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1、湖 北 荆 荆 宜 2 0 2 3 年 高 三 下 学 期 5 月 三 校 联 考高 三 数 学 试 卷考 试 时 间：2 0 2 3 年 5 月 1 8 日 下 午 1 5:0 0 1 7:0 0 试 卷 满 分：1 5 0 分祝考试顺利一、选 择 题：本 大 题 共 8 小 题，每 一 小 题 5 分，共 4 0 分 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中，只 有 一 项 是 符 合题 目 要 求 的 1 已 知 集 合|2,A x a x x Z，1,0,1,2 B，若 A B 中 恰 有 两 个 元 素，则 实 数 a 的 取 值 范 围 为A 1,0)B 1,0 C 0,1)
2、D 0,1 2 已 知 复 数 2 i 是 关 于 x 的 方 程20 x ax b（,a b R）的 一 个 解，则 复 数 i z a b 在 复 平 面 内 对 应的 点 位 于A 第 一 象 限 B 第 二 象 限 C 第 三 象 限 D 第 四 象 限3 已 知 平 面 向 量 a，b，c 满 足 2,1 a，1,2 b，且 a c 若 3 2 b c，则|cA 1 0 B 2 5 C 5 2 D 3 54 由 经 验 可 知，某 种 质 地 的 沙 子 堆 放 成 圆 锥 的 形 状，若 要 使 沙 堆 上 的 沙 子 不 滑 落，其 母 线 与 底 面 的 最大 夹 角 为6 现
3、 有 一 堆 该 质 地 的 沙 子 堆 成 的 沙 堆，该 沙 堆 的 底 面 半 径 为 3 m，高 为 1 m 现 在 为 了 节省 该 沙 堆 的 占 地，需 要 用 一 个 无 盖 的 圆 柱 形 容 器 盛 放 这 些 沙 子，沙 子 可 以 超 出 该 容 器，且 超 出 部 分呈 圆 锥 形 已 知 该 容 器 的 底 面 半 径 为 3 m，则 该 容 器 的 高 至 少 为A 1 m B 2m3C 3m3D 3m25 若(0,)2，22 c os()2 c os 4 c os c os5 5，则 等 于A 2 5B 3 1 0C 5D 106 某 同 学 喜 爱 球 类 和
4、 游 泳 运 动 在 暑 假 期 间，该 同 学 上 午 去 打 球 的 概 率 为13 若 该 同 学 上 午 不 去 打球，则 下 午 一 定 去 游 泳；若 上 午 去 打 球，则 下 午 去 游 泳 的 概 率 为14 已 知 该 同 学 在 某 天 下 午 去 游 了泳，则 上 午 打 球 的 概 率 为A 34B 23C 13D 127 已 知 椭 圆2 22 2:1(0)x yE a ba b 的 左、右 焦 点 分 别 为1F，2F，过2F 的 直 线 与 E 交 于 点 A，B 直 线l 为 E 在 点 A 处 的 切 线，点 B 关 于 l 的 对 称 点 为 M 由 椭
5、圆 的 光 学 性 质 知，1F，A，M 三 点 共 线 若|A B a，1157B FM F，则21B FA FA 12B 27C 14D 178 设 函 数3()2 2 f x x x，若 正 实 数 a 使 得 存 在 三 个 两 两 不 同 的 实 数 b，c，d 满 足(,()a f a，(,()b f b，(,()c f c，(,()d f d 恰 好 为 一 个 矩 形 的 四 个 顶 点，则 a 的 取 值 范 围 为高 三 数 学 试 卷 第 2 页（共 8 页）A 1(0,2B 1,1 2C 3(0,3D 3,1 3二、选 择 题：本 题 共 4 小 题，每 小 题 5 分
