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1、62L622抖F歹U抖F歹1J数一、单选题1.下列问题属于排列问题的是（）从10个人中选2人分别去种树和扫地；从10个人中选2人去扫地；从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队；从数字5, 6, 7, 8中任取两个不同的数作事运算.A.B.C.D.【答案】A【分析】根据已知条件，结合排列的定义，即可求解.【解析】解：选出的2人有不同的劳动内容，相当于有顺序，故属于排列，选出的2人劳动内容相同，无顺序，故不属于排列，5人一组无顺序，故不属于排列，选出的两个数作为底数或指数，其结果不同，有顺序，故属于排列，综上所述，属于排列的为.故选：A.2.从5本不同的书中选两本送给2名同学，每人一本，则不同的
2、送书方法的种数为（）A. 5B. 10C. 20D. 60【答案】C【分析】计算从5个不同元素中取出2个元素的排列数即可.【解析】此问题相当于从5个不同元素中取出2个元素的排列数，即共有8 二20（种）不同的送书方法.故选：C.3. 3男3女六位同学站成一排，则3位女生中有且只有两位女生相邻的不同排法种数是（）A. 576B. 432C. 388D. 216【答案】B【解析】先选2个女生捆绑看做整体，然后将男生全排列以后再将女生插空即可.19 .把标号为1, 2, 3, 4的四个小球分别放入标号为1, 2, 3, 4的四个盒子，每个盒子只放一个小球，则1号球和2号球都不放入1号盒子的方法共有
3、种.【答案】12【分析】利用分步原理求解，先从3, 4号球中选一个球放入1号盒子，然后剩下的3个球分别在2, 3, 4 号盒子中各放入一个即可.【解析】由于1号盒子不能放1号球和2号球，则1号盒子可以放3号球或4号球，有2种方法，剩下的3个盒子各放一个球有A；种方法，则由分步乘法原理可得一共有2xA；=12种方法.故答案为：12.由1, 2, 3这三个数字抽出一部分或全部数字（没有重复）所组成的自然数有.【答案】15【分析】分别讨论抽出1个，抽出2个，抽出3个求解即可得出.【解析】若抽出1个数字，则有A：=3个，若抽出2个数字，则有& =6个，若抽出3个数字，则有=6个，则一共可以组成的自然数
4、有3 + 6+6 = 15个.故答案为：15.四、解答题21.计算：A；A； A：xA；.【答案】（1）21。(3)210(4)720【分析 1根据排列数公式计算可得.(1) A： =7x6x5 = 210；(2) A：=7x6x5x4 = 840；A77-4- = = 7x6x5 = 210； A：4!(4) A：xA； =6x5x4x3x2xl = 6! = 720.22. (1) 一天有6节课，安排6门学科，这一天的课程表有几种排法？(2)上午有4节课，一个教师要上3个班级的课，每个班1节课，若不能连上3节，则这个教师的课有几 种排法？【答案】(1)720；(2)12.【分析】根据排列数
5、的定义表示课程表的排法数并化简；(2)先求从4节课中选取三节不相连的课的方法, 再求安排教师的上课顺序的方法，由此可得总的排课方法数.【解析】(1)一天有6节课，安排6门学科相当于将6个元素按顺序排成一列，所以课程表的排法与6个元素排成一列的排列数相等，故这一天的课程表有反种排法，即720种排法.安排该教师的课课分为两步实现，第一步从上午的四节课中选3节不相连的课有选1,2,4和选1,3,4两种 选法，第二步将该教师所教的3个班级安排到所选的三个位置，由分步乘法计数原理可得总的排法数为2国, 即12,所以这个教师的课有12种排法.23. 6男4女站成一排，求满足下列条件的排法各有多少种？(用式
