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1、.1 矩阵的 LU 分解1.1 LU 分解原理定理：设 AC?n?n，如果 A 的顺序主子式0,0,，0 则存在唯一的主对角线上元素全为1 的下三角矩阵 L 与唯一的上三角矩阵U，使得A=LU.证明：对矩阵 A 的阶数使用数学归纳法.显然，当n=1 时，=1就是唯一的分解式。现假定对 n-1 阶矩阵，定理的结论成立。对A 进行分块A=其中.由于 n-1 阶矩阵的 k阶顺序主子式就是A 的 k 阶主子式（k=1,2，n-2），故它们都不为零.从而由归纳法假设，有唯一的 LU 分解其中的主对角线上的元素都1.由于=名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 9 页 -.=0所以是
2、 n-1 阶可逆矩阵先假设已有A=LU，其中L=，U=，=A 则，名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 9 页 -.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 9 页 -.是 n-1 阶可逆矩阵，则由上式可惟一确定,这就证明了A 的 LU 分解的存在性和唯一性.1.2 LU 分解算法当 n 阶矩阵满足定理的条件时，可以用初等变换的方法求出L和 U.因为当A=LU 时，由于L 可逆，故必存在可逆矩阵P 使得即 PA=PLU=U.也就是说，可以先对A 施行行的初等变换得出上三角矩阵 U，而矩阵P可以通过对单位矩阵 I进行相同的行初等变换得出，即P(A,I)
3、(PA,PI)(U,P)于是,为保持 P为下三角矩阵（从而也是下三角矩阵），在进行行初等变换时，不能进行行的对换，上行的倍数应加到下行的对应元.1.3 LU 分解用于解方程组矩阵的三角分解在求解线性方程组时十分方便.如对线性方程组由于是下三角矩阵，则解向量可以通过依次求出其分量而求出，在求解方程组可以通过该方程组依次求出分量而快速得出.于是由两个方程组的求解而给出的解.1.4 程序流程图名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 9 页 -.输入矩阵 A判断 A是否为nn矩阵？计算A的n-1 阶顺序主子式是否为0？输出：“无法进行LU分解”设定 n 阶单位矩阵L和全零矩阵 U
4、输出 L,U是是否否计算 U 的第一行U1j=A1j j=1，2，n计算 L 的第一列U 的第 r 行（逐行算出）L 的第 r 列（逐列算出）1.5 MATLAB 程序function f=LU_decom(A)m,n=size(A)if m=n fprintf(Error:m and n must be equal!m=%d,n=%dn,m,n)endfor i=1:n-1 if(det(A(1:i,1:i)=0)fprintf(Error:det A(%d,%d)=0!n,i,i)flag=failure名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 9 页 -.return
5、;elseflag=ok;endendL=eye(n);U=zeros(n);for i=1:n U(1,i)=A(1,i);endfor r=2:n L(r,1)=A(r,1)/U(1,1);endfor i=2:n for j=i:n z=0;for r=1:i-1 z=z+L(i,r)*U(r,j);endU(i,j)=A(i,j)-z;endif abs(U(i,i)A=2 1 1;4 1 0;-2 2 1;LU_decom(A)m=3 n=3 L=1 0 0 2 1 0-1-3 1 U=2 1 1 0-1-2 0 0-4（2）解方程组，程序及结果如下名师资料总结-精品资料欢迎下载-名
6、师精心整理-第 7 页，共 9 页 -.%-用LU分解解线性方程组-y=zeros(n,1);y(1)=b(1);for i=2:n y(i)=b(i)-sum(L(i,1:i-1).*y(1:i-1);endy x(n)=y(n)/U(n,n);for i=n-1:-1:1 x(i)=(y(i)-sum(U(i,i+1:n).*x(i+1)/U(i,i);endx=x 运行结果如下：y=1 0 2 x=-0.5000 1.0000-0.5000 1.7 数据分析调用MATLAB 固有的LU分解函数，以及解方程组相关函数对以上数据进行计算，运行结果如下：A=2 1 1;4 1 0;-2 2 1;b=1 2 1;L,U=lu(A)L=0.5000 0.2000 1.0000 1.0000 0 0-0.5000 1.0000 0 U=4.0000 1.0000 0 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 8 页，共 9 页 -.0 2.5000 1.0000 0 0 0.8000 X=inv(A)*b X=0.2500 1.0000-0.5000 经比对结果相同，可见以上程序可行。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 9 页，共 9 页 -