6、，共 2 0 分 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中，有 多 项 符 合 题 目 要求 全 部 选 对 的 得 5 分，部 分 选 对 的 得 2 分，有 选 错 的 得 0 分 9 已 知 正 四 棱 锥 P A B C D 的 所 有 棱 长 相 等，M，N 分 别 是 棱 P D，B C 的 中 点，则A M N P B B M N 面 P A BC M N P A D M N 面 P A D1 0 某 学 校 一 同 学 研 究 温 差()x C 与 本 校 当 天 新 增 感 冒 人 数 y(人)的 关 系，该 同 学 记 录 了 5 天 的 数 据：x 5 6 8 9
7、1 2y1 7 2 0 2 5 2 8 3 5经 过 拟 合，发 现 基 本 符 合 经 验 回 归 方 程 2.6 y x a，则A 样 本 中 心 点 为(8,25)B 4.2 a C 5 x 时，残 差 为 0.2 D 若 去 掉 样 本 点(8,25)，则 样 本 的 相 关 系 数 r 增 大1 1 已 知 函 数()s i n(2)(0)2f x x 在(0,)2上 有 最 大 值，则A 的 取 值 范 围 为(,4)2B()f x 在 区 间(0,)上 有 零 点C()f x 在 区 间(,)2 上 单 调 递 减 D 存 在 两 个，使 得()1 f 1 2 在 平 面 直 角
8、 坐 标 系 x O y 中，已 知 点 1 1 1,(0)P x y y 是 圆 22:2 1 M x y 上 的 一 个 动 点，直 线 O P 与圆 M 交 于 另 一 点 Q，过 点 O 作 直 线 O P 的 一 条 垂 线，与 圆 22:2 4 N x y 交 于 点 2 2,E x y，则 下列 说 法 正 确 的 是A 21 x B 14 y O P O E C 若 P Q O E，则 3N O E M P QS S D P E Q 的 最 大 正 切 值 为2 2121三、填 空 题：本 大 题 共 4 小 题，每 小 题 5 分，共 2 0 分 把 答 案 填 在 答 题
9、卡 中 的 横 线 上 1 3 已 知31(2)nxx 的 展 开 式 的 第 7 项 为 常 数 项，则 正 整 数 n 的 值 为 _ _ _ _ _ _ _ _ 1 4 若 函 数1()ex af x x 在 区 间(0,)上 单 调 递 增，则 a 的 取 值 范 围 为 _ _ _ _ _ _ _ _ 1 5 科 拉 茨 是 德 国 数 学 家，他 在 1 9 3 7 年 提 出 了 一 个 著 名 的 猜 想：任 给 一 个 正 整 数 n，如 果 n 是 偶 数，就 将它 减 半（即2n）；如 果 n 是 奇 数，则 将 它 乘 3 加 1（即 3 1 n），不 断 重 复 这
10、样 的 运 算，经 过 有 限 步 后，一 定 可 以 得 到 1 这 是 一 个 很 有 趣 的 猜 想，但 目 前 还 没 有 证 明 或 否 定 如 果 对 正 整 数 n（首 项）按 照上 述 规 则 施 行 变 换 后 的 第 8 项 为 1（注：1 可 以 多 次 出 现），则 满 足 条 件 的 n 的 所 有 不 同 值 的 和 为 _ _ _ _ _ _ _ _ 1 6 在 平 面 直 角 坐 标 系 x O y 中，已 知 抛 物 线2:4 C y x 的 焦 点 为 F，A，B 是 其 准 线 上 的 两 个 动 点，且F A F B，线 段 F A，F B 分 别 与
11、抛 物 线 C 交 于 P，Q 两 点 记 P Q F 的 面 积 为1S，A B F 的 面 积为2S 当1219SS 时，A B _ _ _ _ _ _ _ _ 四、解 答 题：本 大 题 共 6 小 题，共 7 0 分 解 答 应 写 出 文 字 说 明、证 明 过 程 或 演 算 步 骤 1 7（1 0 分）已 知 数 列 na 的 各 项 均 不 为 0，其 前 n 项 和nS 满 足14 1n n na a S，*n N，且11 a（1）求 na 的 通 项 公 式；（2）求 数 列11 nn naS S的 前 n 项 和nT 1 8（1 2 分）在 A B C 中，角 A，B，C
