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1、矩阵与数值分析实验报告任课教师:_ _ _ _ _ _ _ _张宏伟_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _教学班号：_ _ _ _ _ _ _ _ _ _02_院 系：电信（计算机应用技术）学生姓名:学生学号:1.方程,f(c)=2i r3-5rr2-19a:+42=0在 x=3.0附近有根,试写出其三种不同的等价形式以构成两种不同的迭代格式，再用这两种迭代求根，并绘制误差下降曲线，观测这两种迭代是否收敛及收敛的快慢。解答：代码如下：c l e a r;sym s x t y；x=3;%初始迭代点t =0;%中间变量y=o；%绘制下降
2、曲线变化量k=0；/迭代计数变量e p x=1;%变量计算差E=l e-20;%精度f 1=(2*x 3-5*x -2+42)/19;%迭代 1f 2=(2*x-3-19*x+42)”(l/2);%迭代2f 3=(5*x*2+19*x-42)*(1/3)；%迭代 3wh i 1 e (e p x E&k E)h=(b a)/n；f o r i=0:(n T)%f o r循环求解一次N点积分结果a 1=sub s(f u n,x,(a+i*h)；b l=sub s(f u n,x,(a+(i +1)*h )；t=(a l+b l)*h)/2；sum 2=sum 2+t；e n d;e p x=a
3、 b s(sum l-sum 2);%计算阶段误差s um l=s u m 2;为 使用s u m l暂存上次的计算结果s um 2=0；n=n *2;end；d i s p(积分结果为：，),vp a (s um 1)积分结果为：a n s=54.4316975真值约为：54.5 98分析：由结果可知计算结果具有8位有效数字，已满足精度规定。使用数据点数为 N=8 1 92o复化辛普森公式代码：c l e a r;sym s x s um l sum 2 a 1 b 1;f u n =(2/3)*(x -3)*e x p (x 2);sum l=0;%积分结果变量1s um 2=0；%积分结
4、果变量2n=l;%迭代计数变量e p x=1;%变量计算差E=0.5 e-8 ；%精度a=l;%积分下限b=2;%积分上限w h i 1 e (e p x E)h=(b a)/n;f o r i=0:(n-1)a 1=s u b s(f un,x,(a+i*h);b l=s u b s (f un,x,(a+(i+1)*h)；a b=sub s(f un,x,(a+i*h )+(a+(i+l)*h)/2);t=(a l+4*a b+b l)*h)/6；s um 2=sum 2+t；e n d；e p x=a b s(s u m 1-s u m 2)；sum l=s u m 2;s um 2=0
5、;n=n*2;e n d；d i s p(积分结果为:)，v p a(sum l)积分结果为：a n s=5 4.5 9 858433真值约为：54.598分析：由结果可知计算结果具有1 1位有效数字，已满足精度规定。使用数据点数为N=10 2 4,对比复化梯形公式可以复化辛普森公式计算精度更高。龙贝格公式代码：c l e a r；sym s x a 1 b l y;f un=(2/3)*(x -3)*e x p (x-2);s um l=O;96积分结果变量1sum 2=0;%积分结果变量2e p x=l;%变量计算差E=0.5e-8；蟒青度a =1;%积分下限b =2;%积分上限k=0;%
6、迭代计数变量1m=0;%迭代计数变量2wh i l e (e p x E)k=k+1;m=m+1;h=(b a)/(2-k);f o r i =0:kl)a l=su b s(f un,x,(a +i*h);b 1=s ub s(f u n,x,(a+(i +1)*h);t=(a l +b l)*h)/2;sum 2=s u m 2+t；e n d;sum 1=sum 2；y(m)=sum 2;s u m 2=0;f o r i =0:k-2;m =m+1；y(m)=(4 (k 1)*y(m 1)y(m k)/(4 (k-l)1);e n d；i f (m l)e p x =a b s(s y
7、 m (y(m)-y(m-1);e n d;e n d;d i sp(,积分结果为：),V p a(y(m)积分结果为：a n s=54.6 804 6 3 3真值约为：5 4.598分析：由结果可知计算结果具有9 位有效数字，已满足精度规定。(2)积分结果为：a n s=1.9686 5 76 7真值约为：1.分析：由结果可知计算结果具有8 位有效数字，已满足精度规定。使用数据点数为N=6 5536O积分结果为：a n s=1.48476 0 64真值约为：1.分析：由结果可知计算结果具有10位有效数字，已满足精度规定。使用数据点数为N=512,可知复化辛普森公式精度明显高于复化梯形公式。积
8、分结果为：a n s=1.真值约为：1.分析：由结果可知计算结果具有8 位有效数字，已满足精度规定。3.使用带选主元的分解法求解线性方程组AT=h,其中4=S l n x ，3 =,i l n x i,bn=n.当，2时,bn=(*-1)/(1).对于=3 7”的情况分别求解。精确解为工=(11-I If对得到的结果与精确解的差异进行解释。解答：程序代码：f un c ti o n x =l us o 1 ve (A,b)n,n =s i z e (A);x =z e ro s(n,1);y=z e r o s(n,1);t e m p ro w =z e ro s(n,1)；te m p c