6、子表达)(1)男甲必排在首位；男甲、男乙必排在正中间；(3)男甲不在首位，男乙不在末位；(4)男甲、男乙必排在一起；(5)4名女生排在一起；(6)任何两个女生都不得相邻；(7)男生甲、乙、丙顺序一定.【答案】(1)4A(3)A；-2A；+A：(4) A； A；A：A；(6) a： A：A10消二A=【分析】(1)分步：先排甲，再排其他人根据乘法计数原理计算即可(2)分步：先排甲乙，再排其他人根据乘法计数原理计算即可(3)根据间接法计算可得(4)根据捆绑法计算可得(5)根据捆绑法计算可得(6)根据插空法计算可得(7)根据定序法计算可得(1) 男甲必排在首位，则其他人任意排，故有A1种，(2) 男
7、甲 男乙必排在正中间，则其他人任意排，故有A；A；种，(3) 男甲不在首位，男乙不在末位，利用间接法，故有A；-2AA：种，男甲、男乙必排在一起，利用捆绑法，把甲乙两人捆绑在一起看作一个复合元素和另外全排，故有A；A；种,(5) 4名女生排在一起，利用捆绑法，把4名女生捆绑在一起看作一个复合元素和另外全排，故有A：A；种，(6) 任何两个女生都不得相邻，利用插空法，故有A：A；种，(7) A10男生甲、乙、丙顺序一定，利用定序法，黄=人：0种.24 . 0、1、2、3、4、5 这六个数.可组成没有重复数字的数多少个？可组成没有重复数字的5位数中的偶数多少个？可组成没有重复数字的5位数中比243
8、05大的数有多少个？【答案】1631(2)312(3)394【分析】(1)注意到没有限定是几位数，则利用排列公式分别求出可以组成1、2、3、4、5、6位数的个 数，由加法原理计算可得答案.(2)根据题意，第一种：5位数中无0;第二种：5位数中有。且。在个位;第三种：5位数中有。且。不在 个位.利用排列公式分别求出每种情况下5位数的个数，由加法原理计算可得答案.(3)根据题意，分4种情况讨论：第一种：首位以是3, 4, 5的5位数悌二种：前2位是25的数悌三 种：前3位是245的数;第四种：前3位是243的数.利用排列公式分别求出每种情况下符合条件的5位数的 个数，由加法原理计算可得答案.【解析
9、】(1)由0、1、2、3、4、5这六个数，可以组成1位数A；=6个，可以组成2位数A；xA；=25个，可以组成3位数A； x A；= 100个，可以组成4位数A；xA；=300个,可以组成5位数A；xA；=600个,可以组成6位数A； x A；= 600个,贝 ij共可以组成 6 + 25 + 100 + 300 + 600 + 600 = 1631 个.(2)根据题意，要求是五位数且首位不能是0,则个位必须是偶数，分3种情况讨论：第一种：5位数中无0,个位有A；种取法，其余有A：种取法，则共有A；A：=48个,第二种：5位数中有。且。在个位，共有A；=120个，第三种：5位数中有。且。不在个
10、位，有A；A；A； = 144个，则共有 48+120+144=312 个.(3)根据题意，分4种情况讨论：第一种：首位以是3, 4, 5的5位数都符合要求，共计A；A；=360个，第二种：其次前2位是25的数有A：=24个，第三种：前3位是245的数有A；=6个，第四种：前3位是243的数的有4个数比24305大，贝 I共有 360+24+6+4=394 个.nil证明一刖，并利用这一结果化简:乂2+；2! 3! 4!10!1 2 3nI 2! 3! 4!+【答案】(1)证明见详解，1-白； +【分析】由M = x( l)x(九一 2)x x2xl可得( + 1)! = ( + 1)!,先证
11、出nil771下=77771吊式子成立，进而求出前9项的和即可； 11 I 1 ! f L I 1 I / 1 1(2)根据证出币式子成立，求出前项的和即可； L I JL I I r m2 ).【答案】证明见解析【分析】利用排列数计算公式化简计算等式左边即可得证.n（一1）1（一 止解析】依题意，左边=肃（）一（匕）产所力（）一（3）!机( +根)(_)!(n + l-m)!(n -771)!( + l m)( + 机)(- 1)! m (m + 1 -m)!(m-l)-(n-l)!+1 - m) (n + m) + m(m -1) (a: -1)!(n + 1 m)!( + 1)(-1)!
