1 7.若 积 分 区 域 是 叵 三jq,则皿若力=国。(0)D _解：I l K d+y 2 K4|是一个外环半径为2,内环半径为1的圆环，积 分 式 如心是在圆环上单位1的二重积分，所以求的是圆环的面积。原式二万,4?一 万 广=3万i s.设忆|是由三三,HIM可所拟定，函数|z)|在网上连续,那么j j j fzxdydz=(e-
17、1)o(0)V -.-1-7 T解：J j j f z)dxdydz=2 re1 J r =(e-1)0V -1 9.设不全为0的 实 数 回 团，间使附+为；+4%=4则三个向量叵引共面。(0)2 0 .二元函数卜=(6%-巧(4尸 划 的极大值点是极大值13,2)(0 )2 1 .若b=G M+C2y2 +引为非齐次方程的通解,其中必，必 为相应齐次方程的解，国 为 非齐次方程的特解。(因)解：根据齐次线性方程解的性质，目与国必须是线性无关的解，国是其特解。2 2 .若函数|/(x)|在区间辰间上连续,则匡W 画，使得J：/(x)公。(0)2 3 .函 数 西1在图点可导|0(%)=力(而
18、)。Q)24.国在/处二阶可导，且）=（，|.r（x0）o|o 若 伉）（）（则同为极大值点。（笈）25.若 叵 也 已，则区三为一条水平渐近线。（区）解：根据函数渐近线的定义和概念可以得到，区三为一条铅直渐近线。26.设表达域：x2+y2+z2 =0=-dx=y =C exdx y结合原方程，等式右边项含X,所以通项公式为：y =C（x）e-“将通项公式带入原式，得到：_C（x）e-代入华+y =e ，得到：dx_C x）e-x-C e-x+y=ex C（x）=j，exdx 4-C最后得到：y=（e2x+c e-x=ex+C e-r2 8.设=3,=5 1,c=4,月.满足+力+1=0 ,贝
19、Ux h +Z?x +x=6。(0)解：经计算向量积得到模值为3 6。3 0 .设 为0(0,0),4(1,0)与8(0,1)为顶点三角形区域,J J/(x，V)dxdy=dx f(x,y)d yo(0)D -3 1 .若I v V +v +3为非齐次方程的通解，其中V V为相应齐次方程的p _ 5y 十 5y2 十 3 力，)2解，国为非齐次方程的解。(区I)解：根据齐次线性方程解的性质，瓦 与圆必须是线性无关的解，国是其特解。3 2 .若怛(刈为又 可的一个原函数,则(0 )3 3 .函数可微叵可导，且的=/($)以=/优)闽。(0 )3 4 .|/(|在/处二阶可导，且俨&)=。|,|广
20、伍小0|。若小0)。|，则/为极小值点。(0)解：根据极值鉴定定理第二充足条件可以直接得到。3 5 .若随“X)叫,则匠目为一条铅直渐近线。(区 )解：根据函数渐近线的定义和概念可以得到，|y =为一条水平渐近线。3 6 .二元函数,=3+y+制 的最小值点是M，o)(0 )解：由于原式中卮亘，当且仅当x=0时，取到极小值0 ；同样，|/0|,当且仅当y=0时，取到极小值0。所以，函数的极小值点位于(0,0)3 7 .微分方程)，+y =2 s i n x 的一个特解应具有的形式是(办+/7)s i n x+(c r+d)c o s x(0解：原微分方程的特性函数是：|%+i =o|，|卬=1
21、|。得到两个无理根：区 三 永即任而是特性根。因此，特解的形式为：y*=(2 x +/?)s i n x +(c x +d)c o s x3 8 .设 z =x l n(x+y),贝！-T(国)(x+力X经 计 算 得 到 微 分 表 达 式 一=3 9.微分方程|方-2 y，+2 y =弓的通解为厂3(。+附 6，+5 2/|。(0 )解：由微分方程通解求解准则直接得到。4 0.由 x+y +z K 女，|0 x 0 y 1,|z N 0|所 拟 定,K j j jxdxdydz=W。(解：变换积分方程即可求得。三、填空题1.若 y =,s i n x -2 x 0+1 0 x 22.求 y
22、=arcsinx 的导数 y=解：了 二 此函数的反函数为|x=sin司,故k=cos，|则:_1_ _ _ J _ _ _ x cosy Jl-sin 2 y J 一-3.设 y=arctan,则 dy-x-解：办 二 一 占 公所以办 二 一 七 公4.设 d=i 元,B=2f+3+求 GxB=解：3i-3j+3kaxb-i j k1 0-12 3 1=3z 3 j+3左.5.将函数/(x)=J 展开成因的基级数是_ _ _ _ _ _ _ _2+九 一%1 8立D=0-(-i rT _x,(-1 X1)-n-=-2-1-1-1-=-(l-z-1-1-)、(2 x)(x+l)3 2-x 3
