《【高中数学】二项式系数的性质 2022-2023学年高二数学同步课件(人教A版2019选择性必修第三册).pptx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【高中数学】二项式系数的性质 2022-2023学年高二数学同步课件(人教A版2019选择性必修第三册).pptx（27页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、第六章 计数原理6.3.2 6.3.2 二项式系数的性质二项式系数的性质一二三学习目标理解二项式系数的性质会用赋值法求展开式系数的和会用二项式定理及其性质解决有关的简单会用二项式定理及其性质解决有关的简单问题问题1.1.二项式定理二项式定理2.2.二项展开式的通项二项展开式的通项3.3.二项式系数：二项式系数：复习引入有很多有趣的性质，而且我们可以从不同角度进行研究。有很多有趣的性质，而且我们可以从不同角度进行研究。探究 用计算工具计算用计算工具计算(ab)n的展开式的二项式系数，并填入下表中的展开式的二项式系数，并填入下表中.n(ab)n的展开式的二项式系数的展开式的二项式系数123456
2、通过计算，填表，你发现了什么规律？通过计算，填表，你发现了什么规律？(ab)1(ab)2(ab)3(ab)4(ab)5(ab)6杨杨辉辉三三角角新知探究(1)(1)每行两端的数都是每行两端的数都是1 1；(2)(2)系数呈对称分布；与首末两端系数呈对称分布；与首末两端“等距离等距离”的两个系数相等；的两个系数相等；(3)(3)同一行中，系数先增后减，两端的系数小，中间的系数大同一行中，系数先增后减，两端的系数小，中间的系数大.(4)(4)在相邻的两行中在相邻的两行中,除除1 1以外的每一个数都等于它以外的每一个数都等于它“肩上肩上”两个数的和两个数的和,等等等等.1 1 1 2 1 1 3 3
3、 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 新知探究问题1 上表写成如下形式，上表写成如下形式，你发现了什么规律？你发现了什么规律？对于 展开式的二项式系数:下面再从函数角度分析二项式系数：rf(r)O1 2 351015204 5 6新知探究 Cnr可看成是以可看成是以r为自变量的函数为自变量的函数 f(r),其定义域是：其定义域是：对于确定的对于确定的n，我们还可以画出，我们还可以画出它的图像它的图像 例如，例如，当当n=6 时，时，f(r)=Cnr(r0,1,2,3,4,5,6)的的图象是右图中的图象是右图中的7个离散点个离散点探究(1)观察右
4、图，你发现了什么规律观察右图，你发现了什么规律?(2)请你分别画出请你分别画出n=7,8,9时时f(r)=Cnr 的的图图象，比较它们的异同，你发现了什么规律象，比较它们的异同，你发现了什么规律?新知探究n=7n=8n=9 与首末两端与首末两端“等距离等距离”的两个的两个二项二项式系数式系数相等相等这一性质可直接由公式 得到f(r)rnO51520110图象的对称轴：概念生成由此我们可得二项式系数有以下性质：性质1：对称性 新知探究性质2：增减性与最大值（增减性的实质是比较（增减性的实质是比较 的大小）的大小）所以所以 相对于相对于 的增减情况由的增减情况由 决定决定 可知，当可知，当 时，时
5、，由：由：由对称性可知它的由对称性可知它的后半部分后半部分是逐渐减小的是逐渐减小的,且且中间项中间项取得最大值取得最大值二项式系数二项式系数是逐渐增大的，是逐渐增大的，新知探究性质2：增减性与最大值（1）当）当n为为偶数偶数时，正中间一项的时，正中间一项的二项式系数二项式系数 最大；最大；（2）当）当n为为奇数奇数时，中间两项的时，中间两项的二项式系数二项式系数 相等，且同时取得最大值相等，且同时取得最大值.二项展开式共有二项展开式共有n+1项，项，f(k)kn3O515201101245n为偶数f(r)rnO51520110n为奇数性质3：各二项式系数的和新知探究1 4 6 4 1 1 1
6、1 2 1 1 3 3 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 =+2481632猜想：问题2 计算各二项式的系数之和，计算各二项式的系数之和，你能发现什么规律？你能发现什么规律？=21=22=23=24=25+=26求证求证:(a+b)n 的展开式中的所有二项式系数的和等于的展开式中的所有二项式系数的和等于 .证明:令令 a=1,b=1，则得，则得在展开式在展开式 中中性质3：各二项式系数的和新知探究（赋值法）令令x=1，得，得另证:结论:组合总数公式 一般地，一般地，的展开式的二项式系数有如下性质：的展开式的二项式系数有如下性质：(1)(2)(3)当 时,当 时,
7、(4)二项式系数性质课堂小结典例解析例1 证明：在证明：在(a+b)n展开式中展开式中,奇数项的二项式系数的和等于偶数奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和项的二项式系数的和.偶数项的二项式系数的和为偶数项的二项式系数的和为中的中的a,b可以取任意实数可以取任意实数,因此我们可以通过对因此我们可以通过对a,b适当赋值来得适当赋值来得到上述两个系数和到上述两个系数和.分析：奇数项的二项式系数的和为奇数项的二项式系数的和为证明：在展开式在展开式 中中典例解析例1 证明：在证明：在(a+b)n展开式中展开式中,奇数项的二项式系数的和等于偶数奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和项
8、的二项式系数的和.令令a=1,b=-1，则得，则得思考结合二项式系数和为2n巩固练习课课本本34页页 解：解：巩固练习课课本本34页页 证证明：明：1巩固练习课课本本34页页n12345678910 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 1 1 9 36 84 126 84 36 9 1 1 10 45 120 210 252 120 45 10 1巩固练习课课本本34页页 解：解：典例解析例2赋值法的应用赋值法的应用解决二项式系数问题.
9、解：典例解析赋值法的应用赋值法的应用解决二项式系数问题.例2解：典例解析赋值法的应用赋值法的应用解决二项式系数问题.例2解：思考：方法:典例小结小结：求奇次项系数之和与偶次项系数的和求奇次项系数之和与偶次项系数的和 可以先赋值，然后解方程组整体求解可以先赋值，然后解方程组整体求解证:要证 成立,只需证 成立 所以例3典例解析典例解析方法总结：利用二项式定理可以解决求余数和整除的问题，通常需将底数化成两数的和或差的形式，且这种转化形式与除数有密切的关系.例5 (12x)3(1x)4的展开式中，含x项的系数为()A.10 B.10 C.2 D.2C解:(12x)3(1x)4的展开式中含x项的系数是由两个因式相乘而得到的，即第一个因式的常数项和一次项分别乘第二个因式的一次项与常数项，典例解析课堂小结