函数逼近与曲线拟合精.ppt

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1、函数逼近与曲线拟合第1页，本讲稿共33页 3.1 3.1 函数逼近的基本概念函数逼近的基本概念 3.2 3.2 单变量数据拟合及最小二乘法单变量数据拟合及最小二乘法 3.3 3.3 多变量数据拟合多变量数据拟合 3.4 3.4 非线性数据线性化非线性数据线性化 3.5 3.5 正交多项式拟合正交多项式拟合第2页，本讲稿共33页 这些都涉及到在区间这些都涉及到在区间 上用简单函数逼近已知复杂上用简单函数逼近已知复杂函数的问题，这就是函数的问题，这就是函数逼近问题函数逼近问题.3.1 3.1 函数逼近的基本概念函数逼近的基本概念 实际中遇到的问题：实际中遇到的问题：（1）反映变量之间内在规律的函数

2、关系）反映变量之间内在规律的函数关系f(x)，往往是通过实验或观测，往往是通过实验或观测得到的一张函数表，其表达式未知；得到的一张函数表，其表达式未知；（2）函数存在解析表达式，但由于形式过于复杂而不易使用，不容）函数存在解析表达式，但由于形式过于复杂而不易使用，不容易计算函数值。易计算函数值。插值法就是函数逼近问题的一种插值法就是函数逼近问题的一种.第3页，本讲稿共33页 记作作 ，本章讨论的函数逼近，是指本章讨论的函数逼近，是指“对函数类对函数类 中给定的函数中给定的函数中求函数中求函数 ，使使 与与 的的误差在某种度量差在某种度量要在另一要在另一类简单的便于的便于计算的函数算的函数类意义

3、下最小意义下最小”.函数函数类 通常通常为 次多次多项式，有理函数或分段低次多式，有理函数或分段低次多项式等式等.第4页，本讲稿共33页 代数插值是根据给定的数据表，按某些条件构造一个代数代数插值是根据给定的数据表，按某些条件构造一个代数多项式多项式近似代替函数近似代替函数条件条件:即要求函数即要求函数经过点经过点 由于数据表中给定的数据由于数据表中给定的数据是从实验或测量中得到的，难免有一些误差，而且有个别点的是从实验或测量中得到的，难免有一些误差，而且有个别点的误差可能比较大。误差可能比较大。问题：问题：如果插值节点如果插值节点xi及其上的函数值及其上的函数值yi存在误差，对插值函存在误差

4、，对插值函数有什么影响？当个别数据的误差较大时数有什么影响？当个别数据的误差较大时,会得到理想会得到理想的插值效果吗？为什么？的插值效果吗？为什么？第5页，本讲稿共33页曲线拟合示意图曲线拟合示意图 为此此,我我们希望从希望从给定的数据定的数据(xi,yi)出出发,构造一个近似构造一个近似函数函数 ,不要求函数不要求函数 完全通完全通过所有的数据点，只要求所有的数据点，只要求所得的近似曲所得的近似曲线能反映数据的基本能反映数据的基本趋势，如，如图所示。所示。换换句句话话说说:求求一一条条曲曲线线,使使数数据据点点均均在在离离此此曲曲线线的的上上方方或或下下方方不不远远处处,所所求求的的曲曲线线

5、称称为为拟拟合合曲曲线线,它它既既能能反反映映数数据据的的总总体体分分布布,又又不不至至于于出出现现局局部部较较大大的的波波动动,更更能能反反映映被被逼逼近近函函数数的的特特性性,使使求求得得的的逼逼近近函函数数与与已已知知函函数数从从总总体体上上来来说说其其误误差差按按某某种方法度量达到最小。种方法度量达到最小。这就是曲线拟合问题。这就是曲线拟合问题。第6页，本讲稿共33页 在在对给出的出的实验(或或观测)数据数据作曲作曲线拟合合时,怎怎样才算才算拟合得最好呢？合得最好呢？与函数插值问题不同与函数插值问题不同,曲线拟合不要求曲线通过所有已知点曲线拟合不要求曲线通过所有已知点,而是要求而是要求

6、得到的近似函数能反映数据的基本关系。在某种意义上得到的近似函数能反映数据的基本关系。在某种意义上,曲线拟合更曲线拟合更有实用价值。有实用价值。两种逼近概念两种逼近概念:插值插值:在节点处函数值相同在节点处函数值相同.拟合拟合:在数据点处误差平方和最小在数据点处误差平方和最小 一般希望各实验一般希望各实验(或观测或观测)数据与拟合曲线的数据与拟合曲线的误差的平方和最小误差的平方和最小，这就是最小二乘原理。这就是最小二乘原理。第7页，本讲稿共33页3.2 3.2 单变量数据拟合及最小二乘法单变量数据拟合及最小二乘法用几何描点法或凭经验选择一个近似函数用几何描点法或凭经验选择一个近似函数用几何描点法

