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1、本章内容本章内容 桁架的特点及分类，结点法、截面法及其联合应用，对称性的利用，几种梁式桁架的受力特点，组合结构的计算。目的要求目的要求 1.了解桁架的受力特点及其分类。2.熟练运用结点法和截面法计算桁架内力。3.掌握组合结构的计算方法。所有结点都是铰结点，在结点荷载作用下，各杆内力中只有轴力。截面上应力分布均匀，可以充分发挥材料的作用。因此，桁架是大跨度结构中常用的一种结构形式。在桥梁及房屋建筑中得到广泛应用。图5-1（1）桁架中的各结点都是光滑的理想铰结点。（2）各杆轴线都是直线，且在同一平面内并通过铰的中心。（3）荷载及支座反力都作用在结点上且在桁架平面内。上述假定，保证了桁架中各结点均为
2、铰结点，各杆内只有轴力，都是二力杆。符合上述假定的桁架，是理想桁架。实际桁架与上述假定是有差别的。如钢桁架及钢筋混凝土桁架中的结点都具有很大的刚性。此外，各杆轴线也不可能绝对平直，也不一定正好都过铰中心，荷载也不完全作用在结点上等等。但工程实践及实验表明，这些因素所产生的应力是次要的，称为次应力。按理想桁架计算的应力是主要的，称为主应力。本节只讨论产生主应力的内力计算。图5-3 桁架的杆件按其所在位置分为弦杆和腹杆。弦杆又分为上弦杆和下弦杆；腹杆也分为斜杆和竖杆，如图5-3所示。两支座之间的水平距离l称为跨度，支座联线至桁架最高点的距离H称为桁高。弦杆上相邻两结点之间的区间称为节间，其间距d称
3、为节间长度。(1)按几何外形分按几何外形分 1）平行弦桁架、2）折弦桁架、3）三角形桁架，分别如图5-4(a)、(b)、(c)所示。(2)按有无水平支座反力分按有无水平支座反力分 1）梁式桁架 如图5-4(a)、(b)、(c)所示。2）拱式桁架 如图5-4(d)所示。(3)按几何组成分按几何组成分 1)简单桁架 由一个基本铰结三角形开始，依次增加二元体组成的桁架，如图5-4(a)、(b)、(c)所示。2)联合桁架 由几个简单桁架按几何不变体系的简单组成规则而联合组成的桁架，如图5-4(d)、(e)所示。3)复杂桁架 不属前两种方式组成的其他桁架，如图5-4(f)所示。图5-4 桁架计算一般是先
4、求支座反力后计算内力。计算内力时可截取桁架中的一部分为隔离体，根据隔离体的平衡条件求解各杆的轴力。如果截取的隔离体包含两个及以上的结点，这种方法叫截面法。如果所取隔离体仅包含一个结点，这种方法叫结点法。当取某一结点为隔离体时，由于结点上的外力与杆件内力组成一平面汇交力系，则独立的平衡方程只有两个，即Fx=0，Fy=0。可解出两个未知量。因此，在一般情况下，用结点法进行计算时，其上的未知力数目不宜超过两个，以避免在结点之间解联立方程。结点法用于计算简单桁架很方便。因为简单桁架是依次增加二元体组成的。每个二元体只包含两个未知轴力的杆，完全可由平衡方程确定。计算顺序按几何组成的相反次序进行，即从最后
5、一个二元体开始计算。桁架杆件内力的符号规定：轴力以使截面受拉为正，受压为负。在取隔离体时，轴力均先假设为正。即轴力方向用离开结点表示。计算结果为正，则为拉力；反之，则为压力。桁架中常有一些特殊形式的结点，掌握这些特殊结点的平衡条件，可使计算大为简化。把内力为零的杆件称为零杆。(1)L型结点型结点。不在一直线上的两杆结点，当结点不受外力时，两杆均为零杆，如图5-5(a)所示。若其中一杆与外力F共线，则此杆内力与外力F相等，另一杆为零杆，如图5-5(d)所示。(2)T型结点型结点。两杆在同一直线上的三杆结点，当结点不受外力时，第三杆为零杆，如图5-5(b)所示。若外力F与第三杆共线，则第三杆内力等
