《2022年西安交通大学网络教育学院《高等数学-学习指南》 .pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年西安交通大学网络教育学院《高等数学-学习指南》 .pdf（15页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、高等数学学习指南一、解答下列各题（1）求0011lim(sinsin)xyxyyx。（2）判断级数2+1n(n+1)n=1的敛散性。（3）求函数cos()xyzexy的全微分dz。（4）求曲线3zt2x=ty=t上的点，使在该点的切线平行于平面24xyz。（5）解方程()()0 xyxyyxeedxeedy。（6）计算二重积分Dxyd,其中 D是由两条抛物线yx,2yx所围成的闭区域。（7）证明：00limxyxyxy不存在。（8）证明：级数211nne发散。（9）设22()uxy，求证：0uuxyyx。（10）求曲线3zt2x=ty=t在点(1,1,1)处的切线及法平面方程。（11）解方程2
2、2dyydxxyx。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 15 页 -（12）计算二重积分Dxyd,其中 D是由两条抛物线yx,2yx所围成的闭区域。（13）求2131lim2xxxxx。（14）证明：级数1112nnnn收敛。（15）求函数：,sinxzfx y zexy的全微分df。（16）求过点(1,2,1)且与直线2431xtytzt垂直的平面方程。（17）解微分方程320yxdxxdy。（18）计算二重积分()Dxy dxdy，其中 D：222xyax。二、设22()yzfxy，其中()fu为可导函数，验证：211zzzxxyyy。三、计算对坐标的曲 线积分2
3、2()-(-)Lxy dxxy dyxy,其 中 L 是 圆周222xya(按逆时针方向绕行)。四、计算曲面积分2Ix dS，其中是球面2222xyzR。五、利用高斯公式计算曲面积分xdydzydzdxzdxdy，其中为球面2222()()()xaybzcR的上半部分之上侧。六、设2232(38)(812)yIx yxydxxx yyedy，试证明在整个xoy平面内，该表达式I是某个函数(,)u xy的全微分，并求出这样的一个(,)u xy。七、求微分方程20yyy的通解。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 15 页 -八、设arctanyzx,求zx、zy、22zx
4、、2zxy、22zy。九、利用格林公式计算曲线积分22()(sin)Lxy dxxy dy,其中 L 是圆周22yxx上由点(0,0)到点(1,1)的一段弧。十、计算曲面积分222x dydzy dzdxz dxdy,其中是长方体的整个表面的外侧,(,)|0,0,0 xy zxaybzc。十一、利用高斯公式计算曲面积分()()xy dxdyyz xdydz，其中为柱面221xy及平面0,3zz所围成的空间闭区域的整个边界曲面的外侧（如图）。十二、确定a的值，使4124(4)(65)BaaAxxydxxyydy与路径无关，并求当 A、B分别为(0,0),(1,2)时曲线积分的值。十三、求微分方程
5、20yyy的通解。十四、设22,2zfxyxy，而且f的二阶偏导数连续，求22zx，2zx y。十五、利用格林公式计算曲线积分：222KIxydxxydy，式中K 依次经过以1,1,3,2,2,5ABC为顶点的三角形周线ABC。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 15 页 -十六、计算曲面积分，设V是长方体：01,02,12xyz，则计算2Vxydxdydzz。十七、利用高斯公式计算曲面积分222x dydzy dxdzz dxdy，其中为球面2222xaybzcR的外表面。十八、计算2Lx ds，L是由2222xyzR与0 xyz所表示的圆的一周。十九、求微分方程2
6、0yyy的通解。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 15 页 -参考答案：一、解答下列各题（1）解：原式极限=0（因为无穷小量乘以有限量）。（2）解：323321111(1)n nnnnn，n 的指数 3/2 大于 1，所以级数收敛。（3）解：直接对函数求微就可以得到：cos()sin()cos()sin()xyxyxyxydzyexyexydxxexyexydy。（4）解：已知平面的法线向量为(1,2,1)n，因为21,2,3xyt zt，所以参数 t 对应的点处的切向量为2(1,2,3)Ttt。又因为切线与已知平面平行，所以Tn0，即21430tt，解得两个根1t
7、1t3，。于是所求点的坐标为(1,1,1)和111()3927，。（5）解：原方程为：()()0 xyxxyyeedxeedy，对()xyxeedx关于y求微，得到xyedxdy；对()xyyeedy关于x求微，得到xyedxdy。两者相等，所以原式是全微分方程。对()xyxeedx关于x求积得到：0 xyxeeCyC；对()xyyeedy关于y求积得到：0 xyyeeCxC。结合以上两式得到：0yxyxeeeC。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 15 页 -即：ln1xxecye或者ln1yycexe（6）解：积分区域2(,|01,Dxyxxyx，于是：22311
8、200714402|32263355xxxxDxyddxxydyxydxxxdx（7）证明：令ykx随不同直线趋于0,0。则001lim1xyxykxyk它随 k 变化，故不存在极限。（8）证明：因为21lim1nne，趋于一个常数，所以级数发散。（9）解：对u关于分别关于x和y求偏导数有：!22!22()*2()*2uxyxxuxyyy将其带入即可验证原式成立。（10）解：因为2123tttxytzt，在原方程中点1,1,1对应1t将1t带入上面的方程，于是1,2,3T切线方程为：111123xyz法平面方程为：121310 xyz即：236xyz（11）解：原方程可以变形为：21ydyxy
9、dxx，名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 15 页 -由上式可以看出这是齐次方程，令yux，则：dyduyuxuxdxdx于是原方程变为：21duuuxdxu分离变量，得到：1duuxdxu即：111dudxux对其积分得到：lnlnuuCxlnuxuC用yx替换回u，最终得到：lnyyCx。（12）解：积分区域2(,|01,Dx yxxyx，于是：22311200714402|32263355xxxxDxyddxxydyxydxxxdx（13）解：原式=2131lim2xxxxx1131lim12312lim23126xxxxxxxxxxx（14）证明：因为通项1