7、或凭经验选择一个近似函数用几何描点法或凭经验选择一个近似函数 单变量数据拟合法的一般过程是：先根据给定函数的数据表单变量数据拟合法的一般过程是：先根据给定函数的数据表单变量数据拟合法的一般过程是：先根据给定函数的数据表单变量数据拟合法的一般过程是：先根据给定函数的数据表 通常称为拟合函数，通常称为拟合函数，通常称为拟合函数，通常称为拟合函数，以反映数据，以反映数据，以反映数据，以反映数据表中数据的一般趋势，然后使用最小二乘法来确定其中的未知参数，从表中数据的一般趋势，然后使用最小二乘法来确定其中的未知参数，从表中数据的一般趋势，然后使用最小二乘法来确定其中的未知参数，从表中数据的一般趋势，然后

8、使用最小二乘法来确定其中的未知参数，从而得到的近似函数而得到的近似函数而得到的近似函数而得到的近似函数 x x1 x2 xn y1 y2 yn通常称为被拟合函数。通常称为被拟合函数。通常称为被拟合函数。通常称为被拟合函数。第8页，本讲稿共33页 不一定要经过点不一定要经过点定义定义3.13.1 若记若记 ，则称，则称为为与与在在 一般情况下，使用单变量数据拟合法能选择到一个近似函数一般情况下，使用单变量数据拟合法能选择到一个近似函数使使，使它与，使它与的偏差的偏差的平方和达到最小，即使的平方和达到最小，即使达到最小。而能使偏差达到最小。而能使偏差的平方和达到最小的函数就是的平方和达到最小的函数

9、就是“最好最好”函数。函数。定义定义3.23.2 以以“偏差的平方和达到最小偏差的平方和达到最小”作为原则来选择近似作为原则来选择近似函数的方法称为最小二乘法。函数的方法称为最小二乘法。处的偏差。处的偏差。等于等于0 0是办不到的，但可以找到一个函数是办不到的，但可以找到一个函数什么是什么是“最好最好”的函数，的函数，“最好最好”的函数以什么标准来衡量的函数以什么标准来衡量?第9页，本讲稿共33页（1 1）直）直线拟合合 设已已知知数数据据点点 ,分分布布大大致致为一一条条直直线。根根据据最最小小二二乘乘原原理理作作拟合合直直线 ,该直直线不是通不是通过所有的数据点所有的数据点 ,而是使而是使

10、误差平方和差平方和 故故 和和 应满足下列条件：足下列条件：为最小。为最小。第10页，本讲稿共33页即得如下正即得如下正规方程方程组 令令第11页，本讲稿共33页 方程组改写为：方程组改写为：即按下列公式求即按下列公式求 a 和和 b 第12页，本讲稿共33页（2 2）多）多项式式拟合合 有有时所所给数数据据点点的的分分布布并并不不一一定定近近似似地地呈呈一一条条直直线,这时仍仍用用直直线拟合合显然然是是不不合合适适的的,可可用用多多项式式拟合合。对于于给定定的的一一组数数据据 寻求求次次数数不不超超过n(n m)的多的多项式式 来拟合所给定的数据，与线性拟合类似，使误差的平方和来拟合所给定的

11、数据，与线性拟合类似，使误差的平方和为最小。为最小。第13页，本讲稿共33页由由于于Q可可以以看看作作是是关关于于aj (j=0,1,2,=0,1,2,n)的的多多元元函函数数,故故上上述拟合多项式的构造问题可归结为多元函数的极值问题。令述拟合多项式的构造问题可归结为多元函数的极值问题。令得得 这是关于系数是关于系数 的的线性方程性方程组，通常称，通常称为正正规方程方程组。可以可以证明，正明，正规方程方程组有惟一解。有惟一解。第14页，本讲稿共33页例例3-13-1 已知一组数据如下表所示已知一组数据如下表所示,用单变量数据拟合法求其用单变量数据拟合法求其拟合函数拟合函数.解解 x -1 0

12、1 2 3 4 5 6 10 9 7 5 4 3 0 -1先画出散点图先画出散点图先画出散点图先画出散点图.从图中可以看到，点从图中可以看到，点 在一条直线附近，在一条直线附近，的近似函数的近似函数.这些点大体上满足直线方程。因此，可以选择线性函数来拟这些点大体上满足直线方程。因此，可以选择线性函数来拟 合这些数据，合这些数据，即可以选取即可以选取作为作为作为作为和和代入正规方程组得代入正规方程组得 解上方程组得到解上方程组得到 于是，求得拟合函数为于是，求得拟合函数为 把把把把第15页，本讲稿共33页3.3 3.3 多变量数据拟合多变量数据拟合若假设这些自变量为若假设这些自变量为和因变量为和

