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1、第九章重积分及曲线积分第1页，本讲稿共16页一、二重积分的概念、性质1.二重积分的定义(和式的极限)3.二重积分的性质(与定积分性质相似)机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.二重积分的几何意义（曲顶柱体的体积）（曲顶柱体的体积）第2页，本讲稿共16页（1）若D为 X 型区域 则二、二重积分的计算=先y后x的二次积分1.直角坐标系下二重积分的计算：穿线定内限，夹线定外限穿线定内限，夹线定外限 根据积分区域的形状以及被积函数的特点，适当选择直角坐标或极坐标，选择积分次序.第3页，本讲稿共16页（2）若D为 Y 型区域 则=先x后y的二次积分第4页，本讲稿共16页(3)若积分区域既是X型区域又是
2、Y 型区域,既可采用先y后x的二次积分，也可采用先x后y的二次积分，为计算方便,可选择适当的积分次序适当的积分次序.(4)若积分域较复杂,可将它分成若干部分，使每部分是X-型区域或Y-型区域,则 第5页，本讲稿共16页直角坐标系与极坐标系下的二重积分之间的关系：2.利用极坐标系计算二重积分q q的上下限关键是定出,r然后化为先的二次积分.后积分限确定方法:穿线定内限，夹线定外限.将直角坐标系的二重积分化为极坐标系下的二重积分将直角坐标系的二重积分化为极坐标系下的二重积分需要进行需要进行“三换三换”：第6页，本讲稿共16页（1）极点在区域外部（如图1）具体地分以下几种情况讨论如下：图图1设则其中
3、在区间上连续.第7页，本讲稿共16页（2）极点在区域的边界（如图2）图图2设则第8页，本讲稿共16页（3）极点在区域内部（如图3）：图图3设则第9页，本讲稿共16页例例1.计算其中D 是直线 y1,x2,及yx 所围的闭区域.解法解法1.将D看作X型区域,则解法解法2.将D看作Y型区域,则第10页，本讲稿共16页例例2.计算其中D 是抛物线所围成的闭区域.解解:为计算简便,先对 x 后对 y 积分,及直线则 第11页，本讲稿共16页例例3.计算其中D 是直线 所围成的闭区域.解解:由被积函数可知,因此取D 为X 型域:先对 x 积分不行,第12页，本讲稿共16页D解二解二D：Y型型D例例4 计算计算解一解一D：X型型第13页，本讲稿共16页解解x xy yR Ro o第14页，本讲稿共16页解解在极坐标系下，区域D可表为：第15页，本讲稿共16页例例7 计算二重积分其中D 为圆周所围成的闭区域.解解:利用极坐标原式=第16页，本讲稿共16页