9、 o n st a n t=0;P v e c to r=z e ro s(n,1);f o r c o l =l:n -1 m a x _ e l e m e n t,i n d e x =m a x (a b s(A(c o 1 :n,c o l);te m p ro w=A(c o l,:)；A (c o l,：)=A(i n d e x +c o 1 -1,:);A (i n d e x +c o l -1,:)=te m p ro w;te m p c o n sta n t=b (c o1);b(c o l)二 b(i n d e x +c o 1 1);b (i n d e x
10、+c o l -1)=t e m p c ons t a n t;i f A (c o 1 ,c o l)=0d i s p (A i s s i n g ul a r.n o un i que so l u t i o n );re turne n df o r r o w =c o l +1:nm ul t=A (ro w,c o l)/A (c o l,c o l);A(r o w,c o l)=m ul t;A(ro w,c o l +1:n )=A(r o w,c o l +1:n)m ult*A(c o l,c o l +1:n)；e n dendy(1)=b(l)；f o r k
11、 =2：ny(k)=b(k)A(k ,1：k -1)*y(l：k -1);e n dx (n)=y(n)/A (n,n);f o r k =n -1 ：-l:1x(k)=(y(k)-A(k,k +1：n)*x(k +l:n)/A(k,k);e n d实验结果：Tn =3 时,解得 x =1,1,1;Tn =7 时，解得 x =1,1,1,1,1 1,1；n =11 时，解得 x =1.0 0 01,0.9998,1.0002,0.9999,1,1,1,1,1,1,I；实验结果分析：高斯列主元消去法，避免了小主元做除数，在G au s s消去法中增长选主元的过程,在第K步消元时,一方面在第K列主
12、对角元以下元素中挑选绝对值最大的数，并通过初等行变换，使得该数位于主对角上，然后继续消元。当矩阵维数较小时，精度较高，但随着矩阵维数增大,精度下降。4 .用4 阶R u n g e -k u t t a 法求解微分方程u=e2-2u,u(0)=,u(t)=-e-%+te 21 0 1 0(1)令也=0，使用上述程序执行2 0 步，然后令人=0 0 5,使用上述程序执行40 步(2)比较两个近似解与精确解(3)当减半时，(1)中的最终全局误差是否和预期相符？(4)在同一坐标系上画出两个近似解与精确解.(提醒输出矩阵R 包含近似解的x 和V 坐标，用命令pl。t (R(:,1 ),R(:,2)画出
13、相应图形.)解答：程序代码：f u n c t i o n R=r k 4 (f,a,b,y a,n)s y m stuh=(b a)/n ;T=z e r o s (1,n +1);Y=z e r o s(l,n +1 )；T=a:h:b;Y(1 )=y a;fo r k =1 :nK 1 =h*s u b s(f,t,u ,T(k),Y(k);K2 =h*s u b s(f,t ,u ,T(k)+h/2,Y(k)+Kl/2 );K3 =h*s u b s (f,t,u ,T(k)+h/2,Y(k)+K2/2 );K4 =h*s u b s(f,t,u ,T(k)+h,Y(k)+K3);Y(
14、k +1)=Y(k)+(K 1 +2 *K2 +2 *K3 +K4 )/6；e n dRT Y；h=0 .1时，得到的解:t近似解精确解00.0 00.000.0 00.2 800.5600.000.470.6 90.0 00.2230.2 610.000.870.6 10.000.090.8 70.0 00.270.540.0 00.0970.3 290.0 00.5 4 80.5190.000.9 920.1591 .000.8 250.0271.0 00.8460.48 01 .000.1770.1 241.0 00.410.071.0 00.090.8 31.000.490.581.0
15、00.7 20.221.000.820.591.0 00.0 500.0561.0 00.010.332.000.640.34h=0 .0 5时得到的解:t近似解精确解00.0 00.000.000.8 840.5390.000.1210.56 00.0 0 00.39 70.0 430.0 00.430.690.0 00.870.420.000.2190.2610.000.5 30.1 30.000.820.610.0 00.570.3 30.000.860.870.000.23 50.27 50.000.2 10.540.0 00.600.510.0 00.2 780.32 90.0 00
16、.0 230.6 1 70.000.6380.5190.0 00.5120.01 00.0 00.70 10.15 90.000.4030.3771.0 00.90 70.0271.000.70 40.0 931.0 00.3 140.48 01.0000.100.5 01.000.18 50.1241.000.1 00.261.0 00.120.0 71.000.0 10.6 41.0 00.3 70.8 31.000.0 30.431.000.3 00.5 81.000.690.371.000.530.221.0 00.660.171.000.700.5 91.0 00.770.2 91.