6、于外力F，如图5-5(e)所示。图5-5(3)X型结点型结点。四杆结点两两共线，如图5-5(c)所示，当结点不受外力时，则共线的两杆内力相等且符号相同。(4)K型线点型线点。这也是四杆结点，其中两杆共线，另两杆在该直线同侧且与直线夹角相等，如图5-5(f)所示，当结点不受外力时，则非共线的两杆内力大小相等但符号相反。以上结论，均可取适当的坐标由投影方程得出。应用上述结论可判定出图5-6(a)、(b)、(c)所示结构中虚线各杆均为零杆。这里所讲的零杆是对某种荷载而言的，当荷载变化时，零杆也随之变化，如图5-6(b)、(c)所示。此处的零杆也决非多余联系。图5-6 例例5-1 用结点法计算图5-7
7、(a)所示桁架各杆的内力。解解：该桁架为简单桁架，由于桁架及荷载都对称，故可计算其中的一半杆件的内力，最后由结点C的平衡条件进行校核。1.计算支座反力。Fx=0,FAx=0由对称性可知 FAy=FBy=(2+4+2)/2=4 kN()图5-7 2.内力计算。(1)取结点A为隔离体，如图5-7(b)所示。Fy=0,FNAE=-4 =-5.66 kN Fx=0,FNAD+FNAE /2=0 FNAD=-(-4 )/2=4 kN(2)取结点D为隔离体，如图5-7(c)所示。Fx=0,FNDC=4 kN；Fy=0,FNDE=2 kN (3)取结点E为隔离体，如图5-7(d)所示。Fy=0,4 /2-2
8、-FNEC /2=0,FNEC=2 =2.83 kN Fx=0,FNEG+FNEC /2+4 /2=0,FNEG=-2 /2-4=-6 kN(4)由对称性可知另一半桁架杆件的内力。(5)校核。取结点C为隔离体，如图5-7(e)所示。Fx=4+2 /2-2 /2-4=0 Fy=2 /2+2-4=0C结点平衡条件满足，故知内力计算无误。用截面法计算内力时，由于隔离体上所作用的力为平面一般力系，故可建立三个平衡方程。若隔离体上的未知力数目不超过三个，则可将它们全部求出，否则需利用解联立方程的方法才能求出所有未知力。为此，可适当选取矩心及投影轴，利用力矩法和投影法，尽可能使建立的平衡方程只包含一个未知
9、力，以避免解联立方程。例例5-2 用截面法计算图5-8(a)所示桁架中a、b、c、d各杆的内力。解解：1.求支座反力。由对称性可知：FA=FB=(10+205+10)/2=60 kN()图5-8 2.计算各杆内力。(1)作截面-，如图5-8(a)所示，取左部分为隔离体，如图5-8(b)所示。为求a杆内力，可以b、c两杆的交点E为矩心，由方程ME=0，得 603-103-FNa3=0，FNa=50 kN (2)求上弦杆c的内力时，以a、b两杆的交点D为矩心，此时要计算FNc的力臂不太方便，为此将FNc分解为水平和竖直方向的两个分力。则各分力的力臂均为已知。由MD=0，得 (FNc1/)3+(FN
10、c3/)3+606-106-203=0 FNc=-20 =-63.2 kN (3)求b杆内力时，应以a、c两杆的交点O为矩心，为此，应求出OA之间的距离，设为x，由比例关系：可得，x=6m 同样，将FNb在E点分解为水平和竖直方向的两个分力，由MO=0，得 (FNb /2)9+(FNb /2)3+106+209 -606=0 FNb=10 =14.1 kN (4)为求FNd，作截面-，取左部分为隔离体，如图5-8(a)、(c)所示。因被截断的另两杆平行，故采用投影方程计算。由Fy=0，得 FNd4/5+60-10-20-20=0 FNd=-105/4=-12.5 kN 如前所述，用截面法求桁架