10、12nan nn名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 15 页 -212121112112nnn nnnnnn所以 n 前项和1112nnkSkkk11111111121 22322 34 52112nnnn1112212nn故，1lim4nnS，即原级数收敛。（15）解：,sincosxzxfx y zexyxy；,cosxzyfx y zexy；,sinxzzfx y zexy。于是，sincoscossinxzxzxzdfexyxydxexydyexydz（16）解：易知直线的方向向量为（-1，3，1）。设与其垂直的平面方程是：0AxByCzD。该平面又过（1，2
11、，-1）点，所以，有：20131ABCDABC得到：1,3,1,4ABCD所以，平面方程为：340 xyz（17）解：原方程可化为一阶线性方程名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 8 页，共 15 页 -2122xyyx其通解为：112222dxdxxxxyecedx12ln212xxecdxx5215xcx即：315ycxx（18）解：由区域 D 知道：222xaya，引入极坐标：cossinxaryr，其中0,02ra。200332023303()cossinsincos23sincos3aDxy dxdydarrrdraadaaa所以，3()Dxy dxdya二、解：由原式可
12、以得到：222222222222*2*()()()*(2)*()()zyxfxyxfxyzfxyyyfxyyfxy将以上代入方程即可验证。三、解：利用圆的参数方程设cos,sin.(02)xatyatt名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 9 页，共 15 页 -所以，原式等于22020costsinsincossin(cos)2aatatatatatdtadt四、解：原式等于242222214()4333RRx dSxyzdSR五、解：记1为平面222xaybRzc记为与1所围成的区域。112223232111143232xaybRzcIxdydzydzdxzdxdyxdydzy
13、dzdxzdxdyxdydzydzdxzdxdydvzdxdyRcRRcR六、解：令(,)(,)IPx y dxQx y dy22316316QxxyxPQxxyyxI 必是某函数 u 的全微分。uuIdudxdyxy所以：322(.)412(1)yu x yx yx yyeC七、解：易知原方程特征方程：名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 10 页，共 15 页 -212202,1因此原方程的通解为：212xxyCeC e八、解：按要求直接求导计算即可，先求一阶的，再求二阶的。22222222222222222222()2()zyxxyzxyxyzxyxxyzyxx yxyzxy
14、yxy九、解：令22,sinPx yxy Qx yxy，110QPxy由格林公式有：0LABBODQPPdxQdydxdyxy2222112200sinsin1sin17sin 246LBABOxydxxydyxydxxydyy dyx dx十、解：利用高斯公式，原式等于：2()xyz dV名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 11 页，共 15 页 -2022()222aa bcxdVxdxbcab cydVabczdV曲面积分=()abcabc。十一、解：利用高斯公式，原式等于：213000()(sin)(sin)92yz dxdydzzdddzddz dz十二、解：令4124
15、,4,65aaPx yxxyQx yxyy可以求到：PQyx，所以是全微分方程。3a43224(4)(65)duxxydxx yydy5235125uxx yyC原积分=(1 2)79(0 0)5,u,十三、解：令yp，则dpypdy。将其代入20dpyppdy，得到：dpdypy。则ln|ln|pyC，即1ypC y再分离并积分：12ln|yC xC名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 12 页，共 15 页 -得到：12C xyC e，其中22()CCe。十四、解：1222zxfyfx1222zyfxfy21221111221222211122212222222224842zx
16、fyfxxfxxfyfyxfyfxfxyfyff2121112221222211122222222222224442zxfyfx yyxyfxffyyfxfxyfxyfxyff十五、解：AC：112yx，BC：311yx，CA：43yx这里2Pxy，22Qxy故2242QPxxxyxyxy过顶点 C 引垂直于O x轴，把三角形域S分为1S和2S两部分。所以根据格林公式12243331111121222322124242424242119773521494834244242451051241403SSSxxxxIxy dxdyxy dxdyxydxdydxxy dydxxy dyxxdxxxdx
17、十六、解：由题意，V是一个长方体，x，y，z 的取值范围给定。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 13 页，共 15 页 -所以：12222001Vxyxydxdydzdxdydzzz12220011200101212xydxdydzzdxxydyxdx所以：212Vxydxdydzz十七、解：记球面的内部为，则由高斯公式222Ixyzdvxyz2xyz dv220002sincossinsincossinRddarbrcrrdr23424240011112sinsincossinsinsincos3444dabcRRRRd2344022cossin388abcRRRd383Rabc十八、解：由于 x，y，z 变量的对称性知：222LLLx dsy dsz ds所以：名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 14 页，共 15 页 -22222231332323LLLx dsxyzdsRdsRRR十九、解：易知原方程特征方程：212202,1因此原方程的通解为：212xxyCeC e名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 15 页，共 15 页 -