23、1+x 3-x 1 +x21 1由于：r Z齐 ，（一 2 2）218并且：-=X(T)x，(T x l)1 +%=0/U)=18 1 C CZ(T)_=0 乙 n=0 _1 8D n=0 x,(-1X 0 07?+5X2-33X3-4X2+2lim G-XT97/+5 炉一38.=EmNTs37x2-3x+2sin xh m-“TO O X-x-2cosx解:Er_ix-x-3x+2sinx原式：lim-Xi s 元一x-2cosx原式分子画可有界，分母叵引有界，其余项均随着因趋于无穷而趋于无穷。这样，原式的极限取决于分子、分母高阶项的同阶系数之比。9.设A4BC的顶点为4(3,0,2)忸(
24、5,3,1)UC(0,-而|，求三角形的面积是 O解:由向量的模的几何意义知国巨的面积S=g|而 X/I.由于|而=2,3,-1 ,/=3,-1,1ABxAC=i j k2 3-1-3-1 2=2i+j+lk函X衣|=血2+72=用 =3。于是5=沙产、1io .无穷级数E(-i)6(_ +)的和是_ _ _ _ _ _ _ _=o 2先将级数分解：产 1 产 1 _8 1A=Z（-I-（2-+1）=2（-1）寸（-1）+2-5）=o “=0 =o 第二个级数是几何级数，它的和已知求第一个级数的和转化为塞级数求和，考察因此原级数的和A+227 3222711.已知limX：+ax+=2,则回可
25、，At f X 2 解：a=2,催=8由所给极限存在知，|4+2a+b=0|,得以=-2 -4|,又由lim；-=lim-=-=2,知。=2涉=-8T x2-X-2 12 X+1 312.已知 y=,求 正 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _o解:Hf e (t 2)p _+_ i _ _ _ 1 _ _ _ g2 (x 3)(x 4)(x -1%一2 x 3 x-4)先两边取对数 In y-ln(x-1)+ln(x-2)-ln(x-3)-ln(x-4)再两边求导1,1,1 1 1 1、-=-(-+-)y 2 x-l x-2 x-3 x-4由于国-1)炽-2)(4)所以1 J(x-l)(x
26、-2)1 1 1 1 _ 1_x-2 x 3 x J13.J(2 cos x-esc2 x)dx-解：2sinx+cotx+C直接积分就可以得到:J(2 cos x-esc2 x)dx=2cosx-oo)Un(n+l)n+2 5 +1)!所以：无穷级数 空?收敛n=17 .计 算 广 义 积 分 匚 占 小解:解7 dx=f 小 了+=l i m C T+11m j t =a r c t a n x +l i m a r c t a n x ：LR+尹 J-1+/*i+产 2-7%+/3柿。1+-J J a J U=-l i m a r c t a n。+l i m a r c t a n b
27、 =一(一马+巴=2 9 0T4 00 2 218 .设 y =V(x-c o t x)c o s x ,贝！J y =解:4 -=x3 c o s x-x3 s i n x-j _ 2 1 1-X 3 C O t XC O S X+X3 C S C2 XC 0S X+%3 C O S 尤33y=(V x(x -c o t x)c o s x)=fx(X-C O t X)C O S X+际(X-C O t x C O S X+yfx(X-C O t X)C O S，X；(yfx)(X-C O t X)C O S X+yx+C S C2 X)C O S X-y/x(X-C O t X)s i n
28、 X4 i 3.1 二 1.1-x3 c o s x-x3 s i n x x 3 c o t x c o s x +x3 e s c x c o s x +x3 c o s x3 31 9.幕级数十（-1尸（1+工一）”的收敛区间是占 2/7-1）解：（T 1）此级数是缺项的基级数令*)(1+小)-,=(2-1)由于l i m 必 回=l i m(+D(2+D +L (2 T)Y=/f*4(x)9(+1)(2+1)n(2n-l)+l当卜21|,即M 1|时,级数发散。所以基级数的收敛区间为8 /_ 1 /i-l 2n+l2 0.幕级数Z I 的收敛域是。仁 （2-1）-解：|（T,D由于该基