17、000.0590.0561 .000.7 80.161.0 00.660.3 31.0 00.0400.0402.0 00.420.34当h 减半时，（1）中的全局误差缩小，和最终的预期相符。近似解与精确解图形:5.设Tn=2-1-12为”阶的三对角方阵，4,是一个阶的对称正定矩阵Tn+21n 1n In Tn+2 7nInIn Tn+2In其中心为加介单位矩阵。设工=(1.1,1，1)7为 线 性 方 程 组=/的真解,右边的向量/曲这个真解给出。(1)用C ho l e s k y分解法求解该方程。用Jac o b i迭 代 法 和G au s s-Se i d e l迭代法求解该方程组，
18、误差设为E =I N其中”取值为4,5,6.解答：(l)C ho l e s k y 分解程序代码(M a 1 1 ab)只列出n等于4时的代码,n等于5和6时代码类似。c 1 e arc l c%定义T(n)T 4=2 -1 0 0;-1 2-1 0 ;0 -1 2 -1 ；0 0 -1 2 ；%定义单位矩阵1 4=e y e (4)；/定 义0矩阵Z4=z e r o s (4,4);/定 义A (n)%定义A(n)中的对角元素d4=T 4+2*1 4;A 4=d 4 -14 Z4 Z4;-I 4 d 4 -1 4 Z4;Z4 -I 4 d 4 -I 4；Z4 Z4 -1 4 d4;%定义
19、xx 4=o n e s (1 6,1)；%求右边向量bb 4 =A 4*x 4;%(1)用Ch o 1 e s k y分解法求解方程组1 4 =z e r o s(1 6,1 6);%n为4时求解Ln=1 6;f or j=l:ns u m=0;f o r k=l:j-1s um=s u m+l 4 (j,k)1 4(j ,k );e n d1 4(j,j)=s q r t (A 4(j ,j)-s u m);fo r i=j +l:ns u m=0;fo r k=l:j-1s u m=s u m+1 4(i ,k)*1 4(j,k );e n d1 4(i,j)=(A 4 (i,j )s
20、u m)/1 4(j,j)e n de n d%n等于4时求解方程的解L L x=b%L y =b L x =y%计算yy 4=z e r o s (1 6,1);y 4 (l)=b 4 (1)/1 4(1,1 );f or i=1 :1 6s u m=0;fo r k=1 :i 1s u m=s u m+l 4 (i,k)*y4(k);e n dy 4 (i )=(b 4(i)-s u m)/l 4 (i,i );e n d%计算x _ 4x _ 4=z e r o s (1 6,1);x _ 4(l 6)=y 4(l 6)/1 4 (1 6,1 6);fo r i=1 5：-l:ls u
21、m=0 ;f o r k=i+l ：1 6s u m=s u m+1 4 (k,i)*x _ 4(k);e n dx _ 4 (i)=(y 4 (i )-s u m)/1 4(i,i );e n d运营结果：(n 等于4,5,6 时)x的转置n =4 时：1 11111 1 111111111n=5 时：1 1 1 1 111111 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1n=6 时：1 1111 1 1 1 11111111 1 1 1 1 11 1 1111 1 1 1 1 11111(2 )Ja c o b i 迭代法代码(只列出n 等于4时的代码，n 等于5 和 6
22、 时类似)%取初始向量为0j x 4 0=z e r o s (1 6,1);j x 4 1 =z e r o s (1 6,1 );d x 4=z e r o s(1 6,1);w h i l e 1fo r i=l:1 6s u m=0;fo r j=l:1 6s u m=s u m+A 4 (i ,j)*j x 4 0 (j);e n dd x 4 (i)=(b 4 (i)s u m)/A 4(i,i)；j x 4 1 (i)=j x 4 0(i)+d x 4(i);e n di f n o r m(j x 4 1-j x 4 0 )l e 8%迭代j x 4 0 =j x 4 1;e
23、l s eb r e a k；e n de n dd i s p(j x 4 1 );运营结果：(n 等于4,5,6 时)x的转置当 n =4 时：0.7 7 0.4 6 0.4 6 0.7 7 0.4 6 0.2 3 0.2 3 0.4 6 0.4 6 0.2 3 0.2 3 0.4 6 0.7 7 0.4 6 0.4 6 0.7 7 当n=5 时：E 0.7 9 0.5 0 0.5 8 0.5 0 0.7 9 0 .5 0 0.3 7 0.0 0 0.3 7 0.50 0.5 8 0.0 0 0.1 6 0.0 0 0.5 8 0.5 0 0.3 7 0.0 0 0.3 7 0.5 0 0