13、因变量为，则每经过一次，则每经过一次，而经过，而经过n n次实验次实验实验或测量就会得到一组数据实验或测量就会得到一组数据或测或测量就会得到量就会得到n n组数据，由这组数据，由这n n组数据构成一个数据表组数据构成一个数据表:多变量数据拟合法的一般过程是：先根据多变量数据拟合法的一般过程是：先根据 数据表选择变量数据表选择变量与变量与变量的一个近似函数的一个近似函数，以反映，以反映的函数关系，然后使用最小二乘法确定近似函数的函数关系，然后使用最小二乘法确定近似函数。中的中的未知参数，从而得到未知参数，从而得到通常称为拟合函数，通常称为拟合函数，通常称为被拟合函数。通常称为被拟合函数。与变量与

14、变量 第m次实验或测量 x1 x2 xk 1 x11 x12 x1k y1 2 x21 x22 x2k y2 n xn1 xn2 xnk yn第16页，本讲稿共33页假定数据表中的数据呈线性关系，这时选取线性函数假定数据表中的数据呈线性关系，这时选取线性函数来近似表达来近似表达与变量与变量的函数关系的函数关系.把把代入线性函数代入线性函数得到得到从而从而与与在在差为差为而偏差的平方和为而偏差的平方和为 处的偏处的偏第17页，本讲稿共33页据多元函数求极小值的方法，对据多元函数求极小值的方法，对分别求关于分别求关于的偏导数并令其等于的偏导数并令其等于0 0，这样便得到，这样便得到第18页，本讲稿

15、共33页整理化简后联立起来得到方程组整理化简后联立起来得到方程组 K+1K+1个未知数的线性代数方程组，它也称为正规方程组。个未知数的线性代数方程组，它也称为正规方程组。第19页，本讲稿共33页定理定理3.23.2 给定给定的数据表，若数据的数据表，若数据表表与变量与变量的最小二乘拟合函数，则待定参数的最小二乘拟合函数，则待定参数可以证明：当可以证明：当时，正规方程组有唯一解。时，正规方程组有唯一解。表中的数据呈线性关系，这时选取线性函数表中的数据呈线性关系，这时选取线性函数作为作为作为作为是正规方程组的解。是正规方程组的解。第20页，本讲稿共33页例例3-23-2 已知一组测量数据如表所示，

16、求其线性拟合函数。已知一组测量数据如表所示，求其线性拟合函数。据题意，选择线性函数据题意，选择线性函数拟合给定数据表中的数据。拟合给定数据表中的数据。解解为待定参数为待定参数第m次测量 x1 x2 1 1 1 7 2 1 2 9 3 2 1 10 4 2 2 11 5 2 3 12第21页，本讲稿共33页由定理由定理3.23.2得到正规方程组得到正规方程组 而而 把它们代入正规方程组得把它们代入正规方程组得从方程组解得从方程组解得，于是，所求的拟合函数为于是，所求的拟合函数为 第22页，本讲稿共33页 解正规方程组解正规方程组 和和 求出求出 输出输出多变量线性拟合法算法多变量线性拟合法算法

17、输入数据输入数据 计算正规方程组的系数计算正规方程组的系数第23页，本讲稿共33页 有些非线性拟合曲线可以通过适当的变量替换转化为线性有些非线性拟合曲线可以通过适当的变量替换转化为线性曲线，从而用线性拟合进行处理，对于一个实际的曲线拟合曲线，从而用线性拟合进行处理，对于一个实际的曲线拟合问题，一般先按观测值在直角坐标平面上描出散点图，看一问题，一般先按观测值在直角坐标平面上描出散点图，看一看散点的分布同哪类曲线图形接近，然后选用相接近的曲线看散点的分布同哪类曲线图形接近，然后选用相接近的曲线拟合方程。再通过适当的变量替换转化为线性拟合问题，按拟合方程。再通过适当的变量替换转化为线性拟合问题，按

18、线性拟合解出后再还原为原变量所表示的曲线拟合方程。线性拟合解出后再还原为原变量所表示的曲线拟合方程。下表列举了几类经适当变换后化为线性拟合求解的曲线拟合方程下表列举了几类经适当变换后化为线性拟合求解的曲线拟合方程及变换关系及变换关系 3.4 3.4 非线性数据线性化非线性数据线性化第24页，本讲稿共33页 曲曲线拟合方程合方程 变换关系关系 变换后后拟合方程合方程第25页，本讲稿共33页 图图(a)(a)表示数据接近于直线，故宜采用线性函数表示数据接近于直线，故宜采用线性函数拟合；拟合；图图(b)(b)数据分布接近于抛物线。可采用二次多项式数据分布接近于抛物线。可采用二次多项式 拟合。拟合。(

