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1、 1 第三章 函数的应用 一、方程的根与函数的零点 1、函数零点的概念：对于函数)(Dxxfy，把使0)(xf成立的实数x叫做函数)(Dxxfy的零点。2、函数零点的意义：函数)(xfy 的零点就是方程0)(xf实数根，亦即函数)(xfy 的图象与x轴交点的横坐标。即：方程0)(xf有实数根函数)(xfy 的图象与x轴有交点函数)(xfy 有零点 3、函数零点的求法：1 （代数法）求方程0)(xf的实数根；2 （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(xfy 的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点 4、基本初等函数的零点：正比例函数(0)ykx k仅有一个零点。反比例函数(0)k
2、ykx没有零点。一次函数(0)ykxb k仅有一个零点。二次函数)0(2acbxaxy（1），方程20(0)axbxca 有两不等实根，二次函数的图象与x轴有两个交点，二次函数有两个零点（2），方程20(0)axbxca 有两相等实根，二次函数的图象与x轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点（3），方程20(0)axbxca 无实根，二次函数的图象与x轴无交点，二次函数无零点 指数函数(0,1)xyaaa且没有零点。对数函数log(0,1)ayx aa且仅有一个零点 1.幂函数yx，当0n 时，仅有一个零点 0，当0n 时，没有零点。5、非基本初等函数（不可直接求出零点的较复杂的函数）
3、，函数先把 fx转化成 0fx，再把复杂的函数拆分成两个我们常见的函数12,yy（基本初等函数），这另个函数图像的交点个数就是函数 fx零点的个数。6、选择题判断区间,a b上是否含有零点，只需满足 0faf b。试判断方程在区间01224xxx0,2 内是否有实数解？并说明理由。2 7、确定零点在某区间,a b个数是唯一的条件是:fx在区间上连续，且 0faf b 在区间,a b上单调。求函数2)1lg(2)(xxfx的零点个数。8、函数零点的性质：从“数”的角度看：即是使0)(xf的实数；从“形”的角度看：即是函数)(xf的图象与x轴交点的横坐标；若函数)(xf的图象在0 xx 处与x轴相
4、切，则零点0 x通常称为不变号零点；若函数)(xf的图象在0 xx 处与x轴相交，则零点0 x通常称为变号零点 一元二次方程根的分布讨论 一元二次方程根的分布的基本类型 设一元二次方程02cbxax（0a）的两实根为1x，2x，且21xx.k为常数，则一元二次方程根的k分布（即1x，2x相对于k的位置）或根在区间上的分布主要有以下基本类型：表一：（两根与 0 的大小比较）分布情况 两个负根即两根都小于 0 120,0 xx 两个正根即两根都大于 0 120,0 xx 一正根一负根即一个根小于 0，一个大于0120 xx 大致图象（0a）得出的结论 00200baf 00200baf 00 f
5、3 大致图象（0a）得出的结论 00200baf 00200baf 00 f 综合结论（不讨论a）00200baa f 00200baa f 00 fa 表二：（两根与k的大小比较）分布情况 两根都小于k即 kxkx21,两根都大于k即 kxkx21,一个根小于k，一个大于k即12xkx 大致图象（0a）得出的结论 020bkaf k 020bkaf k 0kf kkk 4 大致图象（0a）得出的结论 020bkaf k 020bkaf k 0kf 综合结论（不讨论a）020bkaa f k 020bkaa f k 0 kfa 表三：（根在区间上的分布）分布情况 两根都在 nm,内 两根有且仅
6、有一根在 nm,内（有两种情况，只画了一种）一根在 nm,内，另一根在 qp,内，qpnm 大致图象（0a）得出的结论 0002f mf nbmna 0 nfmf 0000f mf nfpf q或 00f m f nfp f q 5 大致图象（0a）得出的结论 0002f mf nbmna 0 nfmf 0000f mf nfpf q或 00f m f nfp f q 综合结论（不讨论a）0 nfmf 00qfpfnfmf （1）关于 x 的方程0142)3(22mxmx有两个实根，且一个大于 1，一个小于 1，求m的取值范围？（2）关于 x 的方程0142)3(22mxmx有两实根在0,4内
7、，求m的取值范围？（3）关于 x 的方程0142)3(22mxmmx有两个实根，且一个大于 4，一个小于 4，求m的取值范围？6 9、二分法的定义 对于在区间a，b上连续不断，且满足()()0f af b的函数)(xfy，通过不断地把函数)(xf的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法 10、给定精确度，用二分法求函数()f x零点近似值的步骤：（1）确定区间a，b，验证()()f af b0，给定精度；（2）求区间(a，)b的中点1x；（3）计算1()f x：若1()f x=0，则1x就是函数的零点；若()f a1()f x0，则令b=1x（
8、此时零点01(,)xa x）；若1()f x()f b0，则令a=1x（此时零点01(,)xx b）；（4）判断是否达到精度；即若|ab，则得到零点值a（或b）；否则重复步骤（2）（4）11、二分法的条件()f a()f b0表明用二分法求函数的近似零点都是指变号零点。12、解决应用题的一般程序：审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；解模：求解数学模型，得出数学结论；还原：将用数学知识和方法得出的结论，还原为实际问题的意义 13、函数的模型 检验 收集数据 画散点图 选择函数模型 求函数模型 用函数模型解释实际问题 符合实际 不符合实际 7 14、根据散点图设想比较接近的可能的函数模型：一次函数模型：()(0);f xkxb k 二次函数模型：2()(0);g xaxbxc a 幂函数模型：12()(0);h xaxb a 指数函数模型：()xl xabc（0,ab0，1b）利用待定系数法求出各解析式，并对各模型进行分析评价，选出合适的函数模型