12、 所 对 的 边 分 别 为 a，b，c，面 积 为 S，已 知 6()S b a c（1）若2s i n3A，求 c os B；（2）若 3 b，3B，求 A B C 的 面 积 S 1 9（1 2 分）如 图，在 三 棱 柱1 1 1A B C A B C 中，1B C 平 面 A B C，点 D 为 棱 A C 的 中 点，D A 2 D B（1）求 证：1A B C C；（2）若 2 B C，求 直 线1B B 与 平 面1B D C 所 成 角 的 正 弦 的 最 大 值 高 三 数 学 试 卷 第 4 页（共 8 页）2 0（1 2 分）某 手 机 A P P 公 司 对 喜 欢
13、使 用 该 A P P 的 用 户 年 龄 情 况 进 行 调 查，随 机 抽 取 了 1 0 0 名 喜 欢 使 用 该 A P P的 用 户，年 龄 均 在 15,65 周 岁 内，按 照 年 龄 分 组 得 到 如 下 所 示 的 样 本 频 率 分 布 直 方 图：（1）根 据 频 率 分 布 直 方 图，估 计 使 用 该 视 频 A P P 用 户 的 平 均 年 龄 的 第 8 5%分 位 数（小 数 点 后 保 留 2位）；（2）若 所 有 用 户 年 龄 X 近 似 服 从 正 态 分 布2(,)N，其 中 为 样 本 平 均 数 的 估 计 值，10.5，试估 计 喜 欢
14、使 用 该 A P P 且 年 龄 大 于 6 1 周 岁 的 人 数 占 所 有 喜 欢 使 用 该 A P P 的 比 例；（3）用 样 本 的 频 率 估 计 概 率，从 所 有 喜 欢 使 用 该 A P P 的 用 户 中 随 机 抽 取 8 名 用 户，用()P X k 表示 这 8 名 用 户 中 恰 有 k 名 用 户 的 年 龄 在 区 间 25,35)岁 的 概 率，求()P X k 取 最 大 值 时 对 应 的 k 值 附：若 随 机 变 量 X 服 从 正 态 分 布 2,N，则：()0.6827 P X，(2 2)0.9545 P X，(3 3)0.9973 P X
15、 2 1（1 2 分）已 知 双 曲 线2 22 2:1(0,0)x yC a ba b 的 左、右 焦 点 分 别 为1F，2F，直 线:1 l x，l 与 x 轴 交 于 点 H，l 与 双 曲 线 C 的 一 条 渐 近 线 交 于 点 T，且 1 2 3 H F H F 0，1 2 2 T F T F（1）求 双 曲 线 C 的 方 程；（2）设 过 点 H 与 x 轴 不 重 合 的 直 线 交 双 曲 线 C 于 A，B 两 点，直 线2A F，2B F 分 别 交 l 于 点 M，N，求 证：|H M H N 2 2（1 2 分）设 函 数()e s i nxf x b x，(,
16、)x（1）若 函 数()f x 在(0,(0)f 处 的 切 线 的 斜 率 为 2 求 实 数 b 的 值；求 证：()f x 存 在 唯 一 极 小 值 点0 x 且 01 f x（2）当 0 b 时，若()f x 在(,)x 上 存 在 零 点，求 实 数 b 的 取 值 范 围 2 02 3 年高 三下 学期 5 月 三校 联考高 三 数 学 试 卷 参 考 答 案一、选 择 题：题 号 1 2 3 4 5 6 7 8答 案 A D A B D C C D二、选 择 题：题 号 9 1 0 1 1 1 2答 案 B C A C D A B C A B D三、填 空 题：1 3 8 1
17、4(,1 1 5 190 1 6 6 49四、解 答 题：1 7【解 析】（1）因 为14 1n n na a S，所 以1 2 14 1n n na a S 两 式 相 减，得 1 2 14n n n na a a a 因 为10na，所 以24n na a 2 分所 以 2 1 na是 以 1 为 首 项，4 为 公 差 的 等 差 数 列，2 na 是 以 3 为 首 项，4 为 公 差 的 等 差 数 列 所 以2 11(1)4 4 3na n n，23(1)4 4 1na n n 4 分故 2 1na n 5 分（2）因 为1 11 1 11 1n n nn n n n n na S