29、级数缺项基级数，则直接用比值判别法求之。(-1 y,_|x2,+l设*)=(2-1)=L 2 当|尤21,即凶1时,原级数发散。所以原级数的收敛半径为1，收敛区间是四、解答题1.圆柱形罐头，高度回与半径回应如何配，使同样容积下材料最省？解：由题意可知：，=成2.凡为一常数,面积S =2成2+2成n=2成（&+笈）=2成（氏+匕）成2故在V不变的条件下，改变R使S取最小值。dS.2/八=4n:R =0dR R2R3 =H=H2女 2笈2故：衣=四时，用料最省。22.求/=朋 型 小，其 中 所 是 由 平 面 询,百 ,询及|x +y+z口 所围成的区域。解：把国化为先对z积分，再对y和x积分的
30、累次积分，那末应把口投影到叵 平 面 上，求出投影域回.它就是平面产V +z =1 1与两平面的交线和x轴、y轴所围成的三角区域。我们为了拟定出对z积分限，在回 固 定 点 叵 到，通过此点作一条平行于z的直线，它与回上下边界的交点的竖坐标：自 可 与 亘 三 可，这就是对z积分的下限与上限，于是由积分公式得：/=U J x y z dz db（。）其中回为平面区域：1-0,”0,+习,如下图红色阴影部分所示：再把回域上的二重积分化成先对y后对X的累次积分，得:人此片妙应小 广 节=优*(1-)中心I f0 d y d x3.求，=g(/+y 2)b,其 中 回 是 圆 环 但 至 逵 三解：
31、由于积分域由同心圆围成以及被积函数的形式，显然，这个二重积分化为极坐标计算比较方便。把x=pcos8,y=psin,d o =p d p d 代 入,即可转化为极坐标系的积分形式。如下:I=J J p2 pipiB=J Jp3dg8 在对其进行累次积分计算:J=JJo3d四”广（/夜78=a b j j d j44.求 二 重 积 分/=0(*2+)?”。，其 中 同 是 由 叵 不 互 互 所 围 成 的 区 域。解：由于是正规区域，所以我们可先对y后 对X积分，也可先对X后 对y积分。这里我们采用前者先对y后 对x积分：j=优。2+产力办=dx=g 4+$6岫=4*5+枭7)卜 卷5.求
32、2=1+,3 一 3 孙的极值。解：设伙 )=+3-3,则f；(xj)=3 x2-3 y,=3/2-3 x 力(x,y)=6 x,%(x j)=-3,%(r,j)=6y解：方程组F ：-=o,得驻点(1,1),(0,0)o对于驻点(1,1)有|A(U)=6/(1,1)=3/(1,1)司,故S2-AC=(-3)2-6-6=-270因此，/(3)=黄+7 3 3 9 在点(1,1)取得极小值f(l,l)=-lo对于驻点(0,0)有|加 0 女=0,族，。=-3,%3)=q,故B2-AC=(-3)2-0 0 =90因此，饮冗7)=炉+,3 3 守|在点(0,0)不取得极值。五、证明题1.求证：当人1
33、 时，级 数 竿 为 一 绝 对 收 敛 级 数。证明：由于|哭而当入1 时昌#攵 敛,故 级 数 庭 用 收 敛，从而级 数 归 当|绝对收敛。2.求证级数:1 1 1 1 15-=-1-H-+-+1 2 2-3 3-4 M(M+1)的和是1。证明:c 1 1 1 16*=-+-+-+,+-1-2 2-3 3-4 M(M+1)=。力+(沁+&-MYW=i-月+1当r)f 8时，S n-lo所以级数的和是1。级数散。3.求证:证明:由于l i m J/=l,趋于一个常数，所以级数发散。一 84.求证:lim%+y卫n 不存在。证明：令|回 随 不 同 直 线 趋 于(0,0)。则limx-0y-0 x+y 1+%x-y -k它 随k变化，故不存在极限。5.求证方程5 x 4 x+l =0在0与1之间至少有一个实根。证明：不难发现方程左端1 5-4 x+1|是函数/5)=/-2/+x的导数:尸(x)=5 x，-4 x+lo函 数/。)=/一2一+苫在0,1 上连续，在(0,1)内可导，且|0)=0|。由罗尔定理可知，在0与1之间至少有一点c,使f(c)=0,即5/-4 x+l =0。也就是：方程5 x，-4 x+l =0在0与1之间至少有一个实根。