12、 (h + 1)!(/i + l-m)!( + l 机)！A”?二右边,所以原等式成立.27.用0,1,2,345六个数字：能组成多少个没有重复数字的四位数；能组成多少个没有重复数字的四位偶数；能组成多少个能被5整除的没有重复数字的四位数;能组成多少个没有重复数字的比3210大的四位数.【答案】300(3)108 (4)152.【分析】对特殊元素，特殊位置利用排列问题进行分析即可.(1) 首位不能为零，先确定首位的数字有5种情况，然后其余的数字任意排列即可，所以共有5x5x4x3 = 300个.(2) 因为是偶数，要满足末尾是偶数，当个位是0的有& =60个；个位是2或4的有S4看=96,所以
13、共60 + 96 = 156 个个位是。的有6 =60个；个位是5的有4x4x3 = 48个，所以共60 + 48 = 108个首位比3大的有28个,首位是3百位是4或5时有2A：个,当首位为3百位为2,十位可以是4或5时有24；个，当首位为3百位为2十位为1时个为可以是4或5,共2种，所以共有26 + 2A：+2A；+2 = 152个.28. 2021年4月29日是江津中学第29届校园文化艺术节活动周暨庆祝中国共产党成立100周年文艺总汇 演之日.已知初中、高一、高二分别选送了 7, 5, 3个节目.现回答以下问题(用排列数表示，不需要合 并化简)：若初中的节目彼此都不相邻，则共有多少种出场
14、顺序？由于一些特殊原因，高一 5个节目(分别为a，A, 4，a4,4)中的4必须在其余4个节目前面演出，高二3个节目(分别为用，层，鸟)中的耳必须在其余2个节目前面演出，则共有多少种出场顺序？【答案】A：A；种A15(2)於xA；xA；种 A5XA3【分析】(1)根据插空法即可求解不相邻问题，(2)根据定序问题中全排列以及除法计算即可求解.(1)先对高一、高二的节目进行全排列，有A；种不同的排法，再在高一、高二的8个节目形成的9个空隙中选7个排初中的7个节目，有A；种排法，由分步乘法计数原理可得，共有A；A；种不同的出场顺序.(2)(2)高一的5个节目全排列，有A；种不同的排法，其中4在其余4
15、个节目前面，有A：种排法.高二的3个节目全排列有A；种不同的排法，其中用在其余2个节目前面，有A；种排法.初中、高一和高二的15个节目全排列有A；种不同的排法.A15所以不同的排法共有种.A5XA3【解析】由题意，先选2个女生捆绑看做一个整体：A；=6,然后将男生全排列再将女生插空：=6x12 = 72,所以不同的排法有6x 72=432种.故选：B.4. 一个三位数，其十位上的数字既小于百位上的数字也小于个位上的数字（如735, 414等），那么这样的三 位数共有（）A. 240 个B. 249 个C. 285 个D. 330 个【答案】C【分析】分十位数字是0、1、2、3、4、5、6、7、
16、8讨论，即得解【解析】因为十位上的数字既小于百位上的数字也小于个位上的数字，所以当十位数字是0 口寸有9x9=81种结果，当十位数字是1时有8x8=64种结果，当十位数字是2时有7x7=49种结果，当十位数字是3时有6x6=36种结果，当十位数字是4时有5x5=25种结果，当十位数字是5时有4x4=16种结果，当十位数字是6时有3x3=9种结果，当十位数字是7时有2x2=4种结果，当十位数字是8时有1种结果，所以共有 81+64+49 + 36+25+16+9+4+1=285 种结果.故选：C5.已矢口 At =1。04；,贝 1工=（）.A. 1112B. 1314【答案】C【解析】由排列数