18、 SS S S S S S，6 分所 以1 2 2 3 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1nn n nTS S S S S S S S 8 分因 为2(1 2 1)2nn nS n，所 以211(1)nTn 1 0 分1 8【解 析】（1）因 为 6()S b a c，所 以16 s i n()2bc A b a c，1 分因 为2s i n3A，代 入 上 式 可 解 得233c a c，即 a c，3 分所 以2s i n s i n3C A，5c os c os3C A，4 分所 以1c os c os()9B A C 6 分（2）因 为 6()S b a c，所 以16 s i
19、n()2bc A b a c，即 3 s i n()bc A b a c，因 为 3 b，3B，所 以32ac a c，8 分高 三 数 学 试 卷 第 6 页（共 8 页）由 余 弦 定 理 知2 2 22 c os b a c ac B，所 以2 2 2 239()3()34a c ac a c ac ac ac，解 得 6 ac，1 0 分所 以1 3 3s i n2 2S ac B.1 2 分1 9【解 析】（1）因 为 点 D 为 棱 A C 的 中 点，D A D B，所 以 B C A B 1 分因 为1B C 平 面 A B C，A B 平 面 A B C，所 以1B C A
20、B 又 因 为1B C B C C，1,B C B C 平 面1 1B C C B，所 以 A B 平 面1 1B C C B 因 为1C C 平 面1 1B C C B，所 以1A B C C（2）设1(0)C B t t 以 C A 为 x 轴，1C B 为 z 轴，过 点 C 与 C A 垂 直 的 直 线 为 y 轴，建 立 如 图 所 示 的 空 间 直 角 坐 标 系，则1(0,0,0),(4,0,0),(2,0,0),(1,3,0),(0,0,)C A D B B t 5 分所 以 1(1,3,),(1,3,0),(1,3,0)B B t B C B D，6 分设 平 面1B D
21、 C 的 法 向 量 为(,)n x y z，所 以13 0,2 2 3 0.n B D x yn B C x y t z 令 3 x t，则 y t，4 3 z 所 以(3,4 3)n t t 8 分所 以112 21 222 3 3c o s,4 8|4 4 4 81 6B B tB BB B t ttt nnn1 0 分3 3 3 34 2 2 38 3 16（当 且 仅 当2248tt，即42 3 t 时，等 号 成 立）所 以 直 线1B B 与 平 面1B D C 所 成 角 的 正 弦 的 最 大 值 为3 34 1 2 分2 0【解 析】（1）第 8 5%分 位 数=0.85
22、0.6545 10 51.670.3（岁）3 分（2）因 为(2 0 0.0 1 3 0 0.0 2 4 0 0.0 3 5+5 0 0.0 3+6 0 0.0 0 5)1 0 4 0 x，5 分所 以 40，所 以1 0.9545(61)(2)0.022752P X P X，所 以 使 用 该 A P P 且 年 龄 大 于 6 1 周 岁 的 人 数 占 左 右 喜 欢 使 用 该 A P P 的 2.2 7 5%7 分（3）根 据 题 意(8,0.2)X B，要 使()P X k 取 得 最 大 值，则()(1),()(1),P X k P X kP X k P X k 9 分所 以8
23、1 1 78 88 1 1 98 8C 0.2 0.8 C 0.2 0.8,C 0.2 0.8 C 0.2 0.8,k k k k k kk k k k k k 解 得4 95 5k，因 为 k N，所 以 1 k 1 2 分2 1【解 析】（1）设 双 曲 线 C 的 焦 距 为 2 c，其 中2 2 2c a b，则1 2(,0),(,0),(1,0)F c F c H 所 以 1(1,0)H F c，2(1,0)H F c 1 分由 1 2 3 H F H F 0，有 1 3(1)0 c c，得 2 c 所 以1(2,0)F，2(2,0)F 2 分因 为 双 曲 线 C 的 渐 近 线