24、.7 90.5 0 0.5 8 0.5 0 0.7 9 当n=6 时的结果：0.8 4 0.4 3 0.8 3 0.8 3 0.4 3 0.8 4 0.4 30.6 7 0.2 6 0.2 6 0.6 7 0.4 30.8 3 0.2 6 0.1 0 0 .1 0 0.2 6 0.8 3 0.8 3 0.2 60.1 0 0.1 0 0.2 6 0.8 30.4 3 0.6 7 0.2 6 0.2 6 0.6 7 0.4 3 0.8 4 0.43 0.8 3 0.8 3 0.4 3 0.8 4(3)G a u s s-S e i d e 1迭代法代码(只列出n等于4时的代码，n等于5和6时类似
25、)%取初始向量为0g s x 4 0=z e r o s (1 6,1);g s x 4 1=z e r o s(1 6,1 );g s d x 4=z e r o s (1 6 ,1 );w hi l e 1f o r i=1 :1 6s u m=0 ;fo r j=l：i-1s u m=s u m+A 4(i,j)*g s x 4 0(j);e n df o r j =i:1 6s u m =s u m+A 4 (i,j)*g s x 4 0 (j);e n dg s _ d x 4(i)=(b 4 (i)-s u m)/A 4(i ,i)；g s x 4 1 (i)=g s x 4 0(
26、i )+g s _ d x 4 (i)；e n di f n o r m(g s x 4 1 -g s x 4 0)l e 8%迭代g s x 4 0 =g s x 4 1 ;e l s eb r e a k;e n de n dd i s p(g s x 4 1 );运营结果：（n等 于4,5,6时）x的转置当n=4时的结果:0.7 70.4 60.4 6 0.7 70.4 60.2 30.2 30.4 60.4 60 .2 30.2 30.4 60.7 70.4 60.4 60.7 7 当n=5时的结果:0.7 90.5 00.5 80.5 00.7 90.5 00.3 70.0 00.3
27、 70 .5 00 .5 80.0 00.1 60.0 0 0.5 80.5 00 .3 70 .0 00.3 70.5 00.7 90.5 00.5 80.5 00.7 9 当n=6时的结果:0.8 4 0.4 3 0.8 30.8 30.4 30 .8 4 0.4 30.6 70.2 6 0 .2 6 0.6 70.4 3 0.8 3 0.2 60.1 0 0 .1 0 0.2 6 0.8 3 0.8 3 0.2 60 .1 0 0.1 00.2 6 0.8 3 0.4 3 0.6 7 0.2 6 0.2 6 0.6 7 0.4 3 0.8 4 0.4 3 0.8 3 0.83 0.4 3
28、 0.8 4 16 .设/(=11+25/2考虑空间-1.1.的一个等距划分,分点为g =-1 H-,z =0,1,2,.,nT).设 为 插 值 于 这 些 等 分 点 上 的 L a g r an g e 插值多项式。(1)选择不断增大的分点数目n =2,3 画出原函数与插值多项式在JL1的图像，并比较分析实验结果。(2)选择Xhx=f.4,9(工)=arctan(x),x G 5,5 反复上述的实验看其结果如何解答：程序源代码：c l earcl cs y m s x 0；f=l /(l+25*x 0*x 0)n=15;x =z e r o s (1,n+1);fo r i=l:1:n
29、+1x(i)=T+(2*(i-1)/n;e n dy=s u b s (f,x O,x )；s y m s t 1；%求解插值多项式P=s y m(0);fo r (i=l:n)l =s y m(y )；f o r (k=1:i-1)1=1*(t x(k)/(x(i)-x(k );en d；fo r(k=i+l：n)1 =1 *(t-x(k )/(x (i)-x (k);e nd;P=p+l;en dx l=-l：0.0 1：1；p l o t (x 1,s u b s (p,t ,x l),r );%原函数h o l d o np l o t (x l,s u b s (f,x 0,x l),k )程序运营结果：从实验中可以看出，随着分点数的增长，曲线越来越接近原函数，但是，假如分点数过大时曲线与原函数逐渐偏离。对 于h(x)和g(x),只需将f(x)替换成相应的函数，然后将区间设立成-5,5即可。h(x)相应的结果：g(X)相应的结果:从h(x)和g(X)的结果中看出，拉格朗日插值的效果并不好，并且随着分点的逐渐增长,效果越来越差。