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1、 东北师大附中 2012-2013高三数学(文理)第一轮复习导学案 012 1 函数与方程 A 一、知识梳理：阅读教材必修 1 第 85 页第 94 页 1、方程的根与函数的零点(1)零点:对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点。这样，函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0 的实数根，也就是函数y=f(x)的图象与 x 轴交点的横坐标，所以方程f(x)=0 有实根 函数 y=f(x)的图象与 x 轴有交点 函数 y=f(x)有零点。2、函数的零点存在性定理：如果函数y=f(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)0那么，y=
2、f(x)在区间a，b内有零点，即存在 c（a，b），使得f(c)=0，这个 C 也就是方程f(x)=0 的实数根。3、零点存在唯一性定理：如果单调函数y=f(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)0那么，y=f(x)在区间a，b内有零点，即存在唯一 c（a，b），使得f(c)=0，这个 C 也就是方程f(x)=0 的实数根。4、零点的存在定理说明：求在闭间内连续，满足条件时，在开区间内函数有零点；条件的函数在区间a，b内的零点至少一个；间a，b上连续函数，不满足f(a)f(b)0，这个函数在a，b内也有可能有零点，因些在区间a，b上连续函数，f(a)f(b)0是函
3、数在a，b内有零点的充分不必要条件。2、用二分法求方程的近似解 1、二分法定义：对于区间a，b连续不断且f(a)f(b)0的函数y=f(x)通过不断把区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法。2、给定精确度 用二分法求函数f(x)的零点近似值步骤如下：确定区间a，b，验证f(a)f(b)0，给定精确度 ；求区间a，b的中点 c；东北师大附中 2012-2013高三数学(文理)第一轮复习导学案 012 2 计算f(c)I假设f(c)=0，则 c 就是函数的零点；II假设f(a)f(c)0，则令 b=c，此时零点x0（a，c）；III 假设f(b)f(c)0
4、，则令 a=c，此时零点x0（c，b）；判断是否到达精确度 ，假设|a-b|，则得到零点的近似值 a或 b，否则重复-步骤。则函数的零点与相应方程根的关系，我们可用二分法来求方程的近似解，由于计算量较大，而且是重复相同的步骤，因此，我们可以通过设计一定的程序，借助计算器或者电脑来完成计算。二、题型探究 探究一：l考察零点的定义及求零点 例 1：已知函数f(x)=18(m 1)x2mx+2m 1(1)m 为何值时，函数的图象与 x 轴只有一个公共点？1 或 1/3(2)如果函数的一个零点为 2，则 m 的值及函数的另一个零点。m=3，x=10 探究二：判断零点的个数及确定零点所在区间 例 2：证
5、明函数f(x)=x+1x3在0，+上恰有两个零点。东北师大附中 2012-2013高三数学(文理)第一轮复习导学案 012 3 探究三：有二分法求方程的近似解 例 3：已知图象连续不断的函数y=f(x)在区间a，b b-a=0.1上有唯一零点，如果用“二分法”求个零点精确度 0.0001的近似值，那么将区间等分的次数至少是D A7 B8 C9 D10 例 4：以下图象不能用二分法示这个函数的零点的是3、5 三、方法提升 1、根据根的存在定量理，判断方程的根的取值范围是在高考题中易考的问题，这类问题只需将区间的两个端点的值 代入计算即可判断出来。、2、判断函数零点的个数问题常数形结合的方法，一般
6、将题止听等 式化为两个函数图象的交点问题。3、在导数问题中，经常在高考题中出现两个函数图象的交点的个数问题，要确定函数具体的零点的个数需逐个判断，在符合根的存在定量的条件下，还需辅以函数的单调性才能准确判断出零点的个数。(5)Xyo(3)Xyo(4)XyooyX(2)(1)Xyo 东北师大附中 2012-2013高三数学(文理)第一轮复习导学案 012 4 四、反思感悟：。五、课时作业：1函数2243yxx的零点个数 C .A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.不能确定 2假设函数1yax在(0,1)内恰有一解，则实数a的取值范围是 B .A.1a B.1a C.1a D.1a 3函数()2
7、3xf x 的零点所在区间为 C A.1，0 B.0，1 C.1，2 D.2，3 4方程 lgxx0 在以下的哪个区间内有实数解 B .A.-10，-0.1 B.0.1,1 C.1,10 D.(,0 5函数()yf x的图象是在 R 上连续不断的曲线，且(1)(2)0ff，则()yf x在区间1,2上 D .A.没有零点 B.有2个零点 C.零点个数偶数个 D.零点个数为k，kN 6函数2()56f xxx的零点是 2 或 3 .7函数3()231f xxx零点的个数为 3 .8已知函数()f x图象是连续的，有如下表格，判断函数在哪几个区间上有零点.x 2 1.5 1 0.5 0 0.5 1
8、 1.5 2 f(x)3.51 1.02 2.37 1.56 0.38 1.23 2.77 3.45 4.89 解:在2，1.5、0.5，0、0，0.5内有零点.9 已知二次方程2(2)310mxmx 的两个根分别属于(-1,0)和(0,2),求m的取值范围.解：设()f x=2(2)31mxmx，则()f x=0 的两个根分别属于(-1,0)和(1,2).所以(1)(0)0(2)(0)0ffff，即(21)10(107)10mm ，17210m 东北师大附中 2012-2013高三数学(文理)第一轮复习导学案 012 5 10已知2()2(1)421f xmxmxm：1m为何值时，函数的图象与x轴有两个零点；解：122(1)0(4)42(1)(21)0mmmm ，解得1m且1m.2如果函数两个零点在原点左右两侧，求实数m的取值范围.22(1)0(0)210mfm 或2(1)0(0)210mfm .解得112m.