24、方 程 为by xa，有(1,)bTa，所 以 1(3,)bT Fa，2(1,)bT Fa 由 1 2 2 T F T F，有223 2ba，即2243 2aa，得22 a 4 分所 以2 2 22 b c a 所 以 C 的 方 程 为2 212 2x y 5 分（2）设 A B 的 方 程 为(1)y k x，1 1(,)A x y，2 2(,)B x y 联 立 方 程 组2 2(1),1.2 2y k xx y 得2 2 2 2(1)2 2 0 k x k x k 所 以21 0 k，4 2 24 4(1)(2)0 k k k，21 2 221kx xk，21 2 221kx xk 7
25、 分所 以2 21 2 1 2 1 2 1 21 2 1 2 1 2(1)(1)2 3()42 2 2 2(2)(2)A F B Fy y k x k x x x x xk k kx x x x x x 2 22 21 22 2 2 3 4 0(2)(2)1 1k k kx x k k 1 0 分所 以2 2B F A Fk k，即2 2M F H N F H 因 为2M N H F，所 以 H M H N 1 2 分2 2【解 析】（1）因 为()e s i nxf x b x，所 以()e c o sxf x b x 所 以 切 线 的 斜 率(0)1 k f b 又 因 为 切 线 的
26、斜 率 为 2，所 以 1 2 b 解 得 1 b 2 分 由 得 1 b，所 以()e s i n,(,)xf x x x，()e c o sxf x x 因 为()e s i n 0 xf x x 恒 成 立，所 以()f x 单 调 递 增 3 分又2e()02f，()e 1 0 f，所 以 存 在0(,)2x，使 0f x 00e c o s 0 xx x 0,x 0 x 0,x()f x-+()f x 极 小 值 所 以()f x 存 在 唯 一 的 极 小 值 点0 x，00 0 0 0 0e s i n s i n c os 2 s i n()4xf x x x x x 5 分因
27、 为0(,)2x，所 以05 3(,)44 4x 所 以02 s i n()(1,1)4x 所 以 01 f x 6 分（2）()e s i n,(,)xf x b x x 令()0 f x，即 e s i n 0 xb x，所 以1 s i nexxb 高 三 数 学 试 卷 第 8 页（共 8 页）令s i n(),(,)exxg x x，则2 s i n()c os s i n4)(e ex xxx xg x 令()0 g x，得,1,4x k k k Z 7 分所 以 当5(2,2)44x k k 时，s i n()04x，()g x 单 调 递 减；当5 9(2,2)4 4x k k
28、 时，s i n()04x，()g x 单 调 递 增 所 以 当5 2,1,4x k k k Z 时，()g x 取 得 极 小 值 即 当3 5,4 4x 时，()g x 取 得 极 小 值 9 分又 因 为3 5 2s i n()s i n4 4 2，3 5()4 4，所 以3 5()()4 4g g 又 因 为 在3(,)4 上()g x 单 调 递 减，所 以3 43 2()()e4 2g x g 1 0 分当,2 04x k k k Z 时，()g x 取 得 极 大 值，即 当9,4 4x 时，()g x 取 得 极 大 值 又 因 为9 2s i n s i n4 4 2，9 4 4e e，所 以9()()4 4g g 所 以42()()e42g x g 1 1 分当(,)时，4 342 2e()e2 2g x 所 以 3 4 42 1 2e e2 2 b 因 为 0 b，所 以3 42e b时，()f x 在(,)上 有 零 点 所 以 实 数 b 的 取 值 范 围 为3 4 2e,)1 2 分