11、内力时，应尽量使截断的杆件不超过三根，这样所截杆件的内力均可利用同一隔离体求出。特殊情况下，所作截面虽然截断了三根以上的杆件，但只要在被截各杆中，除一根外，其余各杆汇交于同一点或互相平行，则该杆的内力仍可首先求出。例如图5-9(a)所示桁架中，作截面-，由MC=0，可求出a杆内力。又如图5-9(b)所示桁架中，作截面-，由Fx=0，可求出b杆内力。图5-10所示的工程上多采用的联合桁架，一般宜用截面法将联合杆DE的内力求出。即作-截面，取左部分或右部分为隔离体，由MC=0求出FNDE。这样左、右两个简单桁架就可用结点法来计算。图5-9 图5-10 结点法和截面法是计算桁架内力的两种基本方法。两
12、种方法各有所长，应根据具体情况灵活选用。例例5-3 试求图5-11所示桁架中a、b及c杆的内力。解解：从几何组成看，桁架中的AGB为基本部分，EHC为附属部分。(1)作截面-，取右部分为隔离体，由MC=0，得 FNad+Fd=0 FNa=-F (2)取结点G为隔离体，由Fy=0，得 FNc=-F 由Fx=0，得 FNFG=FNa=-F (3)作截面-，取左部分为隔离体，由MA=0，得 FNb d+Fd-Fd=0，FNb=0 例例5-4 求图5-12所示桁架中a杆的内力。解解：1.求支座反力。MB=0,FA=(2015+2012+209)/18=40kN()MA=0,FB=20 kN()校核;F
13、y=40+20-20-20-20=0 故知反力计算无误。2.计算a杆内力。(1)作-截面，取左部分为(2)隔离体，由MF=0，得：FNHC4-203-403=0，FNHC=45 kN。图5-12 图5-11(2)取结点H为隔离体，由Fx=0，(3)得：FNGH=FNHC=45 kN (3)作截面-，仍取左部分为隔离体，由MF=0，得 FNa3/4+454-403=0，FNa=-5 =-18.0 kN 在该题中，若取截面-所截取的一部分为隔离体(图5-12)，由于ED杆为零，FNED=0。由平衡方程MC=0，可得 FNa2/3+FNa3/2+203=0，FNa=-5 =-18.0 kN可见，按后
14、一种方法计算更简单。组合结构是指由链杆和受弯为主的梁式杆组成的结构。链杆只受轴力作用，梁式杆除受轴力外，还要受弯矩、剪力的作用。用截面法计算组合结构内力时，为了使隔离体上的未知力不致过多，应尽量避免截断受弯杆件。因此，计算组合结构的步骤一般是先求支座反力，然后计算各链杆的轴力，最后计算受弯杆的内力。例例5-5 求图5-13(a)所示组合结构各杆的轴力，作受弯杆的M、FS图。解解：1.计算支座反力。MB=0,FA=(2063)/12=30 kN()MA=0,FB=(2069)/12=90 kN()校核：Fy=30+90-206=0 故知反力计算无误。2.求链杆内力。(1)作截面-，拆开铰C及截断DE杆，取左边为隔离体，由MC=0，得:FNDE3-306=0，FNDE=60 kN (2)取结点D、E为隔离体，由平衡条件Fx=0、Fy=0可求得各链杆轴力如图5-13(a)所示。图5-13 3.计算受弯杆内力。(1)取出CB杆为隔离体，如图5-13(b)所示。由平衡条件可得 FCH=60 kN()，FCV=3 0 kN()据此可作出CB杆的弯矩图及剪力图。(2)AC杆的内力可与CB杆相同的方法求得。最后受弯杆的弯矩图及剪力图如图5-13(c)、(d)所示。