19、a)(a)(b)(b)几种常见的数据拟合情况几种常见的数据拟合情况:第26页，本讲稿共33页 图图 (c)(c)的数据分布特点是开始曲线上升较快随后逐渐变慢的数据分布特点是开始曲线上升较快随后逐渐变慢,宜宜采用双曲线型函数或指数型函数采用双曲线型函数或指数型函数 图图 (d)(d)的数据分布特点是开始曲线下降快的数据分布特点是开始曲线下降快,随后逐渐变慢随后逐渐变慢,宜采宜采用用 或或 或或 等进行拟合。等进行拟合。(c)(c)(d)(d)或或第27页，本讲稿共33页例例3-33-3 某炼钢厂出钢时用的钢包（用来装钢水的容器）是用特殊耐火材料某炼钢厂出钢时用的钢包（用来装钢水的容器）是用特殊耐

20、火材料制成的，在使用的过程中，由于钢水及炉渣对包衬耐火材料的侵蚀，使其制成的，在使用的过程中，由于钢水及炉渣对包衬耐火材料的侵蚀，使其容量随着使用次数的增多而增大。为了找出使用次数容量随着使用次数的增多而增大。为了找出使用次数与容量与容量1515次测试，测试数据如表所示，用数据拟合法找出使用次数次测试，测试数据如表所示，用数据拟合法找出使用次数与容量与容量之间的函数关系。之间的函数关系。i使用次数 xi容 量 yi i使用次数 xi容 量 yi i使用次数 xi容 量 yi 1 26.426 710.0011 1210.60 2 38.207 8 9.9312 1310.80 3 49.588

21、 9 9.9913 1410.60 4 59.509 1010.4914 1510.90 5 69.7010 1110.5915 1610.76之间的函数关系之间的函数关系,工程技术人员做工程技术人员做了了第28页，本讲稿共33页解解 按照图中散点的趋势，凭直观可以画出一条近似曲线，这些点或者按照图中散点的趋势，凭直观可以画出一条近似曲线，这些点或者在这条曲线上或者在曲线的两侧，而这条近似曲线大致上像一条双曲在这条曲线上或者在曲线的两侧，而这条近似曲线大致上像一条双曲线，因而我们可以把使用次数线，因而我们可以把使用次数与容量与容量之间的关系近似地看作这样的关系：之间的关系近似地看作这样的关系：

22、和和为待定参数为待定参数和和和和，得到，得到由关系式由关系式和和得到得到，从而得到一个新数据表，从而得到一个新数据表:先画出一个散点图。先画出一个散点图。令令令令其中其中第29页，本讲稿共33页 1 26.420.50000.155891010.490.10000.0953 2 38.200.33330.1220101110.590.09090.0944 3 49.580.25000.1044111210.600.08330.0943 4 59.500.20000.1053121310.800.07690.0926 5 69.700.16670.1031131410.600.07140.094

23、3 6 710.000.14290.1000141510.900.06670.0917 7 89.930.12500.1007151610.760.06250.0929 8 99.990.11110.1001第30页，本讲稿共33页由定理由定理3.13.1得到正规方程组得到正规方程组而而 把它们代入正规方程组得把它们代入正规方程组得 从上方程组解得从上方程组解得故求得故求得 即有即有 于是，得到拟合函数于是，得到拟合函数 第31页，本讲稿共33页例例3-43-4 已知一组数据如表所示，求一个经验函数，形如已知一组数据如表所示，求一个经验函数，形如（为常数），为常数），使它与表中数据相拟合。使它

24、与表中数据相拟合。0 1 2 3 41.5 2.5 3.5 5 7.5解解所以选定拟合函数为所以选定拟合函数为据题意，表据题意，表3-73-7中的数据大体上满足函数关系中的数据大体上满足函数关系由由和和得到得到和和，从而得到数据表，从而得到数据表:1 0 1.5 0 0.405465 2 1 2.5 1 0.916291 3 2 3.5 2 1.252763 4 3 5.0 3 1.609438 5 4 7.5 4 2.014903对对两边取自然对数得到两边取自然对数得到令令和和得到得到第32页，本讲稿共33页由定理由定理3.13.1得到正规方程组得到正规方程组而而 把它们代入正规方程组得把它们代入正规方程组得 从上方程组解得从上方程组解得故有故有 由此得到由此得到 而而于是，所求的拟合函数为于是，所求的拟合函数为 第33页，本讲稿共33页