17、公式变形后求解.【解析】 2x- (2x-1)- (2x-2) = 100%(%-1)则 2x(2x_l)2(x_l) = 100x(x_l),约分得：2x-1 = 25解得：1 = 13,经检验满足题意.故选：C.6.五声音阶是中国古乐的基本音阶，五个音分别称为宫、商、角、徵、羽，如果将这五个音排成一排，宫、羽 两个音不相邻，且位于角音的同侧，则不同的排列顺序有（）A. 20 种B. 24 种C. 32 种D. 48 种【答案】C【分析】根据角音所在的位置分两类，根据分步乘法和分类加法计数原理即可求解.【解析】根据角音所在的位置按从左到右依次为位置一、二、三、四、五分两类：第一类，角音排在位
18、置一或五，则不同的排列顺序有2A尔=24 （种）；第二类，角音排在位置二或四，则不同的排列顺序有2A；A；=8 （种）；根据分类加法计数原理，可得不同的排列顺序共有24 + 8 = 32 （种）.故选：C.7 .旅游体验师小李受某网站邀请，决定在甲、乙、丙、丁这四个景区进行体验式旅游已知他不能最先去甲景 区旅游，不能最后去乙景区和丁景区旅游，则他可选的旅游路线的条数为（）A. 24B. 18C. 16D. 10【答案】D【分析】小李可选的旅游路线分两种情况： 最后去甲景区旅游，可的路线有A；条； 不最后去甲景区 旅游，可选路线有2A；条.【解析】解：小李可选的旅游路线分两种情况： 最后去甲景区
19、旅游，则可选的路线有A；条； 不最后 去甲景区旅游，则可选的路线有2A；条.所以小李可选的旅游路线的条数为A：+ 2A：= 10.故选：D.8 .某同学有7本不同的书，其中语文书2本、英语书2本、数学书3本.现在该同学把这7本书放到书架上排 成一排，要求2本语文书相邻、2本英语书相邻、3本数学书中任意2本不相邻，则不同的排法种数（）A. 12A. 12B. 24C. 48D. 720【答案】C【分析】根据捆绑法、插空法进行排列计算即可得解.【解析】先将2本语文书看成一个元素，2本英语书看成一个元素，然后排成一排，有A；种不同的排法，再将3本数学书插到这2个元素形成的3个空隙中，有A；种不同的排
20、法，再排2本语文书，有A；种不同的排法，最后排2本英语书，有A；种不同的排法,根据分步乘法计数原理，得共有A；A；A；A；=48种不同的排法.故选：C.9 .在某校举行的秋季运动会中，有甲，乙，丙，丁四位同学参加了 50米短跑比赛.现将四位同学安排在1,3, 4这4个跑道上，每个跑道安排一名同学，则甲不在1道，乙不在2道的不同安排方法有（）种.A. 12B. 14C. 16D. 18【答案】B【解析】甲不在1道，乙不在2道，则分别讨论甲在2道和甲不在2道两种情况，再求和即可.【解析】甲在2道的安排方法有：A：=6种；甲不在2道，则甲只能在3或4号道，乙不能在2道，只能在剩下的2个道中选择一个，
21、丙丁有2种， 所以甲不在2号跑道的分配方案有2x2x4；=8种，共有6 + 8 = 14种方案.故选B.【点睛】方法点睛：（1）先讨论甲在乙的位置的情况，此时乙不受限制，剩余元素全排列即可；（2）再讨论甲也不在乙的位置的情况；（3）两种情况求和.10.某会议结束后，21个会议人员合影留念，他们站成两排，前排11人，后排10人，A站在前排正中间 位置，B, C两人也站在前排并与A相邻，如果对其他人所站位置不做要求，那么不同的站法共有（）A. A；种B. A,种C. AjAA；种D. A；A；种【答案】D【分析】先安排A,再排8, C两人，再排余下的人由分步乘法原理可得答案.【解析】先安排A,只有
22、1种选择；再排& C两人，有A；种选择；最后排其他人，有A；种选择.故由分步乘法计数原理可得，不同的排法共有A；A；：种选择.故选：D.11 . 8名象棋选手进行单循环赛（即每两名选手比赛一场），规定两人对局胜者得2分，平局各得1分，负 者得0分，并按总得分由高到低进行排序，比赛结束后，8名选手的得分各不相同，且第二名的得分与最后 四名选手得分之和相等，则第二名选手的得分是（）A. 14B. 13C. 12D. 11【答案】c【分析】根据完成本题主要抓住了 “每场产生的分数”、“第二名的得分与最后四名所得的总分一样多”、 “得分互不相同”这三个关键点进行分析的.【解析】解：每名需要进行7场比赛
23、，则全胜的得14分，而最后4人之间赛6场至少共得12分,所以第二名的得分至少为12分.如果第一名全胜，则第二名只输给第一名，得12分；如果第二名得13分，则第二名6胜1平，第一名最好也只能是6胜1平，与题目中得分互不相同不符.所以，第二名得分为12分.故选：C.12 .若用5种不同颜色去涂五边形A5c的五点顶点，若相邻两点的颜色不同，则不同的涂色方法种数为 （）A. 1440B. 1020C. 1260D. 1480【答案】B【分析】考虑用C,E三点的涂色情况，就氏CE三点涂三种颜色、涂两种颜色分类计数后可得所有的涂色 方法种数.1D.【解析】如图，考虑氏CE三点的涂色情况，若民C,E三点涂三
24、种颜色，则该三点共有用=60种涂色方法，此时A有3种涂色方法，。有3种涂色方法, 故氏C,E三点涂三种颜色时共有60x3x3 = 540种涂色方法， 若氏C,E三点涂两种颜色，则E与B同色或与。同色，当E与3同色时，该三点共有&=20种，此时A有4种涂色方法，。有3种涂色方法，故氏CE三点涂两 种颜色时共有20x4x3 = 240种涂色方法，同理当E与。同色时，共有20x4x3 = 240种涂色方法，综上，所求的不同的涂色总数为1020,故选：B.【点睛】本题考查多边形的顶点涂色问题，此题的关键是找到核心图形的涂色方法，这样可以避免繁琐的 讨论，本题属于中档题.二、多选题.下列各式中，等于!的
25、是()A. A,B. A：+1C. nA,：；D. m!C：【答案】AC【分析】根据题意，由阶乘的定义结合排列数、组合数公式，依次分析选项，综合即可得答案.【解析】解：根据题意，依次分选项：对于 A,-l)x x2 = n!,故 A 正确;对于 8,=( + l)xx(-l)xx2 = ( + l)!,故 8错误；对于C,几A；：=几义(几一 1)义xl = ！，故C正确；Am对于D,加C：=m! j =故D错误；ml故选：AC.【点睛】本题考查阶乘、排列数公式的计算，注意排列数公式的形式，属于基础题.13 .由0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9这10个数字组成无重复数字
26、的五位数，其中偶数的个数是（）A.阕+心4 闻B.禺+ A；（阂耳）C.或）-禺+ A；（禺-可）D.鲸-八-况（川-看）【答案】ABD【分析】由题意按照个位是0、个位不是0分类，结合分步乘法、排列的知识可得无重复数字偶数的个数, 即可判断A；再由排列数的运算逐项判断其它选项即可得解.【解析】对于A,如果个位是0,则有阀个无重复数字的偶数；如果个位不是0,则有阀个无重复数字的偶数，所以共有人+覆个无重复数字的偶数，故A正确；对于B,由于4 羯=阂-羯，所以阂+ a：AW= + a；g-4）,故B正确；对于C,由于4-用。尺，所以蜀+ A：（阂-可）工看0阂+ 40 项，故C错误；对于D,由于4
27、-砥阂-4）= 416 =川+心44,故D正确.故选：ABD.【点睛】本题考查了分类加法、分步乘法及排列的应用，考查了排列数的运算，属于基础题.14 . 2022年2月5日晚，在北京冬奥会短道速滑混合团体接力决赛中，中国队率先冲过终点，为中国体育 代表团拿到本届奥运会首枚金牌.赛后，武大靖，任子威，曲春雨，范可欣，张雨婷5名运动员从左往右排 成一排合影留念，下列结论正确的是（）A.武大靖与张雨婷相邻，共有48种排法B.范可欣与曲春雨不相邻，共有72种排法C.任子威在范可欣的右边，共有120种排法D.任子威不在最左边，武大靖不在最右边，共有78种排法【答案】ABD【分析】利用分步乘法计数原理结合
28、排列与排列数，逐项分析判断即可.【解析】解：A项中，武大靖与张雨婷相邻，将武大靖与张雨婷排在一起有A；种排法，再将二人看成一个整体与其余三人全排列，有A：种排法, 由分步乘法计数原理得，共有A；A：=48 （种）排法，故选项A正确；B项中，范可欣与曲春雨不相邻，先将其余三人全排列，有A；种排法，再将范可欣与曲春雨插入其余三人形成的4个空位中，有A；种排法，由分步乘法计数原理得，共有A；A；=72 （种）排法，故选项B正确；C项中，任子威在范可欣的右边，先从五个位置中选出三个位置排其余三人，有A；种排法,剩下两个位置排任子威、范可欣，只有1种排法，所以任子威在范可欣的右边，共有A；=60 （种）
29、排法，故选项C错误；D项中，武大靖，任子威，曲春雨，范可欣，张雨婷5人全排列，有A；种排法，任子威在最左边，有A：种排法，武大靖在最右边，有A：种排法，任子威在最左边，且武大靖在最右边，有A；种排法， 所以任子威不在最左边，武大靖不在最右边，共有A；-2A：+A；=78 （种）排法，故选项D正确.故选：ABD.16.甲、某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示正方形A3CO （边长为2个单位）的 顶点A处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，如果掷出的点数为2,6）,则棋子就按逆时针方向行走i个单位，一直循环下去.某人抛掷次骰子后棋子恰好又回到点4处，则（
30、）A.若 =2时，则共有3种不同走法B.若 =2时，则共有5种不同走法C.若 =3时，则共有25种不同走法C.若 =3时，则共有25种不同走法D.若 =3时，则共有27种不同走法【分析】当 =2时，骰子的点数之和是8,若 =3时，三次骰子的点数之和是8, 16,【答案】BD 列举出点数中两个数字能够使得和为8的情况，即可判断A、B, 列举出在点数中三个数字能够使得和为8, 16的情况，再按照分类分步计数原理计算可得.【解析】解：由题意知正方形A3CD （边长为2个单位）的周长是8当 =2时,骰子的点数之和是8,列举出在点数中两个数字能够使得和为8的有（2,6）,（3,5）,（4,4）共3种 组
31、合，抛掷骰子是有序的，所以共5种结果，故A错误，B正确；若 =3时，三次骰子的点数之和是8 , 16 ,列举出在点数中三个数字能够使得和为8 , 16的有（125）, （1,3,4）,（1,1,6）,（224）,（2,3,3）,（4,6,6）,（5,5,6）共有7种组合,前2种组合025）, （1,3,4）,每种情况可以排列出A；=6种结果，共有2A；=2x6 = 12种结果，其中（1,1,6）,（2,2,4）,（2,3,3）,（4,6,6）,（5,5,6）各有3种结果,共有5x3 = 15种结果,根据分类计数原理知共有12 + 15 = 27种结果.故选：BD.三、填空题.计算幺=5!【答案】|【解析】由排列和阶乘直接计算出.【解析】=4x3x2 J5! 5x4x3x2xl 5故答案为：.【点睛】本题考查排列的运算，属于基础题.17 .有5名学生站成一排拍毕业纪念照，其中甲不排在乙的左边，则不同的站法共有 种.【答案】60【分析】甲不排在乙的左边，即甲排在乙的左边，则甲乙的顺序确定，将剩下的三个人排好，然后把甲乙 按顺序排入即可.【解析】解：甲不排在乙的左边，即甲排在乙的左边，则甲乙的顺序确定，将剩下的三个人排好，然后把甲乙按顺序排入，则有A； = 60种排